அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்பது அதிவேகத்தில் அறியப்படாதவை உள்ளடங்கியவை.
அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் a x = a b என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் வரும், இங்கு a > 0, a ≠ 1, x என்பது தெரியவில்லை. பின்வரும் தேற்றம் உண்மையாக இருப்பதால், இந்த சமன்பாடு x = b என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:
தேற்றம். a > 0, a ≠ 1 மற்றும் a x 1 = a x 2 எனில், x 1 = x 2.
பரிசீலிக்கப்பட்ட அறிக்கையை உறுதிப்படுத்துவோம்.
சமத்துவம் x 1 = x 2 இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, பின்னர் அதிவேக செயல்பாடு y = a x அதிகரிக்கிறது, எனவே சமத்துவமின்மை a x 1 பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ஒரு x 2. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் a x 1 = a x 2 நிபந்தனைக்கு முரண்பாட்டைப் பெற்றோம்.
பல சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
சமன்பாடு 4 ∙ 2 x = 1 ஐ தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
சமன்பாட்டை 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 வடிவத்தில் எழுதுவோம், அதில் இருந்து x + 2 = 0 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. x = -2.
பதில். x = -2.
சமன்பாடு 2 3x ∙ 3 x = 576 ஐ தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 என்பதால், சமன்பாட்டை 8 x ∙ 3 x = 24 2 அல்லது 24 x = 24 2 என எழுதலாம்.
இங்கிருந்து நாம் x = 2 ஐப் பெறுகிறோம்.
பதில். x = 2.
3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் 3 x - 2 என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால், 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
எங்கிருந்து 3 x - 2 = 1, அதாவது. x – 2 = 0, x = 2.
பதில். x = 2.
3 x = 7 x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
7 x ≠ 0 என்பதால், சமன்பாட்டை 3 x /7 x = 1, எங்கிருந்து (3/7) x = 1, x = 0 என எழுதலாம்.
பதில். x = 0.
9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
3 x = a ஐ மாற்றுவதன் மூலம், இந்த சமன்பாடு இருபடி சமன்பாடு a 2 – 4a – 45 = 0 ஆக குறைக்கப்படுகிறது.
இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்: a 1 = 9, மற்றும் 2 = -5, எங்கிருந்து 3 x = 9, 3 x = -5.
3 x = 9 என்ற சமன்பாட்டில் ரூட் 2 உள்ளது, மேலும் 3 x = -5 சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது.
பதில். x = 2.
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் ஒரு x > a b அல்லது a x சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில் வரும்< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
சில பிரச்சனைகளைப் பார்ப்போம்.
சமத்துவமின்மையை 3 x தீர்க்கவும்< 81.
தீர்வு.
சமத்துவமின்மையை 3 x படிவத்தில் எழுதுவோம்< 3 4 . Так как 3 >1, பின்னர் செயல்பாடு y = 3 x அதிகரித்து வருகிறது.
எனவே, x க்கு< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
எனவே, x இல்< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
பதில். எக்ஸ்< 4.
சமத்துவமின்மையை 16 x +4 x – 2 > 0 தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
4 x = t ஐக் குறிப்போம், பின்னர் இருபடி சமத்துவமின்மை t2 + t – 2 > 0 ஐப் பெறுகிறோம்.
இந்த சமத்துவமின்மை டி< -2 и при t > 1.
t = 4 x என்பதால், 4 x என்ற இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பெறுகிறோம்< -2, 4 х > 1.
முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் அனைத்து x € Rக்கும் 4 x > 0.
இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை 4 x > 4 0 என்ற வடிவத்தில் எழுதுகிறோம், எங்கிருந்து x > 0.
பதில். x > 0.
(1/3) x = x – 2/3 என்ற சமன்பாட்டை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு.
1) y = (1/3) x மற்றும் y = x - 2/3 செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்.
2) எங்கள் உருவத்தின் அடிப்படையில், கருதப்படும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் அப்சிஸ்ஸா x ≈ 1 புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று முடிவு செய்யலாம். சரிபார்ப்பது அதை நிரூபிக்கிறது
x = 1 என்பது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்:
(1/3) 1 = 1/3 மற்றும் 1 - 2/3 = 1/3.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம். 
3) வேறு வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் அல்லது எதுவும் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம். செயல்பாடு (1/3) x குறைகிறது, மற்றும் செயல்பாடு y = x - 2/3 அதிகரித்து வருகிறது. எனவே, x > 1 க்கு, முதல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் 1/3 க்கும் குறைவாகவும், இரண்டாவது - 1/3 க்கும் அதிகமாகவும் இருக்கும்; x இல்< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 மற்றும் x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
பதில். x = 1.
இந்த சிக்கலின் தீர்விலிருந்து, குறிப்பாக, சமத்துவமின்மை (1/3) x > x - 2/3 x க்கு திருப்தி அளிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
பெரும்பாலான கணித சிக்கல்களை ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் தீர்ப்பது எண், இயற்கணிதம் அல்லது செயல்பாட்டு வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது. மேற்கூறியவை குறிப்பாக தீர்மானத்திற்கு பொருந்தும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பதிப்புகளில், இந்த வகை சிக்கலில், குறிப்பாக, பணி C3 அடங்கும். C3 பணிகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது வெற்றிகரமான நோக்கத்திற்காக மட்டுமல்ல ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதப் பாடத்தைப் படிக்கும்போது இந்தத் திறன் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதற்காகவும்.
பணிகளை C3 முடிக்கும்போது, நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும் வெவ்வேறு வகையானசமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். அவற்றில் பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல், தொகுதிகள் (முழுமையான மதிப்புகள்) மற்றும் ஒருங்கிணைந்தவை. இந்த கட்டுரை அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய வகைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது பல்வேறு முறைகள்அவர்களின் முடிவுகள். பிற வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி "" பிரிவில் உள்ள C3 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரைகளில் படிக்கவும். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு விருப்பங்கள்கணிதம்.
நாம் குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு தொடங்கும் முன் அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள், ஒரு கணித ஆசிரியராக, சிலவற்றைத் துலக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறேன் தத்துவார்த்த பொருள், இது நமக்குத் தேவைப்படும்.
படிவத்தின் செயல்பாடு ஒய் = ஒரு x, எங்கே அ> 0 மற்றும் அ≠ 1 அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடு.
அடிப்படை அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள் ஒய் = ஒரு x:
அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம் அடுக்கு:
அதிவேக செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் (அடுக்குகள்)
குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே காணப்படும் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
தீர்வுகளுக்கு அதிவேக சமன்பாடுகள்நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பின்வரும் எளிய தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும்:
தேற்றம் 1.அதிவேக சமன்பாடு அ f(எக்ஸ்) = அ g(எக்ஸ்) (எங்கே அ > 0, அ≠ 1) சமன்பாட்டிற்குச் சமம் f(எக்ஸ்) = g(எக்ஸ்).
கூடுதலாக, அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளை டிகிரிகளுடன் நினைவில் கொள்வது பயனுள்ளது:
தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}
எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் மற்றும் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பின்னர் சமன்பாடு மாறும்:
பெற்ற பாகுபாடு இருபடி சமன்பாடுநேர்மறை:
தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}
இதன் பொருள் இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:
தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, நாம் பெறுகிறோம்:
இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:
தேற்றம் 1 இல் கூறப்பட்டதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் சமமான சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்: எக்ஸ்= 3. இது பணிக்கான விடையாக இருக்கும்.
பதில்: எக்ஸ் = 3.
எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் தீவிர வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருப்பதால், சமன்பாட்டிற்கு அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை. எக்ஸ்(அதிவேக செயல்பாடு ஒய் = 9 4 -எக்ஸ்நேர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை).
பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:
கடைசி மாற்றம் தேற்றம் 1 இன் படி மேற்கொள்ளப்பட்டது.
பதில்:எக்ஸ்= 6.
எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.2 ஆல் வகுக்க முடியும் எக்ஸ். எந்த மதிப்பிற்கும் இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால், இந்த மாற்றம் சமமானதாக இருக்கும் எக்ஸ்(அதிவேக செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது). பின்னர் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும்:
பதில்: எக்ஸ் = 0.
எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் மற்றும் பெருக்குதல் ஆகியவற்றின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை ஒரு தொடக்க நிலைக்கு எளிதாக்குகிறோம்:
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுத்தல் எக்ஸ், முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே, இந்த வெளிப்பாடு எந்த மதிப்புகளுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாததால், ஒரு சமமான மாற்றமாகும். எக்ஸ்.
பதில்: எக்ஸ் = 0.
எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:செயல்பாடு ஒய் = 3எக்ஸ், சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நின்று, அதிகரித்து வருகிறது. செயல்பாடு ஒய் = —எக்ஸ்சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் -2/3 குறைந்து வருகிறது. இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் வெட்டினால், அதிகபட்சம் ஒரு கட்டத்தில். IN இந்த வழக்கில்வரைபடங்கள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல எக்ஸ்= -1. வேறு வேர்கள் இருக்காது.
பதில்: எக்ஸ் = -1.
எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் அதிவேக செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும் என்பதை எல்லா இடங்களிலும் மனதில் வைத்து, சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம். எக்ஸ்கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தயாரிப்பு மற்றும் அதிகாரங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்துதல்:
பதில்: எக்ஸ் = 2.
குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே இருக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
தீர்வுகளுக்கு அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்பின்வரும் தேற்றத்தின் அறிவு அவசியம்:
தேற்றம் 2.என்றால் அ> 1, பின்னர் சமத்துவமின்மை அ f(எக்ஸ்) > அ g(எக்ஸ்) அதே பொருளின் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(எக்ஸ்) > g(எக்ஸ்) 0 என்றால்< அ < 1, то показательное неравенство அ f(எக்ஸ்) > அ g(எக்ஸ்) எதிர் பொருள் கொண்ட சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(எக்ஸ்) < g(எக்ஸ்).
எடுத்துக்காட்டு 7.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:
தீர்வு:அசல் சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் முன்வைப்போம்:
இந்த சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் 3 2 ஆல் வகுப்போம் எக்ஸ், இந்த விஷயத்தில் (செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக ஒய்= 3 2எக்ஸ்) சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது:
மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்:
பின்னர் சமத்துவமின்மை வடிவம் எடுக்கும்:
எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி:
தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, நாம் பெறுகிறோம்:
அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக, இடது சமத்துவமின்மை தானாகவே திருப்தி அடைகிறது. மடக்கையின் நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமமான சமத்துவமின்மைக்கு நாம் செல்கிறோம்:
பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்ணாக இருப்பதால், சமமான (தேற்றம் 2 மூலம்) பின்வரும் சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றமாகும்:
எனவே, நாங்கள் இறுதியாக பெறுகிறோம் பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 8.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:
தீர்வு:பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
இந்த மாற்றீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறது:
பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 7 ஆல் பெருக்கினால், பின்வரும் சமமான சமத்துவமின்மையை நாம் பெறுகிறோம்:
எனவே, மாறியின் பின்வரும் மதிப்புகள் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன டி:
பின்னர், தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, நாம் பெறுகிறோம்:
இங்கு பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்று விட அதிகமாக இருப்பதால், சமத்துவமின்மைக்கான மாற்றம் சமமாக இருக்கும் (தேற்றம் 2 மூலம்):
இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம் பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 9.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:
தீர்வு:
சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் வெளிப்பாட்டின் மூலம் பிரிக்கிறோம்:
இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் (அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக), எனவே சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
t இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது:
தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, அசல் சமத்துவமின்மை இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிவதைக் காண்கிறோம்:
அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:
எடுத்துக்காட்டு 10.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:
தீர்வு:
பரவளைய கிளைகள் ஒய் = 2எக்ஸ்+2-எக்ஸ் 2 கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, எனவே அது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பால் மேலே இருந்து வரம்பிடப்படுகிறது:
பரவளைய கிளைகள் ஒய் = எக்ஸ் 2 -2எக்ஸ்குறிகாட்டியில் உள்ள +2 மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பின் கீழ் அது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:
அதே நேரத்தில், செயல்பாடு கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டதாக மாறிவிடும் ஒய் = 3 எக்ஸ் 2 -2எக்ஸ்+2, இது சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ளது. அவள் தன் இலக்கை அடைகிறாள் குறைந்த மதிப்புஅதிவேகத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் அதே புள்ளியில், இந்த மதிப்பு 3 1 = 3 க்கு சமம். எனவே, இடதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு 3 க்கு சமமான மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் மட்டுமே அசல் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும். அதே புள்ளியில் (இந்தச் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்பு இந்த எண் மட்டுமே). இந்த நிபந்தனை ஒரு கட்டத்தில் திருப்தி அடைகிறது எக்ஸ் = 1.
பதில்: எக்ஸ்= 1.
முடிவு செய்ய கற்றுக் கொள்வதற்காக அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்,அவற்றைத் தீர்ப்பதில் தொடர்ந்து பயிற்சி பெறுவது அவசியம். இந்த கடினமான பணிக்கு பல்வேறு விஷயங்கள் உங்களுக்கு உதவும். வழிமுறை கையேடுகள், ஆரம்ப கணிதத்தில் சிக்கல் புத்தகங்கள், போட்டி சிக்கல்களின் தொகுப்புகள், பள்ளியில் கணித வகுப்புகள், அத்துடன் தனிப்பட்ட அமர்வுகள்ஒரு தொழில்முறை ஆசிரியருடன். உங்கள் தயாரிப்பில் நீங்கள் வெற்றிபெறவும், தேர்வில் சிறந்த முடிவுகளைப் பெறவும் நான் மனதார வாழ்த்துகிறேன்.
செர்ஜி வலேரிவிச்
பி.எஸ் அன்பான விருந்தினர்களே! கருத்துகளில் உங்கள் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கோரிக்கைகளை எழுத வேண்டாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, இதற்கு எனக்கு நேரமில்லை. அத்தகைய செய்திகள் நீக்கப்படும். தயவுசெய்து கட்டுரையைப் படியுங்கள். உங்கள் பணியை நீங்களே தீர்க்க அனுமதிக்காத கேள்விகளுக்கான பதில்களை அதில் காணலாம்.
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் சிக்கலான மற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாத ஒன்று என்று பலர் நினைக்கிறார்கள். அவற்றைத் தீர்க்கக் கற்றுக்கொள்வது கிட்டத்தட்ட ஒரு சிறந்த கலை, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்களால் மட்டுமே புரிந்து கொள்ள முடியும்.
முழு முட்டாள்தனம்! அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் எளிதானவை. மேலும் அவை எப்போதும் எளிமையாக தீர்க்கப்படும். சரி, கிட்டத்தட்ட எப்போதும் :)
இன்று நாம் இந்த தலைப்பை உள்ளேயும் வெளியேயும் பார்ப்போம். பள்ளிக் கணிதத்தின் இந்தப் பகுதியைப் புரிந்துகொள்ளத் தொடங்குபவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எளிமையான பிரச்சனைகளில் இருந்து தொடங்கி சிக்கலான பிரச்சனைகளுக்கு செல்லலாம். இன்று கடினமான வேலை எதுவும் இருக்காது, ஆனால் நீங்கள் படிக்கப் போவது அனைத்து வகையான சோதனைகள் மற்றும் சோதனைகளில் உள்ள பெரும்பாலான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க போதுமானதாக இருக்கும். சுதந்திரமான வேலை. உங்கள் இந்த தேர்விலும்.
எப்போதும் போல, வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். அதிவேக சமத்துவமின்மை என்பது ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட எந்த சமத்துவமின்மையும் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அது எப்போதும் வடிவத்தின் சமத்துவமின்மைக்கு குறைக்கப்படலாம்
\[((அ)^(x)) \gt b\]
பாத்திரத்தில் $b$ எங்கே இருக்க முடியும்? வழக்கமான எண், மற்றும் ஒருவேளை கடினமான ஒன்று. உதாரணங்கள்? ஆமாம் தயவு செய்து:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ குவாட் ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2)) \lt ((4)^(\frac (4) )(எக்ஸ்))). \\\முடிவு(சீரமை)\]
பொருள் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்: ஒரு அதிவேக செயல்பாடு $((a)^(x))$ உள்ளது, அது ஏதோ ஒன்றோடு ஒப்பிடப்பட்டு, $x$ஐக் கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்பட்டது. குறிப்பாக மருத்துவ நிகழ்வுகளில், $x$ என்ற மாறிக்கு பதிலாக, அவை சில செயல்பாடுகளை $f\left(x \right)$ வைத்து அதன் மூலம் சமத்துவமின்மையை கொஞ்சம் சிக்கலாக்கும்.
நிச்சயமாக, சில சந்தர்ப்பங்களில் சமத்துவமின்மை மிகவும் கடுமையானதாக தோன்றலாம். உதாரணத்திற்கு:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
அல்லது இதுவும் கூட:
பொதுவாக, இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சிக்கலானது மிகவும் வித்தியாசமாக இருக்கலாம், ஆனால் இறுதியில் அவை இன்னும் எளிமையான கட்டுமானமாக $((a)^(x)) \gt b$ ஆக குறைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய கட்டுமானத்தை நாங்கள் எப்படியாவது கண்டுபிடிப்போம் (குறிப்பாக மருத்துவ நிகழ்வுகளில், எதுவும் நினைவுக்கு வரும்போது, மடக்கைகள் நமக்கு உதவும்). எனவே, இதுபோன்ற எளிய கட்டுமானங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது நாங்கள் உங்களுக்குக் கற்பிப்போம்.
மிகவும் எளிமையான ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். உதாரணமாக, இது:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
வெளிப்படையாக, வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை இரண்டு சக்தியாக மீண்டும் எழுதலாம்: $4=(2)^(2))$. எனவே, அசல் சமத்துவமின்மையை மிகவும் வசதியான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
இப்போது என் கைகள் $x \gt 2$ என்ற பதிலைப் பெறுவதற்காக அதிகாரங்களின் அடிப்படைகளில் உள்ள இரண்டையும் "குறைக்க" அரிக்கிறது. ஆனால் எதையும் கடந்து செல்வதற்கு முன், இரண்டின் சக்திகளை நினைவில் கொள்வோம்:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
நாம் பார்ப்பது போல், விட பெரிய எண்அதிவேகத்தில் உள்ளது, வெளியீடு எண் பெரியது. "நன்றி, கேப்!" - மாணவர்களில் ஒருவர் கூச்சலிடுவார். இது வித்தியாசமா? துரதிருஷ்டவசமாக, அது நடக்கும். உதாரணத்திற்கு:
\[((\இடது(\frac(1)(2) \வலது))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) வலது))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\இடது(\frac(1)(2) \வலது))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
இங்கேயும், எல்லாம் தர்க்கரீதியானது: அதிக பட்டம், அதிக முறை எண் 0.5 தன்னால் பெருக்கப்படுகிறது (அதாவது, பாதியாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது). இதன் விளைவாக, எண்களின் வரிசை குறைந்து வருகிறது, மேலும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைக்கு இடையிலான வேறுபாடு அடித்தளத்தில் மட்டுமே உள்ளது:
இந்த உண்மைகளை சுருக்கமாக, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முழு தீர்வையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட மிக முக்கியமான அறிக்கையை நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$a \gt 1$ எனில், சமத்துவமின்மை $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ சமத்துவமின்மை $x \gt n$. $0 \lt a \lt 1$ எனில், சமத்துவமின்மை $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ சமத்துவமின்மை $x \lt n$.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடிப்படை ஒன்றுக்கு மேல் இருந்தால், நீங்கள் அதை வெறுமனே அகற்றலாம் - சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது. அடித்தளம் ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், அதையும் அகற்றலாம், ஆனால் அதே நேரத்தில் நீங்கள் சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும்.
$a=1$ மற்றும் $a\le 0$ விருப்பங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஏனெனில் இந்த சந்தர்ப்பங்களில் நிச்சயமற்ற தன்மை எழுகிறது. $(1)^(x)) \gt 3$ படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று கூறுவோம்? எந்தவொரு சக்திக்கும் ஒன்று மீண்டும் ஒன்றைக் கொடுக்கும் - நாம் ஒருபோதும் மூன்று அல்லது அதற்கு மேல் பெற மாட்டோம். அந்த. தீர்வுகள் இல்லை.
எதிர்மறையான காரணங்களுடன், எல்லாம் இன்னும் சுவாரஸ்யமானது. உதாரணமாக, இந்த சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((\இடது(-2 \வலது))^(x)) \gt 4\]
முதல் பார்வையில், எல்லாம் எளிது:
சரியா? ஆனால் இல்லை! தீர்வு தவறானதா என்பதை உறுதிப்படுத்த $x$ க்குப் பதிலாக ஓரிரு இரட்டைப்படை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களை மாற்றினால் போதும். பாருங்கள்:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. ஆனால் பகுதியளவு சக்திகள் மற்றும் பிற முட்டாள்தனங்களும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, $(\இடது(-2 \வலது))^(\sqrt(7)))$ (இரண்டில் இருந்து ஏழு சக்தியைக் கழித்தல்) கணக்கிட எப்படி ஆர்டர் செய்வீர்கள்? வழி இல்லை!
எனவே, திட்டவட்டமாக, அனைத்து அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் (மற்றும் சமன்பாடுகளிலும்) $1\ne ஒரு \gt 0$ என்று கருதுகிறோம். பின்னர் எல்லாம் மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படுகிறது:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\முடிவு(சீரமை) \வலது.\]
பொதுவாக, முக்கிய விதியை மீண்டும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு அதிவேக சமன்பாட்டில் அடிப்படை ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், நீங்கள் அதை அகற்றலாம்; மற்றும் அடிப்படை ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், அது அகற்றப்படலாம், ஆனால் சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறும்.
எனவே, சில எளிய அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பார்ப்போம்:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\முடிவு(சீரமை)\]
எல்லா நிகழ்வுகளிலும் முதன்மையான பணி ஒன்றுதான்: $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ என்ற எளிய வடிவத்திற்கு ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் குறைப்பது. இதைத்தான் இப்போது ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையிலும் செய்வோம், அதே நேரத்தில் டிகிரி மற்றும் அதிவேக செயல்பாடுகளின் பண்புகளை மீண்டும் செய்வோம். எனவே, போகலாம்!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
நீங்கள் இங்கே என்ன செய்ய முடியும்? சரி, இடதுபுறத்தில் ஏற்கனவே ஒரு அறிகுறி வெளிப்பாடு உள்ளது - எதையும் மாற்ற வேண்டியதில்லை. ஆனால் வலதுபுறத்தில் ஒருவித தந்திரம் உள்ளது: ஒரு பின்னம், மற்றும் வகுப்பில் ஒரு வேர் கூட!
இருப்பினும், பின்னங்கள் மற்றும் சக்திகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் கொள்வோம்:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\முடிவு(சீரமை)\]
இதற்கு என்ன அர்த்தம்? முதலாவதாக, பின்னத்தை எதிர்மறையான அடுக்குடன் சக்தியாக மாற்றுவதன் மூலம் நாம் எளிதாக அகற்றலாம். இரண்டாவதாக, வகுப்பிற்கு ஒரு வேர் இருப்பதால், அதை ஒரு சக்தியாக மாற்றுவது நன்றாக இருக்கும் - இந்த முறை ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன்.
இந்த செயல்களை சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தில் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்துவோம், என்ன நடக்கிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac(\frac(\sqrt(2)\right)) 1)(3))) \வலது))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]
ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும்போது, இந்த டிகிரிகளின் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். பொதுவாக, அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் பணிபுரியும் போது, அதிகாரங்களுடன் பணிபுரிய குறைந்தபட்சம் எளிமையான விதிகளை அறிந்து கொள்வது முற்றிலும் அவசியம்:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
உண்மையில், நாங்கள் கடைசி விதியைப் பயன்படுத்தினோம். எனவே, எங்கள் அசல் சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
இப்போது நாம் அடித்தளத்தில் உள்ள இரண்டையும் அகற்றுவோம். 2 > 1 முதல், சமத்துவமின்மை குறி அப்படியே இருக்கும்:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
அதுதான் தீர்வு! முக்கிய சிரமம் அதிவேக செயல்பாட்டில் இல்லை, ஆனால் அசல் வெளிப்பாட்டின் திறமையான மாற்றத்தில் உள்ளது: நீங்கள் கவனமாகவும் விரைவாகவும் அதன் எளிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும்.
இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
அதனால்-அப்படி. தசம பின்னங்கள் இங்கே நமக்குக் காத்திருக்கின்றன. நான் பலமுறை கூறியது போல், சக்திகளைக் கொண்ட எந்தவொரு வெளிப்பாடுகளிலும் நீங்கள் தசமங்களை அகற்ற வேண்டும் - விரைவான மற்றும் எளிமையான தீர்வைக் காண்பதற்கான ஒரே வழி இதுதான். இங்கே நாம் அகற்றுவோம்:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\இடது(\frac(1)(10) \வலது))^(2)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
இங்கே மீண்டும் நாம் எளிமையான சமத்துவமின்மையைக் கொண்டுள்ளோம், மேலும் 1/10 அடிப்படையுடன் கூட, அதாவது. ஒன்றுக்கும் குறைவானது. சரி, நாங்கள் அடிப்படைகளை அகற்றி, ஒரே நேரத்தில் அடையாளத்தை "குறைவான" இலிருந்து "அதிகமாக" மாற்றுகிறோம், மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
இறுதிப் பதிலைப் பெற்றோம்: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. தயவு செய்து கவனிக்கவும்: பதில் துல்லியமாக ஒரு தொகுப்பாகும், எந்த வகையிலும் $x \lt -1$ படிவத்தின் கட்டுமானம் இல்லை. ஏனெனில் முறைப்படி, அத்தகைய கட்டுமானமானது ஒரு தொகுப்பு அல்ல, மாறாக $x$ மாறியைப் பொறுத்து சமத்துவமின்மை. ஆம், இது மிகவும் எளிமையானது, ஆனால் அது பதில் இல்லை!
முக்கியமான குறிப்பு. இந்த சமத்துவமின்மையை மற்றொரு வழியில் தீர்க்க முடியும் - இரண்டு பக்கமும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அடித்தளத்துடன் சக்தியைக் குறைப்பதன் மூலம். பாருங்கள்:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((((10)^(-1)) \வலது))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
அத்தகைய மாற்றத்திற்குப் பிறகு, நாம் மீண்டும் ஒரு அதிவேக சமத்துவமின்மையைப் பெறுவோம், ஆனால் 10 > 1 அடிப்படையுடன். இதன் பொருள் நாம் வெறுமனே பத்தை கடக்க முடியும் - சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறாது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பதில் சரியாக இருந்தது. அதே நேரத்தில், அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டிய அவசியத்திலிருந்து நாங்கள் நம்மைக் காப்பாற்றிக் கொண்டோம் மற்றும் பொதுவாக எந்த விதிகளையும் நினைவில் கொள்கிறோம்.
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
இருப்பினும், இது உங்களை பயமுறுத்த வேண்டாம். குறிகாட்டிகளில் என்ன இருந்தாலும், சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான தொழில்நுட்பம் அப்படியே உள்ளது. எனவே, 16 = 2 4 என்பதை முதலில் கவனிக்கலாம். இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & (((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\ end(align)\]
ஹூரே! எங்களுக்கு வழக்கமான இருபடி சமத்துவமின்மை கிடைத்தது! அடையாளம் எங்கும் மாறவில்லை, ஏனெனில் அடிப்படை இரண்டு - ஒன்றை விட பெரிய எண்.
எண் வரியில் ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள்
$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை நாங்கள் வரிசைப்படுத்துகிறோம் - வெளிப்படையாக, அதன் வரைபடம் கிளைகள் மேலே ஒரு பரவளையமாக இருக்கும், எனவே “pluses இருக்கும் ” பக்கங்களிலும். செயல்படும் பகுதியில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, அதாவது $x\in \left(2;5 \right)$ என்பது அசல் பிரச்சனைக்கான பதில்.
இறுதியாக, மற்றொரு சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\]
அடிவாரத்தில் ஒரு தசம பின்னத்துடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டை மீண்டும் காண்கிறோம். இந்த பகுதியை சாதாரண பின்னமாக மாற்றுகிறோம்:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=(\இடது(((5)^(-1)) \வலது))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
இந்த வழக்கில், நாங்கள் முன்பு கொடுக்கப்பட்ட கருத்தைப் பயன்படுத்தினோம் - எங்கள் மேலும் தீர்வை எளிதாக்கும் வகையில் அடிப்படையை எண் 5 > 1 ஆகக் குறைத்தோம். வலது பக்கத்திலும் அதையே செய்வோம்:
\[\frac(1)(25)=((\இடது(\frac(1)(5) \வலது))^(2))=(\இடது((5)^(-1)) \ வலது))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
இரண்டு மாற்றங்களையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
இரண்டு பக்கங்களிலும் உள்ள தளங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை. வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் வேறு எந்த சொற்களும் இல்லை, எனவே நாங்கள் ஃபைவ்ஸை "குறுக்கு" மற்றும் மிகவும் எளிமையான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))\le 1. \\\ end(align)\]
இங்குதான் நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும். பல மாணவர்கள் வெறுமனே பிரித்தெடுக்க விரும்புகிறார்கள் சதுர வேர்சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் $x\le 1\Rightarrow x\in \in \left(-\infty ;-1 \right]$ போன்றவற்றை எழுதவும். எந்த வகையிலும் இதைச் செய்யக்கூடாது, ஏனெனில் ஒரு சரியான சதுரத்தின் வேர் தொகுதி, மற்றும் எந்த வகையிலும் அசல் மாறி:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\இடது| x\வலது|\]
இருப்பினும், தொகுதிகளுடன் பணிபுரிவது மிகவும் இனிமையான அனுபவம் அல்ல, இல்லையா? அதனால் நாங்கள் வேலை செய்ய மாட்டோம். அதற்கு பதிலாக, எல்லா விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்தி, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி வழக்கமான சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கிறோம்:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\ end(align)$
எண் வரிசையில் பெறப்பட்ட புள்ளிகளை மீண்டும் குறிக்கிறோம் மற்றும் அறிகுறிகளைப் பார்க்கிறோம்:
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: புள்ளிகள் நிழலாடப்பட்டுள்ளன கடுமையான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்து வருவதால், வரைபடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் நிழலாடப்பட்டுள்ளன. எனவே, பதில்: $x\in \left[ -1;1 \right]$ என்பது ஒரு இடைவெளி அல்ல, ஒரு பிரிவு.
பொதுவாக, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். இன்று நாம் செய்த அனைத்து மாற்றங்களின் அர்த்தமும் ஒரு எளிய வழிமுறைக்கு வருகிறது:
உண்மையில், இது போன்ற அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் தீர்ப்பதற்கான ஒரு உலகளாவிய வழிமுறையாகும். இந்த தலைப்பில் அவர்கள் உங்களுக்குச் சொல்லும் அனைத்தும் குறிப்பிட்ட நுட்பங்கள் மற்றும் தந்திரங்கள் மட்டுமே, அவை மாற்றத்தை எளிதாக்கும் மற்றும் விரைவுபடுத்தும். இந்த நுட்பங்களில் ஒன்றைப் பற்றி இப்போது பேசுவோம்.
மற்றொரு சமத்துவமின்மையைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
அப்படி என்ன விசேஷம்? அவர்கள் ஒளி. இருந்தாலும், நிறுத்து! எண் π சில சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டதா? என்ன முட்டாள்தனம்?
$2\sqrt(3)-3$ எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது எப்படி? அல்லது $3-2\sqrt(2)$? பிரச்சனை எழுத்தாளர்கள் வேலைக்கு அமர்வதற்கு முன்பு அதிகமாக ஹாவ்தோர்ன் குடித்தார்கள்.
உண்மையில், இந்த பணிகளைப் பற்றி பயங்கரமான எதுவும் இல்லை. நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: அதிவேக சார்பு என்பது $((a)^(x))$ வடிவத்தின் வெளிப்பாடு ஆகும், இதில் $a$ என்பது ஒன்றைத் தவிர வேறு எந்த நேர்மறை எண்ணாகும். எண் π நேர்மறை - நாம் ஏற்கனவே தெரியும். $2\sqrt(3)-3$ மற்றும் $3-2\sqrt(2)$ ஆகிய எண்களும் நேர்மறையாக உள்ளன - அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் இதைப் பார்ப்பது எளிது.
இந்த "பயமுறுத்தும்" ஏற்றத்தாழ்வுகள் அனைத்தும் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட எளியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டவை அல்ல என்று மாறிவிடும்? மேலும் அவை அதே வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றனவா? ஆம், அது முற்றிலும் சரி. இருப்பினும், அவர்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, சுயாதீனமான வேலை மற்றும் தேர்வுகளில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும் ஒரு நுட்பத்தை நான் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன். பகுத்தறிவு முறையைப் பற்றி பேசுவோம். எனவே, கவனம்:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ வடிவத்தின் எந்த அதிவேக சமத்துவமின்மையும் சமத்துவமின்மை $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ வலது) \gt 0 $.
அதுதான் முழு முறை :) வேறு ஏதாவது விளையாட்டு இருக்கும் என்று நினைத்தீர்களா? இப்படி எதுவும் இல்லை! ஆனால் ஒரு வரியில் எழுதப்பட்ட இந்த எளிய உண்மை, எங்கள் வேலையை பெரிதும் எளிதாக்கும். பாருங்கள்:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \கீழ் \\ \இடது(x+7-\left(((x)^(2))) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\ end(matrix)\]
எனவே அதிவேக செயல்பாடுகள் எதுவும் இல்லை! அடையாளம் மாறுகிறதா இல்லையா என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டியதில்லை. ஆனால் அது எழுகிறது புதிய பிரச்சனை: ஃபக்கிங் பெருக்கியை என்ன செய்வது \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாது சரியான மதிப்புஎண்கள் π. இருப்பினும், கேப்டன் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுகிறார்:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\தோராயமாக 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
பொதுவாக, π இன் சரியான மதிப்பு உண்மையில் நம்மைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை - எந்த விஷயத்திலும் $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 என்பதை நாம் புரிந்துகொள்வது மட்டுமே முக்கியம். $, t.e. இது ஒரு நேர்மறை மாறிலி, மேலும் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் இதன் மூலம் நாம் பிரிக்கலாம்:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் நாம் கழித்தல் ஒன்றால் வகுக்க வேண்டியிருந்தது - சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறியது. முடிவில், நான் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி முக்கோணத்தை விரிவுபடுத்தினேன் - வேர்கள் $((x)_(1))=5$ மற்றும் $(x)_(2))=-1$ க்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. . பின்னர் எல்லாம் முடிவு செய்யப்படுகிறது கிளாசிக்கல் முறைஇடைவெளிகள்:
இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது அசல் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் அகற்றப்படுகின்றன. எதிர்மறை மதிப்புகள் உள்ள பிராந்தியத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், எனவே பதில் $x\in \இடது(-1;5 \right)$. அதுதான் தீர்வு :)
அடுத்த பணிக்குச் செல்வோம்:
\[(\இடது(2\sqrt(3)-3 \வலது))^((((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
இங்கே எல்லாம் பொதுவாக எளிமையானது, ஏனென்றால் வலதுபுறத்தில் ஒரு அலகு உள்ளது. பூஜ்ஜிய சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எந்த எண்ணும் ஒன்று என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். இந்த எண் இடதுபுறத்தில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடாக இருந்தாலும்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & ((\இடது(2\sqrt(3)-3 \வலது))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \வலது))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \வலது))^(0)); \\\முடிவு(சீரமை)\]
சரி, பகுத்தறிவோம்:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
அறிகுறிகளைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. காரணி $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ மாறி $x$ ஐக் கொண்டிருக்கவில்லை - இது ஒரு நிலையானது, அதன் அடையாளத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, பின்வருவனவற்றைக் கவனியுங்கள்:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\ end(matrix)\]
இரண்டாவது காரணி ஒரு நிலையானது அல்ல, ஆனால் எதிர்மறை மாறிலி என்று மாறிவிடும்! அதை வகுத்தால், அசல் சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & (((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
இப்போது எல்லாம் முற்றிலும் தெளிவாகிறது. வேர்கள் இருபடி முக்கோணம், வலதுபுறத்தில் நிற்கிறது: $((x)_(1))=0$ மற்றும் $((x)_(2))=2$. எண் வரிசையில் அவற்றைக் குறிக்கிறோம் மற்றும் செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளைப் பார்க்கிறோம் $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
பக்க இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருக்கும்போது வழக்கு கூட்டல் குறியுடன் குறிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:
அடுத்த உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்:
\[(\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^((((x)^(2))+2x)) \gt ((\இடது(\frac(1)(9)) \ வலது))^(16-x))\]
சரி, எல்லாம் இங்கே முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது: அடிப்படைகள் அதே எண்ணின் சக்திகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. எனவே, எல்லாவற்றையும் சுருக்கமாக எழுதுகிறேன்:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \கீழ் \\ ((\இடது((3)^(-1)) \வலது))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\இடது((3)^(-2)) \வலது))^(16-x)) \\\ end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ இடது(16-x \வலது))); \\ & ((3)^(-(((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, உருமாற்ற செயல்பாட்டின் போது நாம் எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்க வேண்டியிருந்தது, எனவே சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறியது. இறுதியில், நான் மீண்டும் வியட்டாவின் தேற்றத்தை இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாகப் பயன்படுத்தினேன். இதன் விளைவாக, பதில் பின்வருவனவாக இருக்கும்: $x\in \left(-8;4 \right)$ - எண் கோடு வரைந்து, புள்ளிகளைக் குறிப்பதன் மூலம் மற்றும் அடையாளங்களை எண்ணுவதன் மூலம் இதை யார் வேண்டுமானாலும் சரிபார்க்கலாம். இதற்கிடையில், எங்கள் "தொகுப்பில்" இருந்து கடைசி சமத்துவமின்மைக்கு செல்வோம்:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடிவாரத்தில் மீண்டும் ஒரு விகிதாசார எண் உள்ளது, வலதுபுறத்தில் மீண்டும் ஒரு அலகு உள்ளது. எனவே, எங்கள் அதிவேக சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\[(\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) வலது))^(0))\]
நாங்கள் பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
இருப்பினும், $1-\sqrt(2) \lt 0$, $\sqrt(2)\தோராயமாக 1,4... \gt 1$ என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. எனவே, இரண்டாவது காரணி மீண்டும் ஒரு எதிர்மறை மாறிலி ஆகும், இதில் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கலாம்:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\ end(align)\]
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது ஒரு தனி சிக்கல் "சரியான" அடிப்படைக்கான தேடலாகும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, ஒரு பணியின் முதல் பார்வையில், இந்த அடிப்படையின் அளவிற்கு எதை அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும், என்ன செய்ய வேண்டும் என்பது எப்போதும் தெளிவாகத் தெரியவில்லை.
ஆனால் கவலைப்பட வேண்டாம்: இங்கே மந்திரம் அல்லது "ரகசிய" தொழில்நுட்பம் இல்லை. கணிதத்தில், அல்காரிதமைஸ் செய்ய முடியாத எந்தத் திறமையையும் பயிற்சியின் மூலம் எளிதாக வளர்க்க முடியும். ஆனால் இதற்காக நீங்கள் சிக்கலான பல்வேறு நிலைகளின் சிக்கல்களை தீர்க்க வேண்டும். உதாரணமாக, இது போன்றது:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ முடிவு(சீரமைப்பு)\]
சிரமமா? பயங்கரமா? நிலக்கீல் மீது கோழி அடிப்பதை விட இது எளிதானது! நாம் முயற்சிப்போம். முதல் சமத்துவமின்மை:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
சரி, இங்கே எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்:
அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுகிறோம், எல்லாவற்றையும் அடிப்படை இரண்டாகக் குறைக்கிறோம்:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
ஆம், ஆம், நீங்கள் சரியாகக் கேட்டீர்கள்: மேலே விவரிக்கப்பட்ட பகுத்தறிவு முறையைப் பயன்படுத்தினேன். இப்போது நாம் கவனமாக வேலை செய்ய வேண்டும்: எங்களிடம் ஒரு பகுதியளவு-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை உள்ளது (இது வகுப்பில் மாறி உள்ளது), எனவே எதையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்துவதற்கு முன், எல்லாவற்றையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து நிலையான காரணியிலிருந்து விடுபட வேண்டும். .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
இப்போது நாம் நிலையான இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். எண் பூஜ்ஜியங்கள்: $x=\pm 4$. $x=0$ ஆக இருக்கும் போது மட்டுமே வகுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும். மொத்தம் மூன்று புள்ளிகள் எண் கோட்டில் குறிக்கப்பட வேண்டும் (சமத்துவமின்மை குறி கண்டிப்பாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் பின் செய்யப்பட்டுள்ளன). நாங்கள் பெறுகிறோம்:
மேலும் கடினமான வழக்கு: மூன்று வேர்கள் நீங்கள் யூகித்தபடி, இடதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் அந்த இடைவெளிகளை நிழல் குறிக்கிறது. எனவே, இறுதி பதில் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு இடைவெளிகளை உள்ளடக்கும்:
அசல் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருந்ததால், இடைவெளிகளின் முனைகள் பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை. இந்த பதிலை மேலும் சரிபார்க்க தேவையில்லை. இது சம்பந்தமாக, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் மடக்கைகளை விட மிகவும் எளிமையானவை: ODZ இல்லை, கட்டுப்பாடுகள் இல்லை, முதலியன.
அடுத்த பணிக்குச் செல்வோம்:
\[((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
$\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பதால் இங்கும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, எனவே முழு சமத்துவமின்மையும் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & ((\இடது((3)^(-1)) \வலது))^(\frac(3)(x))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\இடது(-2 \வலது) \வலது. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: மூன்றாவது வரியில் நான் அற்ப விஷயங்களில் நேரத்தை வீணாக்க வேண்டாம் என்று முடிவு செய்தேன், உடனடியாக எல்லாவற்றையும் (-2) ஆல் வகுக்கிறேன். மினுல் முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் சென்றது (இப்போது எல்லா இடங்களிலும் பிளஸ்கள் உள்ளன), மேலும் இரண்டு நிலையான காரணியுடன் குறைக்கப்பட்டது. சுயாதீனமான மற்றும் சோதனை வேலைக்கான உண்மையான கணக்கீடுகளைத் தயாரிக்கும் போது நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இதுதான் - ஒவ்வொரு செயலையும் மாற்றத்தையும் நேரடியாக விவரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
அடுத்து, இடைவெளிகளின் பழக்கமான முறை செயல்பாட்டுக்கு வருகிறது. எண் பூஜ்ஜியங்கள்: ஆனால் எதுவும் இல்லை. ஏனெனில் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும். இதையொட்டி, கடந்த முறை போலவே $x=0$ - க்கு மட்டும் வகுப்பு மீட்டமைக்கப்படும். சரி, $x=0$ இன் வலதுபுறத்தில் உள்ள பின்னம் நேர்மறை மதிப்புகளையும், இடதுபுறம் - எதிர்மறையையும் எடுக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. எதிர்மறை மதிப்புகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருப்பதால், இறுதி பதில்: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளில் தசம பின்னங்களை நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும்? அது சரி: அவற்றை அகற்றி, அவற்றை சாதாரணமாக மாற்றவும். இங்கே நாம் மொழிபெயர்ப்போம்:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=(\left(\ frac(25) (4)\வலது))^(x)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
அதிவேக செயல்பாடுகளின் அடித்தளத்தில் நாம் என்ன பெற்றோம்? எங்களுக்கு இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் எண்கள் கிடைத்தன:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4)) \ வலது))^(x))=((\left((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\\ இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(-x))\]
எனவே, அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x))\cdot ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \வலது))^(0)); \\ & ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(x+1))\ge ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(0) ) \\\முடிவு(சீரமை)\]
நிச்சயமாக, அதே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும் போது, அவற்றின் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, இது இரண்டாவது வரியில் நடந்தது. கூடுதலாக, நாங்கள் வலதுபுறத்தில் உள்ள யூனிட்டைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம், மேலும் அடிப்படை 4/25 இல் ஒரு சக்தியாகவும் இருந்தோம். பகுத்தறிவு செய்வது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:
\[(\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(x+1))\ge ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, அதாவது. இரண்டாவது காரணி எதிர்மறை மாறிலி, மற்றும் அதை வகுத்தால், சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறும்:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
இறுதியாக, தற்போதைய "தொகுப்பில்" இருந்து கடைசி சமத்துவமின்மை:
\[(\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
கொள்கையளவில், இங்கே தீர்வின் யோசனையும் தெளிவாக உள்ளது: எல்லாம் அதிவேக செயல்பாடுகள், சமத்துவமின்மையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படை "3" க்கு குறைக்கப்பட வேண்டும். ஆனால் இதற்காக நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் சக்திகளுடன் சிறிது டிங்கர் செய்ய வேண்டும்:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
இந்த உண்மைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & (\இடது(((3)^(\frac(8)(3))) \வலது))^(-x)) \lt ((\இடது((3)) ^(2))\வலது))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
கணக்கீடுகளின் 2 வது மற்றும் 3 வது வரிகளுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்: சமத்துவமின்மையுடன் எதையும் செய்வதற்கு முன், பாடத்தின் ஆரம்பத்திலிருந்தே நாம் பேசிய படிவத்திற்கு அதைக் கொண்டு வர மறக்காதீர்கள்: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. இடது அல்லது வலதுபுறத்தில் சில இடது கை காரணிகள், கூடுதல் மாறிலிகள் போன்றவை இருக்கும் வரை, எந்த ஒரு பகுத்தறிவு அல்லது அடிப்படைகளை "குறுக்குதலும்" செய்ய முடியாது! இந்த எளிய உண்மையைப் புரிந்துகொள்ளத் தவறியதால் எண்ணற்ற பணிகள் தவறாக முடிக்கப்பட்டுள்ளன. அதிவேக மற்றும் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யத் தொடங்கும் போது, எனது மாணவர்களுடன் இந்த சிக்கலை நானே தொடர்ந்து கவனிக்கிறேன்.
ஆனால் நம் பணிக்குத் திரும்புவோம். இந்த முறை பகுத்தறிவு இல்லாமல் செய்ய முயற்சிப்போம். நாம் நினைவில் கொள்வோம்: பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, எனவே மும்மடங்குகளை வெறுமனே கடக்க முடியும் - சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ end(align)\]
அவ்வளவுதான். இறுதி பதில்: $x\in \இடது(-\infty ;3 \right)$.
முடிவில், இன்னும் நான்கு அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க நான் முன்மொழிகிறேன், அவை ஏற்கனவே ஆயத்தமில்லாத மாணவர்களுக்கு மிகவும் கடினமாக உள்ளன. அவற்றைச் சமாளிக்க, டிகிரிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். குறிப்பாக, பொதுவான காரணிகளை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது.
ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அடைப்புக்குறிக்குள் சரியாக என்ன எடுக்க முடியும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது. அத்தகைய வெளிப்பாடு நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது - இது ஒரு புதிய மாறியால் குறிக்கப்படலாம், இதனால் அதிவேக செயல்பாட்டிலிருந்து விடுபடலாம். எனவே, பணிகளைப் பார்ப்போம்:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
முதல் வரியிலிருந்து தொடங்குவோம். இந்த சமத்துவமின்மையை தனித்தனியாக எழுதுவோம்:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, எனவே வலது கை பக்கத்தை மீண்டும் எழுதலாம்:
சமத்துவமின்மையில் $((5)^(x+1))$ தவிர வேறு எந்த அதிவேக செயல்பாடுகளும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பொதுவாக, $x$ மாறி வேறு எங்கும் தோன்றாது, எனவே ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $((5)^(x+1))=t$. பின்வரும் கட்டுமானத்தை நாங்கள் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ end(align)\]
அசல் மாறிக்கு ($t=(5)^(x+1))$) திரும்புவோம், அதே நேரத்தில் 1=5 0 என்பதை நினைவில் கொள்க. எங்களிடம் உள்ளது:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
அதுதான் தீர்வு! பதில்: $x\in \இடது[ -1;+\infty \right)$. இரண்டாவது சமத்துவமின்மைக்கு செல்லலாம்:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
இங்கே எல்லாம் ஒன்றுதான். $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . பின்னர் இடது பக்கத்தை மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\முடிவு(சீரமை)\]
உண்மையான சோதனைகள் மற்றும் சுயாதீனமான வேலைகளுக்கான தீர்வை நீங்கள் தோராயமாக எப்படி வரைய வேண்டும்.
சரி, இன்னும் சிக்கலான ஒன்றை முயற்சிப்போம். உதாரணமாக, இங்கே சமத்துவமின்மை:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
இங்கே என்ன பிரச்சனை? முதலாவதாக, இடதுபுறத்தில் உள்ள அதிவேக சார்புகளின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை: 5 மற்றும் 25. இருப்பினும், 25 = 5 2, எனவே முதல் சொல்லை மாற்றலாம்:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\ end(align )\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதலில் நாங்கள் எல்லாவற்றையும் கொண்டு வந்தோம் அதே அடிப்படையில், பின்னர் முதல் வார்த்தை எளிதாக இரண்டாவது குறைக்க முடியும் என்று கவனித்தனர் - நீங்கள் அடுக்கு விரிவாக்க வேண்டும். இப்போது நீங்கள் ஒரு புதிய மாறியை பாதுகாப்பாக அறிமுகப்படுத்தலாம்: $((5)^(2x+2))=t$, மேலும் முழு சமத்துவமின்மையும் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ end(align)\]
மீண்டும், எந்த சிரமமும் இல்லை! இறுதி பதில்: $x\in \இடது[ 1;+\infty \right)$. இன்றைய பாடத்தில் இறுதி சமத்துவமின்மைக்கு செல்லலாம்:
\[(\இடது(0.5 \வலது))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டிய முதல் விஷயம், நிச்சயமாக, தசமமுதல் பட்டத்தின் அடிப்பகுதியில். அதிலிருந்து விடுபடுவது அவசியம், அதே நேரத்தில் அனைத்து அதிவேக செயல்பாடுகளையும் ஒரே தளத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் - எண் "2":
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\இடது((2)^(-1)) \வலது))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ரைட்டாரோ ((16)^(x+1.5))=((\இடது((2)^(4)) \வலது))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\ end(align)\]
அருமை, நாங்கள் முதல் படியை எடுத்துவிட்டோம் - எல்லாமே ஒரே அடித்தளத்திற்கு இட்டுச் சென்றது. இப்போது நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் நிலையான வெளிப்பாடு. கவனிக்கவும் $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. நாம் ஒரு புதிய மாறி $((2)^(4x+6))=t$ ஐ அறிமுகப்படுத்தினால், அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\முடிவு(சீரமை)\]
இயற்கையாகவே, கேள்வி எழலாம்: 256 = 2 8 என்பதை எப்படி கண்டுபிடித்தோம்? துரதிர்ஷ்டவசமாக, இங்கே நீங்கள் இரண்டின் சக்திகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (அதே நேரத்தில் மூன்று மற்றும் ஐந்து சக்திகள்). சரி, அல்லது 256 ஐ 2 ஆல் வகுக்கவும் (நீங்கள் வகுக்கலாம், ஏனெனில் 256 ஒரு இரட்டை எண் என்பதால்) முடிவு கிடைக்கும் வரை. இது இப்படி இருக்கும்:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
மூன்று (9, 27, 81 மற்றும் 243 எண்கள் அதன் டிகிரி) மற்றும் ஏழு (49 மற்றும் 343 எண்களும் நினைவில் கொள்வது நன்றாக இருக்கும்) ஆகியவற்றிலும் இது பொருந்தும். சரி, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய "அழகான" பட்டங்களும் ஐந்தில் உள்ளன:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\முடிவு(சீரமை)\]
நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால், இந்த எண்கள் அனைத்தையும் ஒன்றன்பின் ஒன்றாகப் பெருக்குவதன் மூலம் உங்கள் மனதில் மீட்டெடுக்க முடியும். இருப்பினும், நீங்கள் பல அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க வேண்டியிருக்கும் போது, அடுத்தவை ஒவ்வொன்றும் முந்தையதை விட கடினமாக இருக்கும் போது, நீங்கள் கடைசியாக சிந்திக்க விரும்புவது சில எண்களின் சக்திகள். இந்த அர்த்தத்தில், இந்த சிக்கல்கள் இடைவெளி முறையால் தீர்க்கப்படும் "கிளாசிக்கல்" ஏற்றத்தாழ்வுகளை விட மிகவும் சிக்கலானவை.
