Jätkame teema uurimist " võrrandite lahendamine" Lineaarvõrranditega oleme juba tuttavaks saanud ja liigume edasi tutvumise juurde ruutvõrrandid.
Kõigepealt vaatame, mis on ruutvõrrand ja kuidas see on kirjutatud üldine vaade ja andke sellega seotud määratlused. Pärast seda uurime näidete abil üksikasjalikult, kuidas mittetäielikud probleemid lahendatakse. ruutvõrrandid. Järgmisena liigume täisvõrrandite lahendamisele, saame juurvalemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele. Lõpuks jälgime juurte ja koefitsientide vahelisi seoseid.
Leheküljel navigeerimine.
Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline alustada vestlust ruutvõrrandi kohta ruutvõrrandi definitsioonist, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite peamisi tüüpe: redutseeritud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.
Definitsioon.
Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ning a on nullist erinev.
Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. See on tingitud asjaolust, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine aste.
Esitatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. Need on ruutvõrrandid.
Definitsioon.
Numbrid a, b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a·x 2 +b·x+c=0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk suurimaks või koefitsiendiks x 2, b on teine koefitsient või x koefitsient ja c on vaba liige .
Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x −3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine koefitsient on võrdne −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, siis lühivorm ruutvõrrandi kirjutamine kujul 5 x 2 −2 x−3=0, mitte 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.
Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandis tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste kirjutamise iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja y koefitsient on võrdne −1.
Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.
Definitsioon.
Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtkoefitsient on 1 antud ruutvõrrand. Muidu ruutvõrrand on puutumata.
Vastavalt see määratlus, ruutvõrrandid x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 jne. – antud juhul on esimene koefitsient võrdne ühega. A 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.
Mis tahes taandamata ruutvõrrandist, jagades mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga, saate minna redutseeritud koefitsiendini. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil, või nagu sellel pole juuri.
Vaatame näidet selle kohta, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.
Näide.
Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.
Lahendus.
Peame lihtsalt jagama algse võrrandi mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga 3, see on nullist erinev, et saaksime selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja siis (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.
Vastus:
Ruutvõrrandi definitsioon sisaldab tingimust a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 + b x + c = 0 oleks ruutkeskne, kuna kui a = 0, muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x + c = 0.
Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.
Definitsioon.
Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b, c on võrdne nulliga.
Omakorda
Definitsioon.
Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.
Selliseid nimesid ei pandud juhuslikult. See selgub järgmistest aruteludest.
Kui koefitsient b on null, on ruutvõrrand kujul a·x 2 +0·x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a·x 2 +c=0. Kui c=0, st ruutvõrrand on kujul a·x 2 +b·x+0=0, siis saab selle ümber kirjutada kujul a·x 2 +b·x=0. Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.
Seega on võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.
Eelmises lõigus esitatud teabest järeldub, et on olemas kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:
Uurime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.
Alustame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisega, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselgelt on võrrandi x 2 =0 juur null, kuna 0 2 =0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav sellega, et iga nullist erineva arvu p korral kehtib ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata kunagi võrdust p 2 =0.
Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 =0 üks juur x=0.
Näitena anname lahenduse mittetäielikule ruutvõrrandile −4 x 2 =0. See on ekvivalentne võrrandiga x 2 =0, selle ainus juur on x=0, seetõttu on algvõrrandil üks juurnull.
Lühilahenduse saab sel juhul kirjutada järgmiselt:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.
Nüüd vaatame, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on null ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et võrrandi ühelt küljelt teisele nihutamine vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saame mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:
Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2, siis ) või positiivne (näiteks kui a=-2 ja c=6, siis ), ei ole see null , kuna tingimusel c≠0. Vaatame juhtumeid eraldi.
Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.
Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui me mäletame umbes , muutub võrrandi juur kohe ilmseks, kuna . Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest. Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.
Tähistame äsja väljakuulutatud võrrandi juurteks x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on veel üks juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1. On teada, et selle juurte asendamine võrrandiga x asemel muudab võrrandi õigeks arvuliseks võrrandiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvvõrduste omadused võimaldavad teostada õigete arvuliste võrratuste terminihaaval lahutamist, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 −x 2 2 =0. Arvudega tehte omadused võimaldavad meil saadud võrrandi ümber kirjutada kujul (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu järeldub saadud võrrandist, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0, mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1. Nii jõudsime vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 omast. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri peale ja .
Teeme selles lõigus toodud teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga, mis
Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0.
Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0. Pärast vaba liikme liigutamist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9 x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame . Kuna paremal pool on negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7 = 0 juuri.
Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Nihutame üheksa paremale poole: −x 2 =−9. Nüüd jagame mõlemad pooled −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Seejärel kirjutame üles lõpliku vastuse: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.
Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 + b x = 0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0. Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a·x+b=0, millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a.
Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 +b·x=0 kaks juurt x=0 ja x=−b/a.
Materjali koondamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.
Näide.
Lahenda võrrand.
Lahendus.
Võttes x välja sulgudest, saadakse võrrand . See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrandi: , ja teostame jagamise seganumber harilikuks murruks, leiame . Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .
Pärast vajaliku praktika omandamist võib selliste võrrandite lahendused lühidalt kirjutada:
Vastus:
x=0 , .
Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme selle kirja ruutvõrrandi juurte valem: , Kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Kirje tähendab sisuliselt seda, et .
Kasulik on teada, kuidas juurvalem tuletati ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel kasutatakse. Mõtleme selle välja.
Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0. Teeme mõned samaväärsed teisendused:
Selle tulemusena jõuame võrrandini, mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0.
Oleme juba eelmistes lõikudes, kui uurisime, lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:
Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4·a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4·a·c märgiga. Seda avaldist kutsuti b 2 −4 a c ruutvõrrandi diskriminant ja määratud kirjaga D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi põhjal järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.
Tuleme tagasi võrrandi juurde ja kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: . Ja me teeme järeldused:
Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4·a·c.
Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid juure sama väärtuse, mis vastab ainus lahendus ruutvõrrand. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi negatiivse arvu ruutjuure eraldamisega, mis viib meid väljaspool ulatust ja kooli õppekava. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.
Praktikas saab ruutvõrrandite lahendamisel nende väärtuste arvutamiseks kohe kasutada juurvalemit. Kuid see on rohkem seotud keerukate juurte leidmisega.
Koolialgebra kursusel aga tavaliselt me räägime mitte keeruliste, vaid ruutvõrrandi tegelike juurte kohta. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (muidu võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri), ja alles siis arvutage juurte väärtused.
Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 lahendamiseks peate:
Siinkohal märgime lihtsalt, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võite kasutada ka valemit, mis annab sama väärtuse kui .
Võite liikuda näidete juurde ruutvõrrandite lahendamise algoritmi kasutamise kohta.
Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustagem.
Näide.
Leia võrrandi x 2 +2·x−6=0 juured.
Lahendus.
Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1, b=2 ja c=−6. Algoritmi järgi tuleb selleks kõigepealt välja arvutada diskriminant, asendame näidatud a, b ja c diskriminandi valemiga D=b 2 –4·a·c=2 2–4·1·(–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurvalemi abil, saame , siin saate tekkivaid avaldisi tehes lihtsustada kordaja liigutamine juurmärgist kaugemale millele järgneb fraktsiooni vähendamine:
Vastus:
Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.
Näide.
Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .
Lahendus.
Alustame diskrimineerija leidmisega: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,
Vastus:
x = 3,5.
Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.
Näide.
Lahendage võrrand 5·y 2 +6·y+2=0.
Lahendus.
Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5, b=6 ja c=2. Asendame need väärtused diskrimineeriva valemiga, meil on D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.
Kui teil on vaja määrata keerulised juured, siis kasutage tuntud valem ruutvõrrandi juured ja sooritada toimingud koos kompleksarvud
:
Vastus:
pärisjuuri pole, keerulised juured on: .
Märgime veel kord, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis koolis kirjutatakse tavaliselt kohe kirja vastus, milles märgitakse, et pärisjuuri pole ja keerulisi juuri ei leita.
Ruutvõrrandi juurte valem, kus D=b 2 −4·a·c võimaldab saada kompaktsema kujuga valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandi x paariskoefitsiendiga (või lihtsalt koefitsient on näiteks kujul 2·n või 14· ln5=2·7·ln5). Toome ta välja.
Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x+c=0. Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c) ja seejärel kasutame juurvalemit:
Tähistame avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem kuju 
, kus D 1 =n 2 −a·c.
On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4. Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.
Seega on teise koefitsiendiga 2·n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja
Kaaluge näite lahendamist selles lõigus saadud juurvalemi abil.
Näide.
Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x −32=0 .
Lahendus.
Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5, n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:
Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.
Vastus:
Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamist valemite abil, ei tee paha küsida: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada?" Nõus, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x−6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0.
Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine, korrutades või jagades mõlemad pooled teatud arvuga. Näiteks eelmises lõigus oli võimalik lihtsustada võrrandit 1100 x 2 −400 x −600=0, jagades mõlemad pooled 100-ga.
Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse võrrandi mõlemad pooled tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Jagades algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0.
Ja ruutvõrrandi mõlema poole korrutamine toimub tavaliselt murdosakoefitsientidest vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad pooled korrutada LCM(6, 3, 1)=6, siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4·x−18=0.
Selle punkti kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanevad nad ruutvõrrandi kõrgeima koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema poole korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt liigutakse ruutvõrrandilt −2 x 2 −3 x+7=0 lahendusele 2 x 2 +3 x−7=0 .
Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri oma kordajate kaudu. Juurevalemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.
Vieta teoreemi kõige tuntumad ja rakendatavad valemid on kujul ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise vastasmärgiga koefitsiendiga ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kuju vaadates võime kohe öelda, et selle juurte summa võrdub 7/3 ja juurte korrutis on võrdne 22-ga. /3.
Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .
Bibliograafia.
Diskriminant on mitme väärtusega termin. Selles artiklis räägime polünoomi diskriminandist, mis võimaldab määrata, kas antud polünoomil on kehtivad lahendid. Ruutpolünoomi valemi leiab kooli algebra ja analüüsi kursusest. Kuidas leida diskrimineerijat? Mida on võrrandi lahendamiseks vaja?
Nimetatakse ruutpolünoomi või teise astme võrrandit i * w ^ 2 + j * w + k võrdub 0, kus "i" ja "j" on vastavalt esimene ja teine koefitsient, "k" on konstant, mida mõnikord nimetatakse "tõrjuvaks liikmeks" ja "w" on muutuja. Selle juurteks on kõik muutuja väärtused, mille juures see muutub identiteediks. Sellise võrdsuse saab ümber kirjutada i, (w - w1) ja (w - w2) korrutisena, mis võrdub 0-ga. Sel juhul on ilmne, et kui koefitsient “i” ei muutu nulliks, siis funktsioon vasak pool muutub nulliks ainult siis, kui x võtab väärtuse w1 või w2. Need väärtused on polünoomi nulli seadmise tulemus.
Muutuja väärtuse leidmiseks, mille juures ruutpolünoom kaob, kasutatakse abikonstruktsiooni, mis on üles ehitatud selle koefitsientidele ja mida nimetatakse diskriminandiks. See disain arvutatakse vastavalt valemile D võrdub j * j - 4 * i * k. Miks seda kasutatakse?
Kuidas see väärtus näitab tõeliste juurte olemasolu:
Summa (7 * w^2; 3 * w; 1) puhul, mis on võrdne 0-ga Arvutame D valemiga 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, saame -19. Diskrimineeriv väärtus alla nulli näitab, et tegelikul real pole tulemusi.
Kui arvestada, et 2 * w^2 - 3 * w + 1 on võrdne 0-ga, siis D arvutatakse (-3) ruudus miinus arvude (4; 2; 1) korrutis ja võrdub 9 - 8, see tähendab 1. Positiivne väärtus näitab kahte tulemust reaaljoonel.
Kui võtame summa (w ^ 2; 2 * w; 1) ja võrdsustame selle nulliga, D arvutatakse kahe ruudu miinus arvude (4; 1; 1) korrutis. See avaldis lihtsustub 4–4-ni ja läheb nullini. Selgub, et tulemused on samad. Kui vaatate seda valemit tähelepanelikult, saab selgeks, et see on "täielik ruut". See tähendab, et võrdsuse saab ümber kirjutada kujul (w + 1) ^ 2 = 0. Selgus, et selle ülesande tulemus on “-1”. Olukorras, kus D võrdub 0-ga, saab võrdsuse vasaku külje alati ahendada, kasutades “summa ruudu” valemit.
See abikonstruktsioon mitte ainult ei näita reaalsete lahenduste hulka, vaid aitab ka neid leida. Üldvalem Teise astme võrrandi arvutamine on järgmine:
w = (-j +/- d) / (2 * i), kus d on astme 1/2 diskriminant.
Oletame, et diskriminant on alla nulli, siis d on imaginaarne ja tulemused on imaginaarsed.
D on null, siis d, mis on võrdne D-ga 1/2 astmega, on samuti null. Lahendus: -j / (2 * i). Jällegi arvestades 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, leiame tulemused, mis on võrdväärsed -2 / (2 * 1) = -1.
Oletame, et D > 0, siis d on reaalarv ja siinne vastus jaguneb kaheks osaks: w1 = (-j + d) / (2 * i) ja w2 = (-j - d) / (2 * i) ) . Mõlemad tulemused kehtivad. Vaatame 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Siin on diskriminant ja d üks. Selgub, et w1 on võrdne (3 + 1) jagatud (2 * 2) või 1-ga ja w2 on võrdne (3 - 1) jagatud 2 * 2 või 1/2-ga.
Ruutavaldise nulliga võrdsustamise tulemus arvutatakse järgmise algoritmi järgi:
Olenevalt koefitsientidest võib lahendus olla mõnevõrra lihtsustatud. Ilmselgelt, kui muutuja koefitsient teise astmeni on null, siis saadakse lineaarne võrdsus. Kui muutuja koefitsient esimese astmeni on null, on võimalikud kaks võimalust:
Kui vaba liige on null, on juured (0; -j)
Kuid on ka teisi erijuhtumeid, mis lihtsustavad lahenduse leidmist.
Antud nimetatakse selline ruuttrinoom, kus juhtliikme koefitsient on üks. Selle olukorra jaoks on rakendatav Vieta teoreem, mis väidab, et juurte summa võrdub muutuja esimese astme koefitsiendiga, korrutatuna -1-ga ja korrutis vastab konstandile "k".
Seetõttu võrdub w1 + w2 -j ja w1 * w2 võrdub k, kui esimene koefitsient on üks. Selle esituse õigsuse kontrollimiseks võite väljendada w2 = -j - w1 esimesest valemist ja asendada see teise võrrandiga w1 * (-j - w1) = k. Tulemuseks on algne võrdsus w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Oluline on märkida, et i * w ^ 2 + j * w + k = 0 saab saavutada i-ga jagamisel. Tulemuseks on w^2 + j1 * w + k1 = 0, kus j1 on võrdne j/i-ga ja k1 on võrdne k/i-ga.
Vaatame juba lahendatud 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 tulemustega w1 = 1 ja w2 = 1/2. Peame selle jagama pooleks, tulemuseks w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Kontrollime, kas leitud tulemuste puhul on teoreemi tingimused tõesed: 1 + 1/2 = 3/ 2 ja 1*1/2 = 1/2.
Kui muutuja tegur esimese astmega (j) jagub 2-ga, siis on võimalik valemit lihtsustada ja otsida lahendust läbi neljandiku diskriminandist D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. selgub w = (-j +/- d/2) / i, kus d/2 = D/4 astmeni 1/2.
Kui i = 1 ja koefitsient j on paaris, siis on lahendus -1 ja poole muutuja w koefitsiendi korrutis, pluss/miinus selle poole ruudu juur miinus konstant "k". Valem: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Eespool käsitletud teise astme trinoomi diskriminant on kõige sagedamini kasutatav erijuht. Üldjuhul on polünoomi diskriminant selle polünoomi juurte erinevuste korrutatud ruudud. Seetõttu näitab nulliga võrdne diskriminant vähemalt kahe mitmekordse lahenduse olemasolu.
Arvestage i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Oletame, et diskriminant ületab nulli. See tähendab, et reaalarvude piirkonnas on kolm juurt. Nullil on mitu lahendust. Kui D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Meie video räägib teile üksikasjalikult diskriminandi arvutamise kohta.
Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.
Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on absoluutselt vajalik.
Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.
Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist pange tähele, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:
See on oluline erinevus ruutvõrrandite ja lineaarsete võrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja ainulaadne. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.
Olgu ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac.
Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:
Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:
Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:
- x 2 – 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 – 6x + 9 = 0.
Kirjutame välja esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskrimineerija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.
Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane järelejäänud võrrand on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant on null – juur on üks.
Pange tähele, et koefitsiendid on iga võrrandi jaoks üles kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu, kuid te ei aja tõenäosust segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.
Muide, kui saate asjast aru, ei pea te mõne aja pärast kõiki koefitsiente üles kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.
Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:
Ruutvõrrandi juurte põhivalem
Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest - saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Esimene võrrand:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Otsime need üles:
Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles
\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]
Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:
Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siingi aitab ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjutage iga samm üles - ja varsti saate vigadest lahti.
Juhtub, et ruutvõrrand erineb veidi definitsioonis esitatust. Näiteks:
On lihtne märgata, et nendel võrranditel puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: need ei nõua isegi diskriminandi arvutamist. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:
Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.
Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.
Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:
Alates aritmeetikast Ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, viimane võrdus on mõttekas ainult (−c /a) ≥ 0 korral. Järeldus:
Nagu näete, ei olnud diskriminanti vaja – mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c /a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.
Vaatame nüüd võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:
Ühise teguri väljavõtmine sulgudestKorrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks vaatame mõnda neist võrranditest:
Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:
- x 2 – 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.
Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Faktoriseerimine ruuttrinoom. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktooringu näited.
Mõelge ruutvõrrandile:
(1)
.
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
;
.
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.
Järgmisena eeldame, et need on reaalarvud.
Mõelgem ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
;
.
Siis on ruuttrinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil (1) kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on kujuteldav ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
;
.
Siis
.
Kui ehitate funktsiooni graafik
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Punktis , lõikub graafik x-teljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.
Allpool on selliste graafikute näited.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):
,
Kus
;
.
Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
See näitab, et võrrand
esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.
(1.1)
.
.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.
Sellest saame ruuttrinoomi faktoriseerimise:
.
Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 lõikub x-teljega kahes punktis.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ületab abstsisstellje (telge) kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.
;
;
.
Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1)
.
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.
Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.
Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna seda juurt arvestatakse kaks korda:
,
siis sellist juurt nimetatakse tavaliselt mitmekordseks. See tähendab, et nad usuvad, et on kaks võrdset juurt:
.
;
.
Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1)
.
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1)
.
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.
Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.
Siis
.
Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ristu x-teljega (teljega). Seetõttu pole tõelisi juuri.
Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.
Ruutvõrrand on võrrand, mis näeb välja selline ax 2 + dx + c = 0. Sellel on tähendus a,c Ja Koos mis tahes numbrid ja A ei ole võrdne nulliga.
Kõik ruutvõrrandid on jagatud mitut tüüpi, nimelt:
Ainult ühe juurega võrrandid.
- Kahe erineva juurega võrrandid.
-Võrrandid, milles juured puuduvad.
See eristabki lineaarvõrrandid milles juur on alati sama, alates ruudust. Selleks, et mõista, mitu juurt avaldises on, on vaja Ruutvõrrandi diskriminant.
Oletame, et meie võrrand ax 2 + dx + c =0. Tähendab ruutvõrrandi diskriminant -
D = b 2-4 ac
Ja seda tuleb igavesti meeles pidada. Selle võrrandi abil määrame ruutvõrrandi juurte arvu. Ja me teeme seda järgmiselt:
Kui D on nullist väiksem, pole võrrandis juuri.
- Kui D on null, on ainult üks juur.
- Kui D on suurem kui null, on võrrandil kaks juurt.
Pidage meeles, et diskriminant näitab, mitu juurt võrrandis on ilma märke muutmata.
Selguse huvides kaalume:
Peame välja selgitama, mitu juurt selles ruutvõrrandis on.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Sisestame väärtused esimesse võrrandisse ja leiame diskrimineerija.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminandil on plussmärk, mis tähendab, et sellel võrdsusel on kaks juurt.
Teeme sama teise võrrandiga
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Väärtus on negatiivne, mis tähendab, et sellel võrdsusel pole juuri.
Laiendame järgnevat võrrandit analoogia põhjal.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
selle tulemusena on meil võrrandis üks juur.
On oluline, et igas võrrandis kirjutaksime välja koefitsiendid. Loomulikult ei ole see väga pikk protsess, kuid see aitas meil mitte segadusse sattuda ja takistas vigade tekkimist. Kui lahendate sarnaseid võrrandeid väga sageli, saate teha arvutusi peast ja ette teada, mitu juurt võrrandil on.
Vaatame teist näidet:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Paneme välja esimese
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, mis on suurem kui null, mis tähendab kahte juurt, tuletame need
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Paneme välja teise
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, mis on suurem kui null ja millel on ka kaks juurt. Näitame neid:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Paneme välja kolmanda
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, mis on võrdne nulliga ja millel on üks juur
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Nende võrrandite lahendamine pole keeruline.
Kui meile antakse mittetäielik ruutvõrrand. Nagu näiteks
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Need võrrandid erinevad ülaltoodud võrranditest, kuna see pole täielik, selles pole kolmandat väärtust. Kuid vaatamata sellele on see lihtsam kui täielik ruutvõrrand ja selles pole vaja otsida diskriminant.
Mida teha, kui seda kiiresti vajate lõputöö või essee, aga sul pole aega selle kirjutamiseks? Kõike seda ja palju muud saate tellida Deeplom.by veebisaidilt (http://deeplom.by/) ja saada kõrgeima punktisumma.
