Kompleksarvud on meile tuttavate reaalarvude hulga minimaalne laiendus. Nende põhimõtteline erinevus seisneb selles, et ilmub element, mis annab ruudustamisel -1, s.t. mina või .

Iga kompleksarv koosneb kahest osast: tegelik ja kujuteldav:

Seega on selge, et reaalarvude hulk ühtib nulli imaginaarosaga kompleksarvude hulgaga.

Kõige populaarsem kompleksarvude komplekti mudel on tavaline tasapind. Iga punkti esimene koordinaat on selle reaalosa ja teine ​​selle kujuteldav osa. Siis on kompleksarvude endi rolliks vektorid, mille algus on punktis (0,0).

Toimingud sisse kompleksarvud.

Tegelikult, kui võtta arvesse kompleksarvude hulga mudelit, on intuitiivselt selge, et kahe kompleksarvu liitmine (lahutamine) ja korrutamine toimub samamoodi nagu vastavad toimingud vektoritega. Veelgi enam, me peame silmas vektorite vektorkorrutist, sest selle tehte tulemuseks on jällegi vektor.

1.1 Lisamine.

(Nagu nähtud, seda operatsiooni sobib täpselt)

1.2 Lahutamine, toodetakse samamoodi vastavalt järgmisele reeglile:

2. Korrutamine.

3. Jaotus.

Defineeritud lihtsalt kui korrutamise pöördtehte.

Trigonomeetriline vorm.

Kompleksarvu z moodul on järgmine suurus:

,

ilmselgelt on see jällegi lihtsalt vektori (a,b) moodul (pikkus).

Kõige sagedamini tähistatakse kompleksarvu moodulit kui ρ.

Selgub, et

z = ρ(cosφ+isinφ).

Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetrilisest vormist tuleneb otse järgmine: valemid :

Viimast valemit nimetatakse Moivre'i valem. Valem tuletatakse otse sellest kompleksarvu n-s juur:

seega on kompleksarvul z n n-ndat juurt.

Tunniplaan.

1. Organisatsioonimoment.

2. Materjali esitlus.

3. Kodutöö.

4. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

II. Materjali esitlus.

Motivatsioon.

Reaalarvude hulga laiendamine seisneb uute (imaginaarsete) arvude lisamises reaalarvudele. Nende arvude kasutuselevõtt on tingitud reaalarvude hulgast negatiivse arvu juure eraldamise võimatusest.

Sissejuhatus kompleksarvu mõistesse.

Kujundarvud, millega täiendame reaalarve, kirjutatakse kujule bi, Kus i on kujuteldav ühik ja i 2 = - 1.

Selle põhjal saame kompleksarvu järgmise definitsiooni.

Definitsioon. Kompleksarv on vormi avaldis a+bi, Kus a Ja b- reaalarvud. Sel juhul on täidetud järgmised tingimused:

a) Kaks kompleksarvu a 1 + b 1 i Ja a 2 + b 2 i võrdne siis ja ainult siis a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleksarvude liitmine määratakse reegliga:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksarvude korrutamine määratakse reegliga:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Kompleksarvu algebraline vorm.

Kompleksarvu kirjutamine vormile a+bi nimetatakse kompleksarvu algebraliseks vormiks, kus A- pärisosa, bi on kujuteldav osa ja b- tegelik arv.

Kompleksnumber a+bi loetakse võrdseks nulliga, kui selle tegelik ja mõtteline osa on võrdsed nulliga: a = b = 0

Kompleksnumber a+bi juures b = 0 peetakse samaks reaalarvuga a: a + 0i = a.

Kompleksnumber a+bi juures a = 0 nimetatakse puhtalt imaginaarseks ja tähistatakse bi: 0 + bi = bi.

Kaks kompleksarvu z = a + bi Ja = a – bi, mis erinevad ainult kujuteldava osa märgi poolest, nimetatakse konjugaadiks.

Tehted kompleksarvudega algebralisel kujul.

Kompleksarvudega saab algebralises vormis teha järgmisi toiminguid.

1) Täiendus.

Definitsioon. Kompleksarvude summa z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mille reaalosa võrdub reaalosade summaga z 1 Ja z 2, ja imaginaarne osa on arvude mõtteliste osade summa z 1 Ja z 2, see on z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse terminiteks.

Kompleksarvude liitmisel on järgmised omadused:

1º. Kommutatiivsus: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Assotsiatiivsus: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleksnumber –a –bi nimetatakse kompleksarvu vastandiks z = a + bi. Kompleksarv, kompleksarvu vastand z, tähistatud -z. Kompleksarvude summa z Ja -z võrdne nulliga: z + (-z) = 0

Näide 1: lisage (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Lahutamine.

Definitsioon. Lahutage kompleksarvust z 1 kompleksarv z 2 z, Mida z + z 2 = z 1.

Teoreem. Kompleksarvude erinevus on olemas ja ainulaadne.

Näide 2: Tehke lahutamine (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Korrutamine.

Definitsioon. Kompleksarvude korrutis z 1 =a 1 + b 1 i Ja z 2 =a 2 + b 2 i nimetatakse kompleksarvuks z, mis on määratletud võrdsusega: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numbrid z 1 Ja z 2 nimetatakse teguriteks.

Kompleksarvude korrutamisel on järgmised omadused:

1º. Kommutatiivsus: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Assotsiatiivsus: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Korrutamise jaotus liitmise suhtes:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tegelik arv.

Praktikas toimub kompleksarvude korrutamine vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse summa summaga ning eraldatakse reaal- ja kujuteldavad osad.

Järgmises näites käsitleme kompleksarvude korrutamist kahel viisil: reegli järgi ja summa korrutamisega summaga.

Näide 3: Korrutage (2 + 3i) (5–7i).

1 viis. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2. meetod. (2 + 3i) (5–7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10–14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Jaoskond.

Definitsioon. Jagage kompleksarv z 1 kompleksarvuks z 2, tähendab sellise kompleksarvu leidmist z, Mida z · z 2 = z 1.

Teoreem. Kompleksarvude jagatis on olemas ja on kordumatu, kui z 2 ≠ 0 + 0i.

Praktikas leitakse kompleksarvude jagatis, korrutades lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga.

Lase z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Siis

.

Järgmises näites teostame jagamise, kasutades valemit ja nimetajaga konjugeeritud arvuga korrutamise reeglit.

Näide 4. Leidke jagatis .

5) Positiivse terviku võimsuse tõstmine.

a) Kujutise ühiku astmed.

Võrdsuse ärakasutamine i 2 = -1, on lihtne defineerida kujuteldava ühiku positiivset täisarvu. Meil on:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 jne.

See näitab, et kraadi väärtused i n, Kus n– positiivne täisarv, mida korratakse perioodiliselt, kui indikaator suureneb 4 .

Seega, et numbrit tõsta i positiivse terviku astme puhul peame astendaja jagama 4 ja ehitada i astmele, mille astendaja on võrdne jaotuse ülejäänud osaga.

Näide 5: Arvutage: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i.

b) Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni toimub vastavalt binoomi vastavale astmele tõstmise reeglile, kuna tegemist on identsete komplekstegurite korrutamise erijuhtumiga.

Näide 6: Arvutage: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.