У завданнях ЄДІз математики обов'язково зустрінеться дослідження функції за допомогою похідної. Математичний аналіз– не найпростіша у світі річ. Але в КІМах не зустрічається такого, з чим би не впорався учень середньої школиякщо він доклав достатньо старань до навчання.
Розбиратимемося разом, що таке похідна і як її застосовувати при дослідженні функції.
Накресліть вісь координат та побудуйте будь-яку елементарну функцію. Наприклад, параболу для функції у = х 2.
Ви самі бачите, що на деякій ділянці функція зменшується, на іншій – зростає. Тобто, змінюється. Ось цю динаміку, іншими словами, швидкість, з якою функція змінюється, відображає похідна(у" = f'(x)).
Наприклад, позначте на своєму кресленні точку на осі Х, нехай наша точка буде під цифрою 1 – це х1, на цифрі 2 буде х2. Далі будемо оперувати такими поняттями, як збільшення аргументу – ∆х і збільшення функції – ∆у. Що це таке? ∆х показує, як функція змінюється по осі Х, ∆у відображає зміну функції осі У.
Припустимо, ми рухаємося за графіком від точки x 1 до точки x 2 . Переміщення вправо по осі Х відображає збільшення аргументу ∆х, викликане ним переміщення вгору по осі У – збільшення функції ∆у. Ми можемо об'єднати обидві величини в нерівності ∆у/∆х > 0, оскільки збільшення позитивні – адже ми рухаємося вгору за зростаючим графіком, «по ходу руху».
Ми взяли дві досить далеко віддалені один від одного точки. Але взагалі можемо підібрати ∆х для будь-якої точки на вибраному відрізку, щоб отримати ∆у > 0. І на будь-якій ділянці, де функція зменшується, ми можемо підібрати таке збільшення аргументу, при якому ∆у< 0 и ∆у/∆х < 0.
Чим меншу відстань ми розглядатимемо, тим точніше опишемо швидкість зміни функції. Адже не всі графіки такі прості, як цей. Тому кажуть, що збільшення аргументу прагнути нуля (∆х → 0), тобто. до мінімального свого значення.
Можлива і така нерівність: ∆у/∆х = 0 у верхній і нижній точці графіка. У нашому випадку вона посідає початок координат.
Записана нами нерівність ∆у/∆х відображає суть похідної – мова йдепро межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу.
Ми почали з того, що вибрали точку, від якої «стартує» наше збільшення функції. Іншими словами, ми визначали збільшення функції в точці х 1.
Отже, похідної функції у точці х 1 називають межу збільшення функції ∆у до збільшення аргументу ∆х у цій точці, при тому, що ∆х → 0.
Записати сказане можна так: f"(х 1) = lim х→0 f (х 1 + ∆х) – f(х 1) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Можна також провести дотичну до графіка у точці х 1 тоді похідну можна виразити через тангенс кута її нахилу до графіка: f"(х 1) = lim х→0 ∆у/∆х = tgφ.
Якщо межа має межі (тобто вона кінцева), можливо диференціюватифункцію у точці. Це також означатиме, що в цій точці функція є безперервною. ∆х → 0, але ∆х ≠ 0. До речі, з одного того, що функція безперервна, зовсім не випливає, що цю функцію можна диференціювати в обов'язковому порядку.
Якщо ви зацікавилися, як же так, пропоную вам знайти відповідний приклад самостійно - не все ж таки готовим на блюдечку отримувати. Тим більше, що для завдань ЄДІ знати це вам не обов'язково. І навіть, блюзнірську річ скажу, можна не розуміти, що таке похідна. Головне навчитися її шукати.
Зараз ми говорили про похідну в точці х 1 , але аналогічним чином ми можемо зробити ті самі маніпуляції з будь-якою іншою точкою, тому маємо право записати формулу похідної функції так: f"(х) = lim х→0 f (х+ ∆х ) – f(х) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х.
Ось кілька похідних для прикладу, більше їх ви знайдете в похідних таблиці, а деякі рекомендується запам'ятати з часом:
Диференціювати – значить виділити деякі ознаки, у випадку з функцією – швидкість її зміни, про це ми вже говорили. Тобто. обчислити похідну.
Для обчислення похідної (диференціювання) різних функцій існують певні загальні правила. Зараз ми їх коротко згадаємо, скориставшись статтею Олександра Ємеліна з чудового сайту, присвяченого найвищій математиці mathprofi.ru.
Y = 3cos x, y' = (3 cos x)' = 3 (cos x)' = 3(-sin x) = -3sin x;
Y = 6 + x + 3x 2 – sin x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y' = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x )' = (6)' + (x)' + 3(x 2)' – (sin x)' – 2(x 1/3)'+ (x -2)' – 11(ctgx)' = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 - 2/x 3 + 11/sin 2 x;
Y = x 3 arcsin x, y' = (x 3 arcsin x)' = (x 3)' * arcsin x + x 3 * (arcsin x)'= 3x 2 arcsin x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 arcsin x + x 3 /√1 - x 2;
Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y' = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)' = 2 (3x – 4/ x 2 +1)' = 2 * ((3x – 4)'* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)'/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x / (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3) / (x 2 + 1) 2;
Отже, із приказкою розібралися, розпочинаємо саму казку. У частині КІМів з математики вам гарантовано трапиться одне або навіть декількох завдань, що включають дослідження функції за допомогою похідної. Наприклад, може знадобитися досліджувати функцію на екстремуми, визначити її монотонність і т.д.
За допомогою похідної можна визначити:
Складність таких завдань залежить насамперед від того, яка функція потрапить вам за умовою. Але загальний алгоритм дій залишиться для вас незмінним у будь-якому разі. От і розберемо все по порядку.
Монотонність функції.Простіше кажучи, визначення ділянок, у яких функція залишається постійної, тобто. "монотонної". А змінюється функція в критичних точках, але це нижче.
Порядок дій:
Функція зростає, якщо більше значення функції відповідає більшого значенняаргументу: х 2 > х 1 та f(х 2) > f(х 1) на вибраному інтервалі. Графік у своїй рухається знизу нагору.
Функція зменшується, якщо менше значення функції відповідає більшому значенню аргументу: х 2 > х 1 і f(х 2)< f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.
Оскільки функція зростає та зменшується в рамках інтервалу, її можна назвати строго монотонною. А дослідження функції на монотонність передбачає, що йдеться саме про інтервали суворої монотонності.
Функція також може не зменшуватися на інтервалі: f(х 2) ≥ f(х 1) – незменшена функція. І аналогічно не зростати на інтервалі: f(х 2) ≤ f(х 1) – функція, що не зростає.
Достатні умови монотонності функції:
Критичною точкоюназивають ту, у якій похідна дорівнює нулю чи її значення немає. Вона може одночасно бути точкою екстремуму, але може нею не бути. Але про це далі.
Екстремуми функції.Тобто. такі значення змінної, при якій функція досягає своїх максимальних і мінімальних значень.
Порядок дій:
Необхідна умова екстремуму:
Як уже говорилося вище, точка екстремуму може і не співпадати з критичною точкою. Наприклад, для функції у = х 3 (рис.1), у = х (рис 2.), у = 3 х точка екстремуму відсутня в критичній точці.
Достатні умови екстремуму:
Якщо під час переходу через точку х 0 змінюється знак похідної з «+» на «-», то цій точці функція сягає свого максимуму: f"(х) > 0 при х< х 0 и f"(х) < 0 при х >х 0 .
Якщо під час переходу через точку х 0 змінюється знак похідної з «-» на «+», то цій точці функція досягає свого мінімуму: f"(х)< 0 при х < х 0 и f"(х) >0 при х > х 0 .
На графіці точки екстремуму відбивають значення осі Х, а екстремуми – значення осі У. Їх ще називають точками локального екстремумуі локальними екстремумами. Але прямо зараз знання про відмінності між локальними та глобальнимиекстремумами вам не потрібно, тому зупинятись на цьому не будемо.
Максимум і мінімум функції - не тотожні поняття з її найбільшим та найменшим значенням. Про те, що ж таке, нижче.
Найбільше та найменше значення функції, яка безперервна на відрізку.Ми розглядаємо функцію на вибраному відрізку. Якщо функція в його межах є безперервною, то її найбільша і найменше значенняна відрізку припадають або критичні точки, які йому належать, або точки на його кінцях.
Порядок дій:
Навіщо нам досліджувати функцію з допомогою похідної? Потім краще зрозуміти, як виглядає її графік. Так, зараз у підручниках перед вами готові графіки до добре вивчених елементарних функцій. Але в реальних «польових» умовах справа часто з точністю до навпаки: незнайома функція і графік, що поки не існує. І не всі функції такі прості, як у шкільних підручниках. Їхні графіки однією лише силою уяви уявити неможливо.
Засоби математичного аналізу дозволяють дослідити невідому функцію. Не розібравши докладно по поличках всі характеристики функції та її похідний правильний графік не побудувати. Саме тому у шкільному курсі математики відповідним завданням приділяється така увага. І тому їх винесено на іспит.
Завдання частини В коштують досить високі бали. Тому приділіть належну увагу тренуванню визначення похідної та дослідження функції за її допомогою. Ця стаття створена як корисний під час самопідготовки конспект. У якому зібрано ключові визначення, переказані по можливості простою мовою. І стисло викладені дії, які вам слід зробити при дослідженні функції.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
МОУ середня загальноосвітня школа № 18.
"Дослідження функції за допомогою похідної".
Реферат з математики до Дня науки
Виконала:
учениця 11 "Б" класу
Бокарєва Ірина Миколаївна
Керівник:
вчитель математики
Батюкова Галина Вікторівна.
Смоленськ 2005
Вступ. 3
Глава I. Розвиток поняття функції. 4
Розділ II. Основні характеристики функції. 7
2.1. Визначення функції та графіка функції. Область визначення та
область значень функції. Нулі функції. 7
2.2. Види функцій (парні, непарні, загального вигляду, періодичні
функції). 8
2.3. Зростання та зменшення функцій. Екстремуми. 10
Розділ III. Вивчення функцій. 12
3.1. Загальна схемадослідження функцій. 12
3.2. Ознака зростання та зменшення функцій. 12
3.3. Критичні точки функції, максимуми та мінімуми. 13
3.4. Найбільші та найменші значення функції. 14
Розділ IV. Приклади застосування похідної для дослідження функції. 15
Висновок. 22
Список литературы 23
Вступ.
Вивчення властивостей функції та побудова її графіка є одним із найчудовіших додатків похідної. Цей метод дослідження функції неодноразово піддавався ретельному аналізу. Основна причина полягає в тому, що в додатках математики доводилося мати справу з більш складними функціями, що з'являються при вивченні нових явищ. З'явилися винятки з розроблених математикою правил, з'явилися випадки, коли взагалі створені правила не годилися, з'явилися функції, що не мають жодної точки похідної.
Метою вивчення курсу алгебри та початків аналізу в 10-11 класах є систематичне вивчення функцій, розкриття прикладного значення загальних методівматематики, пов'язані з дослідженням функцій.
Вибравши тему реферату «Дослідження функції за допомогою похідної» я поставила такі завдання:
Систематизувати свої знання про функції як найважливішу математичну модель;
Удосконалити своє вміння у застосуванні диференціального обчислення на дослідження елементарних функций.
Розвиток функціональних уявлень в курсі вивчення алгебри та започаткування аналізу на старшому ступені навчання допомагає старшокласникам отримати наочні уявлення про безперервність та розриви функцій, дізнатися про безперервність будь-якої елементарної функції на галузі її застосування, навчитися будувати їх графіки та узагальнити відомості про основні елементарних функціяхта усвідомити їх роль у вивченні явищ реальної дійсності, у людській практикі.
Робота над змістом теми «Дослідження функцій за допомогою похідної» підвищить рівень моєї математичної підготовки, дозволить вирішувати задачі. високої складностіпроти обов'язковим курсом.
Глава I. Розвиток поняття функції.
Важливо нова частинакурсу алгебри присвячена вивченню початків аналізу. Математичний аналіз – галузь математики, що оформилася у XVIII столітті і включає дві основні частини: диференціальне та інтегральне числення. Аналіз виник завдяки зусиллям багатьох математиків і зіграв величезну роль розвитку природознавства – з'явився потужний, досить універсальний метод дослідження функцій, що виникають під час вирішення різноманітних прикладних завдань. Знайомство з початковими поняттями та методами аналізу – одна з найважливіших цілей курсу.
Починаючи з XVIII століття одним із найважливіших понять є поняття функції. Воно зіграло і досі грає велику роль у пізнанні реального світу.
Необхідні передумови виникнення поняття функції були створені, коли виникла аналітична геометрія, що характеризується активним залученням алгебри до вирішення геометричних завдань.
Ідея функціональної залежності виникла у давнину. Вона міститься вже у перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами, у перших формулах для знаходження площі та обсягу тих чи інших фігур та геометричних тіл.
Однак явне і цілком свідоме застосування поняття функції та систематичне вивчення функціональної залежності бере свій початок у XVII столітті у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних.
Чіткого уявлення поняття функції XVII столітті ще було, проте шлях до першого такого визначення проклав Декарт. Поступово поняття функції почало ототожнюватися з поняттям аналітичного виразу – формули.
Явне визначення функції було вперше дано в 1718 Йоганном Бернуллі: «Функцією змінної величини називають кількість, утворене будь-яким способом з цієї змінної величини і постійних».
Леонард Ейлер у "Введення в аналіз нескінченних" (1748) примикає до визначення свого вчителя І.Бернуллі, дещо уточнюючи його. Щоправда, не завжди дотримувався вищевказаного визначення. Ейлер надає більше широкий змістфункції, розуміючи її як криву, накреслену «вільним потягом руки».
У «Диференціальному обчисленні», що вийшов друком у 1755 році, Ейлер дає загальне визначенняфункції: «Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони змінюються, то перші називаються функціями других».
Великий внесок у вирішення суперечок зробив Жан Батіст Жозеф Фур'є, який вперше навів приклади функцій, які задано на різних ділянках різними аналітичними виразами.
У другій половині ХІХ століття поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу хбезлічі Апоставлений у відповідність певний певний елемент у множини У, то кажуть, що на множині А задана функція y = f (x), або що множина А відображено на множину.
Загальне поняття функції застосовується, звісно, як до величин і числам, до інших математичним об'єктам, наприклад, до геометричним постатям.
Це загальне визначення функції сформувалося вже у XVIII столітті та першій половині XIX століття. Але вже з початку XX століття ця ухвала стала викликати деякі сумніви серед частини математиків.
Дірак ввів так звану дельта-функцію, яка виходила далеко за межі класичного визначення функції.
Сергій Львович Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає і дельта-функцію, та застосував створену теорію до вирішення низки завдань математичної фізики.
Важливий внесок у розвиток теорії узагальнених функцій зробили учні та послідовники Л.Шварца – І.М.Гельфанд, Г.Є.Шилов та інші.
Короткий огляд розвитку поняття функції призводить до думки про те, що еволюція ще далеко не закінчена і, ймовірно, ніколи не закінчиться, ніколи не закінчиться і еволюція математики в цілому.
Розділ II. Основні характеристики функції.
2.1. Визначення функції та графіка функції. Область визначення та область значень функції. Нулі функції.
Вміння зображати геометрично функціональні залежності, задані формулами, особливо важливе для успішного засвоєння курсу вищої математики.
Як відомо, функціональною залежністю називають закон, за яким кожному значенню величини х з деякої множини чисел, званої областю визначення функції, ставиться у відповідність одне цілком певне значення величини у; сукупність значень, які набуває залежна змінна у, називається областю зміни функції.
Незалежну змінну х називають також аргументом функції. Число у, відповідне числу х, називають значенням функції f у точці х і позначають f(x).
Функцію можна встановити трьома способами: аналітичний, табличний, графічний.
Аналітичний- За допомогою формул.
Табличний– за допомогою таблиць, де можна вказати значення функції, але лише кінцевого набору значень аргументу.
ГрафічнийМетод завдання функції дуже зручний: він дає можливість наочно уявити властивості функції.
Графіком функції f називають безліч всіх точок (х; у) координатної площини, де y = f (x), а х «пробігає» всю область визначення функції f.
Приклад 1 . Знайти область визначення функції y=lg (2x-3)
Відповідь: D(y)=(1,5; +∞).
Одним із понять для дослідження функції є нулі функції.
Нулі функції – це точки, у яких функція набуває значення нуля.
приклад 2. Знайти нулі функції y=x2-5x.
За визначенням:
Відповідь: нулями функції є точки x = 0 і x = 5.
приклад 3. Знайти нулі функції y=4x-8
За визначенням:
у=0, тоді
Відповідь: нулями цієї функції є точка х = 2.
2.2. Види функцій (парні, непарні, загального вигляду, періодичні функції).
Розглянемо функції, області визначення яких симетричні щодо початку координат, тобто для будь-якого х з області визначення число (-х) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні та непарні.
Визначення: Функція f називається парною, якщо для будь-якого х її області визначення f(-x)=f(x).
Графік парної функціїсиметричний щодо осі ординат.
приклад 4. Визначити вид функції y = 2cos2x.
y=2cos2x, D(y)=R
y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – парна.
Приклад 5. Визначити вид функції y=x4-2x2+2.
y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.
y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – парна.
Визначення: Функція f називається непарною, якщо для будь-якого х із її області визначення f(-x)=-f(x).
Графік непарної функціїсиметричний щодо початку координат.
Приклад 6. Визначити вид функції y=2sin2x.
y=2sin2x, D(y)=R
y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – непарна.
Приклад 7. Визначити вид функції y=3x+1/3x.
y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – непарна.
Приклад 4. Приклад 5.
Визначення: Функцію f називають періодичною з періодом Т 0, якщо для будь-якого х з області визначення значення цієї функції в точках х, х-Т і х+Т рівні, тобто f(x+T)=f(x)=f(x-T ).
Приклад 8. Визначити період функції y = cos2x.
cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), де2T=2π, тобто. Т=π.
Для побудови графіка періодичної функції з періодом Т достатньо провести побудову на відрізку довжиною Т і потім отриманий графік паралельно перенести на відстані nT вправо та вліво вздовж осі Ох.
Приклад 9. Побудувати графік періодичної функції f(x)=sin2x.
sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), де 2Т=2π, тобто. Т=π.
2.3. Зростання та зменшення функцій. Екстремуми.
Також до властивостей функції відносяться зростання та зменшення функції, екстремуми.
Функція f зростає на множині Р, якщо для будь-яких х 1 і х 2 з множини Р, таких, що х 2 >х 1 виконано нерівність f(x 2)>f(x 1).
Функція fубывает на множині Р, якщо для будь-яких х 1 і х 2 з множини Р, таких, що х 2 >х 1 виконано нерівність f(x 2) Іншими словами, функція fназивається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції. Функція fназивається спадаючою на безлічі Р, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. При побудові графіків конкретних функцій корисно заздалегідь визначити точки мінімуму (x min) і максимуму (x max). Точка х 0 називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх х із деякої околиці х 0 виконано нерівність f(x) ≤f(x 0). Точка х 0 називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх х з околиці х 0 виконано нерівність f(x)≥ f(x 0). Точки мінімуму та максимуму прийнято називати точками екстремуму. приклад 10.
Знайти точки екстремуму, екстремуми функції y=x 2 +2x, та вказати проміжки зростання та зменшення функції. y=x 2 +2x, D(y)=R y’=(x 2 +2x)’=2x+2 y'=0, тобто. 2х+2=0 Досліджуємо знак похідної праворуч та ліворуч від крайньої точки. x=-2, y'=-4+2<0 x=0, y'=0+2>0 Так як похідна змінює свій знак з "-" на "+", то х = -1 це точка мінімуму функції. Оскільки функція безперервна у точці х=-1, то функція зростає на [-1;+∞] і зменшується на [-∞;-1]. Крапки екстремуму: x min = -1 Екстремуми функції: y min = y (-1) = 1-2 = -1 Розділ III. Вивчення функцій. 3.1. Загальна схема дослідження функций. Досліджуючи функцію, потрібно знати загальну схему дослідження: 1) D(y) – область визначення (область зміни змінної х) 2) E(y) – область значення х (область зміни змінної у) 3) Вид функції: парна, непарна, періодична чи функція загального виду. 4) Точки перетину графіка функції з осями Охі Оу (по можливості). 5) Проміжки знакостійності: а) функція набуває позитивного значення: f(x)>0 б) негативне значення: f(x)<0. 6) Проміжки монотонності функції: а) зростання; б) спадання; в) сталості (f=const). 7) Точки екстремуму (точки мінімуму та максимуму) 8) Екстремуми функції (значення функції в точках мінімуму та максимуму) 9) Додаткові точки. Вони можуть бути взяті для того, щоб точніше побудувати графік функції. Слід зауважити, що екстремуми функції f не завжди збігаються з найбільшим та найменшим значенням функції. 3.2. Ознака зростання та зменшення функцій. Якщо будувати графік функції за будь-якими довільно вибраними його точками, з'єднуючи їх плавною лінією, то навіть при дуже великій кількості випадково обраних точок може виявитися, що побудований таким чином графік буде сильно відрізнятися від графіка заданої функції. Якщо щодо функції використовувати похідну і знайти звані «опорні» точки, тобто. точки розриву, точки максимуму та мінімуму, проміжки монотонності функції, то навіть за невеликої кількості таких «опорних» точок ми отримаємо правильне уявлення про графік функції. Перш ніж звернутися до прикладів, наведу необхідні визначення та теореми. Визначення монотонності функції на інтервалі
Функція y=f(x) називається зростаючою на інтервалі, якщо для будь-яких точок х 1 і х 2 цього інтервалу з умови х 1<х 2
следует, что f(x 1) Достатня ознака монотонності функції в інтервалі.
Теорема: якщо функція має позитивну (негативну) похідну в кожній точці інтервалу, то функція зростає (зменшується) на цьому інтервалі. Ця теорема у шкільних підручниках приймається без підтвердження. Геометричне тлумачення теореми дуже просте, якщо згадати, що f '(x)=tgα, α – це кутовий коефіцієнт, що стосується графіку функції в заданій точці х. Якщо, наприклад, f '(x)>0 у всіх точках деякого інтервалу, то дотична до графіка з віссю абсцис утворюють гострі кути, а значить, зі зростанням x зростає f(x). Якщо ж f '(x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы. 3.3. Критичні точки функції, максимуми та мінімуми. Визначення точок екстремуму функції
. Нехай х 0 – внутрішня точка області визначення функції f(x). Тоді, якщо існує така δ – околиця ] x 0 - δ, x 0 + δ [ точки х 0 , що для всіх х з цієї околиці виконується нерівність f(x)≤f(x 0) (нерівність f(x)≥f (x 0)), точка х 0 називається точкою максимуму (точкою мінімуму) цієї функції. Точки максимуму мінімуму є внутрішніми точками області визначення функції. Необхідна ознака існування екстремуму диференційованої функції
. Теорема Ферма.
Якщо х 0 є точка екстремуму функції f(x) і цій точці похідна існує, вона дорівнює нулю: f '(x 0)=0. Ця теорема не є достатньою умовою існування екстремуму функції, що диференціюється: якщо в деякій точці х 0 похідна звертається в нуль, то з цього ще не випливає, що в точці х 0 функція має екстремум. Визначення критичних точок функції
. Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю чи немає, називають критичними точками функції. Достатні умови існування екстремуму
. Теорема 1.
Якщо функція f(x) безперервна в точці х 0 , f '(x)>0 на інтервалі та f '(x)<0 на интервале , то х 0
является точкой максимума функции f(x). Теорема 2.
Якщо функція f(x) безперервна в точці х 0 f '(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на інтервалі х 0 є точкою мінімуму функції f(x). Для пошуку екстремальних точок функції необхідно визначити її критичні точки і кожної з них перевірити виконання достатніх умов екстремуму. 3.4. Найбільші та найменші значення функції. Правила пошуку максимального і меншого значень функцій у проміжку.
Для пошуку максимального і меншого значень функції, диференційованої у певному проміжку, необхідно визначити всі критичні точки, що усередині проміжку, обчислити значення функції у цих точках і кінцях проміжку і з усіх отриманих в такий спосіб значень функції вибрати найбільше і найменше. Розділ IV. Приклади застосування похідної для дослідження функції. Приклад 11.
Дослідити функцію y=x3+6x2+9x та побудувати графік. 2) Визначимо вид функції: y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x функція загального вигляду. x=0 чи x 2 +6x+9=0 D=0, рівняння має один корінь. (0; 0) і (-3; 0) - точки перетину з віссю х. y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9 y'=0, тобто. 3x 2 +12x+9=0 скоротимо на 3 D>0, рівняння має 2 корені. x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2 , x 2 =(-4-2)/2 0 x=-4, y'=3*16-48+9=9>0 x=-2, y'=12-24+9=-3<0 x=0, y'=0+0+9=9>0 7) Знайдемо x min та x max: 8) Знайдемо екстремуми функції: y min = y(-1)=-1+6-9=-4 y max =y(-3)=-27+54-27=0 9) Побудуємо графік функції: 10) Додаткові точки: y(-4)=-64+96-36=-4 приклад 12.
Дослідити функцію y=x 2 /(x-2) та побудувати графік y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2) Знайдемо асимптоти функції: y=x+2 – похила асимптота, т.к. Знайдемо область визначення. 2) Визначимо вид функції. y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), функція загального виду. 3)Знайдемо точки перетину з осями. Oy: x = 0, y = 0 (0; 0) - точка перетину з віссю y. x=0 або x=2 (2;0) – точка перетину з віссю х 4) Знайдемо похідну функції: y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))//x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2 5) Визначимо критичні точки: x 2 -4x=0 x(x-4)=0 y'=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=> (x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2 x 2 -4x=0, а (x-2) 2 ≠ 0, тобто. х≠ 2 6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції. x=-1, y'=(1+4)/9=5/9>0 x=1, y'=(1-4)/1=-3<0 x=3, y'=(9-12)/1=-3<0 x=5, y'=(25-20)/9=5/9>0 7) Знайдемо точки мінімуму та максимуму функції: 8) Знайдемо екстремуми функції: y min = y (4) = 16/2 = 8 9) Побудуємо графік функції: 10) Додаткові точки: y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9 y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9 приклад 13.
Дослідити функцію y=(6(x-1))/(x 2 +3) та побудувати графік. 1) Знайдемо область визначення функції: 2) Визначимо вид функції: y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – функція загального виду. 3) Знайдемо точки перетину з осями: O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка перетину з віссю y. (6(x-1))/(x 2 +3)=0 O x: y = 0,<=> 4) Знайдемо похідну функції: y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3) / (x 2 +3) 2 5) Визначимо критичні точки: y'=0, тобто. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0 y'=0, якщо х 1 =-1 або х 2 =3, значить х=-1 і х=3, критичні точки. 6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції: x=-2, y'=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0 x=0, y'=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0 x=4, y'=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0 7) Знайдемо точки мінімуму та максимуму: 8) Знайдемо екстремуми функції: y min = y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3 y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1 9) Побудуємо графік функції: 10) Додаткові точки: y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2 y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 приклад 14.
Дослідити функцію y=xlnx та побудувати її графік: 1) Знайдемо область визначення функції: D(y)=R + (тільки позитивні значення) 2) Визначимо вид функції: y(-x)=-xlnx - загального вигляду. 3) Знайдемо точки перетину з осями: O y , але х≠ 0, означає точок перетину з віссю y немає. O x: y=0, тобто xlnx=0 x=0 або lnx=0 (1;0) – точка перетину з віссю х 4) Знайдемо похідну функції: y'=x' ln x + x(ln x)'=ln x +1 5) Визначимо критичні точки: y'=0, тобто lnx +1=0 y'=0 , якщо x=1/e, значить x=1/e– критична точка. 6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції: 1/e x=1/(2e); y'=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0 x = 2e; y'=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0 7) 1/e – точка мінімуму функції. 8) Знайдемо екстремуми функції: y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4). 9) Побудуємо графік функції: Висновок. Над цією темою працювало багато вчених і філософів. Багато років тому відбулися ці терміни: функція, графік, дослідження функції і досі вони збереглися, набуваючи нових рис та ознак. Я вибрала цю тему, тому що мені було дуже цікаво пройти цей шлях дослідження функції. Мені здається, що багатьом було б цікаво більше дізнатися про функції, про її властивості та перетворення. Зробивши цей реферат, я систематизувала свої навички і поповнила свій запас знань про цю тему. Я хочу порадити всім глибше вивчити цю тему. Список літератури. 1. Башмаков, М.І. Алгебра і початок аналізу. - М.: Просвітництво, 1992. 2. Глейзер, Г.І. Історія математики в школе.- М.: Просвітництво, 1983. 3. Гусєв, В.А. Математика: Довідкові матеріали. - М.: Просвітництво, 1888. 4. Дорофєєв, Г.В. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. - М.: Наука, 1974. 5. Зорін, В.В. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. - М.: Вища школа, 1980. 6. Колмогоров А.М. Алгебра і початку аналізу. - М.: Просвітництво, 1993. Мета уроку: перевірка умінь та навичок дослідження функцій та побудови графіків за допомогою похідної. Теоретична частина заліку. Запитання
Визначення точки мінімуму та точки максимуму. Теоретична частина заліку 1) Визначення точки мінімуму. Якщо функція визначена в околицях точки Х 0 , то точка Х 0 називається точкою мінімуму
функції
f(х), якщо існує така околиця точки Х 0 що для всіх хх 0 з цієї околиці виконується нерівність f(х)>f(х 0). Визначення точки максимуму. Якщо функція визначена в околицях точки Х 0 , то точка Х 0 називається точкою максимуму
функції
f(х),якщо існує така околиця точки Х0, що для всіх х?х0 з цієї околиці виконується нерівність f(х) 2) Визначення критичних точок. Критичні точки – це внутрішні точки області визначення функції у яких похідна немає чи дорівнює нулю. 3) Необхідна умова, щоб Х 0 була точкою екстремуму
: ця точка має бути критичною. 4) Алгоритм знаходження критичних точок. 1. Знайти область визначення функції. 2. Знайти похідну функцію. 3. Знайти область визначення похідної цієї функції.(Щоб визначити чи є точки, у яких похідна немає. Якщо такі точки є, то перевірити чи є вони внутрішніми точками області визначення функції. 4. Знайти точки, у яких похідна дорівнює нулю, розв'язавши рівняння: f "(х) = 0. Перевірити чи знайдені точки внутрішніми точками області визначення функції. 5) Стаціонарні точки - точки, у яких похідна функції дорівнює нулю. 6) Теорема Ферма. (Необхідна умова екстремуму функції.) у=f(х)-функція, яка визначена в деякій околиці точки Х 0 і має похідну в цій точці. Теорема: якщо Х 0 -точка екстремуму функції, що диференціюється f(х), то f "(х)=0. 7) Достатні умови існування екстремуму функції у точці. y=f(х) визначено на (а;в). Х 0 -критична точка. Якщо функція f безперервна в точці Х 0 а f "(х)>0 на інтервалі (а;х 0) і f "(х)<0 на
интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является точкою максимуму функції f. (Спрощене формулювання: якщо у точці Х 0 похідна змінює знак із “+” на “ _ ”, то Х 0 є точка максимуму.) Якщо функція f неперервна в точці Х 0 а f "(х)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 на інтервалі (X 0 ;в), то точка х 0 є точкою мінімуму функції f. (Спрощене формулювання: якщо у точці Х 0 похідна змінює знак з “_” на “+”, то Х 0 є точка мінімуму.) 8) Достатня ознака зростання, спадання
функції
. Якщо f "(х)>0 для всіх х із проміжку (а; в), то функція зростає на проміжку (а; в). Якщо f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то
функция убывает на промежутке (а; в). (Якщо функція безперервна на кінці проміжку, то його можна приєднати до проміжку зростання (зменшення) функції.) 9) Точки екстремуму, екстремум функції. Х 0 - точка максимуму, Х 0 - точка мінімуму називаються точками екстремуму. f(х 0) - максимум функції, f(х 0) - мінімум функції називаються екстремумами функції. 10) Алгоритм знаходження екстремумів функції. 1. Знаходимо область визначення функції. 2. Знаходимо похідну функції. 3. Знаходимо критичні точки. 4. Визначимо знак похідної кожному з інтервалів, куди критичні точки розбивають область визначення. 5. Знайдемо точки екстремуму з огляду на характер зміни знака похідної. 6. Знайдемо екстремуми функцій. 11) Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку.
1. Знайти значення функції на кінцях відрізка [а; в]. 2. Знайти значення функції у критичних точках, які належать інтервалу (а; в). 3. Зі знайдених значень вибрати найбільше та найменше. Практична частина заліку “Дослідження функцій за допомогою похідної. Найбільше та найменше значення функцій на відрізку” а) критичні точки функцій, б) екстремуми функцій в) найбільше та найменше значення функцій на зазначеному проміжку г) збудувати графік. У задачі B15 пропонується досліджувати на екстремуми функцію, задану формулою. Це стандартне завдання з математичного аналізу, і її складність сильно змінюється залежно від функції, що розглядається: деякі з них вирішуються буквально усно, інші ж вимагають серйозних роздумів. Перш ніж вивчати методи рішення, треба засвоїти деякі терміни в галузі математичного аналізу. Отже, завдання B15 потрібно знайти з допомогою похідної такі величини: При цьому глобальні екстремуми зазвичай шукаються не на всій області визначення функції, а лише на деякому відрізку. Важливо розуміти, що глобальний екстремум та значення функції у точці екстремуму далеко не завжди збігаються. Пояснимо це на конкретному прикладі: Завдання. Знайти точку мінімуму та мінімальне значення функції y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 на відрізку [−3; 3]. Спочатку знайдемо точку мінімуму, навіщо обчислимо похідну: Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння y' = 0. Отримаємо стандартне квадратне рівняння: Зазначимо ці точки на координатній прямій, додамо знаки похідної та обмеження - кінці відрізка: Масштаб картинки не має значення. Найголовніше - відзначити точки у правильній послідовності. Зі шкільного курсу математики відомо, що в точці мінімуму похідна змінює знак з мінуса на плюс. Відлік завжди йде ліворуч - у напрямку позитивної півосі. Тож точка мінімуму одна: x = 2. Тепер знайдемо мінімальне значення функції на відрізку [-3; 3]. Воно досягається або у точці мінімуму (тоді вона стає точкою глобального мінімуму), або наприкінці відрізка. Зауважимо, що у інтервалі (2; 3) похідна всюди позитивна, отже y(3) > y(2), тому правий кінець відрізка можна розглядати. Залишилися лише точки x = −3 (лівий кінець відрізка) та x = 2 (точка мінімуму). Маємо: Отже, найменше значення функції досягається на кінці відрізка і −44. Відповідь: x min = 2; y min = −44 З наведених міркувань випливає важливий факт, про який багато хто забуває. Функція набуває максимального (мінімального) значення не обов'язково в точці екстремуму. Іноді таке значення досягається на кінці відрізка, і похідна там не повинна дорівнювати нулю. Якщо завдання B15 потрібно знайти максимальне чи мінімальне значення функції f(x) на відрізку , виконуємо такі действия: Невелике пояснення щодо викреслення коренів, коли вони збігаються з кінцями відрізка. Їх теж можна викреслити, оскільки на четвертому кроці кінці відрізка однаково підставляються у функцію - навіть якщо рівняння f'(x) = 0 не мало рішень. Завдання. Знайти найбільше значенняфункції y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 на відрізку [−5; 0]. Для початку знайдемо похідну: y' = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)' = 3x 2 + 6x − 9. Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1. Викреслюємо корінь x = 1, тому що він не належить відрізку [−5; 0]. Залишилося обчислити значення функції на кінцях відрізка та у точці x = −3: Очевидно, що найбільше значення дорівнює 20 - воно досягається в точці x = −3. Тепер розглянемо випадок, коли потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції f(x) на відрізку . Якщо відрізок не заданий, функція розглядається у своїй області визначення. У будь-якому випадку, схема рішення така: Вдумливий читач, напевно, помітить, що для деяких функцій цей алгоритм не працює. Справді, існує цілий клас функцій, котрим знаходження точок екстремуму вимагає складніших викладок. Однак такі функції в ЄДІ з математики не трапляються. Уважно поставтеся до розташування знаків між точками x 1 , x 2 , ..., x n . Пам'ятайте: під час переходу через корінь парної кратності знак похідної не змінюється. Коли шукаються точки екстремуму, знаки завжди проглядаються ліворуч, тобто. за напрямом числової осі. Завдання. Знайти точку максимуму функції на відрізку [-8; 8]. Знайдемо похідну: Оскільки це дробово-раціональна функція, прирівнюємо до нуля похідну та її знаменник: Зазначимо точки x = −5, x = 0 та x = 5 на координатній прямій, розставимо знаки та межі: Очевидно, що всередині відрізка залишилася лише одна точка x = −5, де знак похідної змінюється з плюсу на мінус. Це і є точка максимуму. Ще раз пояснимо, чим відрізняються точки екстремуму від самих екстремумів. Точки екстремуму - це значення змінних, у яких функція набирає найбільше чи найменше значення. Екстремуми - це значення самих функцій, максимальні або мінімальні в деякій своїй околиці. Крім звичайних багаточленів і дробово-раціональних функцій, у задачі B15 зустрічаються такі види виразів: Із ірраціональними функціями проблем, як правило, не виникає. Інші випадки варто розглянути докладніше. Основна складність тригонометричних функцій полягає в тому, що при вирішенні рівнянь виникає безліч коренів. Наприклад, рівняння sin x = 0 має коріння x = πn, де n ∈ Z. Ну і як відзначати їх на координатній прямій, якщо таких чисел нескінченно багато? Відповідь проста: треба підставляти конкретні значення n. Адже завдання B15 з тригонометричними функціями завжди є обмеження - відрізок . Тому спочатку беремо n = 0, та був збільшуємо n до того часу, поки відповідний корінь не «вилетить» межі відрізка . Аналогічно, зменшуючи n, дуже скоро отримаємо корінь, який менший за нижню межу. Нескладно показати, що жодного коріння, крім отриманих у розглянутому процесі, на відрізку не існує. Розглянемо тепер цей процес на прикладах. Завдання. Знайти точку максимуму функції y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, що належить відрізку [−π/3; π/3]. Обчислюємо похідну: y' = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)′ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x. Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 або x = π/2 + πn, n ∈ Z. З коренем x = 0,2 все зрозуміло, а формула x = π/2 + πn вимагає додаткової обробки. Підставлятимемо різні значення n, починаючи з n = 0. n = 0 ⇒ x = π/2. Але π/2 > π/3, тому корінь x = π/2 не входить у вихідний відрізок. Крім того, що більше n, то більше x, тому немає сенсу розглядати n > 0. n = −1 ⇒ x = − π/2. Але −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1. Виходить, що у відрізку [−π/3; π/3] лежить лише корінь x = 0,2. Зазначимо його разом із знаками та кордонами на координатній прямій: Щоб переконатися, що праворуч від x = 0,2 похідна дійсно негативна, достатньо підставити в y значення x = π/4. Ми просто відзначимо, що у точці x = 0,2 похідна змінює знак із плюса на мінус, отже це точка максимуму. Завдання. Знайти найбільше значення функції y = 4tg x − 4x + π − 5 на відрізку [−π/4; π/4]. Обчислюємо похідну: y' = (4tg x − 4x + π − 5)' = 4/cos 2x − 4. Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z. Виділимо з цієї формули коріння, підставляючи конкретні n, починаючи з n = 0: З усього різноманіття коренів залишився лише один: x = 0. Тому обчислюємо значення функції x = 0, x = π/4 і x = −π/4. Тепер зауважимо, що π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1. Зауважимо, що в останній задачі можна було і не порівнювати числа між собою. Адже з чисел π−5, 1 та 2π−9 у бланк відповідей може бути записана лише одиниця. Справді, як написати у бланку, скажімо, число π? А ніяк. Це важлива особливістьпершої частини ЄДІ з математики, що значно спрощує вирішення багатьох завдань. І працює вона не лише у B15. Іноді при дослідженні функції виникають рівняння, які не мають коріння. У такому разі завдання стає ще простіше, оскільки залишається розглянути лише кінці відрізка. Завдання. Знайти найменше значення функції y = 7sin x − 8x + 5 на відрізку [−3π/2; 0]. Спочатку знаходимо похідну: y' = (7sin x − 8x + 5)' = 7cos x − 8. Спробуємо розв'язати рівняння: y' = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Але значення cos x завжди лежать на відрізку [−1; 1], а 8/7 > 1. Тому коріння немає. Якщо коріння немає, то й викреслювати нічого не треба. Переходимо до останнього кроку – обчислюємо значення функції: Оскільки число 12π + 12 до бланку відповідей не записати, залишається лише y = 5. Взагалі кажучи, показова функція - це вираз виду y = a x , де a > 0. Але в задачі B15 зустрічаються тільки функції виду y = e x і, у крайньому випадку, y = e kx + b. Причина в тому, що похідні цих функцій вважаються дуже легко: Решта абсолютно стандартно. Зрозуміло, справжні функції завдання B15 виглядають суворіше, але схема рішення від цього змінюється. Розглянемо пару прикладів, виділяючи лише основні моменти рішення – без ґрунтовних міркувань та коментарів. Завдання. Знайти найменше значення функції y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 на відрізку [−1; 5]. Похідна: y' = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)' = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 . Знаходимо коріння: y′ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3. Обидва корені лежать на відрізку [−1; 5]. Залишилося знайти значення функції у всіх точках: З чотирьох отриманих чисел до бланку можна записати лише y = −1. До того ж це єдине негативне число - воно і буде найменшим. Завдання. Знайти найбільше значення функції y = (2x − 7)·e 8 − 2x на відрізку . Похідна: y' = ((2x − 7)·e 8 − 2x)′ = ... = (16 − 4x)·e 8 − 2x = 4(4 − x)·e 8 − 2x . Знаходимо коріння: y′ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4. Корінь x = 4 належить відрізку. Шукаємо значення функції: Очевидно, як відповідь може виступати лише y = 1. За аналогією з показовими функціями, В задачі B15 зустрічаються тільки натуральні логарифми, оскільки їх похідна легко вважається: Таким чином, похідна завжди буде дробово-раціональною функцією. Залишається лише прирівняти цю похідну та її знаменник до нуля, а потім вирішити отримані рівняння. Для пошуку максимального або мінімального значення логарифмічної функції пам'ятайте: натуральний логарифмперетворюється на «нормальне» число лише у точках виду e n . Наприклад, ln 1 = ln e 0 = 0 – це логарифмічний нуль, і найчастіше рішення зводиться саме до нього. В інших випадках "прибрати" знак логарифму неможливо. Завдання. Знайти найменше значення функції y = x 2 - 3x + ln x на відрізку. Вважаємо похідну: Знаходимо нулі похідної та її знаменника: З трьох чисел x = 0, x = 0,5 та x = 1 усередині відрізка лежить тільки x = 1, а число x = 0,5 є його кінцем. Маємо: З отриманих трьох значень лише y = −2 не містить знака логарифму - це буде відповідь. Завдання. Знайти найбільше значення функції y = ln(6x) − 6x + 4 на відрізку . Обчислюємо похідну: З'ясовуємо, коли похідна чи її знаменник дорівнюють нулю: Викреслюємо число x = 0, оскільки воно лежить поза відрізка . Вважаємо значення функції на кінцях відрізка та у точці x = 1/6: Очевидно, тільки y = 3 може виступати як відповідь - інші значення містять знак логарифму і не можуть бути записані до бланку відповідей.
-4
x≠ 2, x=2 – вертикальна асимптота
0 8
-3 2
1. у = (х-3) 2 (х-2).
11. у = 2х 4-х.
[-1;1]
2. у = 1/3х 3 + х 2
[-4;1]
12. у = х 2 -2 / х.
[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3-х 2-3х
[-2;6]
13. у = 1 / (х 2 +1).
[-1;2]
4. у=-1/4х 4+2х2+1.
[-3;3]
14. у = 3х-х 3 .
[-1,5;1,5]
5. у = х 4 -8 х 2 -9.
[-3;3]
15. у = 2х 2-х 4 .
[-2;1,5]
6. у = (х-2) (х + 1) 2 .
[-1,5;1,5]
16. у = 3х 2/3-х 2 .
[-8;8]
7. у=-2/3х 3+2х-4/3.
[-1,5;1,5]
17. у = 3х 1/3-х.
[-8;8]
8. у = 3х 5 -5х 4 +4.
[-1;1]
18. у = х 3 -1,5 х 2 -6 х +4.
[-2;3]
9. у = 9х2-9х3.
[-0,5;1]
19. у = (1-х) / (х 2 +3).
[-2;5]
10. у = 1/3х 3 -4х.
[-3;3]
20. у = -х 4+2х2+3.
[-0,5;2]
y' = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)' = 6x 2 − 6x − 12.
y′ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.Схема розв'язання задач B15
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4·0 2 − 9·0 − 7 = −7.
y′ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = -5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (корінь другої кратності).
Тригонометричні функції
n = 0 ⇒ x = 0. Цей корінь нам підходить.
n = 1 ⇒ x = π. Але π > π/4, тому корінь x = π і значення n > 1 треба викреслити.
n = −1 ⇒ x = −π. Але π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.Показові функції
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5·0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5·e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5·3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5·5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5·e 2 .
y(0) = (2·0 − 7)e 8 − 2·0 = ... = −7·e 8 ;
y(4) = (2·4 − 7)e 8 − 2·4 = ... = 1;
y(6) = (2·6 − 7)e 8 − 2·6 = ... = 5·e −4 .Логарифмічні функції
y' = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - тут вирішувати нема чого.
y(0,5) = 0,5 2 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.
y' = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 – вже вирішено.
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.
