Selle artikli keskmes on logaritm. Siin anname logaritmi definitsiooni, näitame aktsepteeritud tähistust, toome logaritmide näiteid ning räägime naturaal- ja kümnendlogaritmidest. Pärast seda käsitleme põhilogaritmilist identiteeti.
Leheküljel navigeerimine.
Logaritmi mõiste tekib ülesande lahendamisel teatud pöördtähenduses, kui on vaja teada astendaja väärtusest ja teadaolevast baasist leida eksponent.
Kuid piisavalt eessõna, on aeg vastata küsimusele "mis on logaritm"? Anname vastava määratluse.
Definitsioon.
Logaritm b alusesse a, kus a>0, a≠1 ja b>0 on eksponent, milleni peate arvu a suurendama, et saada b tulemuseks.
Selles etapis märgime, et väljaöeldud sõna "logaritm" peaks kohe tekitama kaks järelküsimust: "milline arv" ja "mille alusel". Teisisõnu, pole lihtsalt logaritmi, vaid on ainult arvu logaritm mingi aluse suhtes.
Lähme kohe sisse logaritmi tähistus: arvu b logaritmi alusele a tähistatakse tavaliselt kui log a b. Arvu b logaritmil aluse e ja 10 logaritmil on vastavalt oma eritähised lnb ja logb, see tähendab, et nad ei kirjuta mitte log e b, vaid lnb ja mitte log 10 b, vaid lgb.
Nüüd saame anda: .
Ja rekordid 
pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi all negatiivne arv, teises on negatiivne arv aluses ja kolmandas on negatiivne arv logaritmi märgi all ja ühik baas.
Nüüd räägime sellest logaritmide lugemise reeglid. Märgistuslogi a b loetakse kui "b logaritm alusesse a". Näiteks log 2 3 on logaritm kolmest aluse 2 suhtes ja kahe punkti kahe kolmandiku logaritm viie baasi ruutjuure suhtes. Nimetatakse logaritm aluse e juurde naturaallogaritm ja lnb kirje kõlab " naturaallogaritm b". Näiteks ln7 on seitsme naturaalne logaritm ja me loeme seda pi naturaallogaritmiks. 10 baaslogaritmil on ka spetsiaalne nimi - kümnendlogaritm, ja lgb loetakse "b kümnendlogaritmiks". Näiteks lg1 on ühe kümnendlogaritm ja lg2.75 on kahe koma seitsme viie sajandiku kümnendlogaritm.
Eraldi tasub peatuda tingimustel a>0, a≠1 ja b>0, mille puhul on antud logaritmi definitsioon. Selgitame, kust need piirangud tulevad. Seda aitab meil teha võrdsus nimega , mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.
Alustame a≠1-ga. Kuna üks mis tahes astmega on võrdne ühega, saab võrdus olla tõene ainult siis, kui b=1, kuid log 1 1 võib olla mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse vältimiseks eeldatakse, et a≠1.
Põhjendagem tingimuse a>0 otstarbekust. Kui a=0, saaksime logaritmi definitsiooni järgi võrdsuse, mis on võimalik ainult b=0 korral. Kuid siis võib log 0 0 olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erineva astmeni on null. Tingimus a≠0 võimaldab meil seda ebaselgust vältida. Ja kui a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Lõpuks tuleneb ebavõrdsusest a>0 tingimus b>0, kuna , ja positiivse alusega a astme väärtus on alati positiivne.
Selle punkti lõpetuseks oletame, et esitatud logaritmi definitsioon võimaldab teil kohe näidata logaritmi väärtust, kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud võimsus. Tõepoolest, logaritmi definitsioon võimaldab väita, et kui b=a p, siis arvu b logaritm aluse a suhtes on võrdne p-ga. See tähendab, et võrduslogi a a p =p on tõene. Näiteks teame, et 2 3 = 8, siis log 2 8 = 3. Sellest räägime artiklis lähemalt.
Logaritmilised avaldised, näidete lahendamine. Käesolevas artiklis vaatleme logaritmide lahendamisega seotud probleeme. Ülesanded esitavad küsimuse väljendi tähenduse leidmise kohta. Tuleb märkida, et logaritmi mõistet kasutatakse paljudes ülesannetes ja selle tähenduse mõistmine on äärmiselt oluline. Mis puutub ühtsesse riigieksamisse, siis kasutatakse logaritmi võrrandite lahendamisel, rakendusülesannetes ja ka funktsioonide uurimisega seotud ülesannetes.
Toome näiteid, et mõista logaritmi tähendust:
Põhilogaritmiline identiteet:
Logaritmide omadused, mida tuleb alati meeles pidada:
*Toote logaritm võrdne summaga tegurite logaritmid.
* * *
*Jagatise (murru) logaritm võrdub tegurite logaritmide vahega.
* * *
*Kraadi logaritm võrdne tootega eksponent selle aluse logaritmi järgi.
* * *
*Üleminek uuele vundamendile
* * *
Rohkem omadusi:
* * *
Logaritmide arvutamine on tihedalt seotud eksponentide omaduste kasutamisega.
Loetleme mõned neist:
Selle omaduse olemus seisneb selles, et lugeja kandmisel nimetajale ja vastupidi muutub astendaja märk vastupidiseks. Näiteks:
Selle omaduse tagajärg:
* * *
Tõsttes astme astmeks, jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse.
* * *
Nagu olete näinud, on logaritmi mõiste iseenesest lihtne. Peaasi, et vajate head praktikat, mis annab teatud oskuse. Loomulikult on valemite tundmine vajalik. Kui elementaarlogaritmide teisendamise oskus pole arenenud, siis lihtsate ülesannete lahendamisel võib kergesti eksida.
Harjuta, lahenda esmalt matemaatikakursuse kõige lihtsamad näited, siis liigu edasi keerulisemate juurde. Tulevikus näitan kindlasti, kuidas "hirmutavad" logaritmid lahendatakse, need ei ilmu ühtsele riigieksamile, kuid need pakuvad huvi, ärge jätke neid vahele!
See on kõik! Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Juhised
Kirjutage etteantud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjuta avaldis: ln b – naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb arvu b saamiseks baasarvu tõsta.
Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";
Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, mis on korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja lahutada dividendi tuletise korrutisest jagaja funktsiooniga korrutis jagaja tuletise korrutis dividendi funktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Kui on antud kompleksfunktsioon, siis on vaja tuletist korrutada sisemine funktsioon ja välise tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).
Eespool saadud tulemusi kasutades saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on probleeme tuletise arvutamisega punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Arvutage funktsiooni väärtus antud punktis y"(1)=8*e^0=8
Video teemal
Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab oluliselt aega.
Allikad:
Niisiis, mis vahe on irratsionaalsel võrrandil ja ratsionaalsel võrrandil? Kui tundmatu muutuja on märgi all ruutjuur, siis peetakse võrrandit irratsionaalseks.
Juhised
Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole konstrueerimise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimese asjana tuleb märgist lahti saada. See meetod ei ole tehniliselt keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand on v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellise võrrandi lahendamine pole keeruline; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis x väärtuse asemel üks Ja parem ja vasak pool sisaldavad avaldisi, millel pole mõtet. See väärtus ruutjuure jaoks ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.
Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema külje ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja kõrvalised juured ära lõigata. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.
Mõelge veel ühele.
2х+vх-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Liiguta ühendeid võrrandid, millel pole ruutjuurt, paremale küljele ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga ka teist, elegantsemat. Sisestage uus muutuja; vх=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi kujul 2y2+y-3=0. Ehk siis tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vх=1; vх=-3/2. Teisel võrrandil pole juure, leiame, et x=1. Ärge unustage juuri kontrollida.
Identiteedi lahendamine on üsna lihtne. Selleks peate tegema identiteedi transformatsioonid kuni eesmärk on saavutatud. Seega lahendatakse püstitatud ülesanne lihtsate aritmeetiliste tehete abil.
Sa vajad
Juhised
Lihtsaimad sellistest teisendustest on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude erinevus, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju trigonomeetrilisi valemeid, mis on sisuliselt samad identiteedid.
Tõepoolest, kahe liikme summa ruut on võrdne esimese ruuduga pluss kahekordne esimese korrutis teisega ja pluss teise ruut, see tähendab (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Lihtsustage mõlemat
(kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") b põhineb a(log α b) nimetatakse selliseks numbriks c, Ja b= a c, see tähendab, et registreerib log α b=c Ja b=ac on samaväärsed. Logaritm on mõttekas, kui a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Teisisõnu logaritm numbrid b põhineb A sõnastatud astendajana, milleni tuleb arv tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x= log α b, on samaväärne võrrandi a x =b lahendamisega.
Näiteks:
log 2 8 = 3, sest 8 = 2 3 .
Rõhutagem, et näidatud logaritmi sõnastus võimaldab kohe määrata logaritmi väärtus, kui logaritmimärgi all olev arv toimib aluse teatud astmena. Tõepoolest, logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on teemaga tihedalt seotud arvu astmed.
Logaritmi arvutamist nimetatakse logaritm. Logaritm on logaritmi võtmise matemaatiline tehe. Logaritmide võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.
Potentsieerimine on logaritmi pöördtehte matemaatiline tehe. Potentsieerimise ajal tõstetakse antud alust ekspressiooniastmeni, mille üle potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutiseks.
Üsna sageli kasutatakse reaallogaritme alustega 2 (binaarne), Euleri arv e ≈ 2,718 (looduslik logaritm) ja 10 (kümnend).
Peal selles etapis on soovitav kaaluda logaritmi näidised logi 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Ja kirjetel lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 pole mõtet, kuna esimeses neist on negatiivne arv logaritmi märgi alla, teises on negatiivne arv aluses ja kolmandas on negatiivne arv logaritmi märgi ja ühiku all aluses.
Eraldi tasub kaaluda tingimusi a > 0, a ≠ 1, b > 0.mille korral saame logaritmi määratlus. Mõelgem, miks need piirangud võeti. Selles aitab meid võrdsus kujul x = log α b, mida nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks, mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.
Võtame tingimuse a≠1. Kuna üks iga astme kohta on võrdne ühega, siis võrdus x=log α b saab eksisteerida ainult siis, kui b = 1, kuid log 1 1 on mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks võtame a≠1.
Tõestame tingimuse vajalikkust a>0. Kell a=0 logaritmi sõnastuse järgi saab eksisteerida ainult siis, kui b = 0. Ja vastavalt siis logi 0 0 võib olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erinev aste on null. Seda ebaselgust saab tingimusega kõrvaldada a≠0. Ja millal a<0 peaksime logaritmi ratsionaalsete ja irratsionaalsete väärtuste analüüsi tagasi lükkama, kuna ratsionaalse ja irratsionaalse eksponendiga aste on määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Sel põhjusel on see tingimus sätestatud a>0.
Ja viimane tingimus b>0 tuleneb ebavõrdsusest a>0, kuna x = log α b, ja positiivse baasiga kraadi väärtus a alati positiivne.
Logaritmid iseloomustab eristav Funktsioonid, mis tõi kaasa nende laialdase kasutamise, et hõlbustada märkimisväärselt vaevarikkaid arvutusi. “Logaritmide maailma” liikudes muudetakse korrutamine palju lihtsamaks liitmiseks, jagamine lahutamiseks ning astendamine ja juure eraldamine vastavalt astendajaga korrutamiseks ja jagamiseks.
Logaritmide formuleerimine ja nende väärtuste tabel (ehk trigonomeetrilised funktsioonid) avaldas esmakordselt 1614. aastal Šoti matemaatik John Napier. Teiste teadlaste poolt suurendatud ja üksikasjalikult kirjeldatud logaritmilisi tabeleid kasutati laialdaselt teaduslikes ja tehnilistes arvutustes ning need jäid oluliseks kuni elektrooniliste kalkulaatorite ja arvutite kasutamiseni.
Antakse funktsiooni ln x naturaallogaritmi, graafi, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmeridade laienduse ja kompleksarvude abil esituse põhiomadused.
Naturaalne logaritm on funktsioon y = ln x, eksponentsiaali pöördväärtus x = e y ja on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.
Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.
Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funktsiooni y = graafik ln x.
Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponentsiaalgraafikult peegelpeegelduse teel sirgjoone y = x suhtes.
Naturaalne logaritm määratakse muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.
Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (-∞).
Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Ükskõik milline toitefunktsioon x a positiivse astendajaga a kasvab kiiremini kui logaritm.
Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, seega pole tal äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.
ln 1 = 0
Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:
Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmidena, kasutades baasasendusvalemit:
Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".
Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.
Kui siis
Kui siis.
Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,
Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ
:
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.
Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.
Kui laienemine toimub:
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
