Де x · y, x, y - середні значення вибірок; σ(x), σ(y) - середньоквадратичні відхилення.
Крім того, коефіцієнт лінійної парної кореляції може бути визначений через коефіцієнт регресії b: де σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - середньоквадратичні відхилення, b - коефіцієнт перед x в рівнянні регресії y= a+bx.
Інші варіанти формул:
або 
До xy – кореляційний момент (коефіцієнт коваріації) 
Лінійний коефіцієнт кореляції набуває значень від –1 до +1 (див. шкалу Чеддока). Наприклад, при аналізі тісноти лінійного кореляційного зв'язку між двома змінними отримано коефіцієнт парної лінійної кореляції, рівний -1. Це означає, що між змінними існує точна зворотна лінійна залежність.
Геометричний сенс коефіцієнта кореляції: r xy показує, наскільки різниться нахил двох ліній регресії: y(x) і х(у) , наскільки сильно розрізняються результати мінімізації відхилень x і y . Чим більший кут між лініями, тим більше r xy.Властивості коефіцієнта кореляції
Інструкція. Вкажіть кількість вихідних даних. Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад знаходження рівняння регресії). Також автоматично створюється шаблон рішення в Excel. .
У математичних описах використовується термін « числовий коефіцієнт », зокрема, при роботі з літерними виразами та виразами зі змінними зручно використовувати поняття числового коефіцієнта виразу. У цій статті ми дамо визначення числового коефіцієнта виразу та розберемо приклади його знаходження.
Навігація на сторінці.
У підручнику Н. Я. Віленкіна математика для 6 класів дається таке визначення числового коефіцієнта виразу.
Визначення.
Якщо буквене вираз є добутком однієї чи кількох літер та одного числа, то це число називається числовим коефіцієнтом виразу.
До речі, числовий коефіцієнт часто називають просто коефіцієнтом.
Озвучене визначення дозволяє навести приклади числових коефіцієнтів виразів. Спочатку розглянемо добуток числа 3 і літери a виду 3·a . Число 3 - це числовий коефіцієнт цього виразу за визначенням. Інший приклад: у творі x·y·0,2·x·x·z єдиним числовим множником є 0,2, вона і є числовим коефіцієнтом цього виразу.
А тепер наведемо контр приклад. Число 3 не є числовим коефіцієнтом виразу 3 x + y, так як вихідне вираз не є твором. Зате це число 3 є числовим коефіцієнтом першого з доданків у вихідному виразі.
А у творі 5·a·2·b·3·c міститься не одне, а три числа. Для визначення числового коефіцієнта цього виразу, його необхідно перетворити на твір, що містить єдиний числовий множник. Як це робиться, ми розберемося в наступному пункті цієї статті, у цьому полягає процес .
Варто зазначити, що твори однакових букв можуть бути записані у вигляді , тому визначення числового коефіцієнта підходить і для виразів зі ступенями. Наприклад, вираз 5·x 3 ·y·z 2 по суті є виразом виду 5·x·x·x·y·z·z , його коефіцієнтом за визначенням є число 5 .
Також слід зупинитися на числових коефіцієнтах 1 і −1 . Їхня особливість полягає в тому, що вони майже ніколи не записуються в явному вигляді. Якщо вираз є добутком кількох букв (без числового множника) і переднім стоїть знак плюс, чи ні ніякого знака, то числовим коефіцієнтом такого виразу вважається число 1 . Якщо перед добутком кількох літер стоїть знак мінус, то коефіцієнтом такого виразу вважається число -1. Наприклад, числовий коефіцієнт виразу a b дорівнює одиниці (оскільки a b можна записати як 1 a b), а числовий коефіцієнт виразу -x дорівнює мінус одиниці (оскільки -x тотожно дорівнює виразу (-1) x) .
Надалі визначення числового коефіцієнта розширюється з добутку числа та кількох букв на твір одного числа та кількох буквених виразів. Приміром, у творі число −5 вважатимуться числовим коефіцієнтом. Аналогічно, число 3 є коефіцієнт виразу 3 · (1 +1 / x) · x, а - коефіцієнт виразу 
.
Коли вираз є твір з одним числовим множником, цей множник і є числовим коефіцієнтом. Коли вираз має інший вигляд, то знаходження його числового коефіцієнта передбачає попереднє виконання деяких тотожних перетворень, за допомогою яких вихідний вираз приводиться до твору з одним числовим множником.
приклад.
Знайдіть числовий коефіцієнт виразу −4·x·(−2) .
Рішення.
Згрупуємо множники , що є числами, після чого виконаємо їх множення: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x. Тепер чітко видно шуканий коефіцієнт, він дорівнює 8 .
КОЕФІЦІЄНТ
КОЕФІЦІЄНТ
в алгебрі: постійна величина, що показує, скільки разів взято доданком стоїть поручз нею вираз; у фізиці: число, яким вимірюється сила к.-н. явища, нпр., пружності.
Повний словник іноземних слів, що увійшли у вжиток російською мовою., 1907 .
КОЕФІЦІЄНТ
в математиці стала кількість, на котор. множиться невідома чи змінна величина; напр. у виразів 2х - число 2 є до. Якщо при змінній величині немає коефіцієнта, то мається на увазі коефіцієнт 1. У фізиці к. називається число, яким вимірюють різні певні дії будь-якої речовини і яке постійно для тих самих речовин; напр. к. розширення тіл - відношення збільшення довжини або об'єму тіла від збільшення температури на 1°, до початкової довжини або об'єму тіла.
Словник іноземних слів, що у складі російської.- Павленков Ф., 1907 .
КОЕФІЦІЄНТ
Новолатинськ. coefficiens , з cum , с, і efficere , сприяти. В алгебрі, величина, що стоїть перед кількістю і показує, скільки разів ця кількість була взята.
Пояснення 25000 іноземних слів, що увійшли у вживання в російську мову, з позначенням їхнього коріння. - Міхельсон А.Д., 1865 .
КОЕФІЦІЄНТ або МАЙБУТНЄ
(ново-лат. coefficiens, від cum - с, і efficere - сприяти). В алгебрі, величина, що стоїть перед кількістю і показує, скільки разів ця кількість взята.
Словник іноземних слів, що у складі російської.- Чудинов А.Н., 1910 .
Коефіцієнт
(лат. coefficiens (coelfi-cientis) сприяє) мат.зазвичай постійна або відома величина, що є множником при іншій, зазвичай, змінній або невідомій величині; к. пропорційності - постійне число, яке, будучи помножене на будь-яке значення однієї величини, дає твір, що дорівнює відповідному значенню іншої величини, пропорційної першої; к. корисної дії - величина, що показує, яка частина енергії, що витрачається, перетворюється на корисну роботу; зазвичай виявляється у відсотках.
Новий словникіноземних слів.- EdwART,, 2009 .
Коефіцієнт
коефіцієнта, м. [ ново-латин. coefficiens – сприяючий]. 1. Числовий множник в виразі алгебри (мат.). || Число, на яке потрібно помножити якусь. величину (ціну, розмір тощо), щоб отримати необхідну за даних умов (спец.). Встановити коефіцієнт перекладу старих ціни нові. 2. Число, що кількісно визначає яке-н. властивість фізичного тіла(Фіз.). Коефіцієнт корисної дії (відношення кількості корисної роботи, Виготовленої яким-н. механізмом, до кількості енергії, що поглинається ним).
Великий словникіноземних слів.- Видавництво «ІДДК», 2007 .
Коефіцієнт (ієн), а, м. (ньому. Koeffizient лат. coeffîciens (coefficiēntis) сприяє).
1.
мат.Числовий множник в виразі алгебри.
2.
фіз.Величина, що визначає якесь. властивість фізичного тіла, механізму. До. корисної дії(ККД).
3.
Число, на яке потрібно помножити якусь. величину, щоб отримати потрібну. Величину вашої зарплати ви можете обчислити, помноживши суму мінімального заробітку.. , що відповідає вашому розряду.
4.
розг.Надбавка до заробітної плати, що компенсує важкі чи ненормальні умови праці Їм платять північний до.
Коефіцієнтний- Що відноситься до коефіцієнта 1-4, коефіцієнтів.
Тлумачний словник іншомовних слів Л. П. Крисина.- М: Російська мова, 1998 .
У статистиці показник, виражений відносними величинами. Відображає: швидкість розвитку будь-якого явища (т. зв. коефіцієнт динаміки), частоту виникнення явища (напр., коефіцієнт народжуваності), взаємозв'язок якісно різних явищ...
КОЕФІЦІЄНТ, число, на яке множиться деяка невідома величина в вираженні алгебри. У виразі 1 + 5х + 2х2 числа 5 та 2 є коефіцієнтами х і х2 відповідно. У фізиці коефіцієнт це число, що характеризує певне… Науково-технічний енциклопедичний словник
компонента, складова, член, множник, фактор, відношення, пропорція, співвідношення, ступінь, відсоток, показник, індекс, параметр, характеристика; ккд Словник російських синонімів. коефіцієнт сущ., кіл у синонімів: 9 брутто коефіцієнти … Словник синонімів
коефіцієнт- а, м. coefficient, н. лат. coefficiens, ntis. 1. Мат. Множник (числовий або літерний) в алгебраїчному виразі. Сл. 18. Належить же не залишити робити примітці юнакам при множенні алгебраїчному підвищення ступенів. Як члени… Історичний словник галицизмів російської
- (Від латів. Co спільно і efficiens виробляє) множник, що зазвичай виражається цифрами. Якщо добуток містить одну або кілька змінних (або невідомих) величин, то коефіцієнтом при них називають також добуток усіх постійних, у т. ч. … Великий Енциклопедичний словник
Коефіцієнт К1, запропонований В. С. Івлєвим (1938) трофічний коефіцієнт, що визначається за рівнянням: , де Q1 енергія новоутвореної в організмі речовини (енергія приросту); Q енергія спожитої їжі. Екологічний енциклопедичний. Екологічний словник
коефіцієнт J- Коефіцієнт кренової девіації Зміна в девіації компаса на кожен градус крену судна на правий борт, якщо судно йде компасом курсом на північ. [ГОСТ Р 52682 2006] Тематики засоби навігації, спостереження, управління Синоніми коефіцієнт ... Довідник технічного перекладача
- (Від латинського co спільно і efficiens виробляє), множник, що зазвичай виражається цифрами. Якщо добуток містить одну або кілька змінних (або невідомих) величин, то коефіцієнт при них називають також добуток всіх постійних, … Сучасна енциклопедія
- (coefficient) Числа або вирази алгебри, що визначають структуру математичного виразу або рівняння. Наприклад, у рівнянні y = ax2+bx+c, a є коефіцієнтом x2, b – коефіцієнтом х, з – постійним членом. економіка. Тлумачний… … Економічний словник
Див Коефіцієнт ефективності промислових відкриттів. Геологічний словник: у 2-х томах. М.: Надра. За редакцією К. Н. Паффенгольця та ін. 1978 … Геологічна енциклопедія
« Числовий коефіцієнт", або просто " коефіцієнт»- термін, який має на увазі під собою одне й те саме математичне поняття. Засвоїти, у чому сенс терміна, дуже просто, а знайти числовий коефіцієнт на конкретному прикладіще легше. Але спочатку розберемося з офіційним визначенням.
Згідно з підручником математики, якщо вираз складається з одного числа та кількох літерних позначень, помножених один на одного, то це число і буде коефіцієнтом всього виразу. При цьому кількість літер не має значення - число може бути помножено на одну літеру, на дві або одразу на п'ять, вона все одно залишається коефіцієнтом.
Наприклад, розглянемо такі вирази:
Останнє правило поширюється і вирази, де числові позначення стоять не один поруч із одним, а розділені буквами. Наприклад, 2*c*4*a - ми можемо сміливо переписувати цей вираз у вигляді 2*4*с*а, тому що при множенні немає значення, в якому порядку стоять множники. І таким чином, коефіцієнт, як і раніше, знаходиться легко і просто - це буде число «8».
Не варто губитися, якщо в задачі пропонується знайти коефіцієнт для буквеного виразубез чисел – наприклад, y*z. У разі завжди використовується число «1» - оскільки вираз із прикладу можна записати як 1*y*z. Коефіцієнт знаходиться у виразах і з позитивними, і з негативними множниками.
Загальний коефіцієнт може бути знайдено, якщо передбачені інші дії, крім множення. Наприклад, якщо взяти 3 * с + а, то число «3» буде коефіцієнтом лише для одного з доданків, але ніяк не для всього виразу.
Рівнянням реакції у хімії називається запис хімічного процесуза допомогою хімічних формул та математичних знаків.
Такий запис є схемою хімічної реакції. Коли виникає знак «=», це називається «рівняння». Спробуємо його вирішити.
У кальції один атом, оскільки коефіцієнт не вартий. Індекс тут теж не написаний, отже, одиниця. З правого боку рівняння Са також один. За кальцієм нам не треба працювати.
Дивимося наступний елемент – кисень. Індекс 2 говорить про те, що тут 2 іони кисню. З правого боку немає індексів, тобто одна частка кисню, і з лівої – 2 частки. Що ми робимо? Жодних додаткових індексів чи виправлень у хімічну формулувносити не можна, оскільки вона написана правильно.
Коефіцієнти – те, що написано перед найменшою частиною. Вони мають право змінюватись. Для зручності саму формулу не переписуємо. З правої частини один множимо на 2, щоб отримати і там 2 іони кисню.
Після того, як ми поставили коефіцієнт, вийшло 2 атоми кальцію. З лівого боку лише один. Отже, тепер перед кальцієм ми маємо поставити 2.
Тепер перевіряємо підсумок. Якщо кількість атомів елементів дорівнює з обох сторін, можемо поставити знак «рівно».
Інший наочний приклад: два водню ліворуч, і після стрілочки у нас теж два водні
Помножили всю формулу на 2 і тепер у нас змінилася кількість водню. Помножуємо індекс на коефіцієнт, і виходить 4. А з лівого боку залишилося два атоми водню. І щоб отримати 4, ми повинні водень помножити на два.
Ось той випадок, коли елемент в одній і іншій формулі з одного боку, до стрілочки.
Один іон сірки зліва, і один іон – праворуч. Дві частинки кисню плюс ще дві частинки кисню. Значить, що з лівого боку 4 кисні. Праворуч знаходиться 3 кисні. Тобто з одного боку виходить парне число атомів, з другого – непарне. Якщо ж ми помножимо непарне вдвічі, то отримаємо парне число. Доводимо спочатку до парного значення. Для цього множимо на два всю формулу після стрілочки. Після множення отримуємо шість іонів кисню та ще й 2 атоми сірки. Зліва ж маємо одну мікрочастинку сірки. Тепер зрівняємо її. Ставимо зліва рівняння перед сіркою 2.
Зрівняли.
Цей приклад складніший, оскільки тут більше елементів речовини.
Це називається реакцією нейтралізації. Що тут потрібно зрівнювати насамперед:
Напрошується висновок, що треба помножити всю формулу на два.
Тепер дивимося, скільки сірки. З лівого та правого боку по одній. Звертаємо увагу на кисень. З лівого боку маємо 6 атомів кисню. З іншого боку – 5. Менше праворуч, більше ліворуч. Непарну кількість треба довести до парного значення. Для цього формулу води множимо на 2, тобто із одного атома кисню робимо 2.
Тепер із правого боку вже 6 атомів кисню. З лівого боку також 6 атомів. Перевіряємо водень. Два атоми водню та ще 2 атоми водню. Тобто буде чотири атоми водню з лівого боку. І з іншого боку також чотири атоми водню. Усі елементи зрівняні. Ставимо знак "рівно".
Наступний приклад.
Тут приклад цікавий тим, що з'явилися дужки. Вони говорять про те, що якщо множник стоїть за дужкою, то кожен елемент, що стоїть у дужках, множиться на нього. Почати необхідно з азоту, тому що його менше, ніж кисню та водню. Ліворуч азот один, а праворуч, з урахуванням дужок, його два.
Праворуч два атоми водню, а потрібно чотири. Ми виходимо зі становища, просто помножуючи воду на два, внаслідок чого отримали чотири водні. Добре, водень зрівняли. Залишився кисень. До реакції присутні 8 атомів, після – теж 8.
Добре, всі елементи зрівняні, можемо ставити «рівно».
Останній приклад.
На черзі у нас є барій. Він зрівняний, його чіпати не треба. До реакції присутні два хлори, після неї – лише один. Що потрібно зробити? Поставити 2 перед хлором після реакції.
Тепер за рахунок коефіцієнта, який щойно поставлено, після реакції вийшло два натрію, і до реакції теж два. Добре, все інше зрівняно.
Також вирівнювати реакції можна методом електронного балансу. Цей метод має низку правил, за якими його можна здійснювати. Наступною дією ми повинні розставити ступеня окислення всіх елементів у кожній речовині для того, щоб зрозуміти, де відбулося окислення, а де відновлення.
