Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций
Понятие функции является основным и первоначальным, как и понятие множества. Пусть X - некоторое множество действительных чисел х. Если каждому х € X по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число у, то говорят, что на множестве X задана функция и пишут Введенную таким образом функцию называют числовой. При этом множество X называют областью onределения функции, а независимую переменную х - аргументом. Для указания функции иногда используют только символ, которым обозначен закон соответствия, т. е. вместо f(x) п и шут просто /. Таким образом, функция задана, если указаны 1) область определения 2) правило /, которое каждому значению а: € X ставит в соответствие определенное число у = /(х) - значение функции, отвечающее этому значению аргумента х. Функции / и g называют равными, если их области определения совпадают и равенство f(x) = g(x) верно для любого значения аргумента х из их обшей области определения. Так, функции у, не являются равными; они равны только на отрезке [О, I]. Примеры функций. 1. Последовательность {о„} есть функция целочисленного аргумента, определенная на множестве натуральных чисел, такая, что /(п) = ап (п = 1,2,...). 2. Функция у = п? (читается «эн-факториал»). Задана на множестве натуральных чисел: каждому натуральному числу п ставится в соответствие произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно: причем условно полагают 0! = 1. Обозначение sign происходит от латинского слова signum - знак. Эта функция определена на всей числовой прямой множество ее значений состоит из трех чисел -1,0, I (рис. 1). у = |х), где (х) обозначает целую часть действительного числа х, т. е. [х| - наибольшее целое число, не превосходящее Читается: -игрек равно антье икс» (фр. entier). Эта функция задана на всей числовой оси, а множество всех ее значений состоит из целых чисел (рис. 2). Способы задания функции Аналитическое задание функции Функция у = f(x) называется заданной аналитически, если она определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над каждым значением х, чтобы получить соответствующее значение у. Например, функция задана аналитически. При этом под областью определения функции (если она заранее не указана) понимается множество всех действительных значений аргумента х, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, принимает лишь действительные и конечные значения. В этом смысле область определения функции называют также ее областью существования. Для функции областью определения является отрезок Для функции у - sin х область определения - вся числовая ось. Заметим, что не всякая формула определяет функцию. Например, формула никакую функцию не определяет, так как нет ни одного действительного значения х, при котором имели б ы действительные значения оба написанных выше корня. Аналитическое задание функции может выглядеть достаточно сложно. В частности, функция может быть задана различными формулами на различных частях своей области определения. Например, функция может быть определена так: 1.2. Графический способ задания функции Функция у = f(x) называется заданной графически, если задан ее график, т.е. множество точек (ху/(х)) на плоскости хОу, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции (рис.4). Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке. Например, функция Дирихле если х - рациональное, если х - иррациональное, ZX \о, не допускает такого изображения. Функция Я(х) задана на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1. 1.3. Табличный способ задания функции Функция называется заданной таблично, если приведена таблица, в которой указаны численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном задании функции ее область определения состоит только из значений x\t x2i..., хп, перечисленных в таблице. §2. Предел функции в точке Понятие предела функции является центральным в математическом анализе. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности Q точки xq, кроме, быть может, самой точки доопределение (Коши). Число А называется пределом функции f(x) в точке хо, если для любого числа е > 0. которое может быть как угодно малым, существует число <5 > 0, такое, что для всех iGH.i^ ж0, удовлетворяющих условию верно неравенство Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Обозначение: С помощьюлогическихсимволов это определение выражается следующим образом Примеры. 1. Пользуясь определением предела функции в точке, показать, что Функция определена всюду, включая точку zo = 1: /(1) = 5. Возьмем любое. Для того, чтобы неравенство |(2х + 3) - 5| имело место, необходимо выполнение следующих неравенств Следовательно, если взять будем иметь. Это означает, что число 5 есть предел функции: в точке 2. Пользуясь определением предела функции, показать, что Функция не определена в точке хо = 2. Рассмотрим /(х) в некоторой окрестности точки-Xq = 2, например, на интервале (1, 5), не содержащем точку х = 0, в которой функция /(х) также не определена. Возьмем произвольное число с > 0 и преобразуем выражение |/(х) - 2| при х ф 2 следующим образом Для х б (1, 5) получаем неравенство Отсюда видно, что если взять 6 = с, то для всех х € (1,5), подчиненных условию будет верно неравенство Это означает, что число Л - 2 является пределом данной функции в точке Дадим геометрическое пояснение понятия предела функции в точке, обратившись к ее графику (рис. 5). При х значения функции /(х) определяются ординатами точек кривой М\М,при х > хо - ординатами точек кривой ММ2. Значение /(х0) определяется ординатой точки N. График данной функции получается, если взять «хорошую» кривую М\ММг и точку М(х0, А) на кривой заменитьточкой jV. Покажем, что в точке хо функция /(х) имеет предел, равный числу А (ординате точки М). Возьмем любое (как угодно малое) число е > 0. Отметим на оси Оу точки с ординатами А, А - е, А + е. Обозначим через Р и Q точки пересечения графика функции у = /(х) с прямыми у = А- епу = А + е. Пусть абсциссы этих точек есть х0 - Ль х0 + hi соответственно (ht > 0, /12 > 0). Из рисунка видно, что для любого х Ф х0 из интервала (х0 - h\, х0 + hi) значение функции /(х) заключено между. для всех х ^ хо, удовлетворя ющих условию верно неравенство Положим Тогда интервал будет содержаться в интервале и, следовательно, неравенство или, что тоже, будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию Это доказывает, что Таким образом, функция у = /(х) имеетпредел А вточкехо, если, какой быузкой ни была е-полоска между прямыми у = А- ену = А + е, найдется такое «5 > 0, что для всех х из проколотой окрестности точки х0 точки графика функции у = /(х) оказываются внутри указанной е-полоски. Замечание 1. Величина б зависитот е: 6 = 6(e). Замечание 2. В определении предела функции в точке Xq сама точка хо из рассмотрения исключается. Таким образом, значение функции в точке Хо нс влияет на предел функции в этой точке. Более того, функция может быть даже не определена в точке Xq. Поэтому две функции, равные в окрестности точки Xq, исключая, быть может, саму точку хо (в ней они могут иметь разные значения, одна из них или обе вместе могут быть не определены), имеют при х - Xq один и тот же предел или обе не имеют предела. Отсюда, в частности, следует, чтодля отыскания вточке хо предела дроби законно сокращать эту дробь на равные выражения, обращающиеся в нуль при х = Xq. Пример 1. Найти Функция /(х) = j для всех х Ф 0 равна единице, а в точке х = 0 не определена. Заменив /(х) на равную ей при х 0 функцию д(х) = 1, получаем Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Пример 2. Найти lim /(х), где Функция, совпадает с функцией /(х) всюду, исключая точку х = 0, и имеет в точке х = 0 предел, равный нулю: lim д(х) = 0 (покажите это!). Поэтому lim /(х) = 0. Задача. Сформулировать с помощью неравенств (на языке е -6), что означает Пусть функция /(я) определена в некоторой окрестности П точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Определение (Гейне). Число А называется пределом функции /(х) в точке х0, если для любой последовательности {хп} значений аргумента х 6 П, z„ / х0), сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность значений функции {/(х„)} сходится к числу А. Приведенным определением удобно пользоваться, когда надо установить, что функция /(х) не имеет предела в точке х0. Для этого достаточно найти какую-нибудь последовательность {/(хп)}, не имеющую предела, или же указать две последовательности {/(хп)} и {/(х"п)}, имеющие различные пределы. Покажем, например, чтофунк-иия /(х) = sin j (рис.7), определенная ВСЮДУ, Кроме ТОЧКИ X = О, Рис.7 н е имеет предела в точке х = 0. Рассмотрим две последовательности {, сходящиеся к точке х = 0. Соответствующие последовательности значений функции /(х) сходятся к разным пределам: последовательность {sinnTr} сходится к нулю, а последовательность {sin(5 + - к единице. Это означает, что функция /(х) = sin j в точке х = 0 предела не имеет. Замечание. Оба определения предела функии» в точке (определение Коши и определение Гейне) равносильны. §3. Теоремы о пределах Теорема 1 (единственность предела). Если функция f(x) имеет предел в точке хо, то этот предел единственный. А Пусть lim /(х) = А. Покажем, что никакое число В ф А не может быть пределом х-х0 функции /(х) вточкех0. Тотфакт,что lim /(х) ф Вспомощьюлогическихсимволов ХО формулируется так: Воспользовавшись неравенством получаем, Возьмем е = > 0. Поскольку lim /(х) = А, для выбранного е > 0 найдется 6 > 0 такое, что Из соотношения (1) для указанных значений х имеем Итак, нашлось такое, что каким бы малым ни было существуют х Ф xQ, такие, что и вместе с тем ^ е. Отсюда В Определение. Функция /(х) называется ограниченной в окрестности точки х0> если существуют числа М > 0 и 6 > 0 такие, что Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел). Если функция f{x) определена в окрестности точки х0 и имеет в точке х0 конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. м Пусть Тогда для любого например, для е = 1, найдется такое 6 > О, что для всех х Ф х0, удовлетворяющих условию будет верно неравенство Замечая, что всегда получим Положим. Тогда в каждой точке х интервала будем иметь Это означает, согласно определению, что функция /(х) ограничена в окрестности Напротив, из ограниченности функции /(х) в окрестности точки х0 не следует существования предела функции /(х) в точке х0. Например, функция /(х) = sin офаничена в окрестности точки но не имеет предела в точке х = 0. Сформулируем еще две теоремы, геометрический смысл которыхдостаточноясен. Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве). Если /(х) ^ ip(x) для всех х из некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и каждая из функций /(х) и ip(x) в точке х0 имеет предел, то Заметим, что из строгого неравенства для функций не обязательно следует строгое неравенство для их пределов. Если эти пределы существуют, то мы можем утверждать лишь, что Так, например, для функций выполнено неравенство в то время как Теорема 4 (предел промежуточной функции). Если для всех х в некоторой окрестности точки Xq, кроме, быть может, самой точки х0 (рис.9), и функции f{x) и ip(x) в точке хо имеют один и тот же предел А, то и функция f(x) в точке х0 имеет предел, равный этому же чиыу А. § 4. Предел функции в бесконечности Пусть функция /(х) определена либо на всей числовой оси, либо по крайней мерс для всех х, удовлетворяющих условию jx| > К при некотором К > 0. Определение. Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут если для любого е > 0 существует число jV > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > Лг, верно неравенство Заменив в этом определении условие соответственно, получим определения Из этих определений следует, что тогда и только тогда, когда одновременно Тот факт, геометрически означает следующее: какой бы узкой ни была е-полоска между прямыми у = А- еиу = А + е, найдется такая прямая х = N >0, что правее нес график функции у = /(ж) целиком содержится в указанной е-полоске (рис. 10). В этом случае говорят, что при х +оо график функции у = /(ж) асимптотически приближается к прямой у = А. Пример, Функция /(х) = jtjj- определена на всей числовой оси и представляет собой дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при |х| +оо. Естественно ожидать, что lim /(х)=0. Покажем это. М Возьмем любое е > 0, подчиненное условию Чтобы имело место соотношение должно выполняться неравенство с или, что то же, откуда Таким образом. если взять будем иметь. Это означает, что число есть предел данной функции при Заметим, что подкоренное выражение лишь для t ^ 1. В случае, когда, неравенство с выполняется автоматически для всех График четной функции у = - асимптотически приближается к прямой Задача. Сформулировать с помощью неравенств, что означает §5. Бесконечно малые функции Пусть функция а(х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки х0. Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой функцией (сокращенно б. м. ф.) при х, стремящемся к хо, если Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Например, функция а(х) = х - 1 является б. м. ф. при х 1,таккак lim(x-l) = 0. График функции у = х-1 1-1 изображен на рис. II. Вообще, функция а(х)=х-х0 является простейшим примером б. м. ф. при х-»хо. Принимая во внимание определение предела функции вточке, определение б. м. ф. можно сформулировать так. Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х -* хо, если для любого £ > 0 существует такое «5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию, верно неравенство Наряду с понятием бесконечно малой функции при х хо вводится понятие бесконечно малой функции при Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х -» оо, если то функция а(х) называется бесконечно малой соответственно при или при Например, функция является бесконечно малой при х -» оо, поскольку lim j = 0. Функция а(х) = е~х естьбесконечно малая функция при х-* +оо, так как В дальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мы будем, как правило, рассматривать только применительнок случаю предела функции в точке, предоставляя читателю самому сформулировать соответствующие понятия и доказать аналогичные теоремы дня случаев, когда Свойства бесконечно малых функций Теорема 5. Если а{х) и Р(х) - б. м. ф. при х -* хо, то их сумма а(х) + Р(х) есть также б.м. ф. при х -» хо. 4 Возьмем любое е > 0. Так как а(х) - б.м.ф. при х -* хо, то найдется «51 > 0 такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство По условию Р{х) также б.м.ф. при х хо, поэтому найдется такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство Положим 6 = min{«5j, 62}. Тогда для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому Это означает, что сумма а(х) +/3(х) есть б.м.ф. при х xq. Замечание. Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа функций, б. м. при х zo. Теорема б (произведение б. м. ф. на ограниченную функцию). Если функция а(х) является б. м. ф. при х -* х0, а функция f(x) ограничена в окрестности точки Хо, то произведение а(х)/(х) есть б. м. ф. при х -» х0. По условию функция /(х) ограничена в окрестности точки х0. Это означает, что существуют такие числа 0 и М > 0, что Возьмем любое е > 0. Так как по условию, то найдется такое 62 > 0, что для всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х - xol , будет верно неравенство Положим я всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х - х0|, будут одновременно верны неравенства Поэтому Это означает, что произведение а(х)/(х) есть б. м.ф. при Пример. Функцию у = xsin - (рис.12) можно рассматривать как произведение функций a(ar) = х и f(x) = sin j. Функция а(аг) есть б. м. ф. при х - 0, а функция f с помощью трех формул.
Если
зависимость между х и у задана
формулой, разрешенной относительно у,
т.е. имеет вид у = f(x)
, то говорят, что функция от х задана в
явном виде, например,.
Если же значения х и у связаны некоторым
уравнением видаF(x,y)
= 0, т.е. формула не разрешена относительно
у, то говорят, что функция задана неявно.
Например,.
Заметим, что не всякую неявную функцию
можно представить в виде у =f(x),
наоборот, любую явную функцию всегда
можно представить в виде неявной:
.
Еще одна разновидность аналитического
задания функции – параметрическое,
когда аргумент х и функция у являются
функциями третьей величины – параметраt:
,
где
,
Т – некоторый промежуток. Такой способ
широко применяется в механике, в
геометрии.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функции. Компактность, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа, возможность вычисления значений функции при любых значениях аргумента – его основные преимущества.
4. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например, функция Е(х) – целая часть числа х, функция Дирихле, функция Римана,n!,r(n) – число делителей натурального числаn.
5. Полуграфический способ. Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента – в виде чисел, проставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, в термометре есть шкала с равными делениями, у которых проставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.
Сделаем ряд разъяснительных замечаний по поводу задания функции аналитическим выражением или формулой, которые играют в математическом анализе исключительно важную роль.
1° Прежде всего, какие аналитические операции или действия могут входить в эти формулы? На первом месте здесь разумеются все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии операции: арифметические действия, возвышение в степень (и извлечение корня), логарифмирование, переход от углов к их тригонометрическим величинам и обратно [см. ниже 48 - 51]. Однако, и это важно подчеркнуть, к их числу по мере развития наших сведений по анализу будут присоединяться и другие операции, в первую голову - предельный переход, с которым читатель уже знаком из главы I.
Таким образом, полное содержание термина «аналитическое выражение» или «формула» будет раскрываться лишь постепенно.
2° Второе замечание относится к области определения функции аналитическим выражением или формулой.
Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент х, имеет, так сказать, естественную область применения: это множество всех тех значений х, для которых оно сохраняет смысл, т. е. имеет вполне определенное, конечное, вещественное значение. Разъясним это на простейших примерах.
Так, для выражения такой областью будет все множество вещественных чисел. Для выражения эта область сведется к замкнутому промежутку за пределами которого значение его перестает быть вещественным. Напротив, выражению придется в качестве естественной области применения отнести открытый промежуток ибо на концах его знаменатель обращается в 0. Иногда область значений, для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для это будут промежутки для - промежутки и т. д.
В качестве последнего примера рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии
Если то, как мы знаем , этот предел существует и имеет значение . При предел либо равен либо вовсе не существует. Таким образом, для приведенного аналитического выражения естественной областью применения будет открытый промежуток
В последующем изложении нам придется рассматривать как более сложные, так и более общие аналитические выражения, и мы не раз будем заниматься исследованием свойств функций, задаваемых подобным выражением во всей области, где оно сохраняет смысл, т. е. изучением самого аналитического аппарата.
Однако возможно и другое положение вещей, на что мы считаем нужным заранее обратить внимание читателя. Представим себе, что какой-либо конкретный вопрос, в котором переменная х по существу дела ограничена областью изменения X, привел к рассмотрению функции допускающей аналитическое выражение. Хотя может случиться, что это выражение имеет смысл и вне области X, выходить за ее пределы, разумеется, все же нельзя. Здесь аналитическое выражение играет подчиненную, вспомогательную роль.
Например, если, исследуя свободное падение тяжелой точки с высоты над поверхностью земли, мы прибегнем к формуле
То нелепо было бы рассматривать отрицательные значения t или значения большие, чем ибо, как легко видеть, при точка уже упадет на землю. И это несмотря на то, что само выражение - сохраняет смысл для всех вещественных .
3° Может случиться, что функция определяется не одной и той же формулой для всех значений аргумента, но для одних - одной формулой, а для других - другой. Примером такой функции в промежутке может служить функция, определяемая следующими тремя формулами:
и, наконец, если .
Упомянем еще о функции Дирихле (P. G. Lejeune-Dinchlet), которая определяется так:
Наконец, вместе с Кронекером (L. Kroneckcf) рассмотрим функцию, которую он назвал «сигнум и обозначил через
Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов
Существуют следующие способы задания функции y = f(x) :
При явном способе , значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой - выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.
Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x
и зависимой переменной y
:
;
;
.
При интервальном способе задания функции , область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.
Вот несколько примеров интервального способа задания функции:
При параметрическом способе
, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x
и y
как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)
Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t
:
Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:
А можно и так:
Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных »). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x
и y
две функции и .
Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.
Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a
и b
можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.
Уравнения (1) - это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и .
Тогда задание функции будет выглядеть так:
Здесь появляется дополнительное уравнение ,
связывающее параметры. Если число параметров равно n
,
то должно быть n - 1
дополнительных уравнений.
Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби ». Там решение ищется в следующем виде:
(2)
.
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t
.
После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .
При неявном способе , значения функции определяется из решения уравнения .
Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3)
.
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, ,
то можно выразить переменную y
как функцию от x
явным способом:
(4)
.
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную ,
удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.
Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда , составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.
Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд степенных функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5)
.
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике для вычисления значений функций, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.
В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):
.
В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.
При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему значению. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .
Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x
линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь - значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при .
Из таблицы находим:
.
Тогда
.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.
Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.
При графическом способе , значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат - зависимой.
Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных науках.
