Для одночлена існує поняття його ступеня. Розберемося, що таке.
Визначення.
Ступінь одночленастандартного виду – це сума показників ступенів всіх змінних, які входять до його запис; якщо запису одночлена немає змінних, і він відмінний від нуля, його ступінь вважається рівної нулю; число нуль вважається одночленом, ступінь якого визначено.
Визначення ступеня одночлена дозволяє навести приклади. Ступінь одночлена a дорівнює одиниці, тому що a це є a 1 . Ступінь одночлена 5 є нуль, тому що він відмінний від нуля, і його запис не містить змінних. А добуток 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 є одночленом восьмого ступеня, оскільки сума показників ступенів всіх змінних a , x та y дорівнює 2+1+3+2=8 .
До речі, ступінь одночлена, записаного не в стандартному вигляді, Дорівнює ступеня відповідного одночлена стандартного виду. Для ілюстрації сказаного обчислимо ступінь одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y. Цей одночлен у стандартному вигляді має вигляд -6 x 8 y 4, його ступінь дорівнює 8 +4 = 12 . Таким чином, ступінь вихідного одночлена дорівнює 12 .
Одночлен у стандартному вигляді, що має у своєму записі хоча б одну змінну, є твір з єдиним числовим множником – числовим коефіцієнтом . Цей коефіцієнт називають коефіцієнтом одночлена. Оформимо наведені міркування як визначення.
Визначення.
Коефіцієнт одночлена- Це числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді.
Тепер можна навести приклади коефіцієнтів різних одночленів. Число 5 - це коефіцієнт одночлена 5 · a 3 за визначенням, аналогічно одночлен (-2,3) · x · y · z має коефіцієнт -2,3 .
На окрему увагу заслуговують коефіцієнти одночленів, рівні 1 і −1 . Справа тут у тому, що вони зазвичай не присутні у записі у явному вигляді. Вважають, що коефіцієнт одночленів стандартного виду, що не мають у своєму записі числового множника, дорівнює одиниці. Наприклад, одночлени a, xz 3, atx і т.п. мають коефіцієнт 1, оскільки a можна розглядати як 1·a, x·z 3 - як 1·x·z 3 і т.п.
Аналогічно, коефіцієнт одночленів, записи яких у стандартному вигляді не мають числового множника і починаються зі знака мінус, вважають мінус одиницю. Наприклад, одночлени −x , −x 3 ·y·z 3 тощо. мають коефіцієнт −1 , тому що −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3і т.п.
До речі, поняття коефіцієнта одночлена найчастіше відносять і до одночленів стандартного вигляду, що є числами без літерних множників. Коефіцієнтами таких одночленів чисел вважають ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 7 вважають рівним 7 .
Список літератури.
Одночлени є творами чисел, змінних та його ступенів. Числа, змінні та його ступеня теж вважаються одночленами. Наприклад: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можна навести на вигляд 20a^2b^2.Такий вид називається стандартним видом одночлена.Тобто, стандартний вид одночлена - це добуток коефіцієнта (що стоїть на першому місці) і ступенів змінних. Коефіцієнти 1 та -1 не пишуть, але від -1 зберігають мінус. Одночлен та його стандартний вигляд
Вирази 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x є добутками чисел, змінних та їх ступенів. Такі вирази називаються одночленами. Одночленами також вважають числа, змінні та його ступеня.
Наприклад, вирази - 8, 35, y та y2 - одночлени.
Стандартним видом одночлена називається одночлен у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, і ступенів різних змінних. Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду шляхом перемноження всіх змінних чисел, що входять до нього. Наведемо приклад приведення одночлена до стандартного вигляду:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад, коефіцієнт одночлена -7x2y2 дорівнює -7. Коефіцієнти одночленів x3 і -xy вважають рівними 1 і -1, оскільки x3 = 1x3 і -xy = -1xy
Ступенем одночлена називають суму показників ступенів всіх змінних, що входять до нього. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, його ступінь вважають рівною нулю.
Наприклад, ступінь одночлена 8x3yz2 дорівнює 6, одночлена 6x дорівнює 1, одночлена -10 дорівнює 0.
Розмноження одночленів. Зведення одночленів у ступінь
При множенні одночленів та зведенні одночленів у ступінь використовується правило множення ступенів з однаковою основою та правило зведення ступеня у ступінь. При цьому виходить одночлен, який зазвичай становлять у стандартному вигляді.
Наприклад
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Ми зазначили, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. У цій статті ми розберемося, що називають приведенням одночлена до стандартного вигляду, які дії дозволяють здійснити цей процес, та розглянемо рішення прикладів із докладними поясненнями.
Навігація на сторінці.
З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного вигляду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.
Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він набув стандартного вигляду.
Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.
Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?
Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:
Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.
Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пункту під час вирішення прикладів.
приклад.
Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.
Рішення.
Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x . Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6 , а правило множення ступенів однаковими підставамидозволяє вираз у других дужках подати як x 1 +2 = x 3 . У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .
Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.
Відповідь:
3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.
Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.
приклад.
Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.
Рішення.
Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо 
. Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, що дорівнює −1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .
У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завданняз будь-якими одночленами.
Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами
Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена
Розглянь деякі приклади:
3. 
;
Знайдемо спільні риси наведених висловів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають такий алгебраїчний вираз, який складається з добутку ступенів та чисел
Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:
Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.
Наведемо ще кілька прикладів:
Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.
Тепер з'ясуємо дії над одночленами .
1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /
У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.
У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.
Отже, розглянь приклад:
Першою дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:
;
Результат даної діїбуде називатися коефіцієнтом одночлена .
Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:
тепер перемножимо ступеня « у»:
;
Отже, наведемо спрощений вираз:
;
Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :
Перемножити всі числові множники;
Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;
Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;
Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову літерну частину, називаються подібними.
Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:
Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.
Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.
1. 
;
3. 
;
Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:
- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;
; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;
запишемо відповідь: ;
Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:
1) перемножити числові множники:
2) перемножити ступеня:
Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:
запишемо відповідь:
;
У даному прикладікоефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .
Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:
1) перемножити чисельні множники:
;
2) перемножити ступеня:
;
випишемо відповідь: ;
У даному випадкукоефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина 
.
Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це вираз алгебри, що складається з буквених змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичний числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операціянад багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .
Розглянемо приклад. Задано одночлен:
даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина
Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.
Отже, у заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при , , , .
Початкові відомості про одночлени містять уточнення, що будь-який одночлен може призвести до стандартного вигляду. У матеріалі нижче ми розглянемо це питання докладніше: позначимо зміст цієї дії, визначимо кроки, що дозволяють задати стандартний вигляд одночлена, а також закріпимо теорію розв'язанням прикладів.
Запис одночлена у стандартному вигляді дозволяє зручніше працювати з ним. Часто одночлени задаються в нестандартному вигляді, і тоді виникає необхідність здійснення тотожних перетвореньдля приведення заданого одночлена у стандартний вигляд.
Визначення 1
Приведення одночлена до стандартного вигляду- Це виконання відповідних дій (тотожних перетворень) з одночленом з метою запису його у стандартному вигляді.
З визначення випливає, що одночлен нестандартного виду є добутком чисел, змінних та їх ступенів, при цьому можливе їх повторення. У свою чергу, одночлен стандартного виду містить у своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня.
Щоб привести нестандартний одночлен до стандартного вигляду, необхідно використати наступне правило приведення одночлена до стандартного вигляду:
Задано одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необхідно навести його до стандартного вигляду.
Рішення
Здійснимо угруповання числових множників та множників зі змінною х, в результаті заданий одночлен набуде вигляду: (3 · 2) · (x · x 2) .
Добуток у дужках становить 6 . Застосувавши правило множення ступенів з однаковими основами, вираз у дужках представимо як: x 1 + 2 = x 3. В результаті отримаємо одночлен стандартного виду: 6 x 3 .
Короткий запис рішення виглядає так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Відповідь: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Приклад 2
Задано одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необхідно привести його до стандартного вигляду та вказати його коефіцієнт.
Рішення
заданий одночлен має у своєму записі один числовий множник: - 1, здійснимо його перенесення на початок. Потім зробимо угруповання множників зі змінною а і множників зі змінною b. Змінну m групувати нема з чим, залишаємо у вихідному вигляді. В результаті перерахованих дій отримаємо: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Виконаємо дії зі ступенями в дужках, тоді одночлен набуде стандартного вигляду: (-1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . З цього запису ми легко визначаємо коефіцієнт одночлена: він дорівнює -1. Мінус одиницю цілком можливо замінити просто знаком мінус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Короткий запис усіх дій виглядає так:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (-1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m
Відповідь:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коефіцієнт заданого одночлена дорівнює - 1 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
