படிக்கட்டுகள். நுழைவு குழு. பொருட்கள். கதவுகள். கோட்டைகள் வடிவமைப்பு

ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் வலது முக்கோணம்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? அது சரி, ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள்: ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும் வலது கோணம்(எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது பக்க \(AC\) ); கால்கள் என்பது எஞ்சியிருக்கும் இரண்டு பக்கங்கள் \(AB\) மற்றும் \(BC\) (சரியான கோணத்திற்கு அருகில் உள்ளவை), மற்றும் நாம் கோணத்துடன் தொடர்புடைய கால்களைக் கருத்தில் கொண்டால் \(BC\), பின்னர் கால் \(AB\) அருகில் உள்ள கால் மற்றும் கால் \(BC\) எதிரே உள்ளது. எனவே, இப்போது கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

கோணத்தின் சைன்- இது எதிர் (தொலைதூர) காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

கோணத்தின் கோசைன்- இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதம்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

கோணத்தின் தொடுகோடு- இது எதிர் (தொலைதூர) பக்கத்தின் அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்- இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் எதிர் (தொலைவு) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

இந்த வரையறைகள் அவசியம் நினைவில் கொள்க! எந்தக் காலை எதையாகப் பிரிக்க வேண்டும் என்பதை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, அதை நீங்கள் தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் தொடுகோடுமற்றும் கோடேன்ஜென்ட்கால்கள் மட்டுமே உட்காரும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தோன்றும் சைனஸ்மற்றும் கொசைன். பின்னர் நீங்கள் சங்கங்களின் சங்கிலியைக் கொண்டு வரலாம். உதாரணமாக, இது:

கொசைன்→டச்→டச்→அருகில்;

கோடன்ஜென்ட்→டச்→டச்→அருகிலுள்ளது.

முதலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த பக்கங்களின் நீளத்தை (அதே கோணத்தில்) சார்ந்து இல்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். என்னை நம்பவில்லையா? பின்னர் படத்தைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டாக, கோணத்தின் கோசைன் \(\beta \) . வரையறையின்படி, ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ஆனால் முக்கோணத்திலிருந்து \(\beta \) கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடலாம் \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், பக்கங்களின் நீளம் வேறுபட்டது, ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கொசைனின் மதிப்பு ஒன்றுதான். எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

நீங்கள் வரையறைகளைப் புரிந்து கொண்டால், மேலே சென்று அவற்றை ஒருங்கிணைக்கவும்!

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள \(ABC \) முக்கோணத்திற்கு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

சரி, கிடைத்ததா? பிறகு நீங்களே முயற்சி செய்து பாருங்கள்: \(\beta \) கோணத்திற்கும் இதையே கணக்கிடுங்கள்.

பதில்கள்: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

அலகு (முக்கோணவியல்) வட்டம்

டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களின் கருத்துகளைப் புரிந்துகொண்டு, \(1\) க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை நாங்கள் கருதினோம். அத்தகைய வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. முக்கோணவியல் படிக்கும் போது இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், அதே சமயம் வட்டத்தின் மையம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x\) அச்சின் நேர்மறை திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம் \(AB\)) ஆகும்.

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும்: \(x\) அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் \(y\) அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு. இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது முக்கோணத்தைப் பற்றி நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். முக்கோணத்தை கருதுங்கள் \(ACG\) . \(CG\) \(x\) அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் இது செவ்வகமானது.

முக்கோணத்தில் இருந்து \(\cos \\alpha \) என்றால் என்ன \(ACG \)? அது சரிதான் \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). கூடுதலாக, \(AC\) என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம், அதாவது \(AC=1\) . இந்த மதிப்பை கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \\alpha \) முக்கோணத்தில் இருந்து \(ACG \) எதற்கு சமம்? சரி நிச்சயமாக \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! இந்த சூத்திரத்தில் \(AC\) ஆரம் மதிப்பை மாற்றி, பெறவும்:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

எனவே, வட்டத்தைச் சேர்ந்த புள்ளி \(C\) என்ன ஒருங்கிணைக்கிறது என்று உங்களால் சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? \(\cos \\alpha \) மற்றும் \(\sin \alpha \) வெறும் எண்கள் என்பதை நீங்கள் உணர்ந்தால் என்ன செய்வது? \(\cos \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பு \(x\)! மேலும் \(\sin \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, ஒருங்கிணைப்பு \(y\)! எனவே புள்ளி \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

\(tg \alpha \) மற்றும் \(ctg \alpha \) எதற்கு சமம்? அது சரி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் தொடர்புடைய வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம் \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ஏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, இந்த படத்தில் உள்ளதைப் போல:

என்ன மாறிவிட்டது இந்த எடுத்துக்காட்டில்? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதைச் செய்ய, மீண்டும் ஒரு வலது முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : கோணம் (கோணத்திற்கு அருகில் \(\பீட்டா \) ). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்பு என்ன \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது \(y\) ; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு \(x\) ; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x\) அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவுமில்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சியும் \(360()^\circ \) அல்லது \(2\pi \) . ஆரம் வெக்டரை \(390()^\circ \) அல்லது \(-1140()^\circ \) மூலம் சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), இதனால், ஆரம் திசையன் ஒரு முழுப் புரட்சியை செய்து \(30()^\circ \) அல்லது \(\dfrac(\pi )(6) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

இரண்டாவது வழக்கில், \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழு திருப்பங்களைச் செய்து \(-60()^\circ \) அல்லது \(-\dfrac(\pi )(3) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, \(360()^\circ \cdot m \) அல்லது \(2\pi \cdot m \) (\(m \) எந்த முழு எண்ணாக இருந்தாலும்) வேறுபடும் கோணங்கள் என்று முடிவு செய்யலாம். ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்துள்ளது.

கீழே உள்ள படம் \(\beta =-60()^\circ \) கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலைக்கு ஒத்திருக்கிறது \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)முதலியன இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்தக் கோணங்கள் அனைத்தையும் பொதுச் சூத்திரத்தால் எழுதலாம் \(\beta +360()^\circ \cdot m\)அல்லது \(\beta +2\pi \cdot m \) (இங்கு \(m \) எந்த முழு எண் ஆகும்)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் என்னவென்று பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாங்கள் அதை அறிவோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

இங்கிருந்து, சில கோண நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம்: மூலையில் \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\இடது(0;1 \வலது) \) ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- இல்லை;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

மேலும், அதே தர்க்கத்தை கடைபிடிப்பதன் மூலம், மூலைகள் உள்ளே இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளுடன் ஒத்துள்ளது \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \வலது) \), முறையே. இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- இல்லை

\(\ பாவம் \270()^\ சர்க் =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

\(\இடது. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும் அல்லது அதை வெளியிட முடியும்!! \) !}

ஆனால் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மற்றும் \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்பட வேண்டாம், இப்போது தொடர்புடைய மதிப்புகளை மிகவும் எளிமையான மனப்பாடம் செய்வதற்கான ஒரு உதாரணத்தைக் காண்பிப்போம்:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, கோணத்தின் மூன்று அளவுகளுக்கும் சைன் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம் ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), அத்துடன் \(30()^\circ \) இல் உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு. இந்த \(4\) மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ முடிவு(வரிசை) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), இதை அறிந்தால், நீங்கள் மதிப்புகளை மீட்டெடுக்கலாம் \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" என்ற எண் \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) உடன் ஒத்திருக்கும் மற்றும் "\(\sqrt(\text(3)) \)" \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு அம்புக்குறிகளுடன் வரைபடத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து \(4\) மதிப்புகளை மட்டும் நினைவில் வைத்திருந்தால் போதும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிந்து, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயத்தொலைவுகள்) கண்டுபிடிக்க முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! அதை வெளியே எடுப்போம் பொது சூத்திரம்ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க. உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வட்டம் நமக்கு முன்னால் உள்ளது:

எங்களுக்கு அந்த புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் \(1.5\) . \(O\) புள்ளியை \(\டெல்டா \) டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட \(P\) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், \(P\) புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு \(x\) பிரிவின் நீளம் \(TP=UQ=UK+KQ\) . பிரிவின் நீளம் \(UK\) வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்பு \(x\) உடன் ஒத்துள்ளது, அதாவது \(3\) க்கு சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி \(KQ\) பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

பின் \(P\) ஆயப் புள்ளிக்கு அது உள்ளது \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

அதே தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி, \(P\) புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இவ்வாறு,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

எனவே, உள்ளே பொதுவான பார்வைபுள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), எங்கே

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள்,

\(r\) - வட்டத்தின் ஆரம்,

\(\டெல்டா \) - திசையன் ஆரத்தின் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(array) \)

மாணவர்கள் அதிகம் போராடும் கணிதத் துறைகளில் ஒன்று முக்கோணவியல். இது ஆச்சரியமல்ல: இந்த அறிவுத் துறையில் சுதந்திரமாக தேர்ச்சி பெற, உங்களுக்கு இடஞ்சார்ந்த சிந்தனை, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், கோடன்ஜென்ட்களைக் கண்டறியும் திறன், வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல் மற்றும் பை எண்ணைப் பயன்படுத்துதல் ஆகியவை தேவை. கணக்கீடுகள். கூடுதலாக, நீங்கள் தேற்றங்களை நிரூபிக்கும் போது முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் இதற்கு வளர்ந்த கணித நினைவகம் அல்லது சிக்கலான தருக்க சங்கிலிகளைப் பெறுவதற்கான திறன் தேவை.

முக்கோணவியலின் தோற்றம்

இந்த அறிவியலுடன் பழகுவது ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறையுடன் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் முதலில் முக்கோணவியல் பொதுவாக என்ன செய்கிறது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

வரலாற்று ரீதியாக, கணித அறிவியலின் இந்த பிரிவில் முக்கிய ஆய்வு பொருள் செங்கோண முக்கோணங்கள். 90 டிகிரி கோணத்தின் இருப்பு பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு கோணம் அல்லது இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கேள்விக்குரிய உருவத்தின் அனைத்து அளவுருக்களின் மதிப்புகளையும் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. கடந்த காலத்தில், மக்கள் இந்த முறையை கவனித்தனர் மற்றும் கட்டிடங்கள், வழிசெலுத்தல், வானியல் மற்றும் கலை கட்டுமானத்தில் தீவிரமாக பயன்படுத்தத் தொடங்கினர்.

ஆரம்ப நிலை

ஆரம்பத்தில், வலது முக்கோணங்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, கோணங்களுக்கும் பக்கங்களுக்கும் இடையிலான உறவைப் பற்றி மக்கள் பேசினர். பின்னர் சிறப்பு சூத்திரங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, இது பயன்பாட்டின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துவதை சாத்தியமாக்கியது அன்றாட வாழ்க்கைஇந்த கணிதப் பிரிவு.

இன்று பள்ளியில் முக்கோணவியல் ஆய்வு செங்கோண முக்கோணங்களுடன் தொடங்குகிறது, அதன் பிறகு மாணவர்கள் இயற்பியலில் பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் சுருக்க சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறார்கள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், உயர்நிலைப் பள்ளியில் தொடங்கும் வேலை.

கோள முக்கோணவியல்

பின்னர், விஞ்ஞானம் வளர்ச்சியின் அடுத்த கட்டத்தை அடைந்தபோது, ​​கோள வடிவவியலில் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் கொண்ட சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தத் தொடங்கின, அங்கு வெவ்வேறு விதிகள் பொருந்தும், மேலும் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும். இந்த பிரிவு பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை, ஆனால் குறைந்தபட்சம் அதன் இருப்பு பற்றி தெரிந்து கொள்வது அவசியம் பூமியின் மேற்பரப்பு, மற்றும் வேறு எந்த கிரகத்தின் மேற்பரப்பும் குவிந்ததாக உள்ளது, அதாவது முப்பரிமாண இடத்தில் எந்த மேற்பரப்பையும் "வில் வடிவில்" இருக்கும்.

பூகோளத்தையும் நூலையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உலகில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுடன் நூலை இணைக்கவும், அது இறுக்கமாக இருக்கும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும் - இது ஒரு வில் வடிவத்தை எடுத்துள்ளது. கோள வடிவவியல் அத்தகைய வடிவங்களைக் கையாள்கிறது, இது புவியியல், வானியல் மற்றும் பிற கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வலது முக்கோணம்

முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிகளைப் பற்றி கொஞ்சம் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன, அவற்றின் உதவியுடன் என்ன கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம் மற்றும் என்ன சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை மேலும் புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முக்கோணவியலுக்குத் திரும்புவோம்.

முதல் படி செங்கோண முக்கோணம் தொடர்பான கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வது. முதலில், ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது 90 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமாகும். இது மிக நீளமானது. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அதன் எண் மதிப்பு மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பக்கங்களும் முறையே 3 மற்றும் 4 சென்டிமீட்டராக இருந்தால், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் 5 சென்டிமீட்டராக இருக்கும். மூலம், பண்டைய எகிப்தியர்கள் இதைப் பற்றி நான்கரை ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறிந்திருந்தனர்.

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்களும் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கூடுதலாக, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை

இறுதியாக, வடிவியல் அடிப்படையைப் பற்றிய உறுதியான புரிதலுடன், ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைக்கு ஒருவர் திரும்பலாம்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் விகிதமாகும் (அதாவது, விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம்) ஹைப்போடென்யூஸுக்கு. ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது விகிதமாகும் அருகில் கால்ஹைப்போடென்ஸுக்கு.

சைன் அல்லது கொசைன் ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்! ஏன்? ஹைப்போடென்யூஸ் முன்னிருப்பாக மிக நீளமாக இருப்பதால், கால் எவ்வளவு நீளமாக இருந்தாலும், அது ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருக்கும், அதாவது அவற்றின் விகிதம் எப்போதும் ஒன்றுக்கு குறைவாகவே இருக்கும். எனவே, ஒரு சிக்கலுக்கான உங்கள் பதிலில், 1 ஐ விட அதிகமான மதிப்புள்ள சைன் அல்லது கொசைன் கிடைத்தால், கணக்கீடுகள் அல்லது தர்க்கத்தில் பிழை உள்ளதா எனப் பார்க்கவும். இந்த பதில் தெளிவாக தவறானது.

இறுதியாக, ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். கோசைன் மூலம் சைன் வகுத்தால் அதே பலன் கிடைக்கும். பார்: சூத்திரத்தின்படி, பக்கத்தின் நீளத்தை ஹைபோடென்யூஸால் வகுக்கிறோம், பின்னர் இரண்டாவது பக்கத்தின் நீளத்தால் வகுத்து, ஹைப்போடென்யூஸால் பெருக்குகிறோம். இவ்வாறு, தொடுகோடு வரையறையில் உள்ள அதே உறவைப் பெறுகிறோம்.

கோட்டான்ஜென்ட், அதன்படி, மூலையை ஒட்டிய பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். தொடுகால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் அதே முடிவைப் பெறுகிறோம்.

எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதற்கான வரையறைகளைப் பார்த்தோம், மேலும் சூத்திரங்களுக்குச் செல்லலாம்.

எளிமையான சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியலில் நீங்கள் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது - அவை இல்லாமல் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? ஆனால் பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது இது சரியாக தேவைப்படுகிறது.

முக்கோணவியலைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய முதல் சூத்திரம், ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. இந்த சூத்திரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நேரடி விளைவாகும், ஆனால் பக்கத்தை விட கோணத்தின் அளவை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றால் அது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

பல மாணவர்கள் இரண்டாவது சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள முடியாது, இது தீர்க்கும் போது மிகவும் பிரபலமானது பள்ளி பணிகள்: ஒன்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் கோணத்தின் தொடுகோடுகளின் சதுரம், கோணத்தின் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படும் ஒன்றிற்குச் சமம். கூர்ந்து கவனியுங்கள்: இது முதல் சூத்திரத்தில் உள்ள அதே அறிக்கையாகும், அடையாளத்தின் இரு பக்கங்களும் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன. ஒரு எளிய கணித செயல்பாடு முக்கோணவியல் சூத்திரத்தை முற்றிலும் அடையாளம் காண முடியாததாக மாற்றுகிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன, உருமாற்ற விதிகள் மற்றும் பல அடிப்படை சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றை அறிந்துகொள்வதன் மூலம், நீங்கள் எந்த நேரத்திலும் சுயாதீனமாக தேவையான பலவற்றைப் பெறலாம். சிக்கலான சூத்திரங்கள்ஒரு காகிதத்தில்.

இரட்டைக் கோணங்கள் மற்றும் வாதங்களைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய மேலும் இரண்டு சூத்திரங்கள், கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை. அவை கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. முதல் வழக்கில், சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டு முறை பெருக்கப்படுகிறது, இரண்டாவதாக, சைன் மற்றும் கோசைனின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்பு சேர்க்கப்படுகிறது.

இரட்டை கோண வாதங்களுடன் தொடர்புடைய சூத்திரங்களும் உள்ளன. அவை முற்றிலும் முந்தையவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டவை - ஒரு நடைமுறையாக, பீட்டா கோணத்திற்கு சமமான ஆல்பா கோணத்தை எடுத்து அவற்றை நீங்களே பெற முயற்சிக்கவும்.

இறுதியாக, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆல்பாவின் சக்தியைக் குறைக்க இரட்டை கோண சூத்திரங்களை மறுசீரமைக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

தேற்றங்கள்

அடிப்படை முக்கோணவியலில் இரண்டு முக்கிய தேற்றங்கள் சைன் தேற்றம் மற்றும் கொசைன் தேற்றம் ஆகும். இந்த கோட்பாடுகளின் உதவியுடன், சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் எளிதாக புரிந்து கொள்ளலாம், எனவே உருவத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் அளவு போன்றவை.

சைன் தேற்றம் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளத்தையும் எதிர் கோணத்தால் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும் அதே எண். மேலும், இந்த எண் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் இரண்டு ஆரங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்ட வட்டம்.

கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது, எந்த முக்கோணத்திலும் அதைக் காட்டுகிறது. இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து, அவற்றின் தயாரிப்புகளை அருகிலுள்ள கோணத்தின் இரட்டை கொசைனால் பெருக்கினால் கழிக்கவும் - இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு மூன்றாவது பக்கத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக மாறுகிறது.

கவனக்குறைவான தவறுகள்

சைன், கோசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதை அறிந்தாலும், மனச்சோர்வு அல்லது எளிய கணக்கீடுகளில் உள்ள பிழை காரணமாக தவறு செய்வது எளிது. இத்தகைய தவறுகளைத் தவிர்க்க, மிகவும் பிரபலமானவற்றைப் பார்ப்போம்.

முதலாவதாக, நீங்கள் இறுதி முடிவைப் பெறும் வரை பின்னங்களை தசமமாக மாற்றக்கூடாது - நீங்கள் பதிலை இவ்வாறு விடலாம் பொதுவான பின்னம், நிபந்தனைகளில் வேறுவிதமாகக் கூறப்படாவிட்டால். அத்தகைய மாற்றத்தை தவறு என்று அழைக்க முடியாது, ஆனால் சிக்கலின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் புதிய வேர்கள் தோன்றக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது ஆசிரியரின் யோசனையின்படி குறைக்கப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், தேவையற்ற கணித செயல்பாடுகளில் உங்கள் நேரத்தை வீணடிப்பீர்கள். மூன்று அல்லது இரண்டின் வேர் போன்ற மதிப்புகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, ஏனெனில் அவை ஒவ்வொரு அடியிலும் சிக்கல்களில் காணப்படுகின்றன. "அசிங்கமான" எண்களை வட்டமிடுவதற்கும் இதுவே செல்கிறது.

மேலும், கொசைன் தேற்றம் எந்த முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும், ஆனால் பித்தகோரியன் தேற்றம் அல்ல! அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனால் பெருக்கப்படும் பக்கங்களின் இரு மடங்கு பெருக்கத்தை நீங்கள் தவறாகக் கழிக்க மறந்துவிட்டால், நீங்கள் முற்றிலும் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள், ஆனால் நீங்கள் விஷயத்தைப் பற்றிய முழுமையான புரிதல் இல்லாததைக் காட்டுவீர்கள். இது கவனக்குறைவான தவறை விட மோசமானது.

மூன்றாவதாக, சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், கோட்டான்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றிற்கான 30 மற்றும் 60 டிகிரி கோணங்களுக்கான மதிப்புகளை குழப்ப வேண்டாம். இந்த மதிப்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் 30 டிகிரியின் சைன் 60 இன் கொசைனுக்கு சமம், மற்றும் நேர்மாறாகவும். அவர்களை குழப்புவது எளிது, இதன் விளைவாக நீங்கள் தவிர்க்க முடியாமல் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

விண்ணப்பம்

பல மாணவர்கள் முக்கோணவியல் படிப்பைத் தொடங்க அவசரப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அதன் நடைமுறை அர்த்தத்தை அவர்கள் புரிந்து கொள்ளவில்லை. பொறியாளர் அல்லது வானியல் நிபுணருக்கு சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? தொலைதூர நட்சத்திரங்களுக்கான தூரத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம், ஒரு விண்கல் வீழ்ச்சியைக் கணிக்கலாம் அல்லது மற்றொரு கிரகத்திற்கு ஆராய்ச்சி ஆய்வை அனுப்பலாம். அவை இல்லாமல், ஒரு கட்டிடத்தை உருவாக்குவது, ஒரு காரை வடிவமைப்பது, ஒரு மேற்பரப்பில் சுமை அல்லது ஒரு பொருளின் பாதையை கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. இவை மிகவும் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகள்! எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இசை முதல் மருத்துவம் வரை எல்லா இடங்களிலும் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது இன்னொரு வடிவத்தில் முக்கோணவியல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முடிவில்

எனவே நீங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட். நீங்கள் அவற்றை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பள்ளி சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்கலாம்.

முக்கோணவியலின் முழு புள்ளியும் ஒரு முக்கோணத்தின் அறியப்பட்ட அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும் என்ற உண்மைக்கு வருகிறது. மொத்தம் ஆறு அளவுருக்கள் உள்ளன: நீளம் மூன்று பக்கங்கள்மற்றும் மூன்று கோணங்களின் அளவுகள். பணிகளில் உள்ள ஒரே வித்தியாசம், வெவ்வேறு உள்ளீட்டுத் தரவுகள் வழங்கப்படுவதில் உள்ளது.

கால்கள் அல்லது ஹைப்போடென்யூஸின் அறியப்பட்ட நீளத்தின் அடிப்படையில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இப்போது நீங்கள் அறிவீர்கள். இந்த சொற்கள் ஒரு விகிதத்தைத் தவிர வேறொன்றைக் குறிக்கவில்லை, மற்றும் விகிதம் ஒரு பின்னம் என்பதால், ஒரு முக்கோணவியல் சிக்கலின் முக்கிய குறிக்கோள் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வேர்களைக் கண்டறிவதாகும். இங்கே வழக்கமான பள்ளி கணிதம் உங்களுக்கு உதவும்.

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் முக்கோணவியலின் முக்கிய வகைகளாகும், இது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும், மேலும் அவை கோணத்தின் வரையறையுடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த கணித அறிவியலின் தேர்ச்சிக்கு சூத்திரங்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்தல் மற்றும் புரிந்துகொள்வது மற்றும் வளர்ந்த இடஞ்சார்ந்த சிந்தனை தேவைப்படுகிறது. அதனால்தான் முக்கோணவியல் கணக்கீடுகள் பெரும்பாலும் பள்ளி மாணவர்களுக்கும் மாணவர்களுக்கும் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகின்றன. அவற்றைக் கடக்க, நீங்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும்.

முக்கோணவியலில் கருத்துக்கள்

முக்கோணவியலின் அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் மற்றும் கோணம் என்ன என்பதை நீங்கள் முதலில் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் கணக்கீடுகளும் ஏன் அவற்றுடன் தொடர்புடையவை. 90 டிகிரி கோணங்களில் ஒன்று செவ்வக வடிவில் இருக்கும் ஒரு முக்கோணம். வரலாற்று ரீதியாக, இந்த எண்ணிக்கை பெரும்பாலும் கட்டிடக்கலை, வழிசெலுத்தல், கலை மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் மக்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது. அதன்படி, இந்த உருவத்தின் பண்புகளைப் படித்து பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், அதன் அளவுருக்களின் தொடர்புடைய விகிதங்களைக் கணக்கிட மக்கள் வந்தனர்.

செங்கோண முக்கோணங்களுடன் தொடர்புடைய முக்கிய வகைகள் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள். ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள முக்கோணத்தின் பக்கமாகும். கால்கள், முறையே, மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களாகும். எந்த முக்கோணங்களின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரி ஆகும்.

கோள முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணவியலின் ஒரு பிரிவாகும், இது பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை, ஆனால் பயன்பாட்டு அறிவியல்வானியல் மற்றும் புவியியல் போன்ற, விஞ்ஞானிகள் இதைப் பயன்படுத்துகின்றனர். கோள முக்கோணவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அது எப்போதும் 180 டிகிரிக்கும் அதிகமான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் விகிதமாகும். அதன்படி, கொசைன் என்பது அருகில் உள்ள கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும். இந்த இரண்டு மதிப்புகளும் எப்பொழுதும் ஒன்றுக்கும் குறைவான அளவைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் ஹைப்போடென்யூஸ் எப்போதும் காலை விட நீளமாக இருக்கும்.

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது விரும்பிய கோணத்தின் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமமான மதிப்பு அல்லது கோசைனுக்கு சைன் ஆகும். கோட்டான்ஜென்ட் என்பது, விரும்பிய கோணத்தின் அருகிலுள்ள பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். ஒரு கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட்டை தொடுகோடு மதிப்பால் வகுப்பதன் மூலமும் பெறலாம்.

அலகு வட்டம்

வடிவவியலில் ஒரு அலகு வட்டம் என்பது ஆரம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வட்டமாகும். அத்தகைய வட்டம் ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது, வட்டத்தின் மையமானது தோற்றப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் ஆரம் திசையன் ஆரம்ப நிலை X அச்சின் (அப்சிஸ்ஸா அச்சு) நேர்மறை திசையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வட்டத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது: XX மற்றும் YY, அதாவது, abscissa மற்றும் ordinate இன் ஆயத்தொலைவுகள். XX விமானத்தில் உள்ள வட்டத்தில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, அதிலிருந்து abscissa அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்தாக கைவிடுவதன் மூலம், X அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்ட தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு (C என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும்) ஆரத்தால் உருவாக்கப்பட்ட செங்குத்து முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம். (குறுக்குவெட்டு புள்ளி G என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது), மற்றும் abscissa அச்சு என்பது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திற்கும் (புள்ளி A என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது) மற்றும் வெட்டுப்புள்ளி G க்கும் இடையில் உள்ளது. இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணம் ACG ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு வட்டம், இதில் AG என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், மற்றும் AC மற்றும் GC ஆகியவை கால்கள். AC வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் AG என்ற பெயருடன் அப்சிஸ்ஸா அச்சின் பிரிவுக்கு இடையே உள்ள கோணம் α (ஆல்பா) என வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே, cos α = AG/AC. AC என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் அது ஒன்றுக்கு சமம் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, cos α=AG என்று மாறிவிடும். அதேபோல், sin α=CG.

கூடுதலாக, இந்தத் தரவை அறிந்தால், வட்டத்தில் உள்ள புள்ளி C இன் ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம், ஏனெனில் cos α=AG, மற்றும் sin α=CG, அதாவது புள்ளி C கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது (cos α;sin α). தொடுவானம் சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை அறிந்தால், டான் α = y/x, மற்றும் cot α = x/y என்பதை நாம் தீர்மானிக்க முடியும். எதிர்மறை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கோணங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, சில கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகள் எதிர்மறையாக இருக்கலாம் என்று கணக்கிடலாம்.

கணக்கீடுகள் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் செயல்பாடு மதிப்புகள்

அலகு வட்டத்தின் மூலம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சாரத்தை கருத்தில் கொண்டு, சில கோணங்களுக்கு இந்த செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை நாம் பெறலாம். மதிப்புகள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

எளிமையான முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத மதிப்பு இருக்கும் சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் எனப்படும். மதிப்புடன் கூடிய அடையாளங்கள் sin x = α, k - எந்த முழு எண்:

1. பாவம் x = 0, x = πk.
2. 2. பாவம் x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. பாவம் x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. பாவம் x = a, |a| > 1, தீர்வுகள் இல்லை.
5. பாவம் x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, தீர்வுகள் இல்லை.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± ஆர்க்கோஸ் α + 2πk.

tg x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. டான் x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

ctg x = a மதிப்பைக் கொண்ட அடையாளங்கள், இதில் k என்பது எந்த முழு எண்:

1. கட்டில் x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

குறைப்பு சூத்திரங்கள்

நிலையான சூத்திரங்களின் இந்த வகை நீங்கள் படிவத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளிலிருந்து ஒரு வாதத்தின் செயல்பாடுகளுக்கு செல்லக்கூடிய முறைகளைக் குறிக்கிறது, அதாவது, எந்த மதிப்பின் கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை கோணத்தின் தொடர்புடைய குறிகாட்டிகளுக்குக் குறைக்கிறது. கணக்கீடுகளின் அதிக வசதிக்காக 0 முதல் 90 டிகிரி வரை இடைவெளி.

ஒரு கோணத்தின் சைனுக்கான செயல்பாடுகளைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

கோணத்தின் கோசைனுக்கு:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் பயன்பாடு இரண்டு விதிகளுக்கு உட்பட்டு சாத்தியமாகும். முதலில், கோணத்தை ஒரு மதிப்பாக (π/2 ± a) அல்லது (3π/2 ± a) குறிப்பிட முடியுமானால், செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது:

• பாவத்திலிருந்து காஸ் வரை;
• காஸ் முதல் பாவம் வரை;
• tg இலிருந்து ctg வரை;
• ctg முதல் tg வரை.

கோணம் (π ± a) அல்லது (2π ± a) என குறிப்பிடப்பட்டால் செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறாமல் இருக்கும்.

இரண்டாவதாக, குறைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது: இது ஆரம்பத்தில் நேர்மறையாக இருந்தால், அது அப்படியே உள்ளது. எதிர்மறை செயல்பாடுகளுடன் அதே.

கூட்டல் சூத்திரங்கள்

இந்த சூத்திரங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்புகள் மற்றும் சுழற்சியின் இரண்டு கோணங்களின் வேறுபாட்டை அவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்துகின்றன. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள். பொதுவாக கோணங்கள் α மற்றும் β ஆகக் குறிக்கப்படுகின்றன.

சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

இந்த சூத்திரங்கள் α மற்றும் β எந்த கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

இரட்டை மற்றும் மூன்று கோண சூத்திரங்கள்

இரட்டை மற்றும் மூன்று கோண முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் முறையே 2α மற்றும் 3α கோணங்களின் செயல்பாடுகளை கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புபடுத்தும் சூத்திரங்கள் ஆகும். கூட்டல் சூத்திரங்களிலிருந்து பெறப்பட்டது:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

தொகையிலிருந்து தயாரிப்புக்கு மாற்றம்

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), இந்த சூத்திரத்தை எளிதாக்குவதன் மூலம், sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 என்ற அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம். இதேபோல் sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

தயாரிப்பிலிருந்து தொகைக்கு மாற்றம்

இந்த சூத்திரங்கள் ஒரு தொகையை ஒரு தயாரிப்புக்கு மாற்றுவதற்கான அடையாளங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

பட்டம் குறைப்பு சூத்திரங்கள்

இந்த அடையாளங்களில், சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுர மற்றும் கன சக்திகள் பல கோணத்தின் முதல் சக்தியின் சைன் மற்றும் கோசைன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

உலகளாவிய மாற்று

உலகளாவிய முக்கோணவியல் பதிலீட்டுக்கான சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகின்றன.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn உடன்;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), இங்கு x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), இங்கு x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn உடன்.

சிறப்பு வழக்குகள்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (k என்பது ஏதேனும் முழு எண்).

சைனுக்கான அளவுகள்:

கொசைனுக்கான அளவுகள்:

தொடுகோடுக்கான மேற்கோள்கள்:

கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான அளவுகள்:

தேற்றங்கள்

சைன்களின் தேற்றம்

தேற்றத்தின் இரண்டு பதிப்புகள் உள்ளன - எளிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட. எளிய சைன் தேற்றம்: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. இந்த வழக்கில், a, b, c ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகவும், α, β, γ ஆகியவை முறையே எதிர் கோணங்களாகவும் இருக்கும்.

தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கான நீட்டிக்கப்பட்ட சைன் தேற்றம்: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. இந்த அடையாளத்தில், R என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்தைக் குறிக்கிறது.

கொசைன் தேற்றம்

அடையாளம் பின்வருமாறு காட்டப்படும்: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. சூத்திரத்தில், a, b, c என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், மற்றும் α என்பது பக்கத்திற்கு எதிர் கோணம்.

தொடுகோடு தேற்றம்

சூத்திரம் இரண்டு கோணங்களின் தொடுகோடுகளுக்கும் அவற்றிற்கு எதிரே உள்ள பக்கங்களின் நீளத்திற்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துகிறது. பக்கங்கள் a, b, c என லேபிளிடப்பட்டுள்ளன, மேலும் எதிர் கோணங்கள் α, β, γ ஆகும். தொடுகோடு தேற்றத்தின் சூத்திரம்: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

கோட்டான்ஜென்ட் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்தை அதன் பக்கங்களின் நீளத்துடன் இணைக்கிறது. a, b, c ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகவும், A, B, C ஆகியவை முறையே அவற்றின் எதிர் கோணங்களாகவும் இருந்தால், r என்பது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் p என்பது முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு, பின்வருபவை அடையாளங்கள் செல்லுபடியாகும்:

• கட்டில் A/2 = (p-a)/r;
• கட்டில் B/2 = (p-b)/r;
• கட்டில் C/2 = (p-c)/r.

விண்ணப்பம்

முக்கோணவியல் என்பது கணித சூத்திரங்களுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்பாட்டு அறிவியல் மட்டுமல்ல. அதன் பண்புகள், கோட்பாடுகள் மற்றும் விதிகள் பல்வேறு தொழில்களால் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மனித செயல்பாடு- வானியல், காற்று மற்றும் கடல் வழிசெலுத்தல், இசைக் கோட்பாடு, புவியியல், வேதியியல், ஒலியியல், ஒளியியல், மின்னணுவியல், கட்டிடக்கலை, பொருளாதாரம், இயந்திர பொறியியல், அளவிடும் வேலை, கம்ப்யூட்டர் கிராபிக்ஸ், கார்ட்டோகிராபி, கடல்சார், மற்றும் பல.

சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை முக்கோணவியலின் அடிப்படைக் கருத்துகளாகும், இதன் உதவியுடன் முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் கோணங்கள் மற்றும் நீளங்களுக்கு இடையிலான உறவுகளை கணித ரீதியாக வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் அடையாளங்கள், கோட்பாடுகள் மற்றும் விதிகள் மூலம் தேவையான அளவுகளைக் கண்டறியலாம்.

இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு விரிவான பார்வையை எடுப்போம். அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் சமத்துவங்களாகும், மேலும் அறியப்பட்ட மற்றொன்றின் மூலம் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களை உடனடியாக பட்டியலிடுவோம். அவற்றை ஒரு அட்டவணையில் எழுதுவோம், கீழே இந்த சூத்திரங்களின் வெளியீட்டைக் கொடுப்போம் மற்றும் தேவையான விளக்கங்களை வழங்குவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் இடையே உள்ள உறவு

சில நேரங்களில் அவர்கள் மேலே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பற்றி பேசுவதில்லை, ஆனால் ஒரு ஒற்றை பற்றி அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம்வகை . இந்த உண்மைக்கான விளக்கம் மிகவும் எளிமையானது: முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்திலிருந்து அதன் இரண்டு பகுதிகளையும் முறையே மற்றும் சமத்துவங்கள் மூலம் பிரித்த பிறகு சமத்துவங்கள் பெறப்படுகின்றன. மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து பின்பற்றவும். பின்வரும் பத்திகளில் இதைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

அதாவது, முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் பெயர் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட ஆர்வமுள்ள சமத்துவம்.

முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தை நிரூபிக்கும் முன், அதன் உருவாக்கத்தை நாங்கள் தருகிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது அதை நிரூபிப்போம்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல். இது ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை ஒன்றால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம் குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது தலைகீழ் வரிசை: அலகு எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது.

சைன் மற்றும் கோசைன் மூலம் தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைனுடன் டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளங்கள் மற்றும் sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றவும். உண்மையில், வரையறையின்படி, சைன் என்பது y இன் ஆர்டினேட், கொசைன் என்பது x இன் அப்சிஸ்ஸா, டேன்ஜென்ட் என்பது அப்சிசாவுக்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும், அதாவது, , மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது அப்சிஸ்ஸாவின் ஆர்டினேட்டிற்கான விகிதமாகும், அதாவது, .

அடையாளங்கள் மற்றும் போன்ற வெளிப்படையான நன்றி தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் பெரும்பாலும் அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை, மாறாக சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது இந்த கோணத்தின் கோசைனுக்கு சைனின் விகிதமாகும், மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது கோசைனுக்கும் சைனுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.

இந்த பத்தியின் முடிவில், அடையாளங்கள் மற்றும் அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து கோணங்களிலும் நடைபெறும். எனவே சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் , தவிர (இல்லையெனில் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும், மேலும் நாங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கவில்லை), மற்றும் சூத்திரம் - அனைத்திற்கும், z என்பது எந்த இடத்தில் இருந்து வேறுபட்டது.

தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் இடையே உள்ள உறவு

முந்தைய இரண்டைக் காட்டிலும் இன்னும் தெளிவான முக்கோணவியல் அடையாளம், வடிவத்தின் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை இணைக்கும் அடையாளமாகும். . இது தவிர வேறு எந்த கோணங்களுக்கும் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, இல்லையெனில் தொடுகோடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

சூத்திரத்தின் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. வரையறை மற்றும் எங்கிருந்து . ஆதாரத்தை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக நடத்தியிருக்கலாம். இருந்து , அது .

எனவே, அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அதே கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

விரிவுரை: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், தன்னிச்சையான கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்

சைன், தன்னிச்சையான கோணத்தின் கொசைன்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அலகு ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தைப் பார்ப்போம். இந்த வட்டம் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் தோற்றத்தில் ஒரு மையம் உள்ளது. தீர்மானிக்க குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகள்ஆரம் வெக்டரைப் பயன்படுத்துவோம் அல்லது, இது வட்டத்தின் மையத்தில் தொடங்குகிறது, மற்றும் புள்ளி ஆர்வட்டத்தில் ஒரு புள்ளி. இந்த ஆரம் திசையன் அச்சுடன் ஒரு கோண ஆல்பாவை உருவாக்குகிறது ஓ. வட்டம் ஒன்றுக்கு சமமான ஆரம் இருப்பதால், பிறகு OR = R = 1.

புள்ளியில் இருந்து இருந்தால் ஆர்அச்சுக்கு செங்குத்தாக குறைக்கவும் ஓ, பின்னர் நாம் ஒன்றுக்கு சமமான ஹைப்போடென்ஸுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம்.

ஆரம் திசையன் கடிகார திசையில் நகர்ந்தால் இந்த திசையில்அழைக்கப்பட்டது எதிர்மறை, அது எதிரெதிர் திசையில் நகர்ந்தால் - நேர்மறை.

கோணத்தின் சைன் அல்லது, என்பது புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை ஆர்ஒரு வட்டத்தில் திசையன்.

அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட கோண ஆல்பாவின் சைனின் மதிப்பைப் பெற, ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். யுஒரு விமானத்தில்.

எப்படி கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புபெறப்பட்டது? ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் தன்னிச்சையான கோணத்தின் சைன் என்பது ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும் என்பதை நாம் அறிந்திருப்பதால், அதைப் பெறுகிறோம்

மற்றும் இருந்து ஆர்=1, அது sin(α) = y 0 .

ஒரு யூனிட் வட்டத்தில், ஆர்டினேட் மதிப்பு -1 ஐ விட குறைவாகவும் 1 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது, அதாவது

அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது காலாண்டில் சைன் நேர்மறை மதிப்பையும், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது எதிர்மறை மதிப்பையும் பெறுகிறது.

கோணத்தின் கொசைன்ஆரம் திசையன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட வட்டம் அல்லது, என்பது புள்ளியின் abscissa ஆகும் ஆர்ஒரு வட்டத்தில் திசையன்.

அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட கோண ஆல்பாவின் கொசைன் மதிப்பைப் பெற, ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். எக்ஸ்ஒரு விமானத்தில்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் தன்னிச்சையான கோணத்தின் கொசைன் என்பது, அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள விகிதமாகும், நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

மற்றும் இருந்து ஆர்=1, அது cos(α) = x 0 .

அலகு வட்டத்தில், abscissa மதிப்பு -1 ஐ விட குறைவாகவும் 1 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது, அதாவது

அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் நான்காவது காலாண்டுகளில் கொசைன் நேர்மறை மதிப்பையும், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது காலாண்டில் எதிர்மறை மதிப்பையும் பெறுகிறது.

தொடுகோடுதன்னிச்சையான கோணம்சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதம் கணக்கிடப்படுகிறது.

நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொண்டால், இது எதிரெதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். என்றால் பற்றி பேசுகிறோம்அலகு வட்டத்தைப் பற்றி, இது ஆர்டினேட் மற்றும் அப்சிஸ்ஸாவின் விகிதமாகும்.

இந்த உறவுகளின் மூலம் ஆராயும்போது, ​​அப்சிஸ்ஸா மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது 90 டிகிரி கோணத்தில் இருந்தால், தொடுகோடு இருக்க முடியாது என்பதை புரிந்து கொள்ளலாம். டேன்ஜென்ட் மற்ற எல்லா மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் மூன்றாம் காலாண்டுகளில் தொடுவானம் நேர்மறையாகவும், இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது காலாண்டில் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.