இருபடி சமன்பாடுகள் 8 ஆம் வகுப்பில் படிக்கப்படுகின்றன, எனவே இங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை. அவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் முற்றிலும் அவசியம்.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் குணகங்கள் a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் a ≠ 0 ஆகும்.

குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகளைப் படிப்பதற்கு முன், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

1. வேர்கள் இல்லை;
2. சரியாக ஒரு ரூட் வேண்டும்;
3. அவை இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளன.

இது இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கியமான வேறுபாடு ஆகும், இங்கு ரூட் எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் தனித்தன்மை வாய்ந்தது. ஒரு சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? இதற்கு ஒரு அற்புதமான விஷயம் இருக்கிறது - பாரபட்சமான.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

கோடாரி சமன்பாடு 2 + bx + c = 0 கொடுக்கப்பட்டால், பாகுபாடு என்பது D = b 2 - 4ac.

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது முக்கியமில்லை. மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பாகுபாட்டின் அடையாளத்தின் மூலம் நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும். அதாவது:

1. டி என்றால்< 0, корней нет;
2. D = 0 என்றால், சரியாக ஒரு ரூட் உள்ளது;
3. D > 0 எனில், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பாகுபாடு என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் அனைத்து அறிகுறிகளிலும் இல்லை, சில காரணங்களால் பலர் நம்புகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள், எல்லாவற்றையும் நீங்களே புரிந்துகொள்வீர்கள்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

முதல் சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை எழுதுவோம் மற்றும் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

எனவே பாகுபாடு நேர்மறையானது, எனவே சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது சமன்பாட்டை நாங்கள் அதே வழியில் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. மீதமுள்ள கடைசி சமன்பாடு:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியம் - வேர் ஒன்றாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் குணகங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆமாம், இது நீண்டது, ஆமாம், இது கடினமானது, ஆனால் நீங்கள் முரண்பாடுகளைக் கலந்து முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்ய மாட்டீர்கள். நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது தரம்.

மூலம், நீங்கள் அதை செயலிழக்கச் செய்தால், சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து குணகங்களையும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. உங்கள் தலையில் இதுபோன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வீர்கள். பெரும்பாலான மக்கள் 50-70 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு எங்காவது இதைச் செய்யத் தொடங்குகிறார்கள் - பொதுவாக, அவ்வளவு இல்லை.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

இப்போது தீர்வுக்கு செல்லலாம். பாகுபாடு D > 0 எனில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியலாம்:

அடிப்படை ரூட் சூத்திரம் இருபடி சமன்பாடு

D = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம் - நீங்கள் அதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள், அது பதில் இருக்கும். இறுதியாக, டி என்றால்< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

முதல் சமன்பாடு:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு மீண்டும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாடு:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலாவது:

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. நீங்கள் சூத்திரங்களை அறிந்திருந்தால், எண்ண முடிந்தால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. பெரும்பாலும், சூத்திரத்தில் எதிர்மறை குணகங்களை மாற்றும்போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் உதவும்: சூத்திரத்தை உண்மையில் பாருங்கள், ஒவ்வொரு அடியையும் எழுதுங்கள் - மிக விரைவில் நீங்கள் தவறுகளிலிருந்து விடுபடுவீர்கள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு வரையறையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதை விட சற்று வித்தியாசமானது. உதாரணத்திற்கு:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

இந்த சமன்பாடுகள் விதிமுறைகளில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. இத்தகைய இருபடிச் சமன்பாடுகள் நிலையானவற்றைக் காட்டிலும் எளிதாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன: அவை பாகுபாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாடு b = 0 அல்லது c = 0 எனில் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும், அதாவது. x மாறியின் குணகம் அல்லது கட்டற்ற உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நிச்சயமாக, இந்த இரண்டு குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது மிகவும் கடினமான வழக்கு சாத்தியமாகும்: b = c = 0. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோடாரி 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை வேர்: x = 0.

மீதமுள்ள வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம். b = 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம், பின்னர் கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அதைச் சிறிது மாற்றுவோம்:

எண்கணிதத்திலிருந்து சதுர வேர்எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து மட்டுமே உள்ளது, கடைசி சமத்துவம் (-c /a) ≥ 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முடிவு:

1. கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டில் சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 திருப்தி அடைந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. என்றால் (-c /a)< 0, корней нет.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு பாகுபாடு தேவைப்படவில்லை - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் சிக்கலான கணக்கீடுகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 ஐ நினைவில் கொள்வது கூட தேவையில்லை. மதிப்பை x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும், சமமான அடையாளத்தின் மறுபக்கத்தில் இருப்பதைப் பார்க்கவும் போதுமானது. நேர்மறை எண் இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். அது எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இருக்காது.

இப்போது கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இதில் இலவச உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எப்போதும் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக இருந்தால் போதும்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இங்குதான் வேர்கள் வருகின்றன. முடிவில், இந்த சமன்பாடுகளில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

இருபடி சமன்பாடுகள். பாகுபாடு காட்டுபவர். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள்

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அது பார்க்க எப்படி இருக்கிறது? கால அளவில் இருபடி சமன்பாடுமுக்கிய வார்த்தை "சதுரம்".சமன்பாட்டில் என்று அர்த்தம் அவசியம்ஒரு x சதுரம் இருக்க வேண்டும். கூடுதலாக, சமன்பாடு X (முதல் சக்திக்கு) மற்றும் ஒரு எண்ணைக் கொண்டிருக்கலாம் (அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்!) (இலவச உறுப்பினர்).மேலும் இரண்டுக்கும் அதிகமான சக்திக்கு Xகள் இருக்கக்கூடாது.

கணித அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

இங்கே a, b மற்றும் c- சில எண்கள். பி மற்றும் சி- முற்றிலும் ஏதேனும், ஆனால் ஏ- பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எதுவும். உதாரணத்திற்கு:

இங்கே ஏ =1; பி = 3; c = -4

இங்கே ஏ =2; பி = -0,5; c = 2,2

இங்கே ஏ =-3; பி = 6; c = -18

சரி, உங்களுக்கு புரிகிறது...

இந்த இருபடி சமன்பாடுகளில் இடதுபுறம் உள்ளது முழு தொகுப்புஉறுப்பினர்கள். X ஒரு குணகம் கொண்ட சதுரம் ஏ,குணகம் கொண்ட முதல் சக்திக்கு x பிமற்றும் இலவச உறுப்பினர் எஸ்.

இத்தகைய இருபடி சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழு

மற்றும் என்றால் பி= 0, நமக்கு என்ன கிடைக்கும்? எங்களிடம் உள்ளது முதல் சக்திக்கு X இழக்கப்படும்.பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படும் போது இது நிகழ்கிறது.) இது மாறிவிடும், எடுத்துக்காட்டாக:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

மற்றும் பல. மற்றும் இரண்டு குணகங்கள் என்றால் பிமற்றும் cபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் அது இன்னும் எளிமையானது:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ஏதாவது காணாமல் போன சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.) அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் x ஸ்கொயர் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

மூலம், ஏன் ஏபூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாதா? நீங்கள் பதிலாக பதிலாக ஏபூஜ்ஜியம்.) எங்கள் X ஸ்கொயர் மறைந்துவிடும்! சமன்பாடு நேராக மாறும். மற்றும் தீர்வு முற்றிலும் வேறுபட்டது ...

இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகள் அவ்வளவுதான். முழுமையான மற்றும் முழுமையற்றது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிது. சூத்திரங்கள் மற்றும் தெளிவான, எளிய விதிகளின்படி. முதல் கட்டத்தில், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம் நிலையான பார்வை, அதாவது படிவத்திற்கு:

இந்த வடிவத்தில் சமன்பாடு ஏற்கனவே உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் முதல் கட்டத்தை செய்ய வேண்டியதில்லை.) முக்கிய விஷயம் அனைத்து குணகங்களையும் சரியாக தீர்மானிக்க வேண்டும், ஏ, பிமற்றும் c.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பாரபட்சமான. ஆனால் அவரைப் பற்றி மேலும் கீழே. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, X கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் a, b மற்றும் c மட்டுமே. அந்த. இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்கள். மதிப்புகளை கவனமாக மாற்றவும் a, b மற்றும் cஇந்த சூத்திரத்தில் கணக்கிடுகிறோம். மாற்றுவோம் உங்கள் சொந்த அடையாளங்களுடன்! உதாரணமாக, சமன்பாட்டில்:

ஏ =1; பி = 3; c= -4. இங்கே நாம் அதை எழுதுகிறோம்:

உதாரணம் கிட்டத்தட்ட தீர்க்கப்பட்டது:

இதுதான் பதில்.

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. என்ன, தவறு செய்வது சாத்தியமில்லை என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? சரி, ஆம், எப்படி...

மிகவும் பொதுவான தவறுகள் குறியீட்டு மதிப்புகளுடன் குழப்பம் a, b மற்றும் c. அல்லது மாறாக, அவற்றின் அறிகுறிகளுடன் அல்ல (எங்கே குழப்பமடைய வேண்டும்?), ஆனால் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் எதிர்மறை மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம். குறிப்பிட்ட எண்களைக் கொண்ட சூத்திரத்தின் விரிவான பதிவு இங்கே உதவுகிறது. கணக்கீடுகளில் சிக்கல்கள் இருந்தால், அதை செய்!

பின்வரும் உதாரணத்தை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இங்கே அ = -6; பி = -5; c = -1

முதல் முறையாக பதில்கள் கிடைப்பது அரிது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

சரி, சோம்பேறியாக இருக்காதே. கூடுதல் வரி மற்றும் பிழைகளின் எண்ணிக்கையை எழுத 30 வினாடிகள் ஆகும் கடுமையாக குறையும். எனவே அனைத்து அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் அறிகுறிகளுடன் விரிவாக எழுதுகிறோம்:

மிகவும் கவனமாக எழுதுவது நம்பமுடியாத கடினம் என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் அது மட்டும் தெரிகிறது. ஒரு முறை முயற்சி செய். சரி, அல்லது தேர்வு செய்யவும். எது சிறந்தது, விரைவானது அல்லது சரியானது? அதுமட்டுமின்றி, நான் உங்களை மகிழ்விப்பேன். சிறிது நேரம் கழித்து, எல்லாவற்றையும் கவனமாக எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. அது தானாகவே சரியாகிவிடும். குறிப்பாக கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள நடைமுறை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தினால். மைனஸ்கள் கொண்ட இந்த தீய உதாரணத்தை எளிதாகவும் பிழைகள் இல்லாமல் தீர்க்க முடியும்!

ஆனால், பெரும்பாலும், இருபடி சமன்பாடுகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். உதாரணமாக, இது போன்றது:

நீங்கள் அதை அடையாளம் கண்டுகொண்டீர்களா?) ஆம்! இது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

அவை பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். அவர்கள் இங்கே சமமானவர்கள் என்பதை நீங்கள் சரியாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். a, b மற்றும் c.

நீங்கள் அதை கண்டுபிடித்தீர்களா? முதல் உதாரணத்தில் a = 1; b = -4;ஏ c? அது அங்கேயே இல்லை! சரி, அது சரி. கணிதத்தில் இதற்கு அர்த்தம் c = 0 ! அவ்வளவுதான். சூத்திரத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றவும் c,நாம் வெற்றி பெறுவோம். இரண்டாவது உதாரணத்துடன் அதே. நமக்கு மட்டும் இங்கு பூஜ்யம் இல்லை உடன், ஏ பி !

ஆனால் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை மிக எளிமையாக தீர்க்க முடியும். எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல். முதல் முழுமையற்ற சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். இடது பக்கம் என்ன செய்யலாம்? நீங்கள் X ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கலாம்! அதை வெளியே எடுப்போம்.

மற்றும் இதிலிருந்து என்ன? மற்றும் எந்த காரணிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது உண்மை! என்னை நம்பவில்லையா? சரி, இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற எண்களைக் கொண்டு வாருங்கள், பெருக்கினால், பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்!
வேலை செய்ய வில்லை? அவ்வளவுதான்...
எனவே, நாம் நம்பிக்கையுடன் எழுதலாம்: x 1 = 0, x 2 = 4.

அனைத்து. இவை நமது சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும். இரண்டும் பொருத்தமானவை. அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றும்போது, ​​0 = 0 என்ற சரியான அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை விட தீர்வு மிகவும் எளிமையானது. நான் கவனிக்கிறேன், எந்த X முதல் மற்றும் இரண்டாவது இருக்கும் - முற்றிலும் அலட்சியமாக இருக்கும். வரிசையாக எழுதுவது வசதியானது, x 1- என்ன சிறியது மற்றும் x 2- எது பெரியது.

இரண்டாவது சமன்பாட்டை எளிமையாக தீர்க்க முடியும். 9 ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

9 இலிருந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது, அவ்வளவுதான். இது மாறிவிடும்:

மேலும் இரண்டு வேர்கள் . x 1 = -3, x 2 = 3.

அனைத்து முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன. X ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பதன் மூலம் அல்லது எண்ணை வலதுபுறமாக நகர்த்தி, பின்னர் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதன் மூலம்.
இந்த நுட்பங்களை குழப்புவது மிகவும் கடினம். ஏனென்றால் முதல் வழக்கில் நீங்கள் X இன் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும், இது எப்படியோ புரிந்துகொள்ள முடியாதது, இரண்டாவது வழக்கில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்க எதுவும் இல்லை.

பாகுபாடு காட்டுபவர். பாகுபாடு சூத்திரம்.

மந்திர வார்த்தை பாரபட்சமான ! அரிதாக ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் இந்த வார்த்தையைக் கேட்கவில்லை! "நாங்கள் ஒரு பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கிறோம்" என்ற சொற்றொடர் நம்பிக்கையையும் உறுதியையும் தூண்டுகிறது. ஏனென்றால் பாகுபாடு காட்டுபவர்களிடம் தந்திரங்களை எதிர்பார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை! இது எளிமையானது மற்றும் சிக்கலற்றது.) தீர்வுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் ஏதேனும்இருபடி சமன்பாடுகள்:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு ஒரு பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக பாகுபாடு காட்டுபவர் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது டி. பாகுபாடு சூத்திரம்:

D = b 2 - 4ac

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பற்றி மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கது என்ன? அது ஏன் ஒரு சிறப்புப் பெயருக்கு தகுதியானது? என்ன பாகுபாடு காண்பவரின் பொருள்?அனைத்து பிறகு -பி,அல்லது 2aஇந்த சூத்திரத்தில் அவர்கள் குறிப்பாக எதையும் அழைக்கவில்லை... கடிதங்கள் மற்றும் கடிதங்கள்.

இதோ விஷயம். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அது சாத்தியமாகும் மூன்று வழக்குகள் மட்டுமே.

1. பாகுபாடு காட்டுபவர் நேர்மறை.இதன் பொருள் வேரை அதிலிருந்து பிரித்தெடுக்கலாம். வேர் நன்றாக அல்லது மோசமாக பிரித்தெடுக்கப்பட்டதா என்பது மற்றொரு கேள்வி. கொள்கையளவில் என்ன பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்பதுதான் முக்கியம். உங்கள் இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள்.

2. பாகுபாடு பூஜ்ஜியம்.அப்போது உங்களுக்கு ஒரு தீர்வு கிடைக்கும். எண்களில் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இது ஒரு ரூட் அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒத்த. ஆனால், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பில், பேசுவது வழக்கம் ஒரு தீர்வு.

3. பாகுபாடு எதிர்மறையானது.எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க முடியாது. சரி, சரி. இதன் பொருள் தீர்வுகள் இல்லை.

நேர்மையாக, எப்போது எளிய தீர்வுஇருபடி சமன்பாடுகள், ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து குறிப்பாக தேவையில்லை. குணகங்களின் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றி எண்ணுகிறோம். இரண்டு வேர்கள், ஒன்று, எதுவுமில்லை என்று எல்லாமே அங்கே தானே நடக்கும். இருப்பினும், மேலும் தீர்க்கும் போது கடினமான பணிகள், அறிவு இல்லாமல் பாகுபாடு காண்பவரின் பொருள் மற்றும் சூத்திரம்போதாது. குறிப்பாக அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளில். இத்தகைய சமன்பாடுகள் மாநிலத் தேர்வு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான ஏரோபாட்டிக்ஸ்!)

அதனால், இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பதுநீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கும் பாகுபாடு மூலம். அல்லது நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள், அதுவும் மோசமாக இல்லை.) சரியாக எப்படி தீர்மானிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் a, b மற்றும் c. இது எப்படி எனஉனக்கு தெரியுமா? கவனத்துடன்அவற்றை ரூட் சூத்திரத்தில் மாற்றவும் கவனத்துடன்முடிவை எண்ணுங்கள். இங்கே முக்கிய வார்த்தை என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள் கவனத்துடன்?

பிழைகளின் எண்ணிக்கையை வியத்தகு முறையில் குறைக்கும் நடைமுறை நுட்பங்களை இப்போது கவனியுங்கள். கவனக்குறைவினால் ஏற்படுபவையே... பிற்காலத்தில் வலியாகவும் புண்படுத்துவதாகவும் மாறுகிறது...

முதல் சந்திப்பு . இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு முன் சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள் மற்றும் அதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள். இதன் பொருள் என்ன?
அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு நீங்கள் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள் என்று சொல்லலாம்:

மூல சூத்திரத்தை எழுத அவசரப்பட வேண்டாம்! நீங்கள் நிச்சயமாக முரண்பாடுகள் கலக்கப்படுவீர்கள் a, b மற்றும் c.உதாரணத்தை சரியாக கட்டமைக்கவும். முதலில், X ஸ்கொயர், பின்னர் சதுரம் இல்லாமல், பின்னர் இலவச சொல். இது போன்ற:

மீண்டும், அவசரப்பட வேண்டாம்! X ஸ்கொயர்க்கு முன்னால் உள்ள ஒரு மைனஸ் உங்களை வருத்தமடையச் செய்யும். மறப்பது சுலபம்... மைனஸிலிருந்து விடுபடுங்கள். எப்படி? ஆம், முந்தைய தலைப்பில் கற்பித்தபடி! முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்க வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆனால் இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை பாதுகாப்பாக எழுதலாம், பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதை முடிக்கலாம். நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள். உங்களிடம் இப்போது 2 மற்றும் -1 வேர்கள் இருக்க வேண்டும்.

வரவேற்பு இரண்டாவது. வேர்களை சரிபார்க்கவும்! வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி. பயப்பட வேண்டாம், நான் எல்லாவற்றையும் விளக்குகிறேன்! சரிபார்க்கிறது கடைசி விஷயம்சமன்பாடு. அந்த. ரூட் ஃபார்முலாவை எழுத நாம் பயன்படுத்திய ஒன்று. (இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல) குணகம் என்றால் a = 1, வேர்களை சரிபார்ப்பது எளிது. அவற்றைப் பெருக்கினாலே போதும். இதன் விளைவாக இலவச உறுப்பினராக இருக்க வேண்டும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் -2. தயவுசெய்து கவனிக்கவும், 2 அல்ல, ஆனால் -2! இலவச உறுப்பினர் உங்கள் அடையாளத்துடன் . அது வேலை செய்யவில்லை என்றால், அவர்கள் ஏற்கனவே எங்காவது திருகியிருக்கிறார்கள் என்று அர்த்தம். பிழையைத் தேடுங்கள்.

அது வேலை செய்தால், நீங்கள் வேர்களை சேர்க்க வேண்டும். கடைசி மற்றும் இறுதி சோதனை. குணகம் இருக்க வேண்டும் பிஉடன் எதிர் பரிச்சயமான. எங்கள் விஷயத்தில் -1+2 = +1. ஒரு குணகம் பி, இது X க்கு முன், -1 க்கு சமம். எனவே, எல்லாம் சரியானது!
x ஸ்கொயர்டு தூய்மையான, குணகத்துடன் இருக்கும் உதாரணங்களுக்கு மட்டுமே இது மிகவும் எளிமையானது என்பது பரிதாபம் a = 1.ஆனால் குறைந்தபட்சம் அத்தகைய சமன்பாடுகளை சரிபார்க்கவும்! பிழைகள் குறைவாகவும் குறைவாகவும் இருக்கும்.

மூன்றாவது வரவேற்பு . உங்கள் சமன்பாட்டில் பின்ன குணகங்கள் இருந்தால், பின்னங்களை அகற்றவும்! "சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? அடையாள மாற்றங்கள்" பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி சமன்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும். பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் போது, ​​சில காரணங்களால் பிழைகள் ஊர்ந்து கொண்டே இருக்கும்...

மூலம், தீய உதாரணத்தை ஒரு சில மைனஸ்களுடன் எளிமைப்படுத்துவதாக உறுதியளித்தேன். தயவு செய்து! இதோ அவன்.

மைனஸ்களால் குழப்பமடையாமல் இருக்க, சமன்பாட்டை -1 ஆல் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்! தீர்ப்பது ஒரு மகிழ்ச்சி!

எனவே, தலைப்பைச் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

நடைமுறை ஆலோசனை:

1. தீர்க்கும் முன், இருபடி சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்து அதை உருவாக்குகிறோம் சரி.

2. X ஸ்கொயர்க்கு முன்னால் எதிர்மறை குணகம் இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

3. குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் தொடர்புடைய காரணியால் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்.

4. x ஸ்கொயர் தூயதாக இருந்தால், அதன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வை எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம். செய்!

இப்போது நாம் முடிவு செய்யலாம்.)

சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - எந்த எண்

x 1 = -3
x 2 = 3

தீர்வுகள் இல்லை

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

எல்லாம் பொருந்துமா? நன்று! இருபடி சமன்பாடுகள் உங்கள் விஷயம் அல்ல தலைவலி. முதல் மூன்று வேலை செய்தன, ஆனால் மற்றவை வேலை செய்யவில்லையா? அப்போது பிரச்சனை இருபடி சமன்பாடுகளில் இல்லை. சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களில் சிக்கல் உள்ளது. இணைப்பைப் பாருங்கள், பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

சரியாக வேலை செய்யவில்லையா? அல்லது அது வேலை செய்யவில்லையா? பிரிவு 555 உங்களுக்கு உதவும். காட்டப்பட்டது முக்கியதீர்வு பிழைகள். நிச்சயமாக, இது பயன்பாட்டைப் பற்றியும் பேசுகிறது அடையாள மாற்றங்கள்பல்வேறு சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதில். நிறைய உதவுகிறது!

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

Kopyevskaya கிராமப்புற மேல்நிலைப் பள்ளி

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான 10 வழிகள்

தலைவர்: பாட்ரிகீவா கலினா அனடோலியேவ்னா,

கணித ஆசிரியர்

கிராமம் கோபேவோ, 2007

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எவ்வாறு உருவாக்கி தீர்த்தார்

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.4 அல்-கோரெஸ்மியின் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.5 ஐரோப்பா XIII - XVII நூற்றாண்டுகளில் இருபடிச் சமன்பாடுகள்

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

முடிவுரை

இலக்கியம்

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாவது பட்டத்தையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், பண்டைய காலங்களில், நில அடுக்குகளின் பகுதிகளைக் கண்டறிவது தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. மண்வேலைகள்ஒரு இராணுவ இயல்பு, அத்துடன் வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியுடன். கிமு 2000 வாக்கில் இருபடி சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படலாம். இ. பாபிலோனியர்கள்.

நவீன இயற்கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் முழுமையற்றவற்றைத் தவிர, எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம்:

எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் = ¾; எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் = 14,5

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படையில் நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் உள்ள தீர்வுகளில் உள்ள சிக்கல்களை மட்டுமே வழங்குகின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை.

இருந்தாலும் உயர் நிலைபாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் வளர்ச்சி, கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண்ணின் கருத்து இல்லை மற்றும் பொது முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எப்படி உருவாக்கி தீர்த்தார்.

Diophantus இன் எண்கணிதமானது இயற்கணிதத்தின் முறையான விளக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் இது ஒரு முறையான தொடர் சிக்கல்களைக் கொண்டுள்ளது, விளக்கங்களுடன் சேர்ந்து பல்வேறு அளவுகளின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளை உருவாக்கும் போது, ​​தீர்வை எளிமையாக்க, தெரியாதவர்களை டயோபாண்டஸ் திறமையாக தேர்ந்தெடுக்கிறார்.

இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, அவரது பணிகளில் ஒன்றாகும்.

பிரச்சனை 11."இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடி, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 20 மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்பு 96"

Diophantus பின்வருமாறு காரணங்கள்: பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து, தேவையான எண்கள் சமமாக இல்லை, ஏனெனில் அவை சமமாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு 96 க்கு சமமாக இருக்காது, ஆனால் 100 ஆக இருக்கும். இதனால், அவற்றில் ஒன்று அதிகமாக இருக்கும். அவற்றின் தொகையில் பாதி, அதாவது. 10 + x, மற்றொன்று குறைவாக உள்ளது, அதாவது. 10கள். அவர்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 2x .

எனவே சமன்பாடு:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

இங்கிருந்து x = 2. தேவையான எண்களில் ஒன்று சமம் 12 , மற்றவை 8 . தீர்வு x = -2கிரேக்க கணிதம் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே அறிந்திருந்ததால், டையோபாண்டஸ் இல்லை.

தெரியாத எண்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து இந்த சிக்கலைத் தீர்த்தால், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுக்கு வருவோம்.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

தெரியாத எண்களின் அரை-வேறுபாட்டைத் தேர்வு செய்வதன் மூலம், டியோபாண்டஸ் தீர்வை எளிதாக்குகிறார் என்பது தெளிவாகிறது; முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை (1) தீர்க்கும் சிக்கலைக் குறைக்க அவர் நிர்வகிக்கிறார்.

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

இந்திய கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் 499 இல் தொகுக்கப்பட்ட “ஆர்யப்பட்டியம்” என்ற வானியல் ஆய்வுக் கட்டுரையில் இருபடிச் சமன்பாடுகளில் உள்ள சிக்கல்கள் ஏற்கனவே காணப்படுகின்றன. மற்றொரு இந்திய விஞ்ஞானியான பிரம்மகுப்தா (7ஆம் நூற்றாண்டு) கோடிட்டுக் காட்டினார் பொது விதிஇருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது:

ஆ 2+ பி x = c, a > 0. (1)

சமன்பாட்டில் (1), குணகங்கள், தவிர ஏ, எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். பிரம்மகுப்தரின் ஆட்சி அடிப்படையில் நம்முடையது போலவே உள்ளது.

IN பண்டைய இந்தியாகடினமான பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதில் பொதுப் போட்டிகள் பொதுவானவை. பழைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்று இதுபோன்ற போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறுகிறது: “சூரியன் தனது பிரகாசத்தால் நட்சத்திரங்களை மறைப்பது போல, கற்ற மனிதன்இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிந்து தீர்ப்பதன் மூலம் பிரபலமான கூட்டங்களில் மற்றொருவரின் மகிமையை கிரகணமாக்குங்கள். பிரச்சினைகள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

12ஆம் நூற்றாண்டின் புகழ்பெற்ற இந்தியக் கணிதவியலாளரின் பிரச்சினைகளில் இதுவும் ஒன்று. பாஸ்கர்கள்.

பிரச்சனை 13.

"விறுவிறுப்பான குரங்குகளின் கூட்டம், கொடிகளுடன் பன்னிரண்டு ...

அதிகாரிகள், சாப்பிட்டு, வேடிக்கை பார்த்தனர். அவர்கள் குதித்து, தொங்க ஆரம்பித்தனர் ...

சதுக்கத்தில் அவை உள்ளன, பகுதி எட்டு எத்தனை குரங்குகள் இருந்தன?

நான் வெட்டவெளியில் வேடிக்கை பார்த்துக் கொண்டிருந்தேன். சொல்லுங்கள், இந்த பேக்கில்?

பாஸ்கராவின் தீர்வு இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்கள் இரண்டு மதிப்புடையவை என்பதை அவர் அறிந்திருப்பதைக் குறிக்கிறது (படம் 3).

சிக்கல் 13 உடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு:

( எக்ஸ் /8) 2 + 12 = எக்ஸ்

பாஸ்கரா என்ற போர்வையில் எழுதுகிறார்:

x 2 - 64x = -768

மற்றும், இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை சதுரமாக முடிக்க, இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கிறது 32 2 , பிறகு பெறுவது:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 அல் - கோரெஸ்மியில் இருபடி சமன்பாடுகள்

அல்-கோரெஸ்மியின் இயற்கணிதக் கட்டுரையில், நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்," அதாவது. கோடாரி 2 + c = பி எக்ஸ்.

2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 = c.

3) "வேர்கள் எண்ணிக்கைக்கு சமம்," அதாவது. ஆ = கள்.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது. கோடாரி 2 + c = பி எக்ஸ்.

5) "சதுரங்கள் மற்றும் வேர்கள் எண்களுக்கு சமம்", அதாவது. ஆ 2+ bx = எஸ்.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது. bx + c = கோடாரி 2 .

எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-கோரெஸ்மிக்கு, இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் விதிமுறைகளும் கூட்டல்களே தவிர கழித்தல் அல்ல. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகபாலா நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளை ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார். அவருடைய முடிவுகள், நிச்சயமாக, நம்முடைய முடிவுகளுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சி என்று குறிப்பிட தேவையில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

அல்-கோரெஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முந்தைய அனைத்து கணிதவியலாளர்களைப் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஒருவேளை குறிப்பிட்ட நடைமுறை சிக்கல்களில் இது ஒரு பொருட்டல்ல. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் அல்-கோரெஸ்மியை பகுதியளவில் தீர்க்கும் போது எண் எடுத்துக்காட்டுகள்தீர்வுக்கான விதிகளையும் பின்னர் வடிவியல் சான்றுகளையும் வழங்குகிறது.

பிரச்சனை 14."சதுரம் மற்றும் எண் 21 ஆகியவை 10 வேர்களுக்கு சமம். மூலத்தைக் கண்டுபிடி" (x 2 + 21 = 10x சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் குறிக்கிறது).

ஆசிரியரின் தீர்வு இது போன்றது: வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாதியாகப் பிரிக்கவும், நீங்கள் 5 ஐப் பெறுவீர்கள், 5 ஐப் பெருக்கவும், தயாரிப்பிலிருந்து 21 ஐக் கழிக்கவும், மீதமுள்ளது 4. 4 இலிருந்து ரூட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், உங்களுக்கு 2 கிடைக்கும். 5 இலிருந்து 2 ஐக் கழிக்கவும். , உங்களுக்கு 3 கிடைக்கும், இதுவே விரும்பிய ரூட்டாக இருக்கும். அல்லது 2ல் இருந்து 5ஐ கூட்டினால், 7ஐக் கொடுக்கும், இதுவும் ஒரு வேர்தான்.

அல்-கோரெஸ்மியின் கட்டுரை நமக்கு வந்த முதல் புத்தகம், இது இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாட்டை முறையாக அமைக்கிறது மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான சூத்திரங்களை வழங்குகிறது.

ஐரோப்பாவில் 1.5 இருபடி சமன்பாடுகள் XIII - XVII பிபி

ஐரோப்பாவில் அல்-குவாரிஸ்மியின் கோடுகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனச்சியால் 1202 இல் எழுதப்பட்ட அபாகஸ் புத்தகத்தில் அமைக்கப்பட்டன. இஸ்லாமிய நாடுகள் மற்றும் கணிதத்தின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கும் இந்த மிகப்பெரிய வேலை பண்டைய கிரீஸ், விளக்கக்காட்சியின் முழுமை மற்றும் தெளிவு ஆகிய இரண்டாலும் வேறுபடுகிறது. ஆசிரியர் சுயாதீனமாக சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில புதிய இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்கினார் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் அறிமுகத்தை அணுகிய ஐரோப்பாவில் முதன்மையானவர். அவரது புத்தகம் இத்தாலியில் மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவைப் பரப்புவதற்கு பங்களித்தது. அபாகஸ் புத்தகத்திலிருந்து பல சிக்கல்கள் 16 - 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டன. மற்றும் பகுதி XVIII.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி ஒற்றை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டது:

x 2 + bx = c,

குணக அறிகுறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் பி , உடன்ஐரோப்பாவில் 1544 இல் M. ஸ்டீஃபல் மட்டுமே உருவாக்கினார்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் பொதுவான பார்வை Viet அதைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் Viet நேர்மறையான வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி ஆகியோர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறைக்கு கூடுதலாக, எதிர்மறை வேர்களும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன் மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை நவீன வடிவத்தை எடுக்கும்.

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கும் அதன் வேர்களுக்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்தும் தேற்றம், வியட்டாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, 1591 இல் அவர் முதன்முறையாக பின்வருமாறு உருவாக்கப்பட்டது: “என்றால் பி + டி, பெருக்கப்படுகிறது ஏ - ஏ 2 , சமம் BD, அந்த ஏசமம் INமற்றும் சமமானது டி ».

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, நாம் அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் ஏ, எந்த உயிர் எழுத்தைப் போலவே, தெரியாததைக் குறிக்கிறது (எங்கள் எக்ஸ்), உயிரெழுத்துக்கள் IN, டி- தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்கள். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், மேலே உள்ள வியட்டா உருவாக்கம் என்றால்: இருந்தால்

(a + பி )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + பி )x + a பி = 0,

x 1 = a, x 2 = பி .

சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துதல் பொது சூத்திரங்கள்குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட வியட் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளில் ஒற்றுமையை நிறுவியது. இருப்பினும், வியட் சின்னம் இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது நவீன தோற்றம். அவர் எதிர்மறை எண்களை அடையாளம் காணவில்லை, எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அனைத்து வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே அவர் கருதினார்.

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இருபடி சமன்பாடுகள் அடித்தளமாக இருக்கும் கம்பீரமான கட்டிடம்இயற்கணிதம். இருபடி சமன்பாடுகள் காணப்படுகின்றன பரந்த பயன்பாடுமுக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது. பள்ளி (8 ஆம் வகுப்பு) முதல் பட்டப்படிப்பு வரை இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம்.

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ மற்றும் இது போல் இல்லை: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

இந்த திட்டம் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மேல்நிலைப் பள்ளிகள்தயாரிப்பில் சோதனைகள்மற்றும் பரீட்சைகள், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது முடிந்தவரை விரைவாகச் செய்து முடிக்க வேண்டுமா? வீட்டு பாடம்கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம்? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்

எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.
எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.

எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம்.
மேலும், பின்ன எண்களை ஒரு தசம வடிவில் மட்டுமல்ல, ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.

தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
தசம பின்னங்களில், பகுதியளவு பகுதியை முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு காலம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம்.
உதாரணமாக, நீங்கள் உள்ளிடலாம் தசமங்கள்இது போல்: 2.5x - 3.5x^2

சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் பிரிவிலிருந்து வகுப்பின் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஆம்பர்சண்ட் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: &
உள்ளீடு: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போது நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

முடிவு

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

உங்கள் உலாவியில் JavaScript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
தீர்வு தோன்றுவதற்கு, நீங்கள் JavaScript ஐ இயக்க வேண்டும்.
உங்கள் உலாவியில் ஜாவாஸ்கிரிப்டை எவ்வாறு இயக்குவது என்பதற்கான வழிமுறைகள் இங்கே உள்ளன.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறந்து விடாதீர்கள் எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a\neq 0\), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவ ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) காரணி அதன் இடது பக்கத்தை கொண்டு ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டைப் பெறவும்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் கட்டற்ற சொல் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்போம், இதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 ஐ தீர்க்கவும்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

பைனோமியலின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் இந்த சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் கொண்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

வீடியோ டுடோரியல் 2: இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சொற்பொழிவு: இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு

சமன்பாடு- இது ஒரு மாறி இருக்கும் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு வகையான சமத்துவம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்- என்பது ஒரு மாறிக்கு பதிலாக ஒரு எண்ணைக் கண்டறிவது, அது சரியான சமத்துவத்திற்குக் கொண்டுவரும்.

ஒரு சமன்பாட்டில் ஒரு தீர்வு இருக்கலாம், பல இருக்கலாம் அல்லது எதுவும் இல்லை.

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் தீர்க்க, அது படிவத்தில் முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்:

நேரியல்: a*x = b;

சதுரம்: a*x 2 + b*x + c = 0.

அதாவது, தீர்க்கும் முன் எந்த சமன்பாடுகளும் நிலையான வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும்.

எந்த சமன்பாடும் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படலாம்: பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை.

வரைபடத்தில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, வரைபடம் OX அச்சில் வெட்டும் புள்ளிகளாகக் கருதப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு சமன்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், அது வடிவத்தை எடுத்தால், அதை இருபடி என்று அழைக்கலாம்:

a*x 2 + b*x + c = 0.

இதில் a, b, cபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடும் சமன்பாட்டின் குணகங்கள். ஏ "எக்ஸ்"- சமன்பாட்டின் வேர். ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அல்லது தீர்வு இல்லாமல் இருக்கலாம் என்று நம்பப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் வேர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம்.

"ஏ"- வர்க்க மூலத்திற்கு முன் நிற்கும் குணகம்.

"b"- முதல் பட்டத்தில் தெரியாத முன் நிற்கிறது.

"உடன்"சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் படிவத்தின் சமன்பாடு இருந்தால்:

2x 2 -5x+3=0

அதில், "2" என்பது சமன்பாட்டின் முன்னணி காலத்தின் குணகம், "-5" என்பது இரண்டாவது குணகம், மற்றும் "3" என்பது இலவச சொல்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. இருப்பினும், ஒரு பள்ளி கணித பாடத்தில், தீர்வு வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, அதே போல் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

பாரபட்சமான தீர்வு:

உடன் தீர்க்கும் போது இந்த முறைசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாடு கணக்கிடுவது அவசியம்:

கணக்கீடுகளின் போது நீங்கள் பாகுபாடு இருப்பதைக் கண்டால் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்று அர்த்தம்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாட்டில் இரண்டு இருக்கும் ஒரே மாதிரியான தீர்வுகள். இந்த வழக்கில், பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் சதுரத்தில் சுருக்கப்படலாம். பின்னர் அதை போல் தீர்க்கவும் நேரியல் சமன்பாடு. அல்லது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

வியட்டாவின் தேற்றம்

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், அதாவது, முன்னணி காலத்தின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் வியட்டாவின் தேற்றம்.

எனவே சமன்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகின்றன:

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு பல விருப்பங்கள் உள்ளன, அதன் வடிவம் குணகங்களின் இருப்பைப் பொறுத்தது.

1. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (b = 0, c = 0), பின்னர் இருபடி சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். சமன்பாட்டின் தீர்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.