На уроках геометрії в середній школіусім нам говорили про те, трикутник. Однак у рамках шкільної програмими отримуємо лише найнеобхідніші знання та вчимося найбільш поширеним та стандартним способам обчислень. Чи існують незвичайні способизнаходження цієї величини?
Як запровадження згадаємо, який трикутник вважається прямокутним, і навіть позначимо поняття площі.
Прямокутним трикутником називають замкнуту геометричну фігуру, один із кутів якої дорівнює 90 0 . Невід'ємними поняттями у визначенні є катети та гіпотенуза. Під катетами мають на увазі дві сторони, які у точці з'єднання утворюють прямий кут. Гіпотенуза – сторона, протилежна прямому куту. Прямий трикутник може бути рівнобедреним (дві його сторони матимуть однакову величину), але ніколи не буде рівностороннім (всі сторони однієї довжини). Визначення висоти, медіани, векторів та інших математичних термінів докладно не розбиратимемо. Їх легко знайти у довідниках.
Площа прямого трикутника. На відміну від прямокутників, правило про
твір сторін у визначенні не діє. Якщо говорити сухою мовою термінів, то під площею трикутника розуміють властивість цієї фігури займати частину площини, виражену числом. Досить складно до сприйняття, погодьтеся. Не намагатимемося глибоко вникнути у визначення, наша мета не в цьому. Перейдемо до головного – як знайти площу прямокутного трикутника? Самі обчислення робити не будемо, зазначимо лише формули. Для цього визначимося з позначеннями: A, B, C – сторони трикутника, катети – AB, BC. Кут ACB – прямий. S – площа трикутника, h n n – висота трикутника, де nn – сторона, на яку вона опущена.
Спосіб 1. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відома величина його катетів
Спосіб 2. Знаходимо площу рівнобедреного прямокутного трикутника
Спосіб 3. Обчислення площі через прямокутник
Добудовуємо прямокутний трикутник до квадрата (якщо трикутник
рівнобедрений) або прямокутника. Отримаємо простий чотирикутник, що складається з 2-х ідентичних прямокутних трикутників. У цьому випадку значення площі одного з них дорівнює половині площі отриманої фігури. S прямокутника обчислюємо добутком сторін. Позначимо цю величину M. Шукане значення площі дорівнюватиме половині M.
Спосіб 4. «Піфагорові штани». Знаменита теорема Піфагора
Ми всі пам'ятаємо її формулювання: «Сума квадратів катетів ...». Але не всі можуть
сказати, причому тут деякі «штани». Справа в тому, що спочатку Піфагор вивчав взаємозв'язок побудованих на сторонах прямого трикутника. Виявивши закономірності у співвідношенні сторін квадратів, він зміг вивести і відому нам формулу. Її можна застосовувати у разі, коли невідома величина однієї із сторін.
Спосіб 5. Як знайти площу прямокутного трикутника за формулою Герона
Також досить простий спосіб розрахунку. Формула передбачає вираз площі трикутника через числові значення його сторін. Для розрахунків потрібно знати величини всіх сторін трикутника.
S = (p-AC)*(p-BC), де p = (AB+BC+AC)*0.5
Крім наведених, існує безліч інших способів знайти величину такої загадкової фігури, як трикутник. Серед них: обчислення методом вписаного або описаного кола, обчислення за допомогою координат вершин, використання векторів, абсолютної величини, синусів, тангенсів.
Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної фігури, а також вміння обчислювати її площу, безперечно, стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.
В елементарній геометрії прямокутний трикутник - це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі і один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується поряд важливих властивостейякі складають фундамент тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:
Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.
Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець – найпростіше уявлення «плоського» прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.
Площа геометричної фігури- це кількісна оцінка того, яка частина поверхні обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Сама проста формулаплощі виражається як:
де a – сторона трикутника, h – його висота.
Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:
де a та b – катети.
Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:
У завданнях чи побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника кількома способами. Розглянемо кілька прикладів.
Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткоющо має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площуоброблюваної поверхні. Нехай вам необхідно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:
Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.
Нехай у шкільному завданніпо геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи лише те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:
Таким чином, калькулятор не тільки обчислює площу заданого трикутника, а й визначає довжину прилеглого катетата гіпотенузи, а також величину другого кута.
Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завданьз геометрії, а й повсякденної та професійної діяльності.
Інструкція
Завдання 1.
Знайдіть довжини всіх сторін трикутника, якщо відомо, що одного катета перевищує довжину іншого на 1 см, а трикутника дорівнює 28 см.
Рішення.
Запишіть основну формулу площі S = (a*b)/2 = 28. Відомо, що b = a + 1, підставте це значення у формулу: 28 = (a*(a+1))/2.
Розкрийте дужки, отримайте квадратне рівнянняз однією невідомою a^2 + a – 56 = 0.
Знайдіть цього , для чого порахуйте дискримінант D = 1 + 224 = 225. Рівняння має два рішення: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 і a_2 = (-1 - √ 225) / 2 = (-1 - 15) / 2 = -8.
Другий немає сенсу, оскільки довжина відрізка може бути негативною величиною, отже a = 7 (см).
Знайдіть довжину другого катета b = a + 1 = 8 (см).
Залишилось довжину третьої сторони. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, звідси c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (см).
Завдання 2.
Знайдіть довжини всіх сторін прямокутного трикутника, якщо відомо, що його площа дорівнює 14 см, а кут ACB дорівнює 30°.
Рішення.
Запишіть основну формулу S = (a * b) / 2 = 14.
Тепер висловіть довжини катетів через добуток гіпотенузи та тригонометричних функцій за якістю прямокутного трикутника:
a = c * cos (ACB) = c * cos (30 °) = c * (√3/2) ≈ 0.87 * c.
b = c * sin (ACB) = c * sin (30 °) = c * (1/2) = 0.5 * c.
Підставте отримані значення у формулу площі:
14 = (0.87 * 0.5 * c ^ 2) / 2, звідки:
28 ≈ 0.435*c^2 → c = √64.4 ≈ 8 (см).
Ви знайшли довжину гіпотенузи, тепер знайдіть довжини двох інших сторін:
a = 0.87 * c = 0.87 * 8 ≈ 7 (см), b = 0.5 * c = 0.5 * 8 = 4 (см).
Відео на тему
Для початку домовимося про позначення. Катетом називають сторону прямокутного трикутника, яка прилягає до прямого кута (тобто складає з іншого боку кут 90 градусів). Довжини катетів умовимося позначати a та b. Величини гострих кутів прямокутного трикутника, що протилежать катетам, назвемо A і B відповідно. Гіпотенузою називають бік прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту (тобто знаходиться навпроти прямого кута, з іншими сторонами трикутника утворює гострі кути). Довжину гіпотенузи позначимо через с. Шукану площу позначимо через S.
Інструкція
Застосуйте формулу S = (a^2)/(2*tg(A)) у тому випадку, якщо вам заданий лише один з катетів (a), але також відомий кут (A), що протилежить цьому катету. Знаком "^2" позначено зведення у квадрат.
Використовуйте формулу S=(a^2)*tg(B)/2 d у випадку, якщо вам заданий лише один з катетів (a), але також відомий кут (B), що прилягає цьому катету.
Відео на тему
Джерела:
Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника розглядаються у розділі математики, який називається тригонометрією. Для знаходження сторін прямокутного трикутника достатньо знати теорему Піфагора, визначення тригонометричних функцій, і мати будь-який засіб знаходження тригонометричних функцій, наприклад, калькулятор або таблиці Брадіса. Розглянемо нижче основні випадки задач знаходження сторін прямокутного трикутника.
Вам знадобиться
Інструкція
Якщо заданий один із гострих кутів, наприклад, A, і один з катетів, наприклад, a, то гіпотенуза та інший катет обчислюються із співвідношень: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
У тому випадку, якщо вам не відомо значення синуса або косинуса якогось з необхідних розрахунку кутів, ви можете скористатися таблицями Брадіса, в них наводяться значення тригонометричних функцій для великої кількості кутів. Крім того, більшість сучасних калькуляторів здатні розраховувати синуси та косинуси кутів.
Джерела:
У такій фігурі, як прямокутний трикутник, обов'язково існує чітке співвідношення сторін щодо один одного. Знаючи дві з них, завжди можна знайти третю. Те, як це можна зробити, ви дізнаєтеся з інструкції, запропонованої нижче.
Вам знадобиться
Інструкція
Зведіть у квадрат обидва катета, а складіть їх між собою a2+b2. Отриманий результат є гіпотенузою ( основою) у квадраті c2. Далі потрібно лише витягти корінь з останнього і гіпотенузу знайдено. Цей методє простим та зручним у застосуванні на . Головне у процесі знаходження сторін трикутникатаким чином - не забувати витягувати корінь із попереднього результату, щоб уникнути найпоширенішої помилки. Формула виведена завдяки найвідомішій у світі теоремі Піфагора, яка у всіх джерелах має вигляд: a2+b2 = c2.
Розділіть один із катетів a на синус протилежного йому кута sin α. У тому випадку, якщо за умови відомі сторони та синуси, цей варіант знаходження гіпотенузи буде прийнятним. Формула в даному випадкуматиме дуже простий вигляд: c=a/sin α. Будьте уважні при всіх обчисленнях.
Помножте сторону на два. Гіпотенузу обчислено. Це, мабуть, найпростіший спосіб знаходження нам сторони. Але, на жаль, цей метод застосовується тільки в одному випадку - якщо сторона, яка лежить навпроти кута в градусну міру, рівну числутридцять. За наявності такої ви можете бути впевнені, що вона завжди буде рівно половиною гіпотенузи. Відповідно, вам залишається лише збільшити її вдвічі і готовий.
Розділіть катет a на косинус кута cos α, що прилягає до нього. Такий метод підійде виключно в тому випадку, якщо вам відомий один із катетів і косинус кута до нього. Цей спосіб нагадує вже представлений вам раніше, в якому використовується також катет, але замість косинуса – синус протилежного кута. Тільки ось у цьому випадку буде мати дещо інший змінений зовнішній вигляд: с=a/ cos α. От і все.
Тре косинець, Один з кутів якого є прямим (рівний 90 °), називають прямокутним. Його найдовша сторона завжди лежить навпроти прямого кута і називається гіпотенузою, а дві інші сторониназивають катетами. Якщо довжини цих трьох сторін відомі, то знайти величини всіх кутів косинецьа не складе труднощів, тому що фактично потрібно обчислити всього один з кутів. Зробити це можна кількома способами.
Інструкція
Використовуйте для обчислення величин (α, β, γ) визначення тригонометричних функцій через прямокутний тре. Таке, наприклад, для синуса гострого кута як відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Значить, якщо довжини катетів (A і B) та гіпотенузи (C), то знайти, наприклад, синус кута α, що лежить навпроти катета A можна, розділивши довжину сторониА на довжину сторони C (гіпотенузи): sin(?)=A/C. Дізнавшись значення синуса цього кута, можна знайти його величину в градусах, використавши зворотну синусу функцію - арксинус. Тобто α = arcsin (sin (α)) = arcsin (A / C). У такий же спосіб можна знайти і величину гострого кута в тре косинецье, але в цьому немає потреби. Оскільки сума всіх кутів тре косинецьа становить 180 °, а в тре косинецье один із кутів дорівнює 90°, то величину третього кута можна порахувати як різницю між 90° і величиною знайденого кута: β=180°-90°-α=90°-α.
Замість визначення синуса можна використовувати визначення косинуса гострого кута, яке формулюється як відношення довжини катета, що прилягає до шуканого кута, до довжини гіпотенузи: cos(α)=B/C. І тут задійте зворотну тригонометричну функцію(Арккосинус), щоб знайти величину кута в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Після цього, як і в попередньому кроці, залишиться знайти величину кута, що бракує: β=90°-α.
Можна скористатися аналогічним тангенса - він виражається співвідношенням довжини катета, що протилежить шуканому куту, до довжини катета прилеглого: tg(α)=A/B. Величину кута в градусах знову визначайте через зворотну тригонометричну функцію - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величини кута, що бракує, залишиться без змін: β=90°-α.
Відео на тему
Прямокутним вважається такий трикутник, у якого один із кутів прямий. Сторона трикутника, розташована навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони- катетами. Щоб знайти довжини сторін прямокутного трикутника, можна скористатися кількома способами.
Інструкція
1. Відомі значення двох катетів
У такому разі площа прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
S = 0.5ab
2. Відомий один катет та гіпотенуза
За подібних умов найлогічніше скористатися теоремою Піфагора і вищевикладеною формулою:
S = 0.5∙sqrt(c^2-a^2) ∙a,
де sqrt – квадратний корінь, c^2-a^2 – підкорене вираз, що означає різницю квадрата гіпотенузи та катета.
3. Дано значення всіх сторін трикутника
Для таких завдань можна використати формулу Герона:
S = (p-a)(p-b),
де p – напівпериметр, що знаходиться за таким виразом: p = 0.5∙ (a+b+c)
4. Відомий один катет та кут
Тут варто звернутися до тригонометричних функцій. Наприклад, tg(1) = 1/ctg (1) = b/a. Тобто завдяки цьому співвідношенню можна визначити значення невідомого катета. Далі завдання зводиться до першого пункту.
5. Відома гіпотенуза та кут
У цьому випадку також використовуються тригонометричні функції синуса та косинуса: сos(2)=1/sin(2) = b/c. Потім розв'язання задачі зводиться до другого пункту статті.
Відео на тему
c2=a2+b2, де з – гіпотенуза, a та b – катети. Тобто гіпотенуза дорівнюватиме квадратному кореню із суми квадратів катетів. Щоб знайти будь-який з катетів, достатньо з квадрата гіпотенузи відняти квадрат іншого катета і витягти з отриманої різниці квадратний корінь.
Таким чином, знаючи кут і одну зі сторін, можна за цими формулами обчислити іншу сторону. Тригонометричними співвідношеннями пов'язані і обидва катета. Ставлення протилежного до прилеглого називається тангенсом, а прилеглого до протилежного котангенсом. Виразити ці співвідношення можна формулами tgA=a/b чи ctgA=b/a.
Як ви можете пам'ятати зі шкільної програми з геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.
Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як визначити площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:
S – це площа трикутника,
a, b, c – це сторони трикутника,
h – це висота трикутника,
R – це радіус описаного кола,
p – це напівпериметр.
Ось основні позначення, які можуть вам стати в нагоді, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі і не складні варіантиобчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і стане в нагоді як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:
У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється квадратних сантиметрах (кв.см.).
Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії (у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.
1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.
У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.
2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:
Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:
S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.
Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.
Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, у якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути біля основи в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі:
