У шкільній програмі на уроках геометрії доводиться мати справу з різноманітними видамиЧотирикутники: ромби, паралелограми, прямокутники, трапеції, квадрати. Найпершими фігурами для вивчення стають прямокутник та квадрат.
Отже, що таке прямокутник? Визначення для 2 класу загальноосвітньої школивиглядатиме так: це чотирикутник, у якого всі чотири кути прямі. Нескладно уявити собі, як виглядає прямокутник: це постать з 4 прямими кутами та сторонами, попарно паралельними один одному.
Як зрозуміти, вирішуючи чергове геометричне завдання, з яким саме чотирикутником ми маємо справу? Існують три основні ознаки, За якими можна безпомилково визначити, що йдеться саме про прямокутник. Назвемо їх:
Цікаво знати: що таке опуклий, його особливості та ознаки.
Оскільки прямокутник - це паралелограм (тобто чотирикутник з попарно паралельними протилежними сторонами), то для нього виконуватимуться всі його властивості та ознаки.
У прямокутникупротилежні сторони рівні та взаємно паралельні. Довшу сторону прийнято називати довжиною (позначається a), більш коротку - шириною (позначається b). У прямокутнику на зображенні довжинами є сторони AB і CD, а завширшки - AC і B. D. Також вони перпендикулярні до основ (тобто є висотами).
Для знаходження сторін можна скористатися формулами, наведеними нижче. У них прийнято умовні позначення: a - довжина прямокутника, b - його ширина, d - діагональ (відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, що лежать навпроти одного), S - площа фігури, P - периметр, α – кут між діагоналлю і довжиною, β – гострий кут, що утворений обома діагоналями. Способи знаходження довжин сторін:
Периметром чотирикутника називаютьсуму довжин усіх його сторін. Щоб обчислити периметр, можна використовувати такі формулы:
Площа – це простір, обмежений периметром. Три основні способи для розрахунку площі:
У завданнях шкільного курсу математики часто потрібно добре володіти властивостями діагоналей прямокутника. Перерахуємо основні з них:
Застосовуються такі формули для розрахунку довжини діагоналі:
Квадрат - це окремий випадок ромба, паралелограма або прямокутника. Його відмінність від цих фігур полягає в тому, що всі його кути прямі і всі чотири сторони рівні. Квадрат – це правильний чотирикутник.
Чотирикутник називають квадратом у таких випадках:
До властивостей квадрата відносяться всі раніше розглянуті властивості, що належать до прямокутника, а також:
Наведемо часто використовувані формули для 
обчислення периметра, площі та елементів квадрата:
Розберемо деякі питання, з якими можна зіткнутися щодо курсу математики у шкільництві, і вирішимо кілька простих завдань.
Завдання 1. Як зміниться площа прямокутника, якщо збільшити довжину його сторін утричі?
Рішення : Позначимо площу вихідної фігури S0, а площу чотирикутника з потрійною довжиною сторін - S1. За формулою, розглянутою раніше, одержуємо: S0 = ab. Тепер збільшимо довжину та ширину в 3 рази і запишемо: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Порівнюючи S0 і S1, стає очевидно, що друга площа більша за першу в 9 разів.
Питання 1. Чотирикутник із прямими кутами - це квадрат?
Рішення : З визначення випливає, що фігура з прямими кутами є квадратом лише тоді, коли довжини всіх сторін дорівнює. За інших випадках фігура є прямокутником.
Завдання 2. Діагоналі прямокутника утворюють кут 60 градусів. Ширина прямокутника - 8. Розрахувати, чому дорівнює діагональ.
Рішення:Згадаймо, що діагоналі точкою перетину поділяються навпіл. Таким чином, маємо справу з рівнобедреним трикутником з кутом при вершині, що дорівнює 60°. Так як трикутник рівнобедрений, то кути, що знаходяться при підставі, теж будуть однакові. Шляхом нескладних обчислень отримуємо, кожен із них дорівнює 60°. Звідси випливає, що трикутник є рівностороннім. Ширина, відома нам, є основою трикутника, отже, половина діагоналі теж дорівнює 8, а довжина цілої діагоналі вдвічі більша і дорівнює 16.
Запитання 2. У прямокутника всі сторони рівні чи ні?
Рішення : Достатньо згадати, що всі сторони повинні дорівнювати квадрату, який є окремим випадком прямокутника. У решті випадків достатня умова - це наявність мінімум 3 прямих кутів. Рівність сторін не є обов'язковою ознакою.
Завдання 3. Площа квадрата відома і дорівнює 289. Знайти радіуси вписаного та описаного кола.
Рішення :
За формулами для квадрата проведемо такі розрахунки:
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Чотирикутник ABCD називається фігура, яка складається з чотирьох точок А, В, С, D по три, що не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків AB, BC, CD та AD, що з'єднують ці точки.
На малюнках зображено чотирикутники.
Точки А, В, С та D називаються вершинами чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD та AD - сторонами. Вершини А і С, В та D називаються протилежними вершинами. Сторони AB та CD, BC та AD називаються протилежними сторонами.
Чотирикутники бувають опуклі(на малюнку - лівий) та невипуклі(на малюнку – правий).
Кожна діагональ опуклого чотирикутникаподіляє його на два трикутники(діагональ АС поділяє ABCD на два трикутники ABC та ACD; діагональ BD - на BCD та BAD). У невипуклого чотирикутникатільки одна з діагоналей поділяє його на два трикутники(діагональ AC поділяє ABCD на два трикутники ABC і ACD; діагональ BD - не поділяє).
Розглянемо основні види чотирикутників, їх властивості, формули площі:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Властивості:
Ознаки паралелограма:
1. Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
2. Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник – паралелограмм.
3. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник – паралелограмм.
Площа паралелограма:
Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.
Підставаминазиваються паралельні сторони, а дві інші сторони - бічними сторонами.
Середньою лінією Трапеція називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.
ТЕОРЕМА.
Середня лініятрапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Площа трапеції:
Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Властивості:
Площа ромба:
Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути рівні.
Властивості:
Ознака прямокутника:
Якщо паралелограмі діагоналі рівні, цей паралелограм – прямокутник.
Площа прямокутника:
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Властивості:
Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба (прямокутник є паралелограмом, тому і квадрат є паралелограмом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом).
Площа квадрата:
Випуклий чотирикутник – це фігура, що складається з чотирьох сторін, з'єднаних між собою у вершинах, що утворюють разом із сторонами чотири кути, при цьому сам чотирикутник завжди знаходиться в одній площині щодо прямої, на якій лежить одна з сторін. Іншими словами, вся фігура знаходиться по одну сторону від будь-якої сторони.
Як видно, визначення досить легко запам'ятовується.
До опуклих чотирикутників можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Можна виділити такі:
Всі ці постаті поєднує не лише те, що вони чотирикутні, а й те, що вони ще й опуклі. Достатньо просто розглянути схему:
На малюнку зображена опукла трапеція. Тут видно, що трапеція знаходиться на одній площині або з одного боку від відрізка . Якщо провести аналогічні дії, можна з'ясувати, що і у випадку з усіма іншими сторонами трапеція опукла.
Вище показано зображення паралелограма. Як видно з малюнка, паралелограм також є опуклим. Якщо подивитися на фігуру щодо прямих, на яких лежать відрізки AB, BC, CD і AD, стає зрозуміло, що вона завжди знаходиться на одній площині від цих прямих. Основними ознаками паралелограма і те, що його сторони попарно паралельні і рівні як і, як і протилежні кути рівні між собою.
Тепер, уявіть квадрат або прямокутник. За своїми основними властивостями є ще й паралелограмами, тобто всі їхні сторони розташовані попарно паралельно. Тільки у випадку прямокутника довжина сторін може бути різною, а кути прямі (рівні 90 градусам), квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні і кути також прямі, а у паралелограма довжини сторін і кути можуть бути різними.
У підсумку сума всіх чотирьох кутів чотирикутника має дорівнювати 360 градусам. Найлегше це визначити по прямокутнику: всі чотири кути прямокутника прямі, тобто дорівнюють 90 градусам. Сума цих 90-градусних кутів дає 360 градусів, тобто, якщо скласти 90 градусів 4 рази, вийде необхідний результат.
Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, досить поглянути на малюнок:
На малюнку зліва зображено неопуклий чотирикутник або чотиристоронник. Як завгодно. Як видно, діагоналі не перетинаються, принаймні не всі. Праворуч зображено опуклий чотирикутник. Тут вже спостерігається якість діагоналей перетинатися. Це властивість вважатимуться ознакою опуклості чотирикутника.
Саме з цього терміну дуже складно назвати певні властивості і ознаки. Легше відокремити за різним видамчотирикутників такого типу. Почати можна з паралелограма. Ми вже знаємо, що це чотирикутна постать, сторони якої попарно паралельні та рівні. При цьому, сюди включається властивість діагоналей паралелограма перетинатися між собою, а також сама по собі ознака опуклості фігури: паралелограм знаходиться завжди в одній площині і по один бік щодо будь-якої зі своїх сторін.
Отже, відомі основні ознаки та властивості:
Прямокутник. Ця фігура має ті самі властивості й ознаки, як і паралелограм, та заодно всі кути його дорівнюють 90 градусам. Звідси і назва прямокутник.
Квадрат, той же паралелограмале кути його прямі як у прямокутника. Через це квадрат у поодиноких випадках називають прямокутником. Але головним відмітним ознакою квадрата крім перелічених вище, і те, що це чотири його боку рівні.
Трапеція – дуже цікава постать. Це також чотирикутник і теж опуклий. У цій статті трапеція розглядалася на прикладі малюнка. Зрозуміло, що вона також опукла. Головною відмінністю, а відповідно ознакою трапеції є те, що її сторони можуть бути абсолютно не рівними один одному за довжиною, а також її кути за значенням. При цьому фігура завжди залишається на одній площині відносно будь-якої з прямих, яка з'єднує будь-які дві її вершини по відрізкам, що утворюють фігуру.
Ромб – не менш цікава фігура. Частково ромбом можна вважати квадрат. Ознакою ромба є те що, що його діагоналі як перетинаються, а й ділять кути ромба навпіл, самі діагоналі перетинаються під прямим кутом, тобто, вони перпендикулярні. Якщо довжини сторін ромба рівні, то діагоналі теж діляться навпіл при перетині.
Дельтоїди або опуклі ромбоїди (ромби)можуть мати різну довжину сторін. Але при цьому все одно зберігаються як основні властивості та ознаки самого ромба, так і ознаки та властивості опуклості. Тобто ми можемо спостерігати, що діагоналі ділять кути навпіл і перетинаються під прямим кутом.
Сьогоднішнім завданням було розглянути і зрозуміти, що таке опуклі чотирикутники, які вони бувають та їх основні ознаки та властивості. Увага! Ще раз нагадає, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусам. Периметр фігур, наприклад, дорівнює сумідовжин всіх утворюючих фігуру відрізків. Формули розрахунку периметра та площі чотирикутників будуть розглянуті у наступних статтях.
Сьогодні розглянемо геометричну фігуру- Чотирикутник. З назви цієї фігури вже стає зрозуміло, що ця фігура має чотири кути. А ось інші властивості та характеристики цієї фігури ми розглянемо нижче.
Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Площа чотирикутника дорівнює напівтвору його діагоналей та кута між ними.
Чотирьохкутник - це багатокутник із чотирма вершинами, три з яких не лежать на одній прямій.
Самоперетинається
Невипуклим
Випуклим
Чотирикутник, що самоперетинається- це чотирикутник, у якого будь-які його сторони мають точку перетину (на малюнку синім кольором).
Неопуклий чотирикутник- це чотирикутник, в якому один із внутрішніх кутівбільше 180 градусів (на малюнку позначений оранжевим кольором).
Сума кутівбудь-якого чотирикутника, який не є самопересічний завжди дорівнює 360 градусів.
Чотирикутники можуть мати додаткові властивості, утворюючи особливі видигеометричних фігур:
Чотирьохкутник, описаний навколо кола (коло, вписане в чотирикутник).
Головна властивість описаного чотирикутника:
Чотирьохкутник можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторін дорівнюють.
Чотирьохкутник, вписаний у коло (коло, описане навколо чотирикутника)
Головна властивість вписаного чотирикутника:
Чотирьохкутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180 градусів.
Модуль різниці двох сторін чотирикутникане перевищує суми двох інших сторін.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
| b - c | ≤ a + d
| b - d | ≤ a + b
| c - d | ≤ a + b
Важливо. Нерівність правильна для будь-якої комбінації сторін чотирикутника. Малюнок наведено виключно полегшення сприйняття.
У будь-якому чотирикутнику сума довжин трьох його сторін не менша за довжину четвертої сторони.
Важливо. При вирішенні завдань у межах шкільної програмиможна використовувати строгу нерівність (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
