Trepid. Sisenemisgrupp. Materjalid. Uksed. Lukud. Disain

Pakume teile mugavat tasuta Interneti-kalkulaator ruutvõrrandite lahendamiseks. Saate selgete näidete abil kiiresti aru saada ja mõista, kuidas need lahendatakse.
Tootma lahendage ruutvõrrand võrgus, vähendage kõigepealt võrrandit üldine välimus:
ax 2 + bx + c = 0
Täitke vormi väljad vastavalt:

Kuidas lahendada ruutvõrrandit

Näide 1. Erinevate reaaljuurtega tavalise ruutvõrrandi lahendamine.
x 2 + 3x -10 = 0
Selles võrrandis
A = 1, B = 3, C = -10
D=B 2-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Ruutjuur Tähistame selle numbriga 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Kontrollimiseks asendame:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10

Näide 2. Reaaljuurte sobitamise ruutvõrrandi lahendamine.
x 2 – 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Asendame
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Näide 3. Keeruliste juurtega ruutvõrrandi lahendamine.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Diskriminant on negatiivne – juured on keerulised.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kus I on -1 ruutjuur

Siin on tegelikult kõik ruutvõrrandite lahendamise võimalikud juhud.
Loodame, et meie Interneti-kalkulaator on teile väga kasulik.
Kui materjal oli kasulik, saate seda teha

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Siit näeme, et on üks võrrand 3 * x – 1 = 0.

Saime lineaarvõrrandi kujul 3 * x – 1 = 0

Võrrandi lahendamiseks teeme kindlaks, millised omadused võrrandil on:

• Võrrand on lineaarne ja on kirjutatud kujul a * x + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud;
• Kui a = b = 0, on võrrandil lõpmatu arv lahendeid;
• Kui a = 0, b ≠ 0, pole võrrandil lahendust;
• Kui a ≠ 0, b = 0, on võrrandil lahendus: x = 0;
• Kui a ja b on suvalised arvud peale 0, siis leitakse juur järgmise valemiga x = - b/a.

Siit saame, et a = 3, b = - 1, mis tähendab, et võrrandil on üks juur.

Võrrandi lahendi kontrollimine

Asendame leitud väärtuse x = 1/3 algse avaldisega |3 * x - 1| = 0, siis saame:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Avaldise väärtuse leidmiseks arvutame esmalt kordamööda korrutamise või jagamise, seejärel liidame või lahutame. See tähendab, et saame:

See tähendab, et x = 1/3 on võrrandi juur |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Moodul avaneb pluss- ja miinusmärgiga. Saame 2 võrrandit:

1) 3 * x - 1 = 0;

Me kanname teada väärtused ühele poole ja tundmatud väärtused teisele poole. Väärtuste ülekandmisel muutuvad nende märgid vastupidiseks. See tähendab, et saame:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Sulgude avamine. Kuna sulgude ees on miinusmärk, siis nende laiendamisel muutuvad väärtuste märgid vastupidiseks. See tähendab, et saame:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = -1/(-3);
x = 1/3;
Vastus: x = 1/3.

Vaatleme võrrandit x^2=a, kus a võib olla suvaline arv. Selle võrrandi lahendamiseks on kolm juhtumit, olenevalt arvu a (a0) väärtusest.

Vaatleme iga juhtumit eraldi.

Näited võrrandi x^2=a erinevatest juhtudest

x^2=a, a jaoks<0

Kuna ühegi reaalarvu ruut ei saa olla negatiivne arv, on a jaoks võrrand x^2=a

x^2=a, a=0

Sel juhul on võrrandil üks juur. See juur on arv 0. Kuna võrrandit saab ümber kirjutada kujule x*x=0, siis mõnikord öeldakse ka, et sellel võrrandil on kaks juurt, mis on üksteisega võrdsed ja võrduvad 0-ga.

x^2=a, kui a>0

Sel juhul on võrrand x^2=a, a puhul lahendatakse see järgmiselt. Kõigepealt liigume a vasakule küljele.

Ruutjuure definitsioonist järeldub, et a saab kirjutada sisse järgmine vorm: a=(√a)^2. Seejärel saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

x^2 – (√a)^2 = 0.

Vasakul pool näeme ruutude erinevuse valemit, laiendame seda.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Kahe sulgu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seega

Seega x1=√a x2=-√a.

Seda lahendust saab kontrollida joonistades graafiku.

Näiteks teeme seda võrrandiga x^2 = 4.

Selleks peate koostama kaks graafikut y=x^2 ja y=4. Ja vaadake nende ristumispunktide x-koordinaate. Juured peaksid olema 2 ja -2. Kõik on joonisel selgelt näha.

Vajad õpingutega abi?

I. Lineaarvõrrandid

II. Ruutvõrrandid

kirves 2 + bx +c= 0, a≠ 0, vastasel juhul muutub võrrand lineaarseks

Ruutvõrrandi juured saab arvutada erinevaid viise, Näiteks:

Me oskame hästi ruutvõrrandeid lahendada. Paljusid kõrgema astme võrrandeid saab taandada ruutvõrranditeks.

III. Võrrandid on taandatud ruutarvuks.

muutuja muutus: a) bikvadraatvõrrand kirves 2n+ bx n+ c = 0,a ≠ 0,n ≥ 2

2) 3. astme sümmeetriline võrrand – vormivõrrand

3) 4. astme sümmeetriline võrrand – vormivõrrand

kirves 4 + bx 3 + cx 2 +bx + a = 0, a≠ 0, koefitsiendid a b c b a või

kirves 4 + bx 3 + cx 2 –bx + a = 0, a≠ 0, koefitsiendid a b c (–b) a

Sest x= 0 ei ole võrrandi juur, siis on võimalik võrrandi mõlemad pooled jagada x 2, siis saame: .

Asendust tehes lahendame ruutvõrrandi a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Näiteks lahendame võrrandi x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, jagage mõlemad pooled x 2 ,

, pärast asendamist saame võrrandi t 2 – 2t – 3 = 0

– võrrandil pole juuri.

4) Vormi võrrand ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Ax 2, koefitsiendid ab = cd

Näiteks, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Korrutades 1–4 ja 2–3 sulud, saame ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga x 2, saame:

Meil on ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) 2. astme homogeenne võrrand - võrrand kujul P(x,y) = 0, kus P(x,y) on polünoom, mille igal liikmel on aste 2.

Vastus: -2; -0,5; 0

IV. Kõik ülaltoodud võrrandid on äratuntavad ja tüüpilised, aga kuidas on lood suvalise kujuga võrranditega?

Olgu antud polünoom P n ( x) = a n x n+ a n-1 x n-1 + ...+ a 1x+ a 0, kus a n ≠ 0

Vaatleme võrrandi astme vähendamise meetodit.

On teada, et kui koefitsiendid a on täisarvud ja a n = 1, siis võrrandi täisarvu juured P n ( x) = 0 kuuluvad vaba liikme jagajate hulka a 0 . Näiteks, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, arvu 5 jagajad on arvud 5; -5; 1; -1. Siis P 4 (1) = 0, st. x= 1 on võrrandi juur. Vähendame võrrandi astet P 4 (x) = 0, jagades nurgaga polünoomi teguriga x –1, saame

P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Samamoodi P 3 (1) = 0, siis P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), st. võrrand P 4 (x) = 0 on juurtega x 1 = x 2 = 1. Näitame rohkem lühike lahendus see võrrand (kasutades Horneri skeemi).

Tähendab, x 1 = 1 tähendab x 2 = 1.

Niisiis, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Mida me tegime? Alandasime võrrandi astet.

V. Vaatleme 3. ja 5. astme sümmeetrilisi võrrandeid.

A) kirves 3 + bx 2 + bx + a= 0, ilmselgelt x= –1 on võrrandi juur, siis alandame võrrandi astme kahele.

b) kirves 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a= 0, ilmselgelt x= –1 on võrrandi juur, siis alandame võrrandi astme kahele.

Näiteks näitame võrrandi 2 lahendit x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

x = –1

Saame ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. See tähendab, et võrrandi juured on: 1; 1; -1; –2; –0,5.

VI. Siin on nimekiri erinevatest võrranditest, mida klassis ja kodus lahendada.

Soovitan lugejal võrrandid 1–7 ise lahendada ja vastused saada...

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on absoluutselt vajalik.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist pange tähele, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. Neil pole juuri;
2. neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruutvõrrandite ja lineaarsete võrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja ainulaadne. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac.

Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame välja esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskrimineerija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane järelejäänud võrrand on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on null – juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid üles kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu, kuid te ei aja tõenäosust segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui saate asjast aru, ei pea te mõne aja pärast kõiki koefitsiente üles kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest - saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siingi aitab ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjutage iga samm üles - ja varsti saate vigadest lahti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb veidi definitsioonis esitatust. Näiteks:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

On lihtne märgata, et nendel võrranditel puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: need ei nõua isegi diskriminandi arvutamist. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on null.

Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.

Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsel arvul, on viimane võrdsus mõttekas ainult juhul, kui (−c /a) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielikus ruutvõrrandis kujul ax 2 + c = 0 on ebavõrdsus (−c /a) ≥ 0 täidetud, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c /a)< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminanti vaja – mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c /a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Vaatame nüüd võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks vaatame mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x 2 – 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.