Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів
До одночленів відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42;
3;
0;
b 3;
ax 4;
4x 3;
5a 2;
12xyz 3 .
Досить часто буває важко визначити, відноситься цей математичний вираз до одночлена чи ні. Наприклад, $\frac(4а^3)(5)$. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти це питання треба спростити вираз, тобто. представити як: $\frac(4)(5)*а^3$.
Ми можемо точно сказати, що це вираз - одночлен.
Стандартний вид одночлена
При обчисленні бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш короткий і зрозумілий запис одночлена.
Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
Ми можемо точно сказати, що це вираз - одночлен.
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) та отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковою буквеною основою та перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 всім змінних. приклади. I. Привести заданий одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ до стандартного вигляду.
Навігація на сторінці.
З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного вигляду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.
Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він прийняв стандартний вигляд.
Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.
Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?
Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:
Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.
Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пункту під час вирішення прикладів.
приклад.
Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.
Рішення.
Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x. Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6 , а правило множення ступенів однаковими підставамидозволяє вираз у других дужках подати як x 1 +2 = x 3 . У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .
Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.
Відповідь:
3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.
Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.
приклад.
Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.
Рішення.
Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо 
. Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, що дорівнює −1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .
Початкові відомості про одночлени містять уточнення, що будь-який одночлен може призвести до стандартного вигляду. У матеріалі нижче ми розглянемо це питання докладніше: позначимо сенс даної дії, визначимо кроки, дозволяють задати стандартний вигляд одночлена, і навіть закріпимо теорію рішенням прикладів.
Запис одночлена у стандартному вигляді дозволяє зручніше працювати з ним. Часто одночлени задаються в нестандартному вигляді, і тоді виникає необхідність здійснення тотожних перетвореньдля приведення заданого одночлена у стандартний вигляд.
Визначення 1
Приведення одночлена до стандартного вигляду- Це виконання відповідних дій (тотожних перетворень) з одночленом з метою запису його у стандартному вигляді.
З визначення випливає, що одночлен нестандартного виду є добутком чисел, змінних та їх ступенів, при цьому можливе їх повторення. У свою чергу, одночлен стандартного виду містить у своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня.
Щоб привести нестандартний одночлен до стандартного вигляду, необхідно використати наступне правило приведення одночлена до стандартного вигляду:
Задано одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необхідно навести його до стандартного вигляду.
Рішення
Здійснимо угруповання числових множників та множників зі змінною х, в результаті заданий одночлен набуде вигляду: (3 · 2) · (x · x 2) .
Добуток у дужках становить 6 . Застосувавши правило множення ступенів з однаковими основами, вираз у дужках представимо як: x 1 + 2 = x 3. В результаті отримаємо одночлен стандартного виду: 6 x 3 .
Короткий запис рішення виглядає так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Відповідь: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Приклад 2
Задано одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необхідно привести його до стандартного вигляду та вказати його коефіцієнт.
Рішення
заданий одночлен має у своєму записі один числовий множник: - 1, здійснимо його перенесення на початок. Потім зробимо угруповання множників зі змінною а і множників зі змінною b. Змінну m групувати нема з чим, залишаємо у вихідному вигляді. В результаті перерахованих дій отримаємо: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Виконаємо дії зі ступенями в дужках, тоді одночлен набуде стандартного вигляду: (-1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . З цього запису ми легко визначаємо коефіцієнт одночлена: він дорівнює -1. Мінус одиницю цілком можливо замінити просто знаком мінус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Короткий запис усіх дій виглядає так:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (-1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m
Відповідь:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коефіцієнт заданого одночлена дорівнює - 1 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Одночлени є одним із основних видів виразів, що вивчаються в рамках шкільного курсу алгебри. У цьому матеріалі ми розповімо, що це за вирази, визначимо їхній стандартний вигляд і покажемо приклади, а також розберемося з супутніми поняттями, такими як ступінь одночлена та його коефіцієнт.
У шкільних підручниках зазвичай дається таке визначення:
Визначення 1
До одночленів відносятьсячисла, змінні, а також їх ступеня з натуральним показником та різні видитворів, складені їх.
Виходячи з цього визначення ми можемо навести приклади таких виразів. Так, усі числа 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 будуть відноситися до одночленів. Всі змінні, наприклад, x, a, b, p, q, t, y, z теж будуть за визначенням одночленами. Сюди можна віднести ступеня змінних і чисел, наприклад, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 і t 15, а також вирази виду 65 · x , 9 · (− 7) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z і т.д. Зверніть увагу, що до складу одночлена може входити як одне чи змінна, так і кілька, причому вони можуть бути згадані кілька разів у складі одного многочлена.
Такі види чисел, як цілі, раціональні, натуральні теж відносяться до одночленів. Також сюди можна включити дійсні та комплексні числа. Так, вирази виду 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 теж будуть одночленами.
Для зручності роботи всі одночлени спочатку призводять до особливого виглядуназивається стандартним. Сформулюємо саме, що це значить.
Визначення 2
Стандартним видом одночленаназивають такий його вид, в якій він являє собою добуток числового множника та натуральних ступенів різних змінних. Числовий множник, який також називається коефіцієнтом одночлена, зазвичай записують першим з лівого боку.
Для наочності підберемо кілька одночленів стандартного вигляду: 6 (це одночлен без змінних), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюди можна віднести вираз x · y(Тут коефіцієнт дорівнюватиме 1), − x 3(Тут коефіцієнт дорівнює - 1).
Тепер наведемо приклади одночленів, які потрібно привести до стандартного вигляду: 4 · a · a 2 · a 3(Тут потрібно об'єднати однакові змінні), 5 · x · (− 1) · 3 · y 2(Тут потрібно об'єднати зліва числові множники).
Зазвичай у разі, коли одночлен має кілька змінних, записаних літерами, літерні множники записують у алфавітному порядку. Наприклад, кращий запис 6 · a · b 4 · c · z 2чим b 4 · 6 · a · z 2 · c. Однак порядок може бути й іншим, якщо цього потребує мети обчислення.
Привести до стандартного вигляду можна будь-який одночлен. Для цього необхідно виконати всі потрібні тотожні перетворення.
Дуже важливим є супутнє поняття ступеня одночлена. Запишемо визначення цього поняття.
Визначення 3
ступенем одночлена, записаного у стандартному вигляді, є сума показників ступенів всіх змінних, що входять до його запису. Якщо жодної змінної немає, а сам одночлен відмінний від 0 , його ступінь буде нульової.
Наведемо приклади ступенів одночлена.
Приклад 1
Так, одночлен a має ступінь, що дорівнює 1 , оскільки a = a 1 . Якщо у нас є одночлен 7, то він матиме нульовий ступінь, оскільки в ньому немає змінних і він відрізняється від 0. А ось запис 7 · a 2 · x · y 3 · a 2буде одночленом 8-го ступеня, адже сума показників усіх ступенів змінних, включених до нього, дорівнюватиме 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Одночлен, наведений до стандартного вигляду, і вихідний багаточлен матиме однаковий ступінь.
Приклад 2
Покажемо, як підрахувати ступінь одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (−2) · x 5 · y. У стандартному вигляді його можна записати як − 6 · x 8 · y 4. Обчислюємо ступінь: 8 + 4 = 12 . Отже, ступінь вихідного многочлена також дорівнює 12 .
Якщо у нас є одночлен, наведений до стандартного вигляду, який включає хоча б одну змінну, то ми говоримо про нього як про твір з одним числовим множником. Цей множник називають числовим коефіцієнтом, або коефіцієнт одночлена. Запишемо визначення.
Визначення 4
Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена, наведеного до стандартного виду.
Візьмемо для прикладу коефіцієнти різних одночленів.
Приклад 3
Так, у виразі 8 · a 3коефіцієнтом буде число 8, а в (− 2 , 3) · x · y · zїм буде − 2 , 3 .
Особливу увагу треба приділити коефіцієнтам, рівним одиниці та мінус одиниці. Як правило, у явному вигляді їх не вказують. Вважається, що в одночлені стандартного виду, в якому немає числового множника, коефіцієнт дорівнює 1, наприклад, у виразах a, x · z 3, a · t · x, оскільки їх можна розглядати як як 1 · a, x · z 3 – як 1 · x · z 3і т.д.
Так само в одночленах, у яких немає числового множника і які починаються зі знака мінус, ми можемо вважати коефіцієнтом - 1 .
Приклад 4
Наприклад, такий коефіцієнт буде у виразів − x , − x 3 · y · z 3 , оскільки вони можуть бути представлені як − x = (− 1) · x , − x 3 · y · z 3 = (− 1) · x 3 · y · z 3 і т.д.
Якщо в одночлена взагалі немає жодного буквеного множника, то говорити про коефіцієнт можна і в цьому випадку. Коефіцієнтами таких одночленів чисел будуть самі ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 9 дорівнюватиме 9 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У математиці існує безліч різних математичних виразів, і деякі з них мають свої назви, що закріпилися. З одним із таких понять нам і належить познайомитися – це одночлен.
Одночлен - це математичне вираз, що складається з добутку чисел, змінних, кожна з яких може входити до твір певною мірою. Щоб краще розібратися з новим поняттям, необхідно ознайомитися з декількома прикладами.
Вирази 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 є одночленами.Як бачите, одне лише число чи змінна (у мірі чи без) теж є одночленом. А ось, наприклад, вирази 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 вже не є одночленами, Оскільки вони не підходять під визначення. У першому виразі використовується "сума", а це неприпустимо, у другому - "розподіл", у третьому - різницю.
Розглянемо ще кілька прикладів.
Наприклад, вираз 2*a^3*b/3 теж є одночленом, хоча там і є поділ. Але в даному випадкурозподіл відбувається на число, і тому відповідний вираз можна переписати так: 2/3*a^3*b. Ще один приклад:який із виразів 2/х та х/2 є одночленом, а який ні? правильно відповісти, що перший вираз не одночлен, а друге одночлен.
Подивіться наступні два висловлювання-одночлена: ¾*a^2*b^3 і 3*a*1/4*b^3*a. Насправді це два однакові одночлени. Чи не правда, що перший вираз виглядає зручнішим, ніж другий?
Причиною цього є те, що перший вираз записано у стандартному вигляді. Стандартний вид многочлена - це твір, що складається з числового множника та ступенів різних змінних. Числовий множник називається коефіцієнтом одночлена.
Для того, щоб привести одночлен до його стандартного вигляду, достатньо перемножити всі числові множники, присутні в одночлені, і поставити число, що вийшло, на перше місце. Потім перемножити всі ступені, у яких однакові буквені основи.
Якщо нашому прикладі у другому виразі перемножити всі числові множники 3*1/4 і потім помножити a*a, то вийде перший одночлен. Ця дія називається приведенням одночлена до його стандартного вигляду.
Якщо два одночлени розрізняються лише числовим коефіцієнтом чи рівні між собою, такі одночлени називаються в математиці подібними.
