Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

Знания о том, как измерить Землю, появились еще в древности и постепенно оформились в науку геометрию. С греческого языка это слово так и переводится - «землемерие».

Мерой протяжённости плоского участка Земли по длине и ширине является площадь. В математике она обычно обозначается латинской буквой S (от англ. «square» - «площадь», «квадрат») или греческой буквой σ (сигма). S обозначает площадь фигуры на плоскости или площадь поверхности тела, а σ – площадь поперечного сечения провода в физике. Это основные символы, хотя могут быть и другие, например, в сфере сопротивления материалов, А - площадь сечения профиля.

Формулы расчета

Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных . Античными математиками были выведены формулы, по которым можно легко их вычислять. Такими фигурами являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, круг.

Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми .

Треугольник

Начнём с самой простой фигуры - треугольника. Они бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Возьмём любой треугольник ABC со сторонами AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). Чтобы найти его площадь, вспомним известные из школьного курса математики теоремы синусов и косинусов. Отпуская все выкладки, придём к следующим формулам:

• S=√ - известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника;
• S=a h/2, где h - высота, опущенная на сторону a;
• S=a b (sin γ)/2, где γ - угол между сторонами a и b;
• S=a b/2, если ∆ ABC - прямоугольный (здесь a и b - катеты);
• S=b² (sin (2 β))/2, если ∆ ABC - равнобедренный (здесь b - одно из «бёдер», β - угол между «бёдрами» треугольника);
• S=a² √¾, если ∆ ABC - равносторонний (здесь a - сторона треугольника).

Четырёхугольник

Пусть имеется четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Чтобы найти площадь S произвольного 4-угольника, нужно разделить его диагональю на два треугольника, площади которых S1 и S2 в общем случае не равны.

Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:

• S=(a+c) h/2=e h, если 4-угольник - трапеция (здесь a и c - основания, e - средняя линия трапеции, h - высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, если ABCD - параллелограмм (здесь φ - угол между сторонами a и b, h - высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 - диагонали);
• S=a b=d²/2, если ABCD - прямоугольник (d - диагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, если ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один из его углов, P - периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD - квадрат.

Многоугольник

Чтобы найти площадь n-угольника, математики разбивают его на простейшие равные фигуры -треугольники, находят площадь каждого из них и затем складывают. Но если многоугольник относится к классу правильных, то используют формулу:

S=a n h/2=a² n/=P²/, где n - количество вершин (или сторон) многоугольника, a - сторона n-угольника, P - его периметр, h - апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.

Круг

Круг - это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон . Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2 π R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim - знак предела), а lim = lim при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Единицы измерения

Применяются системные и внесистемные единицы измерения . Системные единицы относятся к СИ (Система Интернациональная). Это квадратный метр (кв. метр, м²) и единицы, производные от него: мм², см², км².

В квадратных миллиметрах (мм²), например, измеряют площадь сечения проводов в электротехнике, в квадратных сантиметрах (см²) - сечения балки в строительной механике, в квадратных метрах (м²) - квартиры или дома, в квадратных километрах (км²) - территории в географии.

Однако иногда используются и внесистемные единицы измерения, такие, как: сотка, ар (а), гектар (га) и акр (ас). Приведём следующие соотношения:

• 1 сотка=1 а=100 м²=0,01 га;
• 1 га=100 а=100 соток=10000 м²=0,01 км²=2,471 ас;
• 1 ас= 4046.856 м²=40,47 а=40,47 соток=0,405 га.

Прямоугольник – это частный случай четырехугольника. Это значит, что у прямоугольника четыре стороны. Его противоположные стороны равны: так например, если одна из его сторон равна 10 см, то противоположная ей будет так же равны 10 см. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно пользоваться тем же алгоритмом, что и для вычисления площади прямоугольника.

Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину: Площадь = Длина × Ширина. В случае, указанном ниже: Площадь = AB × BC.

Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали

В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника, используя длину диагонали и одну из сторон. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, можно определить вторую сторону прямоугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту.

Как узнать площадь прямоугольника по периметру и стороне

Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Если известен периметр прямоугольника и одна сторона (например ширина), можно вычислить площадь прямоугольника, воспользовавшись следующей формулой:
Площадь = (Периметр×ширина – ширина^2)/2.

Площадь прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и длину диагонали

Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому, чтобы вычислить площадь на основании длины диагонали и синуса острого угла между ними, следует воспользоваться следующей формулой: Площадь = Диагональ^2 × sin(острого угла между диагоналями)/2.

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90о. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k.

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

• Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

• Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d - диаметр.

• Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

Инструкция

Чтобы найти длину стороны прямоугольника, если известна ширина и площадь , разделите числовое значение площади на числовое значение ширины. То есть воспользуйтесь формулой:Д = П / Ш, где:Д – длина стороны прямоугольника,
Ш – ширина прямоугольника,
П – его площадь .Например, если площадь прямоугольника равна 20 см², а его ширина – 5 см, то длина его стороны будет: 20 / 5 = 4 см.

Перед началом вычислений переведите ширину и площадь прямоугольника в одну систему измерений. То есть, площадь должна выражаться в соответствующих ширине квадратных единицах измерения. При этом, длина получится в тех же единицах, что и ширина . Так, если ширина задана в метрах, то площадь необходимо в . Особенно актуален такой при измерении земельных участков, где площадь обычно задана в гектарах, арах и «сотках».

Например, пусть площадь дачного участка равняется шести соткам, а его ширина – 30 метров. Требуется найти длину участка.
Так как «соткой» 100 , то площадь «стандартных» шести можно записать как 600 м². Отсюда длину земельного участка можно найти разделив 600 на 30. Получается – 20 метров.

Иногда заданы площадь и ширина фигуры, имеющей не прямоугольную, а произвольную форму. При этом, также требуется найти ее длину . Как правило, в это случае подразумеваются габаритные фигуры, то есть параметры прямоугольника, в который эту фигуру можно заключить.
Если большая точность вычислений не требуется, то воспользуйтесь вышеприведенной формулой (Д = П / Ш). Однако, значение длины при этом получится заниженным. Чтобы получить более точное значение длины фигуры, оцените насколько полно фигура заполняет свой габаритный прямоугольник и разделите полученную длину на коэффициент заполнения.

Источники:

• Какова длина прямоугольника, если известна его ширина

Каждая геометрическая фигура обладает определенными характеристиками, которые, в свою очередь, связаны между собой. Поэтому для того, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно знать, какова длина его сторон.

Прямоугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Он представляет собой четырехугольник, все углы которого равны между собой и составляют по 90 градусов. Эта характеристика, в свою очередь, влечет за собой определенные последствия в отношении других параметров рассматриваемой фигуры.

Во-первых, его стороны, располагающиеся друг напротив друга, будут параллельны. Во-вторых, эти стороны будут попарно равны между собой по длине. Эти характеристики оказываются очень важными для исчисления других его параметров, таких как площадь.

Порядок вычисления площади прямоугольника

Для того чтобы вычислить , необходимо иметь информацию о том, какова длина его сторон. Следует помнить, что стороны прямоугольника не равны по этому показателю: прямоугольник, все стороны которого равны между собой по длине, представляет собой другую геометрическую фигуру, которая носит название квадрата.

Поэтому для обозначения различающихся сторон прямоугольника приняты особые обозначения: так, сторону с большой протяженностью обычно называют длиной фигуры, а сторону с меньшей протяженностью - его шириной. При этом каждый прямоугольник в силу его свойств, описанных выше, имеет две длины и две ширины.

Собственно алгоритм вычисления площади этой фигуры достаточно прост: необходимо лишь его одну длину умножить на одну его ширину. Полученное произведение будет представлять собой площадь прямоугольника.

Пример вычисления

Предположим, есть прямоугольник, одна сторона которого составляет 5 сантиметров, а другая - 8 сантиметров. Таким образом, согласно данному выше определению, длина этой фигуры, измеряемая как протяженностью большей стороны, будет равна 8 сантиметрам, а ширина - 5 сантиметрам.

Для нахождения площади фигуры необходимо ее ширину умножить на длину: таким образом, площадь рассматриваемого прямоугольника составит 40 квадратных сантиметров. Обратите внимание, что для осуществления вычислений оба используемых параметра должны измеряться в одинаковых единицах, например