Функція- це математична величина, що показує залежність одного елемента «у»від іншого "х".
Інакше сказати: залежність уназивається функцією змінної величини хякщо кожному значенню, яке може набувати хвідповідає одне чи кілька визначених значень у. Змінна х- це аргумент функції.
Величина узавжди залежить від величини х, отже, аргумент хє незалежної змінної, а функція у - залежною змінною.
Пояснимо на прикладі:
Нехай Т- це температура кипіння води, а Р- атмосферний тиск. При спостереженні встановлено, що кожному значенню, яке може набувати Р, відповідає завжди одне й те саме значення Т. Таким чином, Т- це функція аргументу Р.
Функціональна залежність Твід Рдозволяє при спостереженні температури кипіння води без барометра визначати тиск за спеціальними таблицями, наприклад таким:
Видно, що є значення аргументуТ, які температура кипіння приймати не може, наприклад, вона не може бути меншою за «абсолютний нуль» (- 273 °С). Тобто неможливому значенню Т= - 300 °С, не відповідає жодному значенню Р. Тому у визначенні сказано: «кожному значенню, яке може набувати х ... », а не кожному значенню х…
При цьому Рє функцією аргументуТ. Таким чином, залежність Рвід Тдозволяє при спостереженні за тиском без термометра визначати температуру кипіння води за аналогічною таблицею:
Якщо кожному значенню аргументу хвідповідає одне значення функції у, то функція називається однозначною; якщо два і більше, то багатозначною(двозначною, тризначною). Якщо не застерігається, що функція багатозначна, слід розуміти, що вона однозначна.
Наприклад:
Сума ( S) кутів багатокутника - це функція числа (n) сторін. Аргумент nможе приймати лише цілі значення, але не менше, ніж 3 . Залежність Sвід nвиражається через формулу:
S = π (n - 2).
За одиницю виміру в даному прикладіприйнятий радіан. При цьому n- це функція аргументу Sта функціональна залежність nвід Sвиражається формулою:
n = S/ π + 2.
АргументSможе приймати лише значення, які кратні π , (π , 2 π , 3 π і т.д.).
Пояснимо на ще одному прикладі:
Сторона квадрата хє функцією його площі S (x = √ S). Аргумент може набувати будь-яких позитивних значень.
Аргумент- це завжди змінна величина, функція, як правило, теж змінна величина, яка залежить від аргументу, але не виключена можливість її сталості.
Наприклад:
Відстань точки, що рухається від нерухомої - це функція часу перебування в дорозі, вона зазвичай змінюється, але при русі точки по колу відстань від центру залишається постійною.
При цьому, тривалість руху по колу не є функцією відстанівід центру.
Таким чином, коли функція є постійною величиною, то аргумент та функцію не можна міняти місцями.
Довжина відрізка координатної осі знаходиться за формулою:
Довжина відрізка на координатній площині шукається за формулою:
Для знаходження довжини відрізка у тривимірній системі координат використовується така формула:
Координати середини відрізка (для координатної осі використовується лише перша формула, для координатної площини - перші дві формули, для тривимірної системи координат - усі три формули) обчислюються за формулами:
Функція– це відповідність виду y= f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої змінної величини x(аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення іншої змінної величини, y(Залежної змінної, іноді це значення просто називають значенням функції). Зверніть увагу, що функція передбачає, що одне значення аргументу хможе відповідати лише одне значення залежної змінної у. При цьому одне й те саме значення уможе бути отримано за різних х.
Область визначення функції– це значення незалежної змінної (аргументу функції, зазвичай це х), у яких функція визначено, тобто. її значення існує. Позначається область визначення D(y). За великим рахунком, Ви вже знайомі з цим поняттям. Область визначення функції інакше називається областю допустимих значень, чи ОДЗ, що Ви давно вмієте знаходити.
Область значень функції– це всі можливі значення залежної змінної цієї функції. Позначається Е(у).
Функція зростаєна проміжку, на якому більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції. Функція зменшуєтьсяна проміжку, у якому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Проміжки знаковості функції– це проміжки незалежної змінної, у яких залежна змінна зберігає свій позитивний чи негативний знак.
Нулі функції– це такі значення аргументу, у яких величина функції дорівнює нулю. У цих точках графік функції перетинає вісь абсцис (вісь ОХ). Найчастіше необхідність знайти нулі функції означає необхідність просто вирішити рівняння. Також часто необхідність знайти проміжки знаковості означає необхідність просто вирішити нерівність.
функцію y = f(x) називають парної х
Це означає, що з будь-яких протилежних значень аргументу, значення парної функції рівні. Графік парної функціїзавжди симетричний щодо осі ординат ОУ.
функцію y = f(x) називають непарноюякщо вона визначена на симетричній множині і для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність:
Це означає, що для будь-яких протилежних значень аргументу значення непарної функції також протилежні. Графік непарної функції завжди симетричний щодо початку координат.
Сума коренів парної та непарної функцій(точок перетину осі абсцис ОХ) завжди дорівнює нулю, т.к. на кожен позитивний корінь хприпадає негативний корінь – х.
Важливо: деяка функція необов'язково має бути парною чи непарною. Існує безліч функцій, що не є ні парними ні непарними. Такі функції називаються функціями загального вигляду і для них не виконується жодна з рівностей або властивостей наведених вище.
Лінійною функцієюназивають функцію, яку можна задати формулою:
Графік лінійної функції є прямою і в загальному випадку виглядає наступним чином (наведено приклад для випадку коли k> 0, у разі функція зростаюча; для випадку k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Графік параболи визначається квадратичною функцією:
Квадратична функція, як і будь-яка інша функція, перетинає вісь ОХ в точках є її корінням: ( x 1; 0) та ( x 2; 0). Якщо коріння немає, значить квадратична функція вісь ОХ не перетинає, якщо корінь один, значить у цій точці ( x 0; 0) квадратична функція лише стосується осі ОХ, але з перетинає її. Квадратична функція завжди перетинає вісь OY у точці з координатами: (0; c). Графік квадратичної функції(парабола) може виглядати так (на малюнку приклади, які далеко не вичерпують усі можливі видипарабол):
При цьому:
Координати вершини параболи можуть бути обчислені за такими формулами. Ікс вершини (p- на рисунках вище) параболи (або точка в якій квадратний тричлен досягає свого найбільшого чи найменшого значення):
Гравець вершини (q- на рисунках вище) параболи або максимальне, якщо гілки параболи спрямовані вниз ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), значення квадратного тричлена:
Ступіньною функцією
Наведемо кілька прикладів графіків статечних функцій:
Назад пропорційною залежністюназивають функцію, задану формулою:
Залежно від знаку числа kграфік обернено пропорційної залежності може мати два важливих варіантів:
Асимптота- це лінія, до якої лінія графіка функції нескінченно близько наближається, але з перетинає. Асимптотами для графіків зворотної пропорційності наведених малюнку вище є осі координат, яких графік функції нескінченно близько наближається, але з перетинає їх.
Показовою функцієюз основою аназивають функцію, задану формулою:
aграфік показової функції може мати два важливі варіанти (наведемо також приклади, див. нижче):
Логарифмічною функцієюназивають функцію, задану формулою:
Залежно від того більше чи менше одиниці число aграфік логарифмічної функції може мати два важливі варіанти:
Графік функції y = |x| виглядає наступним чином:
Функція у = f(x) називається періодичноїякщо існує таке, нерівне нулю, число Т, що f(x + Т) = f(x), для будь-якого хз області визначення функції f(x). Якщо функція f(x) є періодичною з періодом T, то функція:
де: A, k, b- Постійні числа, причому kне дорівнює нулю, також періодична з періодом T 1 який визначається формулою:
Більшість прикладів періодичних функцій – це тригонометричні функції. Наведемо графіки основних тригонометричних функцій. На наступному малюнку зображено частину графіка функції y= sin x(весь графік необмежено триває вліво та вправо), графік функції y= sin xназивають синусоїдою:
Графік функції y= cos xназивається косінусоїдою. Цей графік зображено на малюнку. Так як і графік синуса він нескінченно продовжується вздовж осі ОХ вліво та вправо:
Графік функції y= tg xназивають тангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ ліворуч і праворуч.
Ну і нарешті, графік функції y= ctg xназивається котангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних та тригонометричних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.
Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результатмаксимальний з того, на що Ви здатні.
Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку у навчальних матеріалах, то напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також у соціальної мережі(). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.
Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, при якому функція звертається до 0, тобто f(x)=0.
Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.
Парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x) 
Парна функція симетрична щодо осі Оу
Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x). 
Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду. 
Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, тобто. 
Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто. 
Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності: 
Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції
Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x) 
Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).
Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму. 
точки локального екстремуму
Періодичність функції
Функція f(x) називається періодичною, з періодом Т, якщо для будь-кого хвиконується рівність f(x+T) = f(x). 
Проміжки знакостійності
Проміжки, у яких функція або лише позитивна, або лише негативна, називаються проміжками знакопостійності. 
Безперервність функції
Функція f(x) називається безперервною в точці x 0 якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто. 
.
Точки розриву
Точки, в яких порушена умова безперервності, називаються точками розриву функції. 
x 0- Точка розриву.
Загальна схема для побудови графіків функцій
1. Знайти область визначення функції D(y).
2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.
3. Дослідити функцію на парність чи непарність.
4. Дослідити функцію на періодичність.
5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції.
6. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.
7. Знайти асимптоти функції.
8. За наслідками дослідження побудувати графік.
Приклад:Дослідити функцію та побудувати її графік: y = x 3 – 3x
1) Функція визначена по всій числовій осі, тобто її область визначення D(y) = (-∞; +∞).
2) Знайдемо точки перетину з осями координат:
з віссю ОХ: розв'яжемо рівняння x 3 – 3x = 0
з віссю ОY: y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0
3) З'ясуємо, чи не є функція парної чи непарної:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Звідси випливає, що функція є непарною.
4) Функція неперіодична.
5) Знайдемо проміжки монотонності та точки екстремуму функції: y' = 3x 2 - 3.
Критичні точки: 3x2 - 3 = 0, x2 = 1, x = ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Знайдемо проміжки опуклості та точки перегину функції: y'' = 6x
Критичні точки: 6x=0, x=0.
y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0
7) Функція безперервна, асимптот у неї немає.
8) За результатами дослідження збудуємо графік функції.
Для розуміючи цієї теми, розглянемо функцію, зображену на графіці // Покажемо, як графік функції дозволяє визначити її властивості.
Областю визначення функції явл. проміжок [3,5; 5,5].
Областю значень функції явл. проміжок [1; 3].
1. При x = -3, x = - 1, x = 1,5, х = 4,5 значення функції дорівнює нулю.
Значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції.
//Тобто. для цієї функції числа -3; -1; 1,5; 4,5 є нулями.
2. На проміжках [4,5; 3) і (1; 1,5) і (4,5;5,5] графік функції f розташований над віссю абсцис, а на проміжках (-3; -1) та (1,5; 4,5) під віссю абсцис, це пояснюється так -на проміжках [4,5; 3) та (1; 1,5) і (4,5;5,5] функція набуває позитивних значень, а на проміжках (-3; -1) і ( 1,5; 4,5) негативні.
Кожен із зазначених проміжків (там де функція набуває значення одного й того ж знака) називають проміжком знаковості функції f.//тобто. наприклад, якщо взяти проміжок (0; 3), то він не є проміжком знакості цієї функції.
У математиці прийнято під час пошуку проміжків знаковості функції вказувати проміжки максимальної довжини. //Тобто. проміжок (2; 3) є проміжком знаковостіфункції f, але у відповідь слід увімкнути проміжок [4,5; 3), що містить проміжок (2; 3).
3. Якщо переміщатися по осі абсцис від 4,5 до 2, можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. //У математиці прийнято говорити, що у проміжку [ 4,5; 2] функція зменшується.
Зі збільшенням x від 2 до 0 графік функції йде нагору, тобто. Значення функції збільшуються. //У математиці прийнято говорити, що у проміжку [ 2; 0] функція зростає.
Функцію f називають , якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2 з цього проміжку таких, що x2 > x1, виконується нерівність f(x2) > f(x1). // або функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.//т.е. що більше х, то більше в.
Функцію f називають спадаючою на деякому проміжкуякщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2 з цього проміжку таких, що x2 > x1, виконується нерівність f(x2)зменшується на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. //Тобто. що більше х, то менше у.
Якщо функція зростає по всій області визначення, її називають зростаючою.
Якщо функція зменшується по всій області визначення, її називають спадаючою.
приклад 1.графік зростаючої та спадної функцій відповідно.
приклад 2.
Визначити явл. чи лінійна функція f(x) = 3x + 5 зростаючою чи спадною?
Доведення. Відтворюємося визначеннями. Нехай х1 та x2 довільні значення аргументу, причому x1< x2., например х1=1, х2=7
ФУНКЦІЯ ФУНКЦІЯ (від латинського functio - виконання, здійснення); 1) діяльність, обов'язок, робота; зовнішній прояв властивостей будь-якого об'єкта у системі відносин (наприклад, функція органів чуття, функція грошей). 2) Функція в соціології - роль, яку виконує певний соціальний або процес по відношенню до цілого (наприклад, функція держави, сім'ї тощо в суспільстві). 3) Функція у математиці - відповідність між змінними величинами, з якого кожному значенню однієї величини x (незалежного змінного, аргументу) відповідає певне значення інший величини y (залежного змінного, функції). Функції може бути задані, наприклад, формулою, графіком, таблицею, правилом.
Сучасна енциклопедія. 2000 .
Синоніми:- (Лат. Functio - виконання) обов'язок, коло діяльності. «Функція – це існування, мислиме нами у дії» (Гете). Наука про функції органів живих істот – фізіологія; спеціальна наука про функції нервової системи– фізіологія органів… … Філософська енциклопедія
функція- Команда або група людей, а також інструментарій або інші ресурси, які вони використовують для виконання одного чи кількох процесів чи діяльності. Наприклад, служба підтримки користувачів. Цей термін також має інше значення: … Довідник технічного перекладача
Див … Словник синонімів
- (Лат. Functio). У фізіології: відправлення будь-яким органом йому одному властивих процесів, як напр., дихання, травлення. 2) у математиці: величина, яка від іншої змінної величини. Словник іноземних слів, що увійшли до складу ... ... Словник іноземних слів російської мови
Функція- 1. Залежна змінна величина; 2. Відповідність y=f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої величини x (аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення… … Економіко-математичний словник
Функція- (від латинського functio виконання, здійснення); 1) діяльність, обов'язок, робота; зовнішній прояв властивостей будь-якого об'єкта у цій системі відносин (наприклад, функція органів чуття, функція грошей). 2) Функція у соціології роль,… … Ілюстрований енциклопедичний словник
- (від лат. functio виконання здійснення),..1) діяльність, обов'язок, робота; зовнішній прояв властивостей будь-якого об'єкта у цій системі відносин (напр., функція органів чуття, функція грошей)2)] Функція у соціології роль, яку… … Великий Енциклопедичний словник
ФУНКЦІЯ, в математиці одне з основних понять, вираз, що визначає регулярну залежність між двома множинами змінних величин, що полягає в тому, що кожному елементу однієї множини відповідає певна, єдина… Науково-технічний енциклопедичний словник
- (function) Взаємозв'язок між двома та більш змінними. Якщо у є функцією від х і записується як y=f(x), то, якщо значення аргументу х відомо, функція дозволяє показує, як знайти значення у. Якщо у – однозначна функція від х, то… Економічний словник
- (від латів. виконую, роблю) центр, поняття в методології функціонального та структурно-функціонального аналізу про ст. Поняття "Ф." стало активно використовуватися у соціальних науках із вт. підлога. 19 ст. у зв'язку з проникненням спочатку… Енциклопедія культурології
