5. புரட்சியின் உடல்களின் மேற்பரப்பைக் கண்டறிதல்

வளைவு AB என்பது y = f(x) ≥ 0 செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கட்டும், இங்கு x [a; b], மற்றும் செயல்பாடு y = f(x) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் y" = f"(x) ஆகியவை இந்தப் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

எருது அச்சில் (படம் 8) வளைவு AB இன் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பின் S பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

திட்டம் II (வேறுபட்ட முறை) பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி மூலம் x [a; b] எருது அச்சுக்கு செங்குத்தாக P விமானத்தை வரையவும். பிளேன் П சுழற்சியின் மேற்பரப்பை y - f(x) ஆரம் கொண்ட வட்டத்தில் வெட்டுகிறது. விமானத்தின் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள புரட்சி உருவத்தின் பகுதியின் மேற்பரப்பின் அளவு S என்பது x இன் செயல்பாடாகும், அதாவது. s = s(x) (s(a) = 0 மற்றும் s(b) = S).

வாதம் x ஒரு அதிகரிப்பு Δx = dx கொடுக்கலாம். புள்ளி மூலம் x + dx [a; b] ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தையும் வரைகிறோம். s = s(x) செயல்பாடு Δs இன் அதிகரிப்பைப் பெறும், இது படத்தில் "பெல்ட்" ஆகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுகளுக்கு இடையில் உருவாக்கப்பட்ட உருவத்தை துண்டிக்கப்பட்ட கூம்புடன் மாற்றுவதன் மூலம் ds என்ற வேறுபட்ட பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம், இதன் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் dl க்கு சமம், மற்றும் தளங்களின் ஆரங்கள் y மற்றும் y + dу க்கு சமம். அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு: = 2ydl + dydl.

ds ஐ விட dу d1 என்ற தயாரிப்பை நிராகரித்து, ds = 2уdl ஐப் பெறுகிறோம், அல்லது, d1 = dx என்பதால்.

x = a இலிருந்து x = b வரையிலான வரம்பில் விளைந்த சமத்துவத்தை ஒருங்கிணைத்து, நாம் பெறுகிறோம்

வளைவு AB ஆனது x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t ஆகிய அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், புரட்சியின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது.

S=2 dt

எடுத்துக்காட்டு: R ஆரம் கொண்ட பந்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

S=2 =

6. மாறி விசையின் வேலையைக் கண்டறிதல்

மாறி விசை வேலை

விடுங்கள் பொருள் புள்ளிஇந்த அச்சுக்கு இணையாக இயக்கப்படும் F = F(x) என்ற மாறி விசையின் செயல்பாட்டின் கீழ் M ஆனது ஆக்ஸ் அச்சில் நகர்கிறது. புள்ளி M ஐ x = a இலிருந்து x = b நிலைக்கு நகர்த்தும்போது ஒரு சக்தியால் செய்யப்படும் வேலை (a

100 N இன் விசை 0.01 மீ நீரூற்றை நீட்டினால், நீரூற்றை 0.05 மீ நீட்டிக்க எவ்வளவு வேலை செய்ய வேண்டும்?

ஹூக்கின் விதியின்படி, நீரூற்றை நீட்டும் மீள் விசை இந்த நீட்டிப்பு x க்கு விகிதாசாரமாகும், அதாவது. F = kх, இங்கு k என்பது விகிதாசார குணகம். சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, ஒரு விசை F = 100 N x = 0.01 மீ மூலம் வசந்தத்தை நீட்டுகிறது; எனவே, 100 = k 0.01, எங்கிருந்து k = 10000; எனவே, F = 10000x.

சூத்திரத்தின் அடிப்படையில் தேவையான வேலை

A=

உயரம் N m மற்றும் அடிப்படை ஆரம் R m (படம் 13) கொண்ட செங்குத்து உருளை தொட்டியில் இருந்து விளிம்பில் திரவத்தை பம்ப் செய்ய செலவழிக்க வேண்டிய வேலையைக் கண்டறியவும்.

p எடையுள்ள ஒரு உடலை h உயரத்திற்கு உயர்த்தும் பணியானது p N க்கு சமம். ஆனால் தொட்டியில் உள்ள திரவத்தின் வெவ்வேறு அடுக்குகள் வெவ்வேறு ஆழங்களிலும் உயரத்தின் உயரம் (தொட்டியின் விளிம்பிற்கு) வேறுபட்டவை. அடுக்குகள் ஒரே மாதிரி இல்லை.

சிக்கலைத் தீர்க்க, நாங்கள் திட்டம் II (வேறுபட்ட முறை) பயன்படுத்துகிறோம். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

1) ஒரு நீர்த்தேக்கத்திலிருந்து x (0 ≤ x ≤ H) தடிமன் கொண்ட திரவத்தின் ஒரு அடுக்கை வெளியேற்றுவதற்கு செலவிடப்படும் வேலை x இன் செயல்பாடாகும், அதாவது. A = A(x), எங்கே (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Δx = dx அளவு மூலம் x மாறும்போது ΔA அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதியைக் கண்டறியவும், அதாவது. A(x) செயல்பாட்டின் வேறுபாடு dA ஐக் கண்டறியவும்.

dx இன் சிறிய தன்மை காரணமாக, திரவத்தின் "அடிப்படை" அடுக்கு அதே ஆழத்தில் x (நீர்த்தேக்கத்தின் விளிம்பில் இருந்து) அமைந்துள்ளது என்று கருதுகிறோம். பின்னர் dA = dрх, அங்கு dr என்பது இந்த அடுக்கின் எடை; இது g АV க்கு சமம், அங்கு g என்பது ஈர்ப்பு விசையின் முடுக்கம், திரவத்தின் அடர்த்தி, dv என்பது திரவத்தின் "தொடக்க" அடுக்கின் அளவு (இது படத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது), அதாவது. டிஆர் = ஜி. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட திரவ அடுக்கின் அளவு வெளிப்படையாக சமமாக இருக்கும், dx என்பது சிலிண்டரின் உயரம் (அடுக்கு), அதன் அடித்தளத்தின் பரப்பளவு, அதாவது. dv = .

இவ்வாறு, dr = . மற்றும்

3) x = 0 இலிருந்து x = H வரையிலான வரம்பில் விளைந்த சமத்துவத்தை ஒருங்கிணைத்து, நாம் காண்கிறோம்

ஏ

8. MathCAD தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு

சில பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​குறியீட்டு ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். இந்த வழக்கில், MathCad நிரல் ஆரம்ப நிலையிலும் (பதிலை முன்கூட்டியே அறிந்து கொள்வது நல்லது அல்லது அது இருப்பதை அறிந்து கொள்வது நல்லது) மற்றும் இறுதி கட்டத்தில் (மற்றொரு மூலத்திலிருந்து ஒரு பதிலைப் பயன்படுத்தி முடிவைச் சரிபார்ப்பது நல்லது அல்லது மற்றொரு நபரின் தீர்வு).

அதிக எண்ணிக்கையிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​MathCad நிரலைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில அம்சங்களை நீங்கள் கவனிக்கலாம். இந்த நிரல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை பல எடுத்துக்காட்டுகளுடன் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம், அதன் உதவியுடன் பெறப்பட்ட தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்து மற்ற முறைகளால் பெறப்பட்ட தீர்வுகளுடன் இந்த தீர்வுகளை ஒப்பிடலாம்.

MathCad நிரலைப் பயன்படுத்தும் போது ஏற்படும் முக்கிய சிக்கல்கள் பின்வருமாறு:

அ) நிரல் பதிலைத் தெரிந்த ஆரம்ப செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் அல்ல, ஆனால் அனைவருக்கும் தெரியாத சிறப்பு செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் அளிக்கிறது;

b) சில சந்தர்ப்பங்களில், பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வு இருந்தாலும், பதில் கொடுக்க "மறுக்கிறது";

c) சில நேரங்களில் அதன் சிக்கலான தன்மை காரணமாக பெறப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்த இயலாது;

ஈ) சிக்கலை முழுமையாக தீர்க்காது மற்றும் தீர்வை பகுப்பாய்வு செய்யாது.

இந்த சிக்கல்களைத் தீர்க்க, திட்டத்தின் பலம் மற்றும் பலவீனங்களைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

அதன் உதவியுடன், பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவது எளிதானது மற்றும் எளிமையானது. எனவே, மாறி மாற்று முறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, அதாவது. தீர்வுக்கான ஒருங்கிணைப்பை முன்கூட்டியே தயார் செய்யவும். இந்த நோக்கங்களுக்காக, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட மாற்றீடுகள் பயன்படுத்தப்படலாம். பெறப்பட்ட முடிவுகள் அசல் செயல்பாடு மற்றும் பெறப்பட்ட முடிவின் வரையறையின் களங்களின் தற்செயல் நிகழ்வுக்காக ஆராயப்பட வேண்டும் என்பதையும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். கூடுதலாக, பெறப்பட்ட சில தீர்வுகளுக்கு கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது.

MathCad நிரல் மாணவர் அல்லது ஆராய்ச்சியாளரை வழக்கமான வேலையிலிருந்து விடுவிக்கிறது, ஆனால் சிக்கலை அமைக்கும் போது மற்றும் எந்த முடிவுகளைப் பெறும்போதும் கூடுதல் பகுப்பாய்விலிருந்து அவரை விடுவிக்க முடியாது.

இந்த தாளில், கணித பாடத்தில் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வு தொடர்பான முக்கிய விதிகள் கருதப்பட்டன.

- ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான கோட்பாட்டு அடிப்படையின் பகுப்பாய்வு மேற்கொள்ளப்பட்டது;

- பொருள் முறைப்படுத்தப்பட்டு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது.

பாடநெறிப் பணியை முடிக்கும் செயல்பாட்டில், இயற்பியல், வடிவியல் மற்றும் இயக்கவியல் துறையில் நடைமுறை சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் கருதப்பட்டன.

முடிவுரை

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட நடைமுறை சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றிய தெளிவான கருத்தை நமக்குத் தருகின்றன திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தஅவர்களின் தீர்வுக்காக.

ஒரு அறிவியல் துறையை பெயரிடுவது கடினம், இதில் பொதுவாக ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் முறைகள் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படாது. எனவே, பாடநெறியை முடிக்கும் பணியில், இயற்பியல், வடிவியல், இயக்கவியல், உயிரியல் மற்றும் பொருளாதாரம் ஆகிய துறைகளில் உள்ள நடைமுறைச் சிக்கல்களின் உதாரணங்களைப் பார்த்தோம். நிச்சயமாக, இது ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்க்கும் மற்றும் தத்துவார்த்த உண்மைகளை நிறுவும் போது நிறுவப்பட்ட மதிப்பைத் தேட ஒருங்கிணைந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் அறிவியலின் முழுமையான பட்டியலிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு கணிதத்தைப் படிக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​இது நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் ஈடுசெய்ய முடியாத பங்களிப்பைச் செய்கிறது. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்பது கணித ஆய்வுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட அடித்தளம் என்று நாம் கூறலாம். எனவே அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிவது முக்கியம்.

மேலே உள்ள எல்லாவற்றிலிருந்தும், இடைநிலைப் பள்ளியின் கட்டமைப்பிற்குள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புடன் அறிமுகம் ஏன் நிகழ்கிறது என்பது தெளிவாகிறது, அங்கு மாணவர்கள் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகளை மட்டுமல்ல, அதன் சில பயன்பாடுகளையும் படிக்கிறார்கள்.

இலக்கியம்

1. வோல்கோவ் ஈ.ஏ. எண் முறைகள். எம்., நௌகா, 1988.

2. பிஸ்குனோவ் என்.எஸ். வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ். எம்., இன்டெக்ரல்-பிரஸ், 2004. டி. 1.

3. ஷிபச்சேவ் வி.எஸ். உயர் கணிதம். எம்., மேல்நிலைப் பள்ளி, 1990.

I. சுழற்சியின் உடல்களின் தொகுதிகள். ஜி.எம். ஃபிக்டெங்கோல்ட்ஸின் பாடப்புத்தகத்திலிருந்து அத்தியாயம் XII, பத்திகள் 197, 198 ஐ முன்கூட்டியே படிக்கவும் * பத்தி 198 இல் கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யவும்.

508. எருது அச்சில் நீள்வட்டத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் உருவான உடலின் அளவைக் கணக்கிடவும்.

இதனால்,

530. சைனூசாய்டு ஆர்க் y = sin x என்ற புள்ளி X = 0 இலிருந்து X = இது வரையிலான ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியால் உருவான மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

531. உயரம் h மற்றும் r ஆரம் கொண்ட கூம்பின் மேற்பரப்பைக் கணக்கிடவும்.

532. உருவான மேற்பரப்பைக் கணக்கிடவும்

ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி x3 -)- y* - a3 என்ற ஆஸ்ட்ரோயிட் சுழற்சி.

533. ஆக்ஸ் அச்சில் 18 ug - x (6 - x) z வளைவின் சுழற்சியை சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்.

534. ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி X2 - j - (y-3)2 = 4 வட்டத்தின் சுழற்சியால் உருவாக்கப்பட்ட டோரஸின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

535. X = a cost, y = asint என்ற வட்டத்தின் சுழற்சியால் உருவான மேற்பரப்பைக் கணக்கிடவும்.

536. ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி x = 9t2, y = St - 9t3 என்ற வளைவின் சுழற்சியின் சுழற்சியால் உருவான மேற்பரப்பைக் கணக்கிடவும்.

537. வளைவின் வளைவின் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் x = e*sint, y = el ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி செலவு

t = 0 இலிருந்து t = —.

538. Oy அச்சைச் சுற்றியுள்ள cycloid arc x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பு 16 u2 o2 க்கு சமம் என்பதைக் காட்டுங்கள்.

539. துருவ அச்சில் கார்டியோடை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

540. லெம்னிஸ்கேட்டின் சுழற்சியால் உருவான மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் துருவ அச்சைச் சுற்றி.

அத்தியாயம் IVக்கான கூடுதல் பணிகள்

விமான உருவங்களின் பகுதிகள்

541. வளைவினால் சூழப்பட்ட பகுதியின் முழுப் பகுதியையும் கண்டறியவும் மற்றும் அச்சு எருது.

542. வளைவினால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

மற்றும் அச்சு எருது.

543. முதல் நாற்கரத்தில் அமைந்துள்ள மற்றும் வளைவினால் கட்டப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

l ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள்.

544. உள்ளே உள்ள பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

சுழல்கள்:

545. வளைவின் ஒரு வளையத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

546. வளையத்திற்குள் உள்ள பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

547. வளைவால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

மற்றும் அச்சு எருது.

548. வளைவினால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

மற்றும் அச்சு எருது.

549. Oxr அச்சில் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

நேராக மற்றும் வளைவு

புரட்சியின் மேற்பரப்பு- ஒரு தன்னிச்சையான கோட்டின் (நேராக, தட்டையான அல்லது இடஞ்சார்ந்த வளைவு) நேர் கோட்டின் (மேற்பரப்பு அச்சு) சுற்றி சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பு. உதாரணமாக, ஒரு நேர்கோடு சுழற்சியின் அச்சில் வெட்டப்பட்டால், அது சுழலும் போது, ​​ஒரு கூம்பு மேற்பரப்பு பெறப்படும், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், அது ஒரு ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு; புரட்சி கிடைக்கும். பலவிதமான வளைவுகளைச் சுழற்றுவதன் மூலம் ஒரே மேற்பரப்பைப் பெறலாம். வளைவின் விமானத்தில் கிடக்கும் ஆனால் வளைவை வெட்டாத ஒரு அச்சைச் சுற்றி வரையறுக்கப்பட்ட நீளமுள்ள விமான வளைவின் சுழற்சியால் உருவாகும் புரட்சியின் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு வளைவின் நீளம் மற்றும் நீளத்தின் உற்பத்திக்கு சமம். அச்சில் இருந்து வளைவின் வெகுஜன மையத்திற்கான தூரத்திற்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டம். இந்த அறிக்கை கில்டனின் இரண்டாவது தேற்றம் அல்லது பாப்பஸின் மையத் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு அச்சைச் சுற்றி ஒரு வளைவின் சுழற்சியால் உருவாகும் புரட்சியின் மேற்பரப்பின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வளைவு குறிப்பிடப்பட்டால், சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயந்திர பயன்பாடுகள் (சக்திகளின் வேலை, நிலையான தருணங்கள், ஈர்ப்பு மையம்).

படைகளின் வேலை கணக்கீடு

ஒரு பொருள் புள்ளி தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய வளைவுடன் நகர்கிறது, அதே நேரத்தில் அது இயக்கத்தின் திசையில் உள்ள பாதைக்கு தொட்டு இயக்கப்படும் ஒரு சக்தியால் செயல்படுகிறது. விசை F(கள்) மூலம் செய்யப்படும் மொத்த வேலை:

இயக்கப் பாதையில் ஒரு புள்ளியின் நிலை மற்றொரு அளவுருவால் விவரிக்கப்பட்டால், சூத்திரம் வடிவத்தை எடுக்கும்:

நிலையான தருணங்கள் மற்றும் ஈர்ப்பு மையம் ஆகியவற்றின் கணக்கீடு
ஆக்சி என்ற ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் சில வெகுஜன எம் அடர்த்தி p = p(y) புள்ளிகள் S இல் விநியோகிக்கப்படும் (இது ஒரு வளைவின் வளைவாகவோ அல்லது வரம்பற்ற தட்டையான உருவமாகவோ இருக்கலாம்). s(y) - குறிப்பிட்ட தொகுப்பின் (வில் நீளம் அல்லது பரப்பளவு) அளவைக் குறிப்போம்.

வரையறை 2. எண் அழைக்கப்பட்டது kth கணம்ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒப்பிடும்போது நிறை M.
k = 0 M 0 = M - நிறை,
k = 1 M 1 - நிலையான தருணம்,
k = 2 M 2 - மந்தநிலையின் தருணம்.

ஓய் அச்சைப் பற்றிய தருணங்கள் இதேபோல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. விண்வெளியில், ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுடன் தொடர்புடைய வெகுஜனத்தின் தருணங்களின் கருத்துக்கள் இதேபோல் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன.
p = 1 எனில், தொடர்புடைய தருணங்கள் வடிவியல் எனப்படும். ஒரே மாதிரியான (p - const) தட்டையான உருவத்தின் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

M 1 y, M 1 x என்பது Oy மற்றும் Ox அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய உருவத்தின் வடிவியல் நிலையான தருணங்கள் ஆகும்; S என்பது உருவத்தின் பரப்பளவு.

வளைவு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வளைவை அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. . இந்த வழக்கில், கட்டுரையில் பல பிரதிகள் உடைக்கப்பட்ட வரியின் "வரைவின் திசை" அலட்சியமாக உள்ளது. ஆனால், முந்தைய பத்தியைப் போலவே, வளைவு அமைந்திருப்பது முக்கியம் அதிக abscissa axis - இல்லையெனில் "விளையாட்டுகளுக்கு பொறுப்பு" என்ற செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும், மேலும் நீங்கள் ஒரு "கழித்தல்" அடையாளத்தை ஒருங்கிணைப்பின் முன் வைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

அச்சில் ஒரு வட்டத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட கோளத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: கட்டுரையில் இருந்து அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட வரிக்கான பரப்பளவு மற்றும் தொகுதிசமன்பாடுகள் ஆரம் 3 இன் தொடக்கத்தில் ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தை வரையறுக்கின்றன என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள்.

நன்றாக மற்றும் கோளம் , மறந்தவர்களுக்கு இது மேற்பரப்பு பந்து(அல்லது கோள மேற்பரப்பு).

நிறுவப்பட்ட தீர்வு திட்டத்தை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம். வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

"சூத்திரம்" மூலத்தை உருவாக்கி எளிமைப்படுத்துவோம்:

அது மிட்டாய் ஆனது என்று சொல்லத் தேவையில்லை. ஃபிட்சென்ஹோல்ட்ஸ் அந்த பகுதியுடன் எவ்வாறு தலையை வெட்டினார் என்பதை ஒப்பிட்டுப் பாருங்கள் புரட்சியின் நீள்வட்டம்.

கோட்பாட்டுக் குறிப்பின்படி, மேல் அரை வட்டத்தை நாங்கள் கருதுகிறோம். அளவுரு மதிப்பு வரம்புகளுக்குள் மாறும்போது அது "வரையப்பட்டது" (அதைப் பார்ப்பது எளிது இந்த இடைவெளியில்), இவ்வாறு:

பதில்:

நீங்கள் சிக்கலைத் தீர்த்தால் பொதுவான பார்வை, ஒரு கோளத்தின் பகுதிக்கான பள்ளி சூத்திரத்தை நீங்கள் சரியாகப் பெறுவீர்கள், அதன் ஆரம் எங்கே.

இது மிகவும் வலிமிகுந்த எளிய பணி, நான் வெட்கப்பட்டேன் ... இந்த பிழையை சரிசெய்ய பரிந்துரைக்கிறேன் =)

எடுத்துக்காட்டு 4

சைக்ளோயிட்டின் முதல் வளைவை அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

பணி ஆக்கப்பூர்வமானது. ஆர்டினேட் அச்சில் ஒரு வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெற அல்லது உள்ளுணர்வாக யூகிக்க முயற்சிக்கவும். மற்றும், நிச்சயமாக, அளவுரு சமன்பாடுகளின் நன்மை மீண்டும் கவனிக்கப்பட வேண்டும் - அவை எந்த வகையிலும் மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டியதில்லை; மற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் கவலைப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை.

சைக்ளோயிட் வரைபடத்தை பக்கத்தில் பார்க்கலாம் பகுதி மற்றும் தொகுதி, கோடு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால். சுழற்சியின் மேற்பரப்பு ஒத்ததாக இருக்கும்... அதை எதனுடன் ஒப்பிடுவது என்று கூட எனக்குத் தெரியவில்லை. ஒரு அச்சைச் சுற்றி ஒரு சைக்ளோயிட் சுழற்சியைப் பொறுத்தவரை, ஒரு சங்கம் உடனடியாக நினைவுக்கு வந்தது - ஒரு நீள்வட்ட ரக்பி பந்து.

தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

வழக்குடன் எங்கள் கண்கவர் மதிப்பாய்வை முடிக்கிறோம் துருவ ஆயத்தொலைவுகள். ஆம், பாடப்புத்தகங்களைப் பார்த்தால் சரியாக ஒரு விமர்சனம் கணித பகுப்பாய்வு(Fichtengolts, Bokhan, Piskunov, பிற ஆசிரியர்கள்), நீங்கள் ஒரு நல்ல டஜன் (அல்லது இன்னும் அதிகமாக) பெறலாம் நிலையான எடுத்துக்காட்டுகள், இதில் உங்களுக்கு தேவையான பணியை நீங்கள் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் சாத்தியம்.

புரட்சியின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது,
கோடு ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டால்?

வளைவு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் துருவ ஆயத்தொலைவுகள்சமன்பாடு, மற்றும் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் இந்த வளைவை துருவ அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது , வளைவின் முனைகளுடன் தொடர்புடைய கோண மதிப்புகள் எங்கே.

சிக்கலின் வடிவியல் அர்த்தத்திற்கு ஏற்ப, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு , மற்றும் இது நிபந்தனையின் கீழ் மட்டுமே அடையப்படுகிறது (மற்றும் வெளிப்படையாக எதிர்மறை அல்ல). எனவே, வரம்பிலிருந்து கோண மதிப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம், வேறுவிதமாகக் கூறினால், வளைவு அமைந்திருக்க வேண்டும் அதிகதுருவ அச்சு மற்றும் அதன் தொடர்ச்சி. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டு முந்தைய பத்திகளில் அதே கதை.

எடுத்துக்காட்டு 5

துருவ அச்சில் கார்டியோடை சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: இந்த வளைவின் வரைபடத்தை பற்றி பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு 6 இல் காணலாம் துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு. கார்டியோயிட் துருவ அச்சில் சமச்சீராக உள்ளது, எனவே அதன் மேல் பாதியை இடைவெளியில் கருதுகிறோம் (உண்மையில், மேலே உள்ள கருத்துக்கு இது காரணமாகும்).

சுழற்சியின் மேற்பரப்பு புல்ஸ்ஐயை ஒத்திருக்கும்.

தீர்வு நுட்பம் நிலையானது. "ஃபை" தொடர்பான வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மூலத்தை உருவாக்கி எளிமைப்படுத்துவோம்:

நான் வழக்கமாக நம்புகிறேன் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்யாருக்கும் எந்த சிரமமும் இல்லை.

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நடுவில் , எனவே: (கட்டுரையில் வேரை எவ்வாறு சரியாக அகற்றுவது என்பது பற்றி நான் விரிவாகப் பேசினேன் வளைவு வளைவு நீளம்).

பதில்:

ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் குறுகிய பணி சுதந்திரமான முடிவு:

எடுத்துக்காட்டு 6

கோள பெல்ட்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்,

பந்து பெல்ட் என்றால் என்ன? ஒரு வட்டமான, உரிக்கப்படாத ஆரஞ்சு பழத்தை மேசையில் வைத்து, கத்தியை எடு. இரண்டு செய்யுங்கள் இணையானவெட்டி, அதன் மூலம் பழங்களை தன்னிச்சையான அளவுகளில் 3 பகுதிகளாக பிரிக்கலாம். இப்போது இருபுறமும் ஜூசி சதை வெளிப்படும் மையத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த உடல் அழைக்கப்படுகிறது கோள அடுக்கு, மற்றும் அதை இணைக்கும் மேற்பரப்பு (ஆரஞ்சு தோல்) - பந்து பெல்ட்.

தெரிந்த வாசகர்கள் துருவ ஆயத்தொலைவுகள், சிக்கலின் வரைபடத்தை எளிதாக வழங்கலாம்: சமன்பாடு ஆரம் துருவத்தில் ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தைக் குறிப்பிடுகிறது, அதில் இருந்து கதிர்கள் துண்டிக்கப்பட்டது குறைவாகபரிதி இந்த வில் துருவ அச்சை சுற்றி சுழலும், இதனால் ஒரு கோள பெல்ட்டை உருவாக்குகிறது.

இப்போது நீங்கள் தெளிவான மனசாட்சி மற்றும் லேசான இதயத்துடன் ஒரு ஆரஞ்சு சாப்பிடலாம், மேலும் இந்த சுவையான குறிப்பில் நாங்கள் பாடத்தை முடிப்போம், மற்ற எடுத்துக்காட்டுகளுடன் உங்கள் பசியைக் கெடுக்க வேண்டாம் =)

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2:தீர்வு : மேல் கிளையின் சுழற்சியால் உருவான மேற்பரப்பைக் கணக்கிடுங்கள் abscissa அச்சில் சுற்றி. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் .
இந்த வழக்கில்: ;

இதனால்:


பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4:தீர்வு : சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் . சைக்ளோயிட் முதல் ஆர்க் பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது .
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மூலத்தை உருவாக்கி எளிமைப்படுத்துவோம்:

எனவே, சுழற்சியின் பரப்பளவு:

நடுவில் , அதனால் தான்

முதல் ஒருங்கிணைந்தபகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்க :

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் நாம் பயன்படுத்துகிறோம்முக்கோணவியல் சூத்திரம் .


பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6:தீர்வு : சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:


பதில்:

கடித மாணவர்களுக்கான உயர் கணிதம் மற்றும் மேலும் >>>

(முதன்மை பக்கத்திற்கு செல்க)

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது
ட்ரெப்சாய்டல் ஃபார்முலா மற்றும் சிம்ப்சனின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறீர்களா?

எண் முறைகள் உயர் கணிதத்தின் மிகப் பெரிய பகுதி மற்றும் இந்த தலைப்பில் தீவிர பாடப்புத்தகங்களில் நூற்றுக்கணக்கான பக்கங்கள் உள்ளன. நடைமுறையில், இல் சோதனைகள்பாரம்பரியமாக, சில சிக்கல்கள் எண்ணியல் முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முன்மொழியப்படுகின்றன, மேலும் பொதுவான சிக்கல்களில் ஒன்று தோராயமான கணக்கீடு ஆகும். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள். இந்த கட்டுரையில் நான் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கான இரண்டு முறைகளைப் பார்ப்பேன் - ட்ரேப்சாய்டு முறைமற்றும் சிம்சன் முறை.

இந்த முறைகளில் தேர்ச்சி பெற நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது என்ன? இது வேடிக்கையாகத் தோன்றலாம், ஆனால் நீங்கள் ஒருங்கிணைக்க முடியாது. மேலும் ஒருங்கிணைப்புகள் என்றால் என்ன என்பது கூட உங்களுக்கு புரியவில்லை. இருந்து தொழில்நுட்ப வழிமுறைகள்உங்களுக்கு மைக்ரோ கால்குலேட்டர் தேவைப்படும். ஆம், ஆம், வழக்கமான பள்ளிக் கணக்கீடுகள் நமக்குக் காத்திருக்கின்றன. இன்னும் சிறப்பாக, என்னுடையதைப் பதிவிறக்கவும் ட்ரெப்சாய்டல் முறை மற்றும் சிம்ப்சன் முறைக்கான அரை தானியங்கி கால்குலேட்டர். கால்குலேட்டர் எக்செல் இல் எழுதப்பட்டுள்ளது மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும் முடிப்பதற்கும் தேவைப்படும் நேரத்தை பத்து மடங்கு குறைக்கும். எக்செல் டம்மிகளுக்கு, வீடியோ கையேடு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது! சொல்லப்போனால், எனது குரலுடன் கூடிய முதல் வீடியோ பதிவு.

முதலில், தோராயமான கணக்கீடுகள் ஏன் தேவை என்று நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்ளலாம். நீங்கள் செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டுபிடித்து, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். சரியான மதிப்புதிட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. கேள்விக்கு பதிலளிக்க, உடனடியாக ஒரு படத்துடன் ஒரு டெமோ உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

எல்லாம் நன்றாக இருக்கும், ஆனால் இந்த எடுத்துக்காட்டில்ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க முடியாது - உங்கள் முன் ஒரு எடுக்கப்படாத ஒருங்கிணைப்பு, என்று அழைக்கப்படும் ஒருங்கிணைந்த மடக்கை. இந்த ஒருங்கிணைப்பு கூட இருக்கிறதா? ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிப்போம்:

எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது. ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியானபிரிவில் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது நிழலாடிய பகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமமாக இருக்கும். ஒரே ஒரு பிடிப்பு உள்ளது: ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், எண் முறைகள் மீட்புக்கு வருகின்றன. இந்த வழக்கில், சிக்கல் இரண்டு சூத்திரங்களில் ஏற்படுகிறது:

1) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடுங்கள் , முடிவை ஒரு குறிப்பிட்ட தசம இடத்திற்குச் சுற்றும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தசம இடங்கள் வரை, மூன்று தசம இடங்கள் வரை போன்றவை. தோராயமான பதில் 5.347 என்று வைத்துக் கொள்வோம். உண்மையில், இது முற்றிலும் சரியாக இருக்காது (உண்மையில், மிகவும் துல்லியமான பதில் 5.343 என்று சொல்லுங்கள்). நமது பணி அது மட்டும்முடிவை மூன்று தசம இடங்களுக்குச் சுற்றவும்.

2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடவும், ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன். எடுத்துக்காட்டாக, 0.001 துல்லியத்துடன் தோராயமாக ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும். இதற்கு என்ன அர்த்தம்? இதன் பொருள் தோராயமான பதில் 5.347 எனில் அனைத்துஎண்கள் வலுவூட்டப்பட்ட கான்கிரீட் இருக்க வேண்டும் சரி. இன்னும் துல்லியமாக, பதில் 5.347 உண்மையிலிருந்து முழுமையான மதிப்பில் (ஒரு திசையில் அல்லது மற்றொன்று) 0.001 க்கு மேல் வேறுபட வேண்டும்.

சிக்கல்களில் நிகழும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு பல அடிப்படை முறைகள் உள்ளன:

செவ்வக முறை. ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவு பல பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு ஒரு படி உருவம் கட்டப்பட்டுள்ளது ( பட்டை விளக்கப்படம்), இது விரும்பிய பகுதிக்கு அருகில் உள்ளது:

வரைபடங்களால் கண்டிப்பாக தீர்மானிக்க வேண்டாம், துல்லியம் சிறந்தது அல்ல - அவை முறைகளின் சாரத்தை புரிந்து கொள்ள மட்டுமே உதவுகின்றன.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒருங்கிணைப்பு பிரிவு மூன்று பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
. வெளிப்படையாக, அடிக்கடி பகிர்வு (அதிக சிறிய இடைநிலை பிரிவுகள்), அதிக துல்லியம். செவ்வக முறையானது பகுதியின் தோராயமான தோராயத்தை அளிக்கிறது, அதனால்தான் இது நடைமுறையில் மிகவும் அரிதாகவே காணப்படுகிறது (எனக்கு ஒன்று மட்டுமே நினைவிருக்கிறது நடைமுறை உதாரணம்) இது சம்பந்தமாக, நான் செவ்வக முறையைக் கருத்தில் கொள்ள மாட்டேன், மேலும் கொடுக்க மாட்டேன் எளிய சூத்திரம். நான் சோம்பேறியாக இருப்பதால் அல்ல, ஆனால் எனது பணிப்புத்தகத்தின் கொள்கையின் காரணமாக: நடைமுறை சிக்கல்களில் மிகவும் அரிதானது கருதப்படவில்லை.

ட்ரேப்சாய்டு முறை. யோசனை ஒத்தது. ஒருங்கிணைப்பு பிரிவு பல இடைநிலை பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் நெருங்குகிறது உடைந்த கோடுவரி:

எனவே, எங்கள் பகுதி (நீல நிழல்) ட்ரெப்சாய்டுகளின் (சிவப்பு) பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. எனவே இந்த முறையின் பெயர். செவ்வக முறையை விட (அதே எண்ணிக்கையிலான பகிர்வு பிரிவுகளுடன்) ட்ரெப்சாய்டு முறை மிகச் சிறந்த தோராயத்தை அளிக்கிறது என்பதை எளிதாகக் காணலாம். மேலும், இயற்கையாகவே, நாம் கருதும் சிறிய இடைநிலை பிரிவுகள், அதிக துல்லியம் இருக்கும். ட்ரெப்சாய்டு முறை நடைமுறை பணிகளில் அவ்வப்போது காணப்படுகிறது, மேலும் இந்த கட்டுரையில் பல எடுத்துக்காட்டுகள் விவாதிக்கப்படும்.

சிம்ப்சன் முறை (பரபோலா முறை). இது மிகவும் மேம்பட்ட முறை - ஒருங்கிணைப்பின் வரைபடம் உடைந்த கோட்டால் அல்ல, ஆனால் சிறிய பரவளையங்களால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. இடைநிலைப் பிரிவுகளைப் போலவே பல சிறிய பரவளையங்களும் உள்ளன. நாம் அதே மூன்று பிரிவுகளை எடுத்துக் கொண்டால், செவ்வக முறை அல்லது ட்ரேப்சாய்டு முறையை விட சிம்ப்சனின் முறை இன்னும் துல்லியமான தோராயத்தை அளிக்கும்.

காட்சி தோராயமானது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் மிகைப்படுத்தப்படும் என்பதால் (முந்தைய பத்தியின் உடைந்த கோடு - பின்னர் கூட அது கிட்டத்தட்ட ஒத்துப்போனது) ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதில் உள்ள புள்ளியை நான் காணவில்லை.

சிம்ப்சனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல் நடைமுறையில் மிகவும் பிரபலமான பணியாகும். மற்றும் பரவளைய முறை கணிசமான கவனம் செலுத்தப்படும்.

இந்த சூத்திரம் இணையான பிரிவுகளின் பரப்பளவில் ஒரு உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக. நீள்வட்டத்தின் அளவைக் கண்டறியவும் x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

நீள்வட்டத்தை Oyz விமானத்திற்கு இணையான விமானத்துடன் மற்றும் அதிலிருந்து (-а ≤х ≤а) தூரத்தில் வெட்டுவதன் மூலம், நாம் ஒரு நீள்வட்டத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 15 ஐப் பார்க்கவும்):

இந்த நீள்வட்டத்தின் பரப்பளவு

எனவே, சூத்திரம் (16) படி, எங்களிடம் உள்ளது

புரட்சியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

AB வளைவு y = f (x) ≥ 0 செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கட்டும், இதில் x [a,b], a function y = f (x) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் y" = f" (x) ஆகியவை இதில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். பிரிவு.

பின்னர் ஆக்ஸ் அச்சில் வளைவு AB இன் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பின் S பகுதி சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

AB வளைவு x = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2 என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், சுழற்சியின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது.

S x = 2 π ∫ y (t)(x ′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.

உதாரணம் R ஆரம் கொண்ட பந்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். தீர்வு:

ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி y = R 2 - x 2, - R ≤x ≤R என்ற அரை வட்டத்தின் சுழற்சியால் பந்தின் மேற்பரப்பு உருவாகிறது என்று நாம் கருதலாம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (19) நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

2 π ∫ R2 - x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−ஆர்

உதாரணமாக. சைக்ளோயிட் கொடுக்கப்பட்டால் x = a (t - sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− செலவு) ,

எருது அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும். தீர்வு:

சைக்ளோயிட் ஆர்க்கின் பாதி ஆக்ஸ் அச்சில் சுழலும் போது, ​​சுழற்சியின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

விமான வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்

செவ்வக ஆயத்தொலைவுகள்

ஒரு வில், உடைந்த கோட்டின் இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை காலவரையின்றி அதிகரிக்கும் போது, ​​மற்றும் மிகப்பெரிய செவ்வக ஆயங்களின் நீளத்திற்கு ஒரு தட்டையான வளைவு AB வழங்கப்படும், இதன் சமன்பாடு y = f(x), இங்கு a ≤ x≤ b .

இந்த இணைப்பில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோட்டின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வரம்பு AB இன் நீளம் என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. y = f(x) சார்பு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் y′ = f′ (x) ஆகியவை [a ,b ] பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், AB வளைவு நீளத்திற்கு சமமான நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

AB வளைவின் சமன்பாடு அளவுரு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால்

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

x (t) மற்றும் y (t) ஆகியவை தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் மற்றும் x (α) = a, x (β) = b, பின்னர் வளைவு AB இன் நீளம் l என்பது சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது.

இதன் பொருள் l = 2π R. ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு அளவுரு வடிவத்தில் எழுதப்பட்டால் = R செலவு, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), பின்னர்

துருவ ஆயத்தொலைவுகள்

வளைவு AB ஐ துருவ ஆயத்தொலைவுகள் r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β இல் உள்ள சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கலாம். r (ϕ ) மற்றும் r" (ϕ ) ஆகியவை இடைவெளியில் [α , β ] தொடர்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

சமத்துவங்களில் x = r cosϕ, y = r sinϕ, துருவ மற்றும் கார்ட்டீசியன் ஆயங்களை இணைக்கும்,

கோணம் ϕ ஒரு அளவுருவாகக் கருதப்படுகிறது, பின்னர் வளைவு AB ஐ அளவுருவாக அமைக்கலாம்x = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (15), நாம் l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ ஐப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு கார்டியோயிட் r =a (1 + cosϕ) நீளத்தைக் கண்டறியவும். தீர்வு:

கார்டியோயிட் r =a (1 + cosϕ) படம் 14 இல் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது துருவ அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. கார்டியோடின் பாதி நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு, 1 2 l = 4 a. இதன் பொருள் l = 8a.