Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

§ 3.2. .Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

На заряд со стороны электростатического поля действует сила. Поэтому при перемещении заряда в электростатическом поле совершается работа.

Силы электростатического поля являются консервативными, т.е. работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется только положением начальной и конечной точек пути. Покажем это. Пусть точечный заряд +q 0 перемещается в поле неподвижного точечного заряда +q в вакууме из точки 1 в точку 2. Элементарная работа кулоновской силы, действующей на заряд со стороны зарядана путиdl равна dA = F dl cosα. По закону Кулона

,dl cosα = dr. Тогда

. То есть работа определяется только положением точек 1 и 2.

В механике мы определили, что:

консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только координатой начального и конечного положения материальной точки;

поле консервативных сил потенциально.

Для потенциальных полей можно ввести понятия потенциала и разности потенциалов. Обозначаются: потенциал φ, разность потенциалов φ 1 -φ 2 . Измеряются в СИ в вольтах (В).

Потенциал данной точки электростатического поля численно равен работе сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Разность потенциалов φ 1 -φ 2 между точками электростатического поля (1 и 2) численно равна работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2.

Ранее была получена формула для работы поля точечного заряда q по перемещению заряда q 0 из точки 1 в точку 2:

. С другой стороны работа сил любого электростатического поля при перемещении зарядаq 0 из точки 1 в точку 2 равна A 12 = q 0 . (φ 1 -φ 2). Следовательно,

. Отсюда находим выражение для потенциала электростатического поля точечного зарядаq в вакууме:

.

Принцип суперпозиции полей: потенциал электростатического поля, создаваемого системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности

.

Потенциальная энергия заряда q 0 в точке электростатического поля с потенциалом φ: W П = q 0 . φ. Это значит, что потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля.

Электростатическое поле характеризуется двумя величинами: 1) напряженностью (силовая характеристика); 2) потенциалом (энергетическая характеристика). Можно предположить, что эти величины как-то связаны друг с другом. Покажем, что это так.

Работа сил поля по перемещению заряда q 0 на отрезке пути : , где - проекция векторана направление перемещения. С другой стороны, эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда:. Приравнивая правые части выражений для работы поля, получаем, что

, отсюда

, что означает: проекция вектора напряжённости электростатического поля на некоторое произвольное направление равна производной от потенциала по этому направлению с противоположным знаком. Здесь- быстрота изменения потенциала в данном направлении.

В силу произвольности выбора направления, можно записать





, или:

. Эта формула выражает связь напряжённости электростатического поля с потенциалом: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с противоположным знаком. Знак минус означает, что напряжённость поля направлена в сторону убывания потенциала.

Таким образом, если известно значение потенциала φ в каждой точке поля, то можно найти напряжённость в каждой точке поля по формуле

.Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля по формуле

. Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (т.к. работа сил электростатического поля не зависит от формы пути).

Для однородного поля

или

, гдеd – расстояние между точками 1 и 2 вдоль силовой линии.

Для графического изображения электростатического поля также служат поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал.

Эквипотенциальные поверхности проводятся так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была всюду одна и та же. Таким образом, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем больше в данном месте grad φ и, следовательно, больше напряжённость .

Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, т.к. работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, и, следовательно, сила, действующая на заряд перпендикулярна его перемещению.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности – это параллельные плоскости перпендикулярные силовым линиям поля.

При перемещении заряда в электростатическом поле, действующие на заряд кулоновские силы, совершают работу. Пусть заряд q 0 0 перемещается в поле заряда q0 из точки С в точку В вдоль произвольной траектории (рис.1.12). На q 0 действует кулоновская сила

При элементарном перемещении заряда dl , эта сила совер­шает работу dA

Где  - угол между векторами и. Величинаdl cos=dr является про­екцией вектора на направление силы. Таким образом,dA=Fdr, . Полная работа по перемещению заряда из точки С в В определяется интегра­лом, гдеr 1 и r 2 - расстояния заряда q до точек С и В. Из полученной формулы следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда q 0 в поле точеч­ного заряда q, не зависит от формы траектории перемещения, а зависит только от начальной и конечной точки перемещения .

В разделе динамики показано, что поле, удовлетворяющее этому условию, яв­ляется потенциальным. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда - потенциальное , а действующие в нем силы - консервативные .

Если заряды q и q 0 одного знака, то работа сил отталкивания будет положи­тельной при их удалении и отрицательной при их сближении (в последнем случае ра­боту совершают внешние силы). Если заряды q и q 0 разноименные, то работа сил притяжения будет положительной при их сближении и отрицательной при удалении друг от друга (последнем случае работу также совершают внешние силы).

Пусть электростатическое поле, в котором перемещается заряд q 0 , создано сис­темой зарядов q 1 , q 2 ,...,q n . Следовательно, на q 0 действуют независимые силы , равнодействующая которых равна их векторной сумме. Работа А рав­но­действующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил, , гдеr i 1 и r i 2 - начальное и конечное расстояния между зарядами q i и q 0 .

Циркуляция вектора напряженности.

При перемещении заряда по произвольному замкнутому пути L работа сил электростатического поля равна нулю. Поскольку, конечное положение заряда равно начальному r 1 =r 2 , то и(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому пути). Так каки, то. Отсюда получаем. Сократив обе части равенства наq 0 , получим или, гдеE l =Ecos - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения . Интегралназываетсяциркуляцией вектора напряженности . Таким обра­зом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю . Это заключение есть условие потенциаль­ности поля .

Потенциальная энергия заряда.

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поэтому работу A 12 можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q 0 в начальной и конечной точках поля заряда q :

Потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0 .

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна , для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения ) отрицательна .

Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Потенциал электростатического поля.

Отношение не зависит от пробного заряда q0 и является,энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом :

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина , определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

1.7 Связь между напряженностью и потенциалом.

6. Работа при перемещение электрического заряда в электрическом поле

Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью . Если перемещение заряда происходило по линии на пряженности поля на расстояниеAd = d 1 -d 2 (рис. 110), то работа равна

где d 1 и d 2 - расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.

В механике было показано, что при перемещении между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела. Силы гравитационного и электростатического взаимодействия имеют одинаковую зависимость от расстояния, векторы сил направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точечные тела. Отсюда следует, что и при перемещении заряда в электрическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля не зависит от траектории" его движения.

При изменении направления перемещения на 180° работа сил электрического поля, как и работа силы тяжести, изменяет знак на противоположный. Если при перемещении заряда q из точки В в точку С силы электрического поля совершили работу А, то при перемещении заряда q по тому же самому пути из точки С в точку В они совершают работу - А. Но так как работа не зависит от траектории, то и при перемещении по траектории СКВ тоже совершается работа - А. Отсюда следует, что при перемещении заряда сначала из точки В в точку С, а затем из точки С в точку В, т. е. по замкнутой траектории, суммарная работа сил электростатического поля оказывается равной нулю (рие.111).

Работа сил электростатического поля при движении электрического заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями.

7. Понятие о потенциале потенциал поля точечного заряда

Потенциал электростатического поля - скалярная величина, равная отношению потен­циальной энергии заряда в поле к этому заряду:

Энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле.

т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной.

За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора.

Следствие принци­па суперпозиции полей (потенциалы складываютсяалгебраически ).

Потенциал электростатического поля в точке r равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда q", помещенного в данную точку, к величине этого заряда q".

φ - не зависит от q"!

8.Разность потенциалов. Связь между напряженностью и потенциалом

Когда значения этих двух потенциалов не равны друг другу, возникает векторная разность потенциалов воздействия и противодействия. Она определяет направление движения энергоносителей при энергообмене: из среды в систему или в обратном направлении. В отличие от разности потенциалов между средой и равновесной системой, внутри неравновесной системы существует разность локальных потенциалов. Поэтому следует привести два разные определения: 1. Разность потенциалов по отношению к равновесной системе − это разность между потенциалом системы в целом и потенциалом окружающей среды (или потенциалом соседней системы). 2. Разность потенциалов внутри неравновесной системы − это разность между локальными потенциалами подсистем внутри этой системы. Разность потенциалов направлена от большего по значению потенциала к меньшему, ее можно записать в виде ΔР 12 = (Р 1 − Р 2) е 12 , (3) где Р 1 и Р 2 − потенциалы системы или окружающей ее среды; е 12 − орт направления от системы к среде или в обратном направлении. В общем случае нижние индексы можно опустить и применять обозначение ΔР. Разность локальных потенциалов также направлена, ее можно записать в виде ΔР 12 = (Р j1 − Р j2) е 12 , (4) где Р j1 и Р j2 − локальные потенциалы разных подсистем внутри неравновесной системы; е 12 − орт направления от подсистемы 1 к подсистеме 2.

Связь между напряженностью и потенциалом выражает характеристику электрического поля. Причем, если напряженность служит его силовой характеристикой и позволяет определить величину силы, которая действует на заряд в произвольно взятой точке этого поля, то потенциал - его энергетическая характеристика. По потенциалам в различных точках электрополя можем определить величину работы по перемещению заряда используя формулы: A = qU, или A = q(φ₁ - φ₂), где q - величина заряда, U – напряжение между точками поля и φ₁, φ₂ - потенциал точек перемещения. Рассмотрим связь между напряженностью и потенциалом в однозначном электрическом поле. Напряженность Е во всякой точке такого поля одинакова, а значит и сила F, которая действует на единицу заряда, тоже одинакова и равняется Е. Из этого следует, что сила, которая воздействует на заряд q в данном поле, будет равняться F = qE. Если дистанция между двумя точками такого поля, равняется d, то при перемещении заряда совершится работа: A = Fd = gEd = g(φ₁-φ₂), где φ₁-φ₂ -разность потенциалов между точками поля. Отсюда: E= (φ₁-φ₂)/d, т.е. напряженность однородного электрического поля будет равна разности потенциалов, которые приходятся на единицу длины, которую взяли по силовой линии данного поля. На малых расстояниях связь между напряженностью и потенциалом определяется аналогично и в неоднородном поле, так как любое поле между двумя близко расположенными точками можно принимать за однородное.-

9.Электромкость. Конденсатор.

Электрическая емкость конденсатора. Физическая величина, определяемая отношением заряда q одной из пластин конденсатора к напряжению между обкладками конденсатора, называется электроемкостью конденсатора: . При неизменном расположении пластин электроемкость конденсатора является постоянной величиной при любом заряде на пластинах.Единица электроемкости. Единица электроемкости в международной системе -фарад (Ф). Электроемкостью 1 Ф обладает такой конденсатор, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл..

Конденсаторы. Простейшие способы разделения разноименных электрических зарядов - электризация при соприкосновении, электростатическая индукция - позволяют получить на поверхности тел лишь сравнительно небольшое число свободных электрических зарядов. Для накопления значительных количеств разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы. Конденсатор - это система из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор. Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины. Вне пластин напряженность электрического поля равна нулю, так как равные заряды разного знака на двух пластинах создают вне пластин электрические поля, напряженности которых равны по модулю, но противоположны по направлению

10.Электрический диполь

Электрический диполь - система из двух равных по величине, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга.

Расстояние между зарядами называется плечом диполя.

Основной характеристикой диполя является векторная величина, называемая электрическим моментом диполя(P).

На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, которая может перемещать этот заряд. Определим работу А перемещения точечного положительного заряда из точки О в точку совершаемую силами электрического поля отрицательного заряда (рис. 158). По закону Кулона, сила, перемещающая заряд, является переменной и равной

где переменное расстояние между зарядами. Заметим, что по такому же закону (обратной пропорциональности квадрату расстояния) изменяется сила, перемещающая массу в гравитационном поле массы (см. § 17).

Поэтому работа перемещения заряда в электрическом поле (совершаемая электрическими силами) выразится формулой, аналогичной формуле работы перемещения массы в гравитационном поле (совершаемой гравитационными силами):

Формула (19) выводится точно таким же путем, каким была выведена формула (8) в § 17.

Еще проще можно вывести формулу (19) посредством интегрирования:

Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся зарядов величина отрицательна, тогда как работа должна быть положительной, поскольку перемещение заряда происходит в направлении действия силы.

Сопоставляя формулу (19) с общей формулой (4) из § 17, придем к выводу, что величина представляет собой потенциальную энергию заряда в данной точке электрического поля:

Знак минус показывает, что по мере перемещения заряда силами поля его потенциальная энергия убывает, переходя в работу перемещения. Величина

равная потенциальной энергии единичного положительного заряда называется потенциалом электрического поляу или электрическим потенциалом. Электрический потенциал не зависит от величины перемещаемого заряда и потому может служить характеристикой электрического поля, подобно тому, как гравитационный потенциал служит характеристикой гравитационного поля.

Подставив выражение потенциала (21) в формулу работы (19), получим

Полагая получим

Таким образом, разность потенциалов двух точек поля равна работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Переместим теперь заряд (действуя против сил поля) из некоторой точки на бесконечность Тогда, согласно формулам (21) и (23), и

При получим Следовательно, потенциал точки электрического поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

Из формулы (24) установим единицу измерения потенциала, называемую вольтом (В):

т. е. вольт является потенциалом такой точки поля, при перемещении из которой заряда «а бесконечность совершается работа в Размерность потенциала

Теперь, учитывая формулу (25), можно показать, что установленная в § 75 единица измерения напряженности электрического поля действительно равна

Если заряд создающий поле, отрицателен, то силы поля препятствуют перемещению единичного положительного заряда на бесконечность, совершая тем самым отрицательную работу. Поэтому потенциал любой точки поля, созданного отрицательным зарядом, является отрицательным (подобно тому, как отрицателен гравитационный потенциал любой точки поля тяготения). Если же заряд, создающий поле, положителен, то силы поля сами перемещают единичный положительный заряд на бесконечность, совершая положительную работу. Поэтому потенциал любой точки поля положительного заряда является положительным. Исходя из этих соображений можно записать выражение (21) в более общем виде:

где знак минус относится к случаю отрицательного заряда, а знак плюс - к случаю положительного заряда

Если поле создается несколькими зарядами, то его потенциал равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов (потенциал - скалярная величина: отношение работы к заряду). Поэтому потенциал поля любой заряженной системы можно рассчитать на основе приведенных ранее формул, предварительно разбив систему на большое число точечных зарядов.

Работа перемещения заряда в электрическом поле, как и работа перемещения массы в гравитационном поле, не зависит от формы пути, а зависит только от разности потенциалов начальной и конечной точек пути. Следовательно, электрические силы являются потенциальными силами (см. § 17). Поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков, называется эквипотенциальной. Из формулы (22) следует, что работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (так как Это означает, что силы электрического поля направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям, т. е. силовые линии поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (рис. 159).

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении равна (рис. 1.4.1):

Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле

Электростатическое поле обладает важным свойством:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными .

На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов то при перемещении пробного зарядаq работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ кулоновских полей точечных зарядов:Так как каждый член суммыне зависит от формы траектории, то и полная работаA результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q , помещенного в эту точку, принимается равной нулю.

Потенциальная энергия заряда q , помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A 10 , которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

(В электростатике энергию принято обозначать буквой W , так как буквой E обозначают напряженность поля.)

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Работа A 12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ 1 – φ 2) начальной и конечной точек:

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R , где R – радиус шара.

Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности .

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала .

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд q совершил малое перемещение вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:

Эквипотенциальные поверхности - понятие, применимое к любомупотенциальному векторному полю, например, к статическому электрическому полю или к ньютоновскому гравитационному полю. Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, на которой скалярный потенциал данного потенциального поля принимает постоянное значение (поверхность уровняпотенциала). Другое, эквивалентное, определение - поверхность, в любой своей точке ортогональная силовым линиям поля.

Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, помещение проводника на эквипотенциальную поверхность не вызывает изменения конфигурации электростатического поля. Этот факт используется в методе изображений, который позволяет рассчитывать электростатическое поле для сложных конфигураций.

В (стационарном) гравитационном поле уровень неподвижной жидкости устанавливается по эквипотенциальной поверхности. В частности, приближенно можно утверждать, что по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли проходит уровень океанов. Форма поверхности океанов, продолженная на поверхность Земли, называется геоидом и играет важную роль в геодезии. Геоид, таким образом является эквипотенциальной поверхностью силы тяжести, состоящей из гравитационной и центробежной составляющей.

ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЛИНИИ

Линии равных значений потенциала изучаемого электрического поля.