Згадаймо з матеріалу попереднього уроку, прямокутний трикутником називається трикутник, якщо в нього хоча б один із кутів прямої (тобто дорівнює 90 о).
Розглянемо перша ознакарівності трикутників: якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Проілюструємо цей випадок:
Мал. 1. Рівні прямокутні трикутники
Доведення:
Згадаймо першу рівність довільних трикутників.
Мал. 2
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника та відповідні їм дві сторони та кут між ними другого трикутника рівні, то дані трикутники рівні. Про це свідчить перша ознака рівності трикутників, тобто:
Аналогічний доказ слід і прямокутних трикутників:
.
Трикутники рівні за першою ознакою.
Розглянемо другу ознаку рівності прямокутних трикутників. Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника, що прилягає до нього, відповідно дорівнюють катету і прилеглому гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Мал. 3
Доведення:
Мал. 4
Скористаємося другою ознакою рівності трикутників:
Аналогічний доказ для прямокутних трикутників:
Трикутники рівні за другою ознакою.
Розглянемо третю ознаку рівності прямокутних трикутників: якщо гіпотенуза та прилеглий до неї кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та прилеглому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення:
Мал. 5
Згадаймо другу ознаку рівності трикутників:
Мал. 6
Дані трикутники рівні, якщо:
Оскільки відомо, що одна пара гострих кутів у прямокутних трикутників дорівнює (∠А = ∠А 1), то рівність іншої пари кутів (∠B = ∠B 1) доводиться так:
Оскільки АВ = А 1 В 1 (за умовою), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Тому трикутники АВС і А1В1С1 рівні за другою ознакою.
Розглянемо наступну ознаку рівності трикутників:
Якщо катет і гіпотенуза одного трикутника відповідно дорівнюють катету та гіпотенузі іншого трикутника, такі прямокутні трикутники рівні.
Мал. 7
Доведення:
Сумісний накладання трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 . Припустимо, що вершини А і А 1 і С і С 1 поєдналися накладенням, а вершина В і точка В 1 не збігаються. Саме цей випадок вказано на наступному малюнку:
Мал. 8
У даному випадкуми можемо помітити рівнобедрений трикутник АВВ 1 (за визначенням - за умовою АВ = АВ 1). Тому за властивістю ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Розглянемо визначення зовнішнього кута. Зовнішнім кутомТрикутник називається кут, суміжний будь-якому куту трикутника. Його градусна міра дорівнює сумі двох кутів трикутника, несуміжних з ним. На малюнку вказано це співвідношення:
Мал. 9
Кут 5 є зовнішнім кутомтрикутника і дорівнює ∠5 = ∠1 + ∠2. Звідси випливає, що зовнішній кут більший за кожен з кутів, несуміжних з ним.
Таким чином, ∠АВВ 1 є зовнішнім кутом для трикутника АВС та дорівнює сумі∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким чином, ∠АВ 1 В (що є гострим кутому прямокутному трикутнику АВВ 1) не може дорівнювати кут ∠АВВ 1 , адже даний кут - тупий за доведеним.
Значить, наше припущення щодо розташування точок В і В 1 виявилося неправильним, отже дані точки збігаються. Отже трикутники АВС і А 1 У 1 З 1 поєдналися накладенням. Тому вони рівні (за визначенням).
Таким чином, ці ознаки вводяться не дарма, адже їх можна використовувати при вирішенні деяких завдань.
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., за редакцією Садовничого В. А. Геометрія 7. М.: Просвітництво. 2010 р.
2. Виходячи з даних, вказаних на малюнку, вкажіть рівні трикутники, якщо вони є.
3. Виходячи з даних, вказаних на малюнку, вкажіть рівні трикутники, якщо вони є. Враховуйте, що АС = AF.
4. У прямокутному трикутнику до гіпотенузи проведені медіана та висота. Кут між ними дорівнює 20 о. Визначте величину кожного з гострих кутів прямокутного трикутника.
Розглянемо три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що з'єднують ці точки (рис. 1).
Трикутником називають частину площини, обмежену цими відрізками, відрізки називають сторонами трикутника, а кінці відрізків (три точки, що не лежать на одній прямій) – вершинами трикутника.
У таблиці 1 перераховані всі можливі типитрикутників залежно від величини їх кутів .
Таблиця 1 – Типи трикутників залежно від величини кутів
| Малюнок | Тип трикутника | Визначення |
 | Гострокутний трикутник | Трикутник, у якого всі кути гострі , називають гострокутним |
 | Прямокутний трикутник | Трикутник, у якого один з кутів прямий називають прямокутним |
 | Тупокутний трикутник | Трикутник, у якого один з кутів тупий називають тупокутним |
| Гострокутний трикутник |
Визначення: Трикутник, у якого всі кути гострі , називають гострокутним |
| Прямокутний трикутник |
Визначення: Трикутник, у якого один з кутів прямий називають прямокутним |
| Тупокутний трикутник |
Визначення: Трикутник, у якого один з кутів тупий називають тупокутним |
Залежно від довжин сторін виділяють два важливих типутрикутників.
Таблиця 2 – Рівностегновий та рівносторонній трикутники
| Малюнок | Тип трикутника | Визначення |
 | Рівнобедрений трикутник | бічними сторонами, а третю сторону називають основою рівнобедреного трикутника |
 | Рівносторонній (правильний)трикутник | Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім чи правильним трикутником |
| Рівнобедрений трикутник |
Визначення: Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним трикутником. У цьому випадку дві рівні сторониназивають бічними сторонами, а третю сторону називають основою рівнобедреного трикутника |
| Рівносторонній (правильний) трикутник |
Визначення: Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім чи правильним трикутником |
Трикутники називають рівними, якщо їх можна поєднати накладенням .
У таблиці 3 наведено ознаки рівності трикутників.
Таблиця 3 – Ознаки рівності трикутників
| Малюнок | Назва ознаки | Формулювання ознаки |
 | по двом сторонам та кутку між ними | |
 | Ознака рівності трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам | |
 | Ознака рівності трикутників по трьом сторонам |
| Ознака рівності трикутників з обох боків і кутку між ними |
|
| Формулювання ознаки. Якщо дві сторони одного трикутника та кут між ними відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника та куту між ними, то такі трикутники рівні |
| Ознака рівності трикутників осторонь і двома прилеглими до неї кутами |
|
| Формулювання ознаки. Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двох прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні |
| Ознака рівності трикутників по трьох сторонах |
|
| Формулювання ознаки. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні |
Для сторін прямокутних трикутників прийнято використовувати такі назви.
Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута(рис. 2), дві інші сторони називають катетами.
Таблиця 4 – Ознаки рівності прямокутних трикутників
| Малюнок | Назва ознаки | Формулювання ознаки |
 | по двом катетам | Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні |
 | Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та прилеглого гострого кута | Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника, що прилягає до нього, відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні |
 | Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та протилежному гострому куту | Якщо катет і протилежний гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному гострому куту іншого прямокутного трикутника, такі прямокутні трикутники рівні |
 | Ознака рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі та гострому кутку | Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні |
 | Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та гіпотенузі | Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету та гіпотенузі іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні |
| Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами |
Щоб встановити рівність прямокутних трикутників, достатньо знати, що два елементи одного трикутника відповідно дорівнюють двом елементам іншого трикутника (виключаючи прямий кут). Це, звичайно, не поширюється на рівність двох кутів одного трикутника двом кутам іншого трикутника.
Так як у прямокутному трикутнику кут між двома катетами прямої, а будь-які два прямі кути рівні, то з першої ознаки рівності трикутників випливає:
Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні (рис 5).
Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника, що прилягає до нього, відповідно дорівнюють катету і прилеглому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 6).
Розглянемо ще дві ознаки рівності прямокутних трикутників.
ТЕОРЕМА . Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 7).
ДОВЕДЕННЯ. З властивості 1є § випливає, що в таких трикутниках два інші гострі кути теж рівні, тому трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників, тобто по стороні (гіпотенузі) і двом прилеглим кутам.
Що й потрібно було довести.
ТЕОРЕМА . Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 , які мають кути C і C 1 - прямі, AB =A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 (рис. 8).
Так як< C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.
Що й потрібно було довести.
Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Одна з теорем дозволяє переконатися в тому, що якщо з точки поза прямою проведені до неї перпендикуляр і похилі, то: а) похилі рівні, якщо їх проекції рівні; б) та похила більша, яка має більшу проекцію.
Теорема Піфагора була першим твердженням, що зв'язало довжини сторін трикутників. Потім довідалися, як знаходити довжини сторін і кути гострокутних і тупокутних трикутників. Виникла ціла наука тригонометрія («тригон» - грецькою означає «трикутник»). Ця наука знайшла застосування у землемірності. Але ще раніше з її допомогою навчилися вимірювати уявні трикутники на небі, вершинами яких були зірки. Наразі тригонометрію застосовують навіть для вимірювання відстаней між космічними кораблями.
Користуючись властивостями площ багатокутників, ми встановимо чудове співвідношення між гіпотенузою і катетами прямокутного трикутника. Теорема, яку ми доведемо, називається теоремою Піфагора, яка є найважливішою теоремою геометрії.
Якщо дано нам трикутник,
І при тому з прямим кутом,
То квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети у квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо
І таким простим шляхом
До результату ми дійдемо.
ТЕОРЕМА. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо прямокутний трикутник із катетами a, b та c (рис. 9 а).
Доведемо, що c2 = a2 + b2. Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною a+b, оскільки показано малюнку (рис. 9 б).
Площа такого квадрата зі стороною a+b дорівнює (a+b) 2 . З іншого боку, цей квадрат складений із чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа яких дорівнює ab, і квадрат зі стороною с, тому
Таким чином, (a + b) 2 = 2ab + c 2 звідки c 2 = a 2 + b 2 .
Що й потрібно було довести.
СЛІДСТВО 1 . У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи.
ДОВЕДЕННЯ. За теоремою Піфагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 . Оскільки ВС 2 >0, то АС 2<АВ, То есть АС<АВ.
СЛІДСТВО 2. Для будь-якого гострого кута б cosб<1.
ДОКАЗІВ. За визначенням косинуса cosб =. Але в результаті 1 було підтверджено, що АС<АВ, отже, дріб менше 1.
Прямокутні трикутники, які мають сторони виражаються цілими числами, називаються пифагоровыми трикутниками.
Можна довести, що катети a, b і гіпотенуза таких трикутників виражаються формулами a=2kmn; b=k(m 2 -n 2); c=k(m 2 +n 2), де k, m і n - натуральні числа, такі, що m>n. Трикутники, зі сторонами, довжини яких дорівнюють 3, 4, 5, називаються єгипетськими трикутниками, тому що вони були відомі ще древнім єгиптянам.
Зворотній до теореми Піфагора.
Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний (ознака прямокутного трикутника).
ДОВЕДЕННЯ.
Нехай у трикутнику ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Доведемо, що кут C – прямий. Розглянемо прямокутний трикутник A 1 B 1 C 1 із прямим кутом C 1 , у якого A 1 C 1 = AC та B 1 C 1 = BC. За теоремою Піфагора A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2 і, отже, A 1 B 1 2 = AC 2 +BC 2 . Але AC2 + BC2 = AB2 за умовою теореми. Отже, A 1 B 1 2 = AB 2 звідки A 1 B 1 = AB. Трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 дорівнюють по трьох сторонах, тому< C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.
Що й потрібно було довести.
Згадаймо з матеріалу попереднього уроку, прямокутний трикутником називається трикутник, якщо в нього хоча б один із кутів прямої (тобто дорівнює 90 о).
Розглянемо перша ознакарівності трикутників: якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Проілюструємо цей випадок:
Мал. 1. Рівні прямокутні трикутники
Доведення:
Згадаймо першу рівність довільних трикутників.
Мал. 2
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника та відповідні їм дві сторони та кут між ними другого трикутника рівні, то дані трикутники рівні. Про це свідчить перша ознака рівності трикутників, тобто:
Аналогічний доказ слід і прямокутних трикутників:
.
Трикутники рівні за першою ознакою.
Розглянемо другу ознаку рівності прямокутних трикутників. Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника, що прилягає до нього, відповідно дорівнюють катету і прилеглому гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Мал. 3
Доведення:
Мал. 4
Скористаємося другою ознакою рівності трикутників:
Аналогічний доказ для прямокутних трикутників:
Трикутники рівні за другою ознакою.
Розглянемо третю ознаку рівності прямокутних трикутників: якщо гіпотенуза та прилеглий до неї кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та прилеглому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення:
Мал. 5
Згадаймо другу ознаку рівності трикутників:
Мал. 6
Дані трикутники рівні, якщо:
Оскільки відомо, що одна пара гострих кутів у прямокутних трикутників дорівнює (∠А = ∠А 1), то рівність іншої пари кутів (∠B = ∠B 1) доводиться так:
Оскільки АВ = А 1 В 1 (за умовою), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Тому трикутники АВС і А1В1С1 рівні за другою ознакою.
Розглянемо наступну ознаку рівності трикутників:
Якщо катет і гіпотенуза одного трикутника відповідно дорівнюють катету та гіпотенузі іншого трикутника, такі прямокутні трикутники рівні.
Мал. 7
Доведення:
Сумісний накладання трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 . Припустимо, що вершини А і А 1 і С і С 1 поєдналися накладенням, а вершина В і точка В 1 не збігаються. Саме цей випадок вказано на наступному малюнку:
Мал. 8
У разі ми можемо помітити рівнобедрений трикутник АВВ 1 (за визначенням - за умовою АВ = АВ 1). Тому за властивістю ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Розглянемо визначення зовнішнього кута. Зовнішнім кутомТрикутник називається кут, суміжний будь-якому куту трикутника. Його градусна міра дорівнює сумі двох кутів трикутника, несуміжних з ним. На малюнку вказано це співвідношення:
Мал. 9
Кут 5 є зовнішнім кутом трикутника і дорівнює ∠5 = ∠1 + ∠2. Звідси випливає, що зовнішній кут більший за кожен з кутів, несуміжних з ним.
Таким чином, ∠АВВ 1 є зовнішнім кутом для трикутника АВС і дорівнює сумі ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким чином, ∠АВ 1 В (що є гострим кутом у прямокутному трикутнику АВВ 1) не може дорівнювати кут ∠АВВ 1 , адже даний кут - тупий за доведеним.
Значить, наше припущення щодо розташування точок В і В 1 виявилося неправильним, отже дані точки збігаються. Отже трикутники АВС і А 1 У 1 З 1 поєдналися накладенням. Тому вони рівні (за визначенням).
Таким чином, ці ознаки вводяться не дарма, адже їх можна використовувати при вирішенні деяких завдань.
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., за редакцією Садовничого В. А. Геометрія 7. М.: Просвітництво. 2010 р.
2. Виходячи з даних, вказаних на малюнку, вкажіть рівні трикутники, якщо вони є.
3. Виходячи з даних, вказаних на малюнку, вкажіть рівні трикутники, якщо вони є. Враховуйте, що АС = AF.
4. У прямокутному трикутнику до гіпотенузи проведені медіана та висота. Кут між ними дорівнює 20 о. Визначте величину кожного з гострих кутів прямокутного трикутника.
1. Перші дві ознаки рівності прямокутних трикутників.
Для рівності двох трикутників достатньо, щоб три елементи одного трикутника дорівнювали відповідним елементам іншого трикутника, при цьому неодмінно в число цих елементів повинна входити хоча б одна сторона.
Оскільки всі прямі кути рівні між собою, то прямокутні трикутники вже мають по одному рівному елементу, саме по одному прямому куту.
Звідси випливає, що прямокутні трикутники дорівнюють:
якщо катети одного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого трикутника (Рис. 153);
якщо катет і прилеглий гострий кут одного косинця відповідно дорівнюють катету та прилеглому гострому куту іншого трикутника (Рис. 154).
Доведемо тепер дві теореми, які встановлюють ще дві ознаки рівності прямокутних трикутників.
Щоб довести цю теорему, побудуємо два прямокутні гольники ABC і А'В'С', у яких кути А і А' рівні, гіпотенузи АВ і А'В' також рівні, а кути С і С' - прямі (рис. 157) .
Накладемо трикутник А'В'С'на трикутник ABC так, щоб вершина А збіглася з вершиною А, гіпотенуза А'В - з рівною гіпотенузою АВ. Тоді внаслідок рівності кутів A і А катет А С піде по катету АС; катет В'С' сумісний з катетом ВС: обидва вони - перпендикуляри, проведені до однієї прямої АС з однієї точки В. Значить, вершини С і С' суміщаться.
Трикутник ABC поєднався з трикутником А'В'С'.
Отже, \(\Delta\)АВС = \(\Delta\)А'В'С'.
Ця теорема дає 3-й ознака рівності прямокутних трикутників (з гіпотенузи та гострого кута).
Теорема 2. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні.
Щоб довести це, збудуємо два прямокутні трикутники АВС і А'В'С', у яких кути С і С' - прямі, катети АС і A'C' рівні, гіпотенузи АВ і А'В' також рівні (рис. 158) .
Проведемо пряму MN та відзначимо на ній точку С, з цієї точки проведемо перпендикуляр СК до прямої MN. Потім прямий кут трикутника ABC накладемо на прямий кут КСМ так, щоб вершини їх поєдналися і катет АС пішов променем СК, тоді катет ВС піде променем СМ. Прямий кут трикутника А'В'С' накладемо на прямий кут KCN так, щоб вершини їх поєдналися і катет А'С' пішов променем СК, тоді катет С'В піде променем CN. Вершини А і А збігатимуться внаслідок рівності катетів АС і А С.
Трикутники АВС та А'В'С' складуть разом рівнобедрений трикутник ВАВ', в якому АС виявиться висотою і бісектрисою, а значить і віссю симетрії трикутника ВАВ'. З цього випливає, що \(\Delta\)АВС = \(\Delta\)А'В'С'.
Ця теорема дає 4-у ознаку рівності прямокутних трикутників (з гіпотенузи та катету).
Отже, всі ознаки рівності прямокутних трикутників:
1. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні2. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому куту іншого прямокутного трикутника, що до нього прилягає, то такі прямокутні трикутники рівні
3. Якщо катет і протилежний гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету та протилежному гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
4. Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
5. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету та гіпотенузі іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
