ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳು. ಪ್ರವೇಶ ಗುಂಪು. ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು. ಬಾಗಿಲುಗಳು. ಬೀಗಗಳು. ವಿನ್ಯಾಸ

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆ. ನಮಸ್ಕಾರ ಗೆಳೆಯರೆ! ಇಂದು, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುವು ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ, ಅದರ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪು ಇದೆ. ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ ಒಂದು ಇತ್ತು, ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ...

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆ ಏನು ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುವು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ:

ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ, ರೂಪುಗೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು. ಇದು ನಿಜ, ಆದರೆ ನಾವು ನಂತರ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ:

1. BMN ಮತ್ತು BAC ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು BM=MA, BN=NC ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡು ಅನುಪಾತದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ (ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ). ಇದರಿಂದ ಏನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ? ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ MN||AC.

2. ಇದು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದಲೂ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ, MN ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ!

ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ABC ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, M, N, K ಬಿಂದುಗಳು AB, BC, AC ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. MN=12, MK=10, KN=8 ಆಗಿದ್ದರೆ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ. ಸಹಜವಾಗಿ, MNK ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೊದಲ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ). ಎರಡು ಚಿಕ್ಕ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು, ನಾವು 10+8>12 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಸ್ಕೆಚ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯು 24+20+16=60 ಆಗಿದೆ.

* ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಪಡೆದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು. ಅವರ ಸಮಾನತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ನೋಡಿ:

ಅವು ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಾನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ವಿಧಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಮಾನವು ಬೇಸ್ನ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಮೂರನೇ ಅಂಚಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ. ಮೇಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಈ ವಿಮಾನವು ನಿಗದಿತ ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಬೇಸ್‌ನಿಂದ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಇಲ್ಲಿ.

ಅಷ್ಟೇ! ಒಳ್ಳೆಯದಾಗಲಿ!

ಲೇಖನ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ

ವಿಧೇಯಪೂರ್ವಕವಾಗಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಕ್ರುಟಿಟ್ಸ್ಕಿಖ್.

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು: ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಾಚೀನತೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಬಂದವು. ಅವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾರ ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳ ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇಂದು, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳ ಬೌದ್ಧಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ: ಭೂ ನಿರ್ವಹಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪಝಲ್‌ನ ಸಾರವೇನು?

ಮಧ್ಯಮ ಎಂದರೇನು? ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು, ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಹೆಸರು ಬರುತ್ತದೆ. ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ: ಎತ್ತರ, ದ್ವಿಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ.

ಎತ್ತರ - ಅದನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಶೃಂಗದ ಎದುರು ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆ; ದ್ವಿಭಾಜಕ - ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ; ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಹೊರಹೋಗುವ ಶೃಂಗದ ಎದುರು ಬದಿಯನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮಗೆ ವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲದ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಿಭಾಗದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಮೂಲ ವಿಭಾಗದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ.

ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂರು ಮಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಆಶ್ಚರ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಸಾಮರಸ್ಯದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮಧ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುವು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.

ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ತ್ರಿಕೋನದ "ಭೌತಿಕ" ಮಧ್ಯವೂ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಪ್ಲೈವುಡ್ನಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ಅದರ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಸೂಜಿಯ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಿ, ನಂತರ ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೀಳುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅಂತಹ ಅನೇಕ ರೋಮಾಂಚಕಾರಿ "ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು" ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜ್ಞಾನವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟ್ರಾಪಿಜ್.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೈದಾನಗಳು, ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ಆ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬದಿಗಳು. ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ನೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಂನ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆ

ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯು ಅದರ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ:

ಒಂದು ಬದಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ:

ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಅದರ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಉದ್ದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

MN ಮಿಡ್‌ಲೈನ್, AB ಮತ್ತು CD - ಬೇಸ್‌ಗಳು, AD ಮತ್ತು BC - ಬದಿಗಳು

MN=(AB+DC)/2

ಪ್ರಮೇಯ:

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಅದರ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಉದ್ದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯ: ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆ

ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವು ಮೂರನೇ ಬದಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ: ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂರನೇ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

AM = MC ಮತ್ತು BN = NC =>

ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಮಿಡ್‌ಲೈನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.
ಕಾರ್ಯ: ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AB ಅನ್ನು 5 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ.
ನಿರ್ಧಾರ:
p ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಿರಣವಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಮೂಲವು A ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು AB ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 ನಲ್ಲಿ 5 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೀಸಲಿಡುತ್ತೇವೆ
ನಾವು A 5 ಅನ್ನು B ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು A 5 B ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ A 4, A 3, A 2 ಮತ್ತು A 1 ಮೂಲಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ B 4, B 3, B 2 ಮತ್ತು B 1 ನಲ್ಲಿ AB ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು 5 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ BB 3 A 3 A 5 ನಿಂದ ನಾವು BB 4 = B 4 B 3 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ B 4 B 2 A 2 A 4 ನಿಂದ ನಾವು B 4 B 3 = B 3 B 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 ನಿಂದ.
ನಂತರ B 2 AA 2 ನಿಂದ ಅದು B 2 B 1 = B 1 A ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು, ನಾವು ರೇ p ಗೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ತದನಂತರ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1).

ಚಿತ್ರ 1. ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆ

ತ್ರಿಕೋನ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮೇಯ 1

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ. $MN$ - ಮಧ್ಯದ ಸಾಲು (ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ).

ಚಿತ್ರ 2. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ವಿವರಣೆ

$\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, ನಂತರ $ABC$ ಮತ್ತು $MBN$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡನೇ ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಅರ್ಥ

ಅಲ್ಲದೆ, ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ $\angle A=\angle BMN$ ಎಂದರೆ $MN||AC$.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಫಲಿತಾಂಶ 1:ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ $2:1$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ.

$ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ ಅದರ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು ಬದಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ. ಮಧ್ಯಮ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $A_1B_1$ (Fig. 3).

ಚಿತ್ರ 3. ಕೊರೊಲರಿ 1 ರ ವಿವರಣೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ, $AB||A_1B_1$ ಮತ್ತು $AB=2A_1B_1$, ಆದ್ದರಿಂದ $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. ಆದ್ದರಿಂದ $ABM$ ಮತ್ತು $A_1B_1M$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ನಂತರ

ಅಂತೆಯೇ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮ 2:ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಮಧ್ಯದ ಗೆರೆಗಳು $k=\frac(1)(2)$ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದಂತೆಯೇ 4 ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ.

$A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (ಚಿತ್ರ 4) ಜೊತೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಚಿತ್ರ 4. ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿವರಣೆ 2

$A_1B_1C$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $A_1B_1$ ಮಧ್ಯದ ಗೆರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

ಕೋನ $C$ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $k=\frac(1)(2)$ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡನೇ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ $A_1B_1C$ ಮತ್ತು $ABC$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಅಂತೆಯೇ, $A_1C_1B$ ಮತ್ತು $ABC$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು $C_1B_1A$ ಮತ್ತು $ABC$ ತ್ರಿಕೋನಗಳು $k=\frac(1)(2)$ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

$A_1B_1C_1$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು, ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮೂರನೇ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು $A_1B_1C_1$ ಮತ್ತು $ABC$ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕ $k=\frac(1)(2)$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

$16$ cm, $10$ cm ಮತ್ತು $14$ cm ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ಧಾರ.

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊರೊಲರಿ 2 ರಿಂದ, ಬಯಸಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು $8$ cm, $5$ cm ಮತ್ತು $7$ cm ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:$20$ ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 2

ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. $N\ ಮತ್ತು\ M$ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $BC$ ಮತ್ತು $AB$ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 5).

ಚಿತ್ರ 5

ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿ $BMN=14$ cm. $ABC$ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ಧಾರ.

$N\ ಮತ್ತು\ M$ $BC$ ಮತ್ತು $AB$ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ $MN$ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥ

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ, $AC=2MN$. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: