Що мають деяку властивість.
У загальному випадку геометричне місце крапокформулюється предикатом, аргументом якого є точка даного лінійного простору. Параметри предикату можуть мати різний тип. Предикат називається детермінантомгеометричні місця точки. Параметри предикату називаються диференціаламигеометричне місце точок (не плутати з диференціалом в аналізі).
Роль диференціалів у введенні видових відмінностей у форму. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може зовсім не бути.
Якщо задані детермінант , де M (\displaystyle M)- точка, - диференціали, то шукану фігуру A (\displaystyle A)ставлять у вигляді: « A (\displaystyle A)- геометричне місце точок M (\displaystyle M), таких, що P (M, a, b, c, …) (\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots))». Далі зазвичай вказується роль диференціалів, їм даються назви стосовно даної конкретної фігури. Під власне фігурою розуміють сукупність (безліч) точок M (\displaystyle M), для яких для кожного конкретного набору значень a, b, c, … (\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots)висловлювання P (M, a, b, c, …) (\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots))звертається до тотожності. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх разом називають назвою фігури, яка задається через ГМТ.
У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різноманітних обертів і т. д. з метою благозвучності. Іноді, у разі простих детермінантів, взагалі обходяться без літерних позначень.
приклад: параболу поставимо як безліч всіх таких точок. M (\displaystyle M), що відстань від M (\displaystyle M)до точки F (\displaystyle F)дорівнює відстані від M (\displaystyle M)до прямої l (\displaystyle l). Тоді диференціали параболи - F (\displaystyle F)і l (\displaystyle l); детермінант – предикат P (M , F , l) = (ρ (M , F) = ρ l (M , l)) (\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F) )=\rho _(l)(M,\;l)))), де ρ (\displaystyle \rho )- Відстань між двома точками (метрика), ρ l (\displaystyle \rho _(l))- Відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола – геометричне місце точок. M (\displaystyle M), рівновіддалених від точки F (\displaystyle F)і прямий l (\displaystyle l). Крапку F (\displaystyle F)називають фокусом параболи, а пряму l (\displaystyle l)- Директриса ».
Що мають деяку властивість.
1 / 3
✪ Визначення параболи як ГМТ
✪ 124. Завдання на поверхні другого порядку. Геометричне місце точок
✪ Опір матеріалів. Лекція 21 (тензор напруг, головна напруга)
Вітаю, дорогі друзі! Ми зараз з вами займатимемося геометрією, а потім алгеброю, а потім все змішаємо і назвемо це математикою. Пряма також персоналізована і називається буквою d. І ще ми знаємо, що лінія симетрична.
Роль диференціалів у введенні видових відмінностей у форму. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може зовсім не бути.
Якщо задані детермінант , де M (\displaystyle M)- точка, - диференціали, то шукану фігуру A (\displaystyle A)ставлять у вигляді: « A (\displaystyle A)- геометричне місце точок M (\displaystyle M), таких, що P (M, a, b, c, …) (\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots))». Далі зазвичай вказується роль диференціалів, їм даються назви стосовно даної конкретної фігури. Під власне фігурою розуміють сукупність (безліч) точок M (\displaystyle M), для яких для кожного конкретного набору значень a, b, c, … (\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots)висловлювання P (M, a, b, c, …) (\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots))звертається до тотожності. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх разом називають назвою фігури, яка задається через ГМТ.
У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різноманітних обертів і т. д. з метою благозвучності. Іноді, у разі простих детермінантів, взагалі обходяться без літерних позначень.
приклад: параболу поставимо як безліч всіх таких точок. M (\displaystyle M), що відстань від M (\displaystyle M)до точки F (\displaystyle F)дорівнює відстані від M (\displaystyle M)до прямої l (\displaystyle l). Тоді диференціали параболи - F (\displaystyle F)і l (\displaystyle l); детермінант – предикат P (M , F , l) = (ρ (M , F) = ρ l (M , l)) (\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F) )=\rho _(l)(M,\;l)))), де ρ (\displaystyle \rho )- Відстань між двома точками (метрика), ρ l (\displaystyle \rho _(l))- Відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола – геометричне місце точок. M (\displaystyle M), рівновіддалених від точки F (\displaystyle F)і прямий l (\displaystyle l). Крапку F (\displaystyle F)називають фокусом параболи, а пряму l (\displaystyle l)- Директриса ».
Геометричним місцем точок на площині називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що мають певну властивість.
Т.1.29. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, що з'єднує ці точки.
На малюнку 71 до відрізка проведено середній перпендикуляр СС. Т.1.29 стверджує, що: а) кожна точка прямої рівновіддалена від А та В; б) кожна точка площини, рівновіддалена від А та Б, лежить на прямій
Нижче наведено кілька геометричних місць точок на площині.
1. Геометричне місце точок, що знаходяться на даній відстані від даної точки, є коло з центром у цій точці та радіусом, що дорівнює даній відстані.
2. Геометричне місце точок, що знаходяться на даній відстані від даної прямої, складається з двох прямих, кожна з яких паралельна даній і віддалена від неї на дану відстань.
3. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються, складається з двох прямих, на яких лежать бісектриси всіх кутів, отриманих при перетині даних прямих.
4. Геометричне місце точок, з яких відрізок видно під даним кутом а і які лежать по одну сторону від прямої AB, є дуга кола з кінцями в точках А і Б.
Метод геометричних місць, що застосовується під час вирішення завдань на побудову, заснований на наступному.
Нехай нам треба побудувати точку X, яка б задовольняла двом умовам. Геометричне місце точок, що задовольняють першій умові, є фігура геометричне місце точок, що задовольняють другій умові, є фігура Шукана точка X належить , тобто є їх загальною точкою.
Приклад 1. Побудувати по периметру, куту Б, рівному і висоті, опущеної з вершини А.
Рішення. Нехай завдання вирішено та побудовано (рис. 72). Відклавши на прямий відрізки отримаємо рівнобедрені трикутники
Виходячи з наведених вище міркувань, побудову можна здійснити в наступній послідовності:
1) Проводимо пряму та на ній відкладаємо відрізок
2) На відстані від прямої проводимо пряму паралельну
3) З вершиною в точці D будуємо кут рівний Точка
А – одна з вершин шуканого трикутника.
4) Проводимо серединні перпендикуляри до відрізків Точки В і С перетину цих серединних перпендикулярів із прямої - дві інші вершини шуканого трикутника.
Доказ того, що шуканий, проводимо так: висота цього трикутника дорівнює по побудові, рівнобедрений, - зовнішній кутцього трикутника, див. Т. 1. 22), за побудовою.
Геометричне місце точок - це безліч всіхточок, задовольняючиють певним заданим умовам.
П р і м е р 1. Середній перпендикуляр будь-якого відрізка є геометричним.
місце точок (тобто безліч усіх точок), рівновіддаленийних від
кінців цього відрізка.Нехай PO AB та AO = OB:
Тоді відстані від будь-якої точки P, що лежить на серединному перпендикулярі PO, до кінців A і B відрізка AB однакові і рівні d.
Таким чином, кожна точка серединного перпендикуляра відрізкамає наступну властивість: вона рівновіддалена від кінців відрізка.
П р і м е р 2. Бісектриса кутаєгеометричне місце точок, рівновіддалених від його сторін.
П р і м е р 3. Окружність є геометричне місце точок (тобто.ство
всіх точок), рівновіддалених від її центру(На рис. показана одна
З цих точок – А).
Окружність - це геометричне місце точок (тобто безліч усіх точок) на площині,рівновіддаленихвід однієї точки, званою центром кола.Відрізок, що з'єднує центр кола з якоюсь її точкою, називається радіусомі позначається rабо R. Частина площини, обмежена коло, називається кругом. Частина кола (A m B, рис.39) називається дугою.Пряма PQ, що проходить через точки M та N кола (рис.39), називається січній,а її відрізок MN, що лежить усередині кола - хордий.
Хорда, що проходить через центр кола (наприклад, BC, рис.39), називається діаметромі позначається dабо D.Діаметр - це найбільша хорда, що дорівнює двом радіусам ( d= 2 r).
Стосовно. Припустимо, січна PQ (рис.40) проходить через точки K та M кола. Припустимо також, що точка M рухається вздовж кола, наближаючись до точки K. Тоді січна PQ змінюватиме своє положення, обертаючись навколо точки K. У міру наближення точки M до точки K січна PQ буде прагнути деякого граничного положення АВ. Пряма AB називається дотичної до кола в точці K. Точка K називається точкою торкання. Стосовне і коло мають лише одну загальну точку - точку торкання.
Підписи до слайдів:
Тема урока:
«Геометричне місце точок». 9 клас Учитель Гордєєва Н.М.
Скажи мені – і я забуду, Покажи мені – і я запам'ятаю, Залучи мене – і я зрозумію. (Давня китайська мудрість)
Мета уроку:
систематизувати та поглибити знання на тему «Метод координат».
“Велике наукове відкриттядає вирішення великої проблеми, але й у вирішенні будь-якого завдання присутня крихта відкриття”. (Дьєрдьє Пойа)
Завдання:
знайти геометричне місце точок, що мають певну властивість (здійснити відкриття).
Визначення:
Геометричним місцем точок називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що мають певну властивість.
Геометричне місце точок,
рівновіддалених від даної точки, є
коло.
Геометричне місце точок,
рівновіддалених від кінців даного відрізка, є
серединний перпендикуляр до цього відрізка.
Геометричне місце точок,
рівновіддалених від сторін даного кута, є
бісектриса цього кута.
Геометричне місце точок,
рівновіддалених від двох паралельних прямих, є
паралельна їм пряма, що проходить через середину їхнього загального перпендикуляра (на ній лежать центри кіл, що стосуються даних прямих).
Геометричне місце точок,
є вершинами прямокутних трикутниківз цією гіпотенузою, є
коло, побудована на гіпотенузі як у діаметрі (виключаючи кінці гіпотенузи).
Геометричне місце точок,
відношення відстаней від яких до двох даних точок – величина постійна, є
коло
(яку називають колом Аполлонія).
Завдання 1
На малюнку AD=DB=2 см. Що є геометричне місце точок, що належать даній прямій, які віддалені від точки D на відстань: а) рівне 2см; б) понад 2см; в) трохи більше 2см.
a
b
A
D
B
Рішення:
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
Завдання 2
По тому ж малюнку визначте, що є геометричним місцем точок площини, які віддалені від точки D на відстань а) дорівнює 2см; б) понад 2см; в) трохи більше 2см.
A
D
B
a
b
Рішення:
а) Відстань від D дорівнює 2см:
A
D
B
a
b
Рішення:
б) Відстань від D більше 2см:
A
D
B
a
b
Рішення:
в) Відстань від D не більше 2см:
A
D
B
a
b
Завдання 3
Використовуючи метод координат, знайдіть пару чисел, які відповідають умові
Завдання 4
Використовуючи метод координат, доведіть, що система рівнянь має єдине рішення:
Завдання 5
Визначте ГМТ, які задовольняють рівняння: а)
Завдання 5
Визначте ГМТ, що задовольняють рівняння: б)
Завдання 5
Визначте ГМТ, що задовольняють рівняння: в)
Завдання 5
Визначте ГМТ, що задовольняють рівняння: г)
Завдання 5
Визначте ГМТ, що задовольняють рівняння: д)
Парабола як геометричне місце крапок.
Парабола є геометричним місцем точок, рівновіддалених від заданої точки і від заданої прямої.
Побудова параболи.
Як розбити клумбу?
Геометричне місце точок,
сума відстаней від яких до двох заданих точок F1, F2 є постійна величина; більша, ніж F1F2.
План побудови ГМТ.
Прикріпимо кінці нитки за допомогою кнопок до точок F1 та F2. Олівцем натягнемо нитку так, щоб його вістря торкалося паперу. Переміщатимемо олівець по паперу так, щоб нитка залишалася натягнутою. Викреслюємо олівцем лінію.
Побудова ГМТ
Що відбуватиметься з еліпсом, якщо фокуси: а) наближаються один до одного; б) віддаляються один від одного.
Знайти геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох заданих точок F1 та F2: а) менша за задану величину 2а; б) більше за задану величину 2а.
Рівняння ГМТ
Визначте ГМТ, що задовольняють рівняння:
Рівняння ГМТ
тоді
- Рівняння еліпса
Відповідь: F1 , F2
Конічні перерізи
Конічні перерізи
Аполлоній Пергський (II-III ст. до н. е.) – давньогрецький математик. Найважливіша праця - "Конічні перерізи"
Конічні перерізи
Їх вивчали ще давньогрецькі геометри. Теорія конічних перерізів була однією з вершин античної геометрії.Рівняння цих ліній були виведені набагато пізніше, коли став застосовуватися метод координат.
Криві другого порядку
y
0
x
Метод координат у поєднанні з алгеброю становить розділ геометрії, який називається аналітичною геометрією.
Ексцентриситет еліпса
характеризує ступінь його витягнутості.
Ще Йоган Кеплер (1571 – 1630) – німецький астроном виявив, що планети Сонячна системарухаються навколо Сонця не по колам, як думали раніше, а по еліпсах, причому Сонце знаходиться в одному з фокусів цих еліпсів.
Орбіти руху небесних тіл
ВенераНептунЗемляПлутонКомета Галлея
0,0068
0,0086
0,0167
0,253
0,967
Вирішували завдання про безліч точок, а це ГМТ має відношення до Всесвіту, (а це було лише завдання!).
Домашнє завдання
Скласти рівняння геометричного місця точок, добуток відстаней яких до двох даних точок F1(-c; 0), F2(c; 0) є постійна величина a2. Таке геометричне місце крапок називається овалом Кассіні.
Домашнє завдання
Скласти рівняння геометричного місця точок, добуток відстаней яких до двох даних точок F1(-а; 0), F2(а; 0) є постійна величина а2. Таке геометричне місце крапок називається лемніскатою (див. рис.). (Рівняння лемніскати спочатку знайти безпосередньо, потім – розглядаючи її як приватний виглядовалу Кассіні).
Підбиття підсумків уроку
