SEKWENCJE NUMERYCZNE VI
§ 144. Suma wyrazów ciągu arytmetycznego
Mówią, że pewnego dnia nauczycielka w szkole podstawowej, chcąc zająć klasę przez dłuższy czas samodzielną pracą, postawiła dzieciom „trudne” zadanie – obliczenie sumy wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.
Jeden ze studentów natychmiast zaproponował rozwiązanie. Oto ona:
1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101
= 101 50 = 5050.
50 razy
Był to Carl Gauss, późniejszy jeden z najsłynniejszych matematyków na świecie*.
*Podobny przypadek z Gaussem rzeczywiście miał miejsce. Jednak tutaj jest to znacznie uproszczone. Liczby zaproponowane przez nauczyciela były pięciocyfrowe i tworzyły ciąg arytmetyczny z trzycyfrową różnicą.
Ideę takiego rozwiązania można wykorzystać do znalezienia sumy wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego.
Lemat. Suma dwóch wyrazów skończonego postępu arytmetycznego, znajdujących się w równej odległości od końców, jest równa sumie wyrazów skrajnych.
Na przykład w skończonym postępie arytmetycznym
1, 2, 3.....98, 99, 100
wyrazy 2 i 99, 3 i 98, 4 i 97 itd. są w równej odległości od końców tego ciągu. Dlatego ich sumy 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 są równe sumie skrajnych wyrazów 1 + 100.
Dowód lematu. Niech skończony postęp arytmetyczny
A 1 , A 2 , ..., A N - 1 , A N
dowolne dwa elementy są jednakowo oddalone od końców. Załóżmy, że jeden z nich tak k termin po lewej stronie, tj A k , a drugi - k czyli piąty wyraz po prawej stronie A N -k+ 1. Następnie
A k + A N -k+ 1 =[A 1 + (k - 1)D ] + [A 1 + (p - k )D ] = 2A 1 + (N - 1)D .
Suma skrajnych wyrazów tego postępu jest równa
A 1 + A N = A 1 + [A 1 + (N - 1)D ] = 2A 1 + (N - 1)D .
Zatem,
A k + A N -k+ 1 = A 1 + A N
co było do okazania
Korzystając ze sprawdzonego lematu, łatwo jest otrzymać ogólny wzór na sumę N elementy dowolnego postępu arytmetycznego.
S N = A 1 +A 2 + ...+ A N - 1 + A N
S N = A N + A N - 1 + ... + A 2 + A 1 .
Dodając te dwie równości termin po wyrazie, otrzymujemy:
2S N = (A 1 +A N ) + (A 2 +A N - 1)+...+(A N - 1 +A 2) + (A N +A 1)
A 1 +A N = A 2 +A N - 1 = A 3 +A N - 2 =... .
2S N = N (A 1 +A N ),
Suma wyrazów skończonego postępu arytmetycznego jest równa iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów i liczby wszystkich wyrazów.
Zwłaszcza,
Ćwiczenia
971. Znajdź sumę wszystkich nieparzystych liczb trzycyfrowych.
972. Ile uderzeń zegar wybije w ciągu dnia, jeśli będzie wybijał tylko pełne godziny?
973. Jaka jest suma pierwszego N liczby liczb naturalnych?
974. Wyprowadź wzór na długość drogi przebytej przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
Gdzie w 0 - prędkość początkowa w m/sek , A - przyspieszenie w m/sek 2 , T - czas podróży w sek.
975. Znajdź sumę wszystkich nieredukowalnych ułamków o mianowniku 3 pomiędzy dodatnimi liczbami całkowitymi T I N (T< п ).
976. Robotnik konserwuje 16 automatycznych krosien. Produktywność każdej maszyny A m/godz. Robotnik włączył pierwszą maszynę o godzinie 7 H, a każdy następny o 5 min później niż poprzednio. Sprawdź produkcję w metrach dla pierwszych 2 sztuk H praca.
977. Rozwiązuj równania:
a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;
B) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155
978. Od 1 lipca do 12 lipca włącznie temperatura powietrza rosła codziennie średnio o 1/2 stopnia. Wiedząc, że średnia temperatura w tym czasie wyniosła 18 3/4 stopnia, określ, jaka była temperatura powietrza 1 lipca.
979. Znajdź postęp arytmetyczny, którego średnia arytmetyczna wynosi N pierwsze warunki dla każdego N równa ich liczbie.
980. Znajdź sumę pierwszych dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym
A 6 + A 9 + A 12 + A 15 = 20.
Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.
Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.
Postęp arytmetyczny lub algebraiczny to zbiór uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy wyraz różni się od poprzedniego pewną stałą wartością. Wartość tę nazywa się różnicą. Oznacza to, że znając dowolny element uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz przywrócić cały postęp arytmetyczny.
Podajmy przykład. Następujący ciąg liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać rozważanemu rodzajowi progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Przedstawmy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem postępu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem n n-ty człon ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Różnicę oznaczamy łacińską literą d. Wówczas obowiązują następujące wyrażenia:
Aby zrozumieć przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniami w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy tego typu opierają się na ich zastosowaniu. Należy także pamiętać, że różnicę progresji wyznacza wzór: d = a n - a n-1.
Podajmy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzorów, których należy użyć, aby go rozwiązać.
Niech zostanie podana sekwencja 10, 8, 6, 4, ..., musisz znaleźć w niej pięć terminów.
Z warunków zadania wynika już, że znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:
Jak widać oba rozwiązania doprowadziły do tego samego rezultatu. Należy zauważyć, że w tym przykładzie różnica progresji d ma wartość ujemną. Takie ciągi nazywane są malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.
Teraz skomplikujmy trochę zadanie, podajmy przykład, jak to zrobić
Wiadomo, że w niektórych pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Konieczne jest znalezienie różnicy i przywrócenie tej sekwencji do siódmego wyrazu.
Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.
Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.
Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.
Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (za 5 - za 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.
Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.
Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.
Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.
Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).
Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.
Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.
Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?
Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Problem można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę na fakt, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * ( za 1 + za n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.
Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .
Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.
Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:
Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku włączenia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.
Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.
Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.
Typ lekcji: nauka nowego materiału.
Cele lekcji:
Zadania:
Sprzęt:
I. Aktualizacja wiedzy podstawowej.
1. Samodzielna praca w parach.
Pierwsza opcja:
Zdefiniuj postęp arytmetyczny. Zapisz powtarzającą się formułę definiującą postęp arytmetyczny. Proszę podać przykład postępu arytmetycznego i wskazać jego różnicę.
druga opcja:
Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź setny wyraz ciągu arytmetycznego ( jakiś}: 2, 5, 8 …
W tym czasie dwóch uczniów znajdujących się z tyłu tablicy przygotowuje odpowiedzi na te same pytania.
Uczniowie oceniają pracę swojego partnera, sprawdzając go na tablicy. (Arkusze z odpowiedziami są wręczane.)
2. Moment gry.
Zadanie 1.
Nauczyciel. Pomyślałem o pewnym postępie arytmetycznym. Zadaj mi tylko dwa pytania, aby po odpowiedziach móc szybko wymienić 7. człon tej progresji. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Pytania od uczniów.
Jeśli nie ma już pytań, nauczyciel może je pobudzić - „zakaz” d (różnicy), to znaczy nie wolno pytać, ile wynosi różnica. Można zadawać pytania: jaki jest szósty wyraz progresji i jaki jest ósmy wyraz progresji?
Zadanie 2.
Na tablicy zapisanych jest 20 liczb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Nauczyciel stoi tyłem do tablicy. Uczniowie wywołują numer, a nauczyciel natychmiast wywołuje ten numer. Wyjaśnij, jak mogę to zrobić?
Nauczyciel zapamiętuje wzór na n-ty wyraz zan = 3n – 2 i zastępując określone wartości n, znajduje odpowiednie wartości jakiś.
II. Ustalenie zadania edukacyjnego.
Proponuję rozwiązać starożytny problem, którego początki sięgają II tysiąclecia p.n.e., znaleziony w egipskich papirusach.
Zadanie:„Niech wam powiedzą: podzielcie 10 miar jęczmienia pomiędzy 10 osób, a różnica między każdą osobą a jej sąsiadem wynosi 1/8 miary”.
Cel lekcji– uzyskanie zależności sumy wyrazów ciągu od ich liczby, pierwszego wyrazu i różnicy oraz sprawdzenie, czy zadanie zostało poprawnie rozwiązane w starożytności.
Zanim wydedukujemy wzór, zobaczmy, jak starożytni Egipcjanie rozwiązali ten problem.
I rozwiązali to w następujący sposób:
1) 10 miar: 10 = 1 miara – udział średni;
2) 1 miara ∙ = 2 miary – podwojona przeciętny udział.
Podwojone przeciętny udział jest sumą udziałów piątej i szóstej osoby.
3) 2 miary – 1/8 miarki = 1 7/8 miarki – podwójna część piątej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – ułamek piąty; i tak dalej, możesz znaleźć udział każdej poprzedniej i kolejnej osoby.
Otrzymujemy sekwencję:
III. Rozwiązanie problemu.
1. Pracuj w grupach
Grupa I: Znajdź sumę 20 kolejnych liczb naturalnych: S 20 =(20+1)∙10 =210.
Zazwyczaj 
II grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 (Legenda Małego Gaussa).
S 100 = (1+100)∙50 = 5050
Wniosek:
III grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 21.
Rozwiązanie: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Wniosek:
grupa IV: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 101.
Wniosek:
Ta metoda rozwiązywania rozważanych problemów nazywana jest „metodą Gaussa”.
2. Każda grupa przedstawia na tablicy rozwiązanie problemu.
3. Uogólnienie proponowanych rozwiązań dla dowolnego ciągu arytmetycznego:
za 1, za 2, za 3,…, za n-2, za n-1, za n.
S n = za 1 + za 2 + za 3 + za 4 +…+ za n-3 + za n-2 + za n-1 + za n.
Znajdźmy tę sumę, korzystając z podobnego rozumowania:
4. Czy rozwiązaliśmy problem?(Tak.)
IV. Podstawowe zrozumienie i zastosowanie uzyskanych wzorów przy rozwiązywaniu problemów.
1. Sprawdzenie rozwiązania starożytnego problemu za pomocą wzoru.
2. Zastosowanie wzoru do rozwiązywania różnych problemów.
3. Ćwiczenia rozwijające umiejętność stosowania formuł przy rozwiązywaniu problemów.
A) Nr 613
Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
(a n): 1, 2, 3, …, 1500
Znajdować: S1500
Rozwiązanie: , za 1 = 1 i 1500 = 1500,
B) Biorąc pod uwagę: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210
Znajdować: N
Rozwiązanie:
V. Samodzielna praca z wzajemną weryfikacją.
Denis rozpoczął pracę jako kurier. W pierwszym miesiącu jego pensja wynosiła 200 rubli, w każdym kolejnym zwiększała się o 30 rubli. Ile łącznie zarobił w ciągu roku?
Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Znajdować: S 12
Rozwiązanie:
Odpowiedź: Denis otrzymał za rok 4380 rubli.
VI. Instrukcja pracy domowej.
VII. Podsumowanie lekcji.
1. Arkusz wyników
2. Kontynuuj zdania
3. Czy potrafisz znaleźć sumę liczb od 1 do 500? Jakiej metody użyjesz, aby rozwiązać ten problem?
Referencje.
1. Algebra, klasa 9. Podręcznik dla placówek oświaty ogólnokształcącej. wyd. G.V. Dorofejewa. M.: „Oświecenie”, 2009.
Suma postępu arytmetycznego jest rzeczą prostą. Zarówno w znaczeniu, jak i formule. Ale jest wiele zadań na ten temat. Od podstawowego po całkiem solidny.
Najpierw zrozumiemy znaczenie i formułę kwoty. I wtedy podejmiemy decyzję. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie kwoty jest proste jak muu. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, wystarczy dokładnie dodać wszystkie jego wyrazy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz dodać je bez żadnych formuł. Ale jeśli jest tego dużo, albo bardzo dużo... dodawanie jest denerwujące.) W tym przypadku na ratunek przychodzi formuła.
Wzór na kwotę jest prosty:
Zastanówmy się, jakie litery są zawarte we wzorze. To wiele wyjaśni.
S n - suma postępu arytmetycznego. Wynik dodania wszyscy członkowie, z Pierwszy Przez ostatni. To jest ważne. Dokładnie się sumują Wszystko członków z rzędu, bez pomijania i pomijania. A dokładnie zaczynając od Pierwszy. W przypadku problemów takich jak znalezienie sumy wyrazów trzeciego i ósmego lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego bezpośrednie zastosowanie wzoru rozczaruje.)
1 - Pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste Pierwszy numer wiersza.
jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer serii. Niezbyt znana nazwa, ale zastosowana do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy zobaczysz sam.
N - numer ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że we wzorze jest to liczba pokrywa się z liczbą dodanych terminów.
Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Podchwytliwe pytanie: który członek będzie ostatni jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?)
Aby odpowiedzieć pewnie, trzeba zrozumieć elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i… uważnie przeczytać zadanie!)
W zadaniu znalezienia sumy ciągu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które należy ograniczyć. W przeciwnym razie ostateczna, konkretna kwota po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, czy dany jest postęp: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak to zostanie podane: ciąg liczb, czy wzór na n-ty wyraz.
Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego wyrazu progresji do wyrazu z liczbą N. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda następująco: suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. N, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak… Ale nieważne, w poniższych przykładach ujawniamy te tajemnice.)
Na początek przydatne informacje:
Główna trudność w zadaniach polegających na sumie postępu arytmetycznego polega na prawidłowym określeniu elementów wzoru.
Autorzy zadań szyfrują te właśnie elementy z nieograniczoną wyobraźnią.) Najważniejsze tutaj to nie bać się. Rozumiejąc istotę elementów, wystarczy je po prostu rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.
1. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów.
Dobra robota. Łatwe.) Co musimy wiedzieć, aby określić kwotę za pomocą wzoru? Pierwszy członek 1, ostatnia kadencja jakiś, tak, numer ostatniego członka N.
Gdzie mogę zdobyć numer ostatniego członka? N? Tak, właśnie tam, pod warunkiem! Mówi: znajdź sumę pierwszych 10 członków. No właśnie, z jakim numerem to będzie? ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego liczba jest dziesiąta!) Dlatego zamiast jakiś podstawimy do wzoru 10 i zamiast tego N- dziesięć. Powtarzam, liczba ostatniego członka pokrywa się z liczbą członków.
Pozostaje ustalić 1 I 10. Można to łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz podanego w opisie problemu. Nie wiesz jak to zrobić? Weź udział w poprzedniej lekcji, bez tego nie ma mowy.
1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Ustaliliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę postępu arytmetycznego. Pozostaje tylko je zastąpić i policzyć:
To wszystko. Odpowiedź: 75.
Kolejne zadanie w oparciu o GIA. Trochę bardziej skomplikowane:
2. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (an), którego różnica wynosi 3,7; a1 =2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów.
Natychmiast zapisujemy formułę sumy:
Formuła ta pozwala nam znaleźć wartość dowolnego terminu na podstawie jego liczby. Szukamy prostego podstawienia:
za 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Pozostaje tylko podstawić wszystkie elementy do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:
Odpowiedź: 423.
Nawiasem mówiąc, jeśli w formule sumy zamiast jakiś Po prostu zastępujemy wzór n-tym wyrazem i otrzymujemy:
Przedstawmy podobne i uzyskajmy nowy wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
 |
Jak widać, n-ty wyraz nie jest tutaj wymagany jakiś. W niektórych problemach ta formuła bardzo pomaga, tak... Pamiętasz tę formułę. Możesz też po prostu wyświetlić go we właściwym czasie, jak tutaj. W końcu zawsze trzeba pamiętać wzór na sumę i wzór na n-ty wyraz.)
Teraz zadanie w formie krótkiego szyfrowania):
3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.
Wow! Ani twój pierwszy członek, ani ostatni, ani w ogóle żaden postęp... Jak żyć!?
Trzeba będzie pomyśleć z głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy postępu arytmetycznego. Wiemy, co to są liczby dwucyfrowe. Składają się z dwóch liczb.) Jaka będzie liczba dwucyfrowa Pierwszy? 10, prawdopodobnie.) A ostatni liczba dwucyfrowa? 99, oczywiście! Za nim pójdą trzycyfrowe...
Wielokrotność trzech... Hm... To są liczby podzielne przez trzy, proszę! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! Zatem coś się pojawia. Można już zapisać szereg zgodnie z warunkami zadania:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Czy ten szereg będzie postępem arytmetycznym? Z pewnością! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle trzema. Jeśli dodasz 2 lub 4 do terminu, powiedzmy, wynik, tj. nowa liczba nie jest już podzielna przez 3. Możesz od razu określić różnicę ciągu arytmetycznego: d = 3. Przyda się!)
Możemy więc spokojnie zapisać niektóre parametry progresji:
Jaki będzie numer? N ostatni członek? Każdy, kto uważa, że 99 to fatalna pomyłka... Liczby zawsze idą w rzędzie, ale nasi członkowie przeskakują powyżej trzech. Nie pasują.
Istnieją tutaj dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów jest superpracowitość. Możesz zapisać progresję, całą serię liczb i policzyć palcem liczbę członków.) Drugi sposób jest dla myślących. Trzeba zapamiętać wzór na n-ty wyraz. Jeśli zastosujemy wzór do naszego problemu, okaże się, że 99 jest trzydziestym wyrazem progresji. Te. n = 30.
Spójrzmy na wzór na sumę postępu arytmetycznego:
Patrzymy i cieszymy się.) Wyciągnęliśmy z zestawienia problemu wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty:
1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Pozostaje tylko elementarna arytmetyka. Podstawiamy liczby do wzoru i obliczamy:
Odpowiedź: 1665
Inny rodzaj popularnej łamigłówki:
4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Znajdź sumę wyrazów od dwudziestego do trzydziestu czterech.
Patrzymy na wzór na kwotę i... denerwujemy się.) Wzór, przypomnę, oblicza kwotę od pierwszego członek. A w zadaniu musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie będzie działać.
Można oczywiście całą progresję rozpisać w serii i dodać wyrazy od 20 do 34. Ale… to jakoś głupie i zajmuje dużo czasu, prawda?)
Istnieje bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszego semestru do XIX. Część druga - od dwudziestu do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę wyrazów pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy wyrazów drugiej części S 20-34, otrzymujemy sumę progresji od pierwszego wyrazu do trzydziestego czwartego S 1-34. Tak:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Z tego widzimy, że znajdujemy sumę S 20-34 można wykonać poprzez proste odejmowanie
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Uwzględniane są obie kwoty po prawej stronie od pierwszego członek, tj. standardowy wzór na sumę ma do nich całkiem zastosowanie. Zacznijmy?
Wyodrębniamy parametry progresji ze stwierdzenia problemu:
d = 1,5.
1= -21,5.
Aby obliczyć sumę pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19 i 34 wyrazów. Obliczamy je korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, jak w zadaniu 2:
19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nic nie zostało. Od sumy 34 wyrazów odejmij sumę 19 wyrazów:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odpowiedź: 262,5
Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna sztuczka pozwalająca rozwiązać ten problem. Zamiast bezpośrednich obliczeń czego potrzebujesz (S 20-34), liczyliśmy coś, co wydawałoby się nie potrzebne - S 1-19. A potem ustalili S 20-34, odrzucając niepotrzebne z pełnego wyniku. Ten rodzaj „zwodu za pomocą uszu” często ratuje cię przed niegodziwymi problemami).
Na tej lekcji przyjrzeliśmy się problemom, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy postępu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)
Praktyczne porady:
Przy rozwiązywaniu dowolnego problemu dotyczącego sumy postępu arytmetycznego zalecam natychmiastowe wypisanie dwóch głównych wzorów z tego tematu.
Wzór na n-ty wyraz:
Te formuły od razu podpowiedzą Ci, czego szukać i w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. Pomaga.
A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.
5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.
Super?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do zadania 4. Cóż, zadanie 3 pomoże.
6. Postęp arytmetyczny wyraża warunek: a 1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 wyrazów.
Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Przeczytałeś o tym w poprzedniej lekcji. Nie ignoruj linku, takie problemy często występują w Państwowej Akademii Nauk.
7. Vasya zaoszczędziła pieniądze na wakacje. Aż 4550 rubli! I postanowiłem podarować mojej ulubionej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, nie odmawiając sobie niczego. Wydaj 500 rubli pierwszego dnia, a każdego kolejnego dnia wydawaj o 50 rubli więcej niż poprzedni! Dopóki nie skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Wasia?
Trudne?) Pomocna będzie dodatkowa formuła z zadania 2.
Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
W tej lekcji wyprowadzimy wzór na sumę wyrazów skończonego postępu arytmetycznego i rozwiążemy niektóre problemy za pomocą tego wzoru.
Temat: Progresje
Lekcja: Wzór na sumę wyrazów skończonego postępu arytmetycznego
Rozważ problem: znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 włącznie.
Dane: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.
Znajdź: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Rozwiązanie: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.
Odpowiedź: 5050.
Ciąg liczb naturalnych 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 to postęp arytmetyczny: a1=1, d=1.
Znaleźliśmy sumę pierwszych stu liczb naturalnych, czyli sumę pierwszego n terminy postępu arytmetycznego.
Rozważane rozwiązanie zaproponował żyjący w XIX wieku wielki matematyk Carl Friedrich Gauss. Rozwiązał problem w wieku 5 lat.
Informacje historyczne: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) był niemieckim matematykiem, mechanikiem, fizykiem i astronomem. Uważany za jednego z najwybitniejszych matematyków wszechczasów, „króla matematyków”. Laureat Medalu Copleya (1838), członek zagraniczny szwedzkiej (1821) i rosyjskiej (1824) Akademii Nauk oraz Angielskiego Towarzystwa Królewskiego. Legenda głosi, że nauczyciel matematyki w szkole, aby zająć dzieci na dłuższy czas, kazał im policzyć sumę liczb od 1 do 100. Młody Gauss zauważył, że sumy parami z przeciwieństw są takie same: 1+100=101 , 2+99=101 itd. itd. i od razu otrzymałem wynik: 101x50=5050.
Rozważmy podobny problem dla dowolnego postępu arytmetycznego.
Znajdź: sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego.
Pokażmy, że wszystkie wyrażenia w nawiasach są sobie równe, czyli wyrażeniu . Niech d będzie różnicą postępu arytmetycznego. Następnie:
Itd. Dlatego możemy napisać:
Skąd otrzymujemy wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
.
1. Rozwiążmy zadanie sumy liczb naturalnych od 1 do 100 korzystając ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Rozwiązanie: a1=1, d=1, n=100.
Ogólna formuła:
.
W naszym przypadku: .
Odpowiedź: 5050.
Ogólna formuła:
. Znajdźmy n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, korzystając ze wzoru: 
.
W naszym przypadku: .
Aby znaleźć, trzeba najpierw znaleźć.
Można to zrobić za pomocą ogólnego wzoru .Najpierw zastosujemy ten wzór, aby znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego.
To jest 
. Oznacza .
Teraz możemy znaleźć.
Korzystając ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego
, znajdziemy.
Otrzymamy drugi wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, a mianowicie: dowodzimy, że 
.
Dowód:
We wzorze na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego zastąpmy wyrażenie , a mianowicie . Otrzymujemy: , tj. . co było do okazania
Przeanalizujmy otrzymane formuły. Do obliczeń przy użyciu pierwszego wzoru musisz znać pierwszy wyraz, ostatni wyraz i n, korzystając z drugiej formuły - musisz znać pierwszy wyraz, różnicę i n.
Podsumowując, zauważamy, że w każdym przypadku Sn jest funkcją kwadratową n, ponieważ 
.
Ogólna formuła:
.
W naszym przypadku:.
Odpowiedź: 403.
2. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami 4.
(12; 16; 20; …; 96) - zbiór liczb spełniający warunki zadania.
Oznacza to, że mamy postęp arytmetyczny.
n znajdujemy ze wzoru na:.
To jest 
. Oznacza .
Korzystając z drugiego wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego
, znajdziemy.
Musisz znaleźć sumę wszystkich wyrazów od 10 do 25 włącznie.
Jedno z rozwiązań jest następujące:
Stąd, .
W ten sposób wyprowadziliśmy wzory na sumę wyrazów skończonego postępu arytmetycznego. Użyliśmy tych wzorów, aby rozwiązać niektóre problemy.
W następnej lekcji zapoznamy się z charakterystyczną właściwością postępu arytmetycznego.
1. Makarychev Yu. N. i in. Algebra 9. klasa (podręcznik dla liceum) - M.: Edukacja, 1992.
2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra dla 9. klasy z poziomem zaawansowanym. wystudiowany Matematyka.-M.: Mnemosyne, 2003.
3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Dodatkowe rozdziały do podręcznika do algebry dla 9. klasy - M.: Prosveshchenie, 2002.
4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki) - M.: Prosveshchenie, 1996.
5. Mordkovich A.G. Algebra 9. klasa, podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego. - M.: Mnemosyne, 2002.
6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. klasa, książka problemów dla instytucji edukacyjnych. - M.: Mnemosyne, 2002.
7. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Klasy 7-8 (podręcznik nauczyciela). - M.: Edukacja, 1983.
1. Sekcja uniwersytecka. ru z matematyki.
2. Portal Nauk Przyrodniczych.
3. Wykładnia. ru Edukacyjna witryna matematyczna.
1. Nr 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. i in. Algebra 9. klasa).
2. Nr 12.96 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9).
