Сходи. Вхідна група. Матеріали. Двері. Замки. Дизайн

Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа.

2015-06-04

Дійсна та уявна вісь
Аргумент комплексного числа
Головний аргумент комплексної кількості
Тригонометрична форма комплексного числа

Завдання комплексного числа $z = a+bi$ рівносильне завданню двох дійсних чисел $a,b$ - дійсної та уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел $(a,b)$ зображується в декартовій прямокутній системі координат крапкою з координатами $(a, b)$. Таким чином, ця точка може служити зображенням для комплексного числа $z$: між комплексними числами і точками координатної площини встановлюється взаємно однозначна відповідність.

При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь $Ox$ зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь $Oy$ - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки).

Комплексне число $z$, яке зображується точкою $M(a,b)$, називається афіксом цієї точки. При цьому дійсні числа зображуються точками, що лежать на реальній осі, а всі чисто уявні числа $bi$(при $a = 0$) - точками, що лежать на уявній осі. Число нуль зображується точкою O.

Рис.1
На рис. 1 побудовано зображення чисел $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 - 2i, z_ (7) = -5i, z_ (8) = 2 - 3i $.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі $Ox$ (точки $z_(1)$ і $z_(8)$ на рис. 1).

Мал. 2
Часто з комплексним числом $z$ пов'язують не тільки точку $M$, що зображує це число, а й вектор $\vec(OM)$, що веде з $O$ $M$; зображення числа $z$ вектором зручно з погляду геометричного тлумачення дії складання та віднімання комплексних чисел. На рис. 2 а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел $z_(1), z_(2)$, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах $\vec(OM_(1)), \vec(OM_(2)) $, що зображують доданки. Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до додавання з протилежним вектором (рис. 2, б).

Мал. 3
Як відомо, положення точки на площині можна також задавати її полярними координатами $r, \phi$. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням $r$ і $\phi$. З рис. 3 ясно, що $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ є водночас модулем комплексного числа $z$: полярний радіус точки, що зображує число $z$, дорівнює модулю цього числа.

Полярний кут точки $M$ називають аргументом числа $z$, що зображується цією точкою.

Аргумент комплексного числа (як і полярний кут точки) визначено неоднозначно; якщо $\phi_(0)$ -одне з його значень, то всі його значення виражаються формулою
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Усі значення аргументу разом позначаються символом $Arg \: z$.

Отже, кожному комплексному числу можна поставити у відповідність пари дійсних чисел: модуль і аргумент цього числа, причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулем $|z| = r$ і аргументу $\phi$ відповідає однина$z$, що має дані модуль та аргумент. Особливими властивостямимає число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом $arg: z$. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей
$0 \leq arg \: z (в інших випадках нерівностям $- \pi

Звернемо ще увагу до значення аргументу дійсних і чисто уявних чисел:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(якщо) a>0, \\
\pi, & \text(якщо) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(якщо) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(якщо) b

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координати точки) виражаються через його модуль та аргумент (полярні координати точки) за формулами:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
і комплексне число може бути записано у наступній тригонометричній формі:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(Запис числа як $z = a + bi$ називатимемо записом в алгебраїчної формі).

Умова рівності двох чисел, заданих у тригонометричній формі, така: два числа $z_(1)$ і $z_(2)$ рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи рівні або відрізняються на ціле число періодів $2 \pi $.

Перехід від запису числа в формі алгебри до його запису в тригонометричній формі і назад здійснюється за формулами (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2))), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b)(a)$ (3)
та формулам (1). При визначенні аргументу (його головного значення) можна скористатися значенням однієї з тригонометричних функцій$\cos \phi$ або $\sin \phi$ і враховувати другий знак.

приклад. Записати у тригонометричній формі такі числа:
а) $ 6 + 6i $; б) $3i$; в) $-10 $.
Рішення, а) Маємо
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
звідки $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, і, отже,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
в) $ r = 10, \ cos \ phi = -1, \ sin \ phi = 0, \ phi = \ pi $;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Комплексні числа

Основні поняття

Початкові дані про число відносяться до епохи кам'яного віку – палеомеліту. Це «один», «мало» та «багато». Записувалися вони як зарубок, вузликів тощо. Розвиток трудових процесівта поява власності змусили людину винайти числа та їх назви. Першими з'явилися натуральні числа N, одержувані за рахунку предметів. Потім, поряд із необхідністю рахунку, у людей з'явилася потреба вимірювати довжини, площі, обсяги, час та інші величини, де доводилося враховувати і частини вживаної міри. Так виникли дроби. Формальне обґрунтування понять дробового та негативного числа було здійснено у 19 столітті. Безліч цілих чисел Z- Це натуральні числа, натуральні зі знаком мінус і нуль. Цілі та дробові числа утворили сукупність раціональних чисел Q,але і вона виявилася недостатньою для вивчення змінних величин, що безперервно змінюються. Буття знову показало недосконалість математики: неможливість вирішити рівняння виду х 2 = 3, у зв'язку з чим з'явилися ірраціональні числа I.Об'єднання безлічі раціональних чисел Qта ірраціональних чисел I- безліч дійсних (або речових) чисел R. У результаті числова пряма заповнилася: кожному дійсному числу відповідала у ньому точка. Але на безлічі Rнемає можливості вирішити рівняння виду х 2 = – а 2 . Отже, знову виникла потреба розширення поняття числа. Так було в 1545 року з'явилися комплексні числа. Їхній творець Дж. Кардано називав їх «чисто негативними». Назва «уявні» ввів у 1637 році француз Р. Декарт, у 1777 році Ейлер запропонував використати першу літеру французького числа iдля позначення уявної одиниці. Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки Гауссу.

Протягом 17 – 18 століть тривало обговорення арифметичної природи уяви, їх геометричного тлумачення. Данець Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число крапкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точкою, а вектором, що йде в цю точку з початку координат.

Лише до кінця 18 - початку 19 століття комплексні числа зайняли гідне місце в математичний аналіз. Перше їх використання – теоретично диференціальних рівняньта в теорії гідродинаміки.

Визначення 1.Комплексним числомназивається вираз виду , де xі y- дійсні числа, а i- Уявна одиниця, .

Два комплексні числа та рівніі тоді, коли , .

Якщо , то число називають чисто уявним; якщо , то число є дійсним числом, це означає, що безліч R З, де З- Багато комплексних чисел.

Сполученимдо комплексного числа називається комплексне число.

Геометричне зображення комплексних чисел.

Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою М(x, y) площині Окси.Парою дійсних чисел позначаються координати радіус-вектора , тобто. між безліччю векторів на площині та безліччю комплексних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність: .

Визначення 2.Справжньою частиною х.

Позначення: x= Re z(Від латинського Realis).

Визначення 3.Уявною частиноюкомплексного числа називається дійсне число y.

Позначення: y= Im z(Від латинського Imaginarius).

Re zвідкладається на осі ( Ох), Im zвідкладається на осі ( Оy), тоді вектор , відповідний комплексному числу - це радіус-вектор точки М(x, y), (або М(Re z, Im z)) (рис. 1).

Визначення 4.Площина, точкам якої поставлено у відповідність безліч комплексних чисел, називається комплексною площиною. Вісь абсцис називається справжньою віссю, оскільки у ній лежать дійсні числа . Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать суто уявні комплексні числа . Безліч комплексних чисел позначається З.

Визначення 5.Модулемкомплексного числа z = (x, y) називається довжина вектора : , тобто. .

Визначення 6.Аргументомкомплексного числа називається кут між позитивним напрямом осі ( Ох) та вектором : .

Примітка 3.Якщо точка zлежить на дійсній або уявній осі, можна знайти безпосередньо.

Го) числа.

2. Алгебраїчна форма подання комплексних чисел

Комплексним числомабо комплексом, називається число, що складається з двох чисел (частин) – речовинного та уявного.

Речовимназивається будь-яке позитивне або негативне число, наприклад, + 5 - 28 і т.п. Позначимо речове число буквою “L”.

Уявнимназивається число, що дорівнює добутку речовинного числа на квадратний коріньз негативної одиниці, наприклад, 8 - 20 і т.п.

Негативна одиниця називається уявний і позначається буквою "йот":

Позначимо речове число у складі уявного буквою “М”.

Тоді уявне число можна записати так: j М. У такому разі комплексне число А можна записати так:

А = L + j М(2).

Така форма запису комплексного числа (комплексу), що являє собою алгебраїчну суму речовинної та уявної частин, називається алгебраїчної.

приклад 1.Представити в формі алгебри комплекс, речовинна частина якого дорівнює 6, а уявна 15.

Рішення. А = 6+j15.

Крім алгебраїчної форми, комплексне число можна уявити ще трьома:

1. графічної;

2. тригонометричної;

3. показовою.

Таке різноманіття форм різко спрощує розрахунки синусоїдальних величин та їх графічне зображення.

Почергово розглянемо графічну, тригонометричну та показник-

ну форми подання комплексних чисел.

Графічна форма представлення комплексних чисел

Для графічного представлення комплексних чисел застосовують прямо-

вугільну систему координат. У звичайній (шкільній) системі координат уздовж осей «х» (вісь абсцис) та «y» (вісь ординат) відкладаються позитивні чи негативні речові числа.

У системі координат, прийнятої в символічному методі, вздовж осі «х»

у вигляді відрізків відкладають дійсні числа, а вздовж осі «у» – уявні

Мал. 1. Система координат для графічного зображення комплексних чисел

Тому вісь абсцис «х» називають віссю речових величин або, для скорочення, речової віссю.

Вісь ординат називають віссю уявних величин або уявний віссю.

Саму ж площину (тобто площину малюнка), де зображують комплексні числа чи величини, називають комплексної площиною.

У цій площині комплексне число А = L + j М зображено вектором А

(рис. 2), проекція якого на речову вісь дорівнює його речовій частині Re A = А" = L, а проекція на уявну вісь - уявної частини Im A = А" = М.

(Re – від англ. real – реальний, дійсний, справжній, Im – від англ. imaginary – нереальний, уявний).

Мал. 2. Графічне уявлення комплексного числа

У цьому випадку число А можна записати так

А = А + А = Re A + j Im A (3) .

Використовуючи графічне зображення числа А в комплексній площині, введемо нові визначення та отримаємо деякі важливі співвідношення:

1. довжина вектора А називається модулем вектор і позначається |A|.

За теоремою Піфагора

|A| = (4) .

2. кутα, утворений вектором А і речовинної позитивної напів-

віссю, називається аргументом вектора А і визначається через його тангенс:

tg α = А"/А" = Im A/Re A (5).

Таким чином, для графічного представлення комплексного числа

А = А" + А" у вигляді вектора треба:

1. Визначити модуль вектора |A| за формулою (4);

2. визначити аргумент вектора tg α за формулою (5);

3. знайти кут α із співвідношення α = arc tg α;

4. у системі координат j(х) провести під кутом α допоміжну

пряму і у ньому у певному масштабі відкласти відрізок, рівний модулю вектора |A|.

приклад 2.Комплексне число А = 3 + j 4 подати у графічній формі.

Комплексні числа, їхнє зображення на площині. Алгебраїчні операції над комплексними числами. Комплексне сполучення. Модуль та аргумент комплексного числа. Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа. Коріння із комплексних чисел. Показова функціякомплексного аргументу. Формула Ейлер. Показова форма комплексного числа.

При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени в комплексній галузі. Тому вивчимо попередньо деякі властивості комплексних чисел та операцій з них.

Визначення 7.1. Комплексним числом z називається впорядкована пара дійсних чисел (а,b) : z = (a,b) (термін «упорядкована» означає, що в записі комплексного числа важливий порядок чисел а та b: (a,b)≠(b,a )). При цьому перше число а називається дійсною частиною комплексного числа z та позначається a = Re z, а друге число b називається уявною частиною z: b = Im z.

Визначення 7.2. Два комплексні числа z 1 = (a 1 , b 1) і z 2 = (a 2 , b 2) рівні тоді і тільки тоді, коли у них рівні дійсні та уявні частини, тобто a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Події над комплексними числами.

1. сумоюкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) таке, що a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2 .Властивості додавання: а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; б) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; в) існує комплексне число 0 = (0,0): z + 0 =zдля будь-якого комплексного числа z.

2. Творомкомплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2) називається комплексне число z =(a,b) таке, що a = a 1 a 2 – b 1 b 2 , b = a 1 b 2 + a 2 b 1 .Властивості множення: а) z 1 z 2 = z 2 z 1; б) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, в) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Зауваження. Підмножиною безлічі комплексних чисел є безліч дійсних чисел, що визначаються як комплексні числа виду ( а, 0). Можна переконатися, що визначення операцій над комплексними числами зберігає відомі правила відповідних операцій над дійсними числами. Крім того, дійсне число 1 = (1,0) зберігає свою властивість при множенні на будь-яке комплексне число: 1∙ z = z.

Визначення 7.3.Комплексне число (0, b) називається чисто уявним. Зокрема, число (0,1) називають уявною одиницеюта позначають символом i.

Властивості уявної одиниці:

1) i∙i=i² = -1; 2) чисто уявне число (0, b) можна представити як добуток дійсного числа ( b, 0) та i: (b, 0) = b∙i.

Отже, будь-яке комплексне число z = (a, b) можна подати у вигляді: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib.

Визначення 7.4. Запис виду z = a + ib називають алгебраїчною формоюзапису комплексного числа.

Зауваження. Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними по звичайним правиламалгебри.

Визначення 7.5. Комплексне число називається комплексно сполученим числом z = a + ib.

3. Відніманнякомплексних чисел визначається як операція, зворотна до складання: z =(a,b) називається різницею комплексних чисел z 1 =(a 1 , b 1) та z 2 =(a 2 , b 2), якщо a = a 1 - a 2, b = b 1 - b 2 .

4. Поділкомплексних чисел визначається як операція, обернена до множення: число z = a + ibназивається приватним від розподілу z 1 = a 1 + ib 1і z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), якщо z 1 = z z 2 .Отже, дійсну та уявну частини частки можна знайти з вирішення системи рівнянь: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1 .

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число z =(a,b) можна подати у вигляді точки на площині з координатами ( a,b) або вектора з початком на початку координат і кінцем у точці ( a,b).

При цьому модуль отриманого вектора називається модулемкомплексного числа, а кут, утворений вектором з позитивним напрямом осі абсцис,- аргументомчисла. Враховуючи що a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, де ρ = |z| - модуль z,а φ = arg z – його аргумент можна отримати ще одну форму запису комплексного числа:

Визначення 7.6.Запис виду

z = ρ(cos φ + i sin φ ) (7.1)

називається тригонометричною формоюзапису комплексного числа.

У свою чергу, модуль та аргумент комплексного числа можна виразити через аі b: . Отже, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до кратного, що додається, 2π.

Легко переконатися, що операція додавання комплексних чисел відповідає операції складання векторів. Розглянемо геометричну інтерпретацію множення. Нехай тоді

Отже, модуль твору двох комплексних чисел дорівнює творуїх модулів, а аргумент – сумі їхніх аргументів. Відповідно, при розподілі модуль приватного дорівнює відношенню модулів дільника і дільника, а аргумент - різниці їх аргументів.

Приватним випадком операції множення є зведення у ступінь:

- формула Муавра.

Використовуючи отримані співвідношення, перерахуємо основні властивості комплексно сполучених чисел:

Комплексні числа та
координатна
площина

Геометрична модель множини R дійсних чисел – числова пряма. Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка

на
числовий прямий і, будь-якій точці прямий
відповідає лише одне
дійсне число!

Додавши до числової прямої, що відповідає множині всіх дійсних чисел ще один вимір - пряму, що містить безліч чистих

Додавши до числової прямої, що відповідає множині
всіх дійсних чисел ще один вимір –
пряму, що містить безліч чисто уявних чисел -
отримаємо координатну площину, в якій кожному
комплексному числу a+bi можна поставити у відповідність
точку (a; b) координатної площини.
i=0+1i відповідає точка (0;1)
2+3i відповідає точка (2;3)
-i-4 відповідає точка (-4;-1)
5=5+1i відповідає туга (5;0)

Геометричний сенс операції сполучення

! Операція сполучення є осьова
симетрія щодо осі абсцис.
!! Сполучені один одному
комплексні числа рівновіддалені від
початку координат.
!!! Векторні зображення
пов'язані числа, нахилені до осі
абсцис під однаковим кутом, але
розташовані по різні сторонивід
цієї осі.

Зображення дійсних чисел

Зображення комплексних чисел

Алгебраїчний
спосіб
зображення:
Комплексне число
a+bi зображується
точкою площини
з координатами
(a; b)

Приклади зображення комплексних чисел на координатній площині

(Нас цікавлять
комплексні числа
z = x + yi, у яких
х = -4. Це-рівняння
прямий,
паралельної осі
ординат)
у
Х = - 4
Справжня
частина дорівнює -4
0
х

Зобразіть на координатній площині безліч усіх комплексних чисел, які:

Уявна частина
є парним
однозначним
натуральним
числом
(Нас цікавлять
комплексні числа
z=x+yi, у яких
у = 2,4,6,8.
Геометричний образ
складається з чотирьох
прямих, паралельних
осі абсцис)
у
8
6
4
2
0
х