РОЗДІЛ I.
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ.
§11. СМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ.
1. Суміжні кути.
Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (чорт. 72): / А ВС та / СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші АВ і ВD становлять пряму лінію.
Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.
Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.
Наприклад, /
АDF та /
FDВ - кути суміжні (рис. 73).
Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (чорт. 74).
Суміжні кути в сумі складають розгорнутий кут, тому з умма двох суміжних кутів дорівнює 2d.
Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.
Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.
Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 3/5 d, то другий кут дорівнюватиме:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Вертикальні кути.
Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На кресленні 75 кути EOF і АОС-вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін іншого кута.
Нехай / 1 = 7 / 8 d(чорт. 76). Сумежний із ним / 2 дорівнюватиме 2 d- 7 / 8 d, Т. е. 1 1 / 8 d.
Так само можна обчислити, чому рівні /
3 та /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(чорт. 77).
Ми бачимо, що / 1 = / 3 та / 2 = / 4.
Можна вирішити ще кілька таких самих завдань, і щоразу виходитиме той самий результат: вертикальні кути рівні між собою.
Однак, щоб переконатися, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові прикладиОскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути і помилковими.
Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом міркування, шляхом підтвердження.
Доказ можна провести в такий спосіб (чорт. 78):
/
a +/
c = 2d;
/
b +/
c = 2d;
(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 2 d).
/ a +/ c = / b +/ c
(так як і ліва частина цієї рівності дорівнює 2 d, і права його частина теж дорівнює 2 d).
У цю рівність входить той самий кут з.
Якщо ми від рівних величинзаберемо порівну, то й залишиться порівну. В результаті вийде: / a = / b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.
При розгляді питання про вертикальні кути ми спочатку пояснили, які кути називаються вертикальними, тобто дали визначеннявертикальних кутів.
Потім ми висловили судження (ствердження) про рівність вертикальних кутів і в справедливості цієї думки переконалися шляхом доказу. Такі судження, справедливість яких треба доводити, називаються теоремами. Таким чином, у даному параграфі ми дали визначення вертикальних кутів, а також висловили та довели теорему про їхню властивість.
Надалі щодо геометрії нам завжди доведеться зустрічатися з визначеннями і доказами теорем.
3. Сума кутів, що мають загальну вершину.
На кресленні 79 /
1, /
2, /
3 та /
4 розташовані по один бік прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
На кресленні 80 / 1, / 2, / 3, / 4 та / 5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Вправи.
1. Один із суміжних кутів дорівнює 0,72 d.Обчислити кут, складений бісектрисами цих суміжних кутів.
2. Довести, що бісектриси двох суміжних кутів утворюють прямий кут.
3. Довести, що якщо два кути рівні, то рівні та їх суміжні кути.
4. Скільки пар суміжних кутів на кресленні 81?
5. Чи може пара суміжних кутів складатися із двох гострих кутів? із двох тупих кутів? з прямого та тупого кута? з прямого та гострого кута?
6. Якщо один із суміжних кутів прямий, то що можна сказати про величину суміжного з ним кута?
7. Якщо при перетині двох прямих ліній один кут прямий, то що можна сказати про величину решти трьох кутів?
Два кути розміщені на одній прямій і мають одну вершину називаються суміжними.
Інакше - якщо сума двох кутів на одній прямій дорівнює 180 градусів і одна сторона у них загальна, це суміжні кути.
1 суміжний кут + 1 суміжний кут = 180 градусів.
Сумежні кути-це два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші сторони в цілому утворюють пряму лінію.
Сума двох суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусів. Наприклад, якщо один кут 60 градусів, то другий обов'язково дорівнюватиме 120 градусам (180-60).
Кути АОС та ВОС є суміжними кутами, тому що дотримуються всі умови характеристики суміжних кутів:
1.ОС-загальна сторона двох кутів
2.АО -сторона кута АОС, ОВ -сторона кута ВОС. Разом ці сторони утворюють пряму лінію АОВ.
3. Кута два і сума їх дорівнює 180 градусів.
Згадуючи шкільний курс геометрії, про суміжні кути ми можемо сказати таке:
у суміжних кутів – одна сторона загальна, а інші дві сторони належать одній прямій, тобто знаходяться на одній прямій. Якщо на малюнку, то кути СОВ і ВОА - це суміжні кути, сума яких завжди дорівнює 180, оскільки вони поділяють розгорнутий кут, а розгорнутий кут завжди дорівнює 180 .
Суміжні кути концепції легко в геометрії. Суміжні кути, кут плюс кут дають 180 градусів у загальній сумі.
Два суміжні кути – це буде один розгорнутий кут.
Є ще кілька властивостей. З суміжними кутами завдання вирішувати і теореми легко доказувати.
Суміжні кути утворюються під час проведення променя з довільної точки прямої. Тоді ця довільна точка виявляється вершиною кута, промінь - загальною стороною суміжних кутів, а пряма від якої проведений промінь - двома сторонами суміжних кутів, що залишилися. Сумежні кути можуть бути як однаковими у разі перпендикуляра, так і відрізнятимуться при похилому промені. Легко зрозуміти, що сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів або прямої лінії. Інакше цей кут можна пояснити простим прикладом- ви спершу йшли в одному напрямку по прямій, потім передумали, вирішили повернутися назад і розвернувшись на 180 градусів вирушили по тій же прямій у зворотному напрямку.
Отже, що таке суміжний кут? Визначення:
Сумежними називаються два кути із загальною вершиною та однією спільною стороною, причому дві інші сторони цих кутів лежать на одній прямій.
І невеликий відеоурок, де розумно показано про суміжні кути, вертикальні кути, плюс про перпендикулярні прямі, які є окремим випадком суміжних і вертикальних кутів.
Сумежні кути – це кути, у яких одна сторона спільна, а друга є однією лінією.
Сумежні кути - це кути, що залежать один від одного. Тобто якщо загальну строну трохи повернути, то один кут зменшиться на скільки градусів і автоматично другий кут збільшиться на стільки ж градусів. Ця властивість суміжних кутів дозволяє в Геометрії вирішувати різні завданнята здійснювати докази різних теорем.
Загальна сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусів.
З курсу геометрії (наскільки я пам'ятаю за 6 клас) суміжними називаються два кути, у яких одна сторона загальна, а інші сторони є додатковими променями, сума суміжних кутів дорівнює 180. Кожен із двох суміжних кутів доповнює інший до розгорнутого кута. Приклад суміжних кутів:
Сумежні кути це два кути із загальною вершиною, одна зі сторін яких загальна, а сторони, що залишилися, лежать на одній прямій (не збігаючись). Сума суміжних кутів дорівнює ста вісімдесяти градусів. А взагалі все це дуже легко перебуває у гугле чи підручнику геометрії.
Початкові відомості про кути
Нехай нам дано два довільні промені. Накладемо їх початки один на одного. Тоді
Визначення 1
Кутом називатимемо два промені, які мають один і теж початок.
Визначення 2
Точка, яка є початком променів у межах визначення 3, називається вершиною цього кута.
Кут будемо позначати наступними трьома її точками: вершиною, точкою одному з променів і точкою іншому промені, причому вершина кута записується у його позначення (рис. 1).
Визначимо тепер, що таке величина кута.
Для цього необхідно вибрати якийсь «еталонний» кут, який ми прийматимемо за одиницю. Найчастіше таким кутом є кут, що дорівнює $\frac(1)(180)$ частини розгорнутого кута. Таку величину називають градусом. Після вибору такого кута ми з ним проводимо порівняння кутів, величину якого потрібно знайти.
Існують 4 види кутів:
Визначення 3
Кут називається гострим, якщо він менший за $90^0$.
Визначення 4
Кут називається тупим, якщо він більший за $90^0$.
Визначення 5
Кут називається розгорнутим, якщо він дорівнює $180^0$.
Визначення 6
Кут називається прямим, якщо він дорівнює $90^0$.
Крім таких видів кутів, які описані вище, можна виділяти види кутів по відношенню їх один до одного, а саме вертикальні та суміжні кути.
Розглянемо розгорнутий кут $COB$. З його вершини проведемо промінь $OA$. Цей промінь розділить первісний на два кути. Тоді
Визначення 7
Два кути називатимемо суміжними, якщо одна пара їх сторін є розгорнутим кутом, а інша пара збігається (рис. 2).
У даному випадкукути $COA$ і $BOA$ є суміжними.
Теорема 1
Сума суміжних кутів дорівнює $180^0$.
Доведення.
Розглянемо рисунок 2.
За визначенням 7, у ньому кут $COB$ дорівнюватиме $180^0$. Так як друга пара сторін суміжних кутів збігається, то промінь $OA$ розділятиме розгорнутий кут на 2, отже
$∠COA+∠BOA=180^0$
Теорему доведено.
Розглянемо розв'язання задачі за допомогою даного поняття.
Приклад 1
Знайти кут $C$ з малюнка нижче
За визначенням 7 отримуємо, що кути $BDA$ та $ADC$ є суміжними. Отже, за теоремою 1, отримаємо
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=1800-59^0=121^0$
По теоремі про суму кутів у трикутнику, матимемо
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Відповідь: $ 40 ^ 0 $.
Розглянемо розгорнуті кути $AOB$ та $MOC$. Сумісимо їх вершини між собою (тобто накладемо точку $O"$ на точку $O$) так, щоб ніякі сторони цих кутів не співпали.
Визначення 8
Два кути називатимемо вертикальними, якщо пари їх сторін є розгорнутими кутами, а їх величини збігаються (рис. 3).
У цьому випадку кути $MOA$ і $BOC$ є вертикальними та кути $MOB$ і $AOC$ також вертикальні.
Теорема 2
Вертикальні кути дорівнюють між собою.
Доведення.
Розглянемо рисунок 3. Доведемо, наприклад, що кут $MOA$ дорівнює куту $BOC$.
Два кути називаються суміжними, якщо вони одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими променями. На малюнку 20 кути АОВ та ВОС суміжні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °
Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Доведення. Промінь ОВ (див. рис.1) проходить між сторонами розгорнутого кута. Тому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180 °.
З теореми 1 випливає, що якщо два кути дорівнюють, то суміжні з ними кути рівні.
Вертикальні кути рівні
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Кути АОВ та COD, BOD та АОС, утворені при перетині двох прямих, є вертикальними (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальні кути рівні.
Доведення. Розглянемо вертикальні кути АОВ та COD (див. рис. 2). Кут BOD є суміжним для кожного з кутів АОВ та COD. По теоремі 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.
Звідси укладаємо, що АОВ = ∠ COD.
Наслідок 1. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.
Розглянемо дві прямі АС і BD, що перетинаються (рис.3). Вони утворюють чотири кути. Якщо один із них прямий (кут 1 на рис.3), то інші кути також прямі (кути 1 і 2, 1 і 4 - суміжні, кути 1 і 3 - вертикальні). І тут кажуть, що це прямі перетинаються під прямим кутом і називаються перпендикулярними (чи взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих АС та BD позначається так: AC ⊥ BD.
Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить крізь його середину.
АН - перпендикуляр до прямої
Розглянемо пряму а і точку А, що не лежить на ній (рис.4). З'єднаємо точку А відрізком із точкою Н прямою а. Відрізок АН називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої, якщо прямі АН і а перпендикулярні. Точка Н називається основою перпендикуляра.
Креслярський косинець
Справедлива наступна теорема.
Теорема 3. З будь-якої точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж тільки один.
Для проведення на кресленні перпендикуляра з точки прямої використовують креслярський косинець (рис.5).
Зауваження. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Ця частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається укладанням теореми. Наприклад, умова теореми 2 – кути вертикальні; висновок – ці кути рівні.
Будь-яку теорему можна докладно висловити словами отже її умова буде починатися словом «якщо», а висновок - словом «то». Наприклад, теорему 2 можна докладно висловити так: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні».
приклад 1.Один із суміжних кутів дорівнює 44°. Чому дорівнює інший?
Рішення.
Позначимо градусну міру іншого кута через x тоді відповідно до теореми 1.
44 ° + х = 180 °.
Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо, що х = 136 °. Отже, інший кут дорівнює 136 °.
приклад 2.Нехай малюнку 21 кут COD дорівнює 45°. Чому рівні кути АОВ та АОС?
Рішення.
Кути COD та АОВ вертикальні, отже, за теоремою 1.2 вони рівні, тобто ∠ АОВ = 45°. Кут АОС суміжний з кутом COD, отже, теорема 1.
∠ АОС = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.
приклад 3.Знайти суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за інший.
Рішення.
Позначимо градусну міру меншого кута через х. Тоді градусний захід більшого кута буде Зх. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, звідки х = 45°.
Значить, суміжні кути дорівнюють 45 ° і 135 °.
приклад 4.Сума двох вертикальних кутів дорівнює 100 °. Знайти величину кожного із чотирьох кутів.
Рішення.
Нехай умові задачі відповідає малюнок 2. Вертикальні кути COD до АОВ рівні (теорема 2), отже, рівні їх градусні заходи. Тому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (їх сума за умовою 100°). Кут BOD (також і кут АОС) суміжний з кутом COD, і, отже, теорема 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180 ° - 50 ° = 130 °.
Кути, у яких одна сторона загальна, а інші сторони лежать на одній прямій (на рис. Кути 1 і 2 суміжні). Мал. до ст. Суміжні кути. Велика Радянська Енциклопедія
СМІЖНІ КУТИ- кути, що мають загальну вершину та одну спільну сторону, а дві ін. їх сторони лежать на одній прямій … Велика політехнічна енциклопедія
Див. Кут … Великий Енциклопедичний словник
СМІЖНІ КУТИ, два кути, сума яких дорівнює 180°. Кожен із цих кутів доповнює інший до розгорнутого кута. Науково-технічний енциклопедичний словник
Див. Кут. * * * СМІЖНІ КУТИ ЗМІЖНІ КУТИ, див. Кут (див. КУТ) … Енциклопедичний словник
- (Angles adjacents) такі, що мають спільну вершину та спільну сторону. Переважно під цим ім'ям маються на увазі такі С. кути, яких інші дві сторони лежать по протилежним напрямкамоднієї прямої, проведеної через вершину … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
Див. Кут … Природознавство. Енциклопедичний словник
Дві прямі перетинаються, утворюючи пару вертикальних кутів. Одна пара складається з кутів A і B, інша з C і D. У геометрії два кути називаються вертикальними, якщо вони створені перетином двох … Вікіпедія
Пара комплементарних кутів, що доповнюють один одного до 90 градусів Комплементарні кути це пара кутів, які доповнюють один одного до 90 градусів. Якщо два комплементарні кути є сусідніми (тобто мають спільну вершину і поділяються тільки…)
Пара додаткових кутів, що доповнюють один одного до 90 градусів Додаткові кути це пара кутів, які доповнюють один одного до 90 градусів. Якщо два додаткові кути є з … Вікіпедія
