Schody. Grupa wejściowa. Przybory. Drzwi. Zamki Projekt

Rozważmy przykład: rozwiąż nierówność (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Zauważ, że 4 = (0,5) 2 . Wtedy nierówność przyjmie postać (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Otrzymujemy: 7 - 3*x>-2.

Stąd: x<3.

Odpowiedź: x<3.

Gdyby podstawa nierówności była większa od jedności, to przy pozbywaniu się podstawy nie byłoby potrzeby zmiany znaku nierówności.

Na tej lekcji przyjrzymy się różnym nierównościom wykładniczym i nauczymy się, jak je rozwiązywać, w oparciu o technikę rozwiązywania najprostszych nierówności wykładniczych

1. Definicja i własności funkcji wykładniczej

Przypomnijmy definicję i podstawowe własności funkcji wykładniczej. To na właściwościach leży rozwiązanie wszystkiego równania wykładnicze i nierówności.

Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawa jest stopniem, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y jest zmienną zależną, funkcją.

Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej

Wykres przedstawia wykładniki rosnące i malejące, ilustrując funkcję wykładniczą o podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej niż zero.

Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)

Własności funkcji wykładniczej:

Zakres: ;

Zakres wartości: ;

Funkcja jest monotoniczna, rośnie wraz z, maleje wraz z.

Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości podając wartość pojedynczego argumentu.

Kiedy , gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera włącznie do plus nieskończoności, tj. dla danych wartości argumentu mamy funkcję rosnącą monotonicznie (). Przeciwnie, gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja maleje od nieskończoności do zera włącznie, czyli dla danych wartości argumentu mamy funkcję malejącą monotonicznie ().

2. Najprostsze nierówności wykładnicze, metoda rozwiązania, przykład

Na podstawie powyższego przedstawiamy metodę rozwiązywania prostych nierówności wykładniczych:

Technika rozwiązywania nierówności:

Wyrównaj podstawy stopni;

Porównaj wskaźniki, utrzymując lub zmieniając znak nierówności na przeciwny.

Rozwiązanie złożonych nierówności wykładniczych zwykle polega na sprowadzeniu ich do najprostszych nierówności wykładniczych.

Podstawa stopnia jest większa od jedności, co oznacza, że ​​znak nierówności zostaje zachowany:

Przekształćmy prawą stronę zgodnie z właściwościami stopnia:

Podstawa stopnia jest mniejsza niż jeden, znak nierówności należy odwrócić:

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, rozwiązujemy odpowiednie równanie kwadratowe:

Korzystając z twierdzenia Viety, znajdujemy pierwiastki:

Gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Mamy zatem rozwiązanie nierówności:

Łatwo zgadnąć, że prawą stronę można przedstawić jako potęgę z wykładnikiem zerowym:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności się nie zmienia, otrzymujemy:

Przypomnijmy technikę rozwiązywania takich nierówności.

Rozważ funkcję ułamkowo-wymierną:

Znajdujemy dziedzinę definicji:

Znajdowanie pierwiastków funkcji:

Funkcja ma jeden pierwiastek,

Wybieramy przedziały znaku stałego i wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale:

Ryż. 2. Przedziały stałości znaku

W ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź.

Odpowiedź:

3. Rozwiązywanie standardowych nierówności wykładniczych

Rozważmy nierówności z tymi samymi wskaźnikami, ale różnymi podstawami.

Jedną z właściwości funkcji wykładniczej jest to, że dla dowolnej wartości argumentu przyjmuje ona wartości ściśle dodatnie, co oznacza, że ​​można ją podzielić na funkcję wykładniczą. Podzielmy podaną nierówność przez jej prawą stronę:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności zostaje zachowany.

Zilustrujmy rozwiązanie:

Rysunek 6.3 przedstawia wykresy funkcji i . Oczywiście, gdy argument jest większy od zera, wykres funkcji jest wyższy, funkcja ta jest większa. Gdy wartości argumentów są ujemne, funkcja spada, jest mniejsza. Jeśli argument jest równy, funkcje są równe, co oznacza, że ​​ten punkt jest również rozwiązaniem danej nierówności.

Ryż. 3. Ilustracja na przykład 4

Przekształćmy podaną nierówność ze względu na własności stopnia:

Oto kilka podobnych terminów:

Podzielmy obie części na:

Teraz kontynuujemy rozwiązanie podobnie jak w przykładzie 4, dzieląc obie części przez:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności pozostaje:

4. Graficzne rozwiązanie nierówności wykładniczych

Przykład 6 – Rozwiąż nierówność graficznie:

Przyjrzyjmy się funkcjom po lewej i prawej stronie i zbudujmy wykres dla każdej z nich.

Funkcja jest wykładnicza i rośnie w całej swojej dziedzinie definicji, tj. Dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Funkcja jest liniowa i maleje w całej swojej dziedzinie definicji, czyli dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Jeśli te funkcje się przecinają, czyli układ ma rozwiązanie, to rozwiązanie takie jest unikalne i można je łatwo odgadnąć. Aby to zrobić, iterujemy po liczbach całkowitych ()

Łatwo zauważyć, że korzeniem tego układu jest:

Zatem wykresy funkcji przecinają się w punkcie z argumentem równym jeden.

Teraz musimy uzyskać odpowiedź. Znaczenie danej nierówności jest takie, że wykładnik musi być większy lub równy funkcji liniowej, to znaczy być wyższy lub z nią pokrywać się. Odpowiedź jest oczywista: (rysunek 6.4)

Ryż. 4. Ilustracja przykładowa 6

Przyjrzeliśmy się więc rozwiązaniu różnych standardowych nierówności wykładniczych. Następnie przejdziemy do rozważenia bardziej złożonych nierówności wykładniczych.

Referencje

Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Matematyka. md. Matematyka-powtórka. kom. Różnić się. kemsu. ru.

Praca domowa

1. Algebra i początki analizy, klasy 10-11 (A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Rozwiąż nierówność:

3. Rozwiąż nierówność.

Równania i nierówności wykładnicze to takie, w których niewiadoma jest zawarta w wykładniku.

Rozwiązywanie równań wykładniczych często sprowadza się do rozwiązania równania a x = a b, gdzie a > 0, a ≠ 1, x jest niewiadomą. Równanie to ma jeden pierwiastek x = b, ponieważ prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Jeśli a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2.

Uzasadnijmy rozważane stwierdzenie.

Załóżmy, że nie zachodzi równość x 1 = x 2, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, zatem funkcja wykładnicza y = a x rośnie i dlatego musi być spełniona nierówność a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >x2. W obu przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem a x 1 = a x 2.

Rozważmy kilka problemów.

Rozwiąż równanie 4 ∙ 2 x = 1.

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie w postaci 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, z czego otrzymamy x + 2 = 0, tj. x = -2.

Odpowiedź. x = -2.

Rozwiąż równanie 2 3x ∙ 3 x = 576.

Rozwiązanie.

Ponieważ 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, równanie można zapisać jako 8 x ∙ 3 x = 24 2 lub jako 24 x = 24 2.

Stąd otrzymujemy x = 2.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiąż równanie 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Rozwiązanie.

Biorąc wspólny czynnik 3 x - 2 z nawiasów po lewej stronie, otrzymujemy 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

skąd 3 x - 2 = 1, tj. x – 2 = 0, x = 2.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiąż równanie 3 x = 7 x.

Rozwiązanie.

Ponieważ 7 x ≠ 0, równanie można zapisać jako 3 x /7 x = 1, skąd (3/7) x = 1, x = 0.

Odpowiedź. x = 0.

Rozwiąż równanie 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Rozwiązanie.

Zastępując 3 x = a, równanie to sprowadza się do równanie kwadratowe za 2 – 4a – 45 = 0.

Rozwiązując to równanie, znajdujemy jego pierwiastki: a 1 = 9 i 2 = -5, skąd 3 x = 9, 3 x = -5.

Równanie 3 x = 9 ma pierwiastek 2, a równanie 3 x = -5 nie ma pierwiastków, ponieważ funkcja wykładnicza nie może przyjmować wartości ujemnych.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych często sprowadza się do rozwiązania nierówności a x > a b lub a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Spójrzmy na niektóre problemy.

Rozwiąż nierówność 3 x< 81.

Rozwiązanie.

Zapiszmy nierówność w postaci 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, to funkcja y = 3 x rośnie.

Dlatego dla x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Zatem w x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odpowiedź. X< 4.

Rozwiąż nierówność 16 x +4 x – 2 > 0.

Rozwiązanie.

Oznaczmy 4 x = t, wówczas otrzymamy nierówność kwadratową t2 + t – 2 > 0.

Ta nierówność zachodzi dla t< -2 и при t > 1.

Ponieważ t = 4 x, otrzymujemy dwie nierówności 4 x< -2, 4 х > 1.

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ 4 x > 0 dla wszystkich x € R.

Drugą nierówność zapisujemy w postaci 4 x > 4 0, skąd x > 0.

Odpowiedź. x > 0.

Rozwiąż graficznie równanie (1/3) x = x – 2/3.

Rozwiązanie.

1) Zbudujmy wykresy funkcji y = (1/3) x i y = x – 2/3.

2) Na podstawie naszego rysunku możemy stwierdzić, że wykresy rozważanych funkcji przecinają się w punkcie z odciętą x ≈ 1. Sprawdzenie to potwierdza

x = 1 jest pierwiastkiem tego równania:

(1/3) 1 = 1/3 i 1 – 2/3 = 1/3.

Innymi słowy, znaleźliśmy jeden z pierwiastków równania.

3) Znajdźmy inne korzenie lub udowodnijmy, że ich nie ma. Funkcja (1/3) x maleje, a funkcja y = x – 2/3 rośnie. Dlatego dla x > 1 wartości pierwszej funkcji są mniejsze niż 1/3, a drugiej – większe niż 1/3; o x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odpowiedź. x = 1.

Zauważmy, że w szczególności z rozwiązania tego problemu wynika, że ​​nierówność (1/3) x > x – 2/3 jest spełniona dla x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.