Сходи. Вхідна група. Матеріали. Двері. Замки. Дизайн

Окружність - геометрична фігура, що складається зі всіх точок площини, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

Ця точка (O) називається центром кола.
Радіус кола- Це відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола. Всі радіуси мають ту саму довжину (за визначенням).
Хорда- Відрізок, що з'єднує дві точки кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.
Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугого кола. Дуга називається півколоякщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
Довжина одиничного півкола позначається через π .
Сума градусних заходів двох дуг кола із загальними кінцями дорівнює 360º.
Частина площини, обмежена коло, називається кругом.
Круговий сектор- частина кола, обмежена дугою та двома радіусами, що з'єднують кінці дуги з центром кола. Дуга, яка обмежує сектор, називається дугою сектора.
Два кола, що мають загальний центр, називаються концентричними.
Два кола, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними.

Взаємне розташування прямої та кола

1. Якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола ( d), то пряма та коло мають дві загальні точки. У цьому випадку пряма називається січучоюпо відношенню до кола.
2. Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола, то пряма і коло мають лише одну загальну точку. Така пряма називається дотичної до кола, а їхня загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.
3. Якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола, то пряма і коло не мають спільних точок
.

Центральні та вписані кути

Центральний кут- Це кут з вершиною в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

Теорема про вписаний вугілля

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.

• Наслідок 1.
  Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.


• Наслідок 2.
  Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий.

Теорема про твір відрізків хорд, що перетинаються.

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.

Основні формули

• Довжина кола:

• Довжина дуги кола:

• Діаметр:

• Довжина дуги кола:

• Площа кола:

• Площа кругового сектора:

Рівняння кола

• У прямокутній системі координат рівняння кола радіусу rз центром у точці C(x про; y про) має вигляд:

• Рівняння кола радіуса r з центром на початку координат має вигляд:

І коло- геометричні постаті, взаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія (крива) кола,

Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.

Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.

Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою"ер" ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).

Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.

d = 2r
D = 2R

Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченну кількість знаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.

Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:

C = ¶d
C = 2¶r

• Приклади
• Дано: d = 100 див.
• Довжина кола: C = 3,14 * 100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Сікна кола та дуга кола

Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.

Дугикола діляться січучоюна велику і малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дуги, якщо січна проходить діаметром кола.

Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.

Чим далі січна розташована від центру кола, тим менша градусна міра меншої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.

Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.

Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.

Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.

Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.

• Приклади
• Дано: r = 100 см
• Площа кола:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площа кола:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Якщо в колі провести два радіуси до різних точок кола, то утворюється дві частини кола, які називаються секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.

Окружність– це постать, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки.

Основні поняття:

Центр кола- Це точка, рівновіддалена від точок кола.

Радіус- Це відстань від точок кола до її центру ( дорівнює половинідіаметра, рис.1).

Діаметр- Це хорда, що проходить через центр кола (рис.1).

Хорда- Це відрізок, що з'єднує дві точки кола (рис.1).

Стосовна- Це пряма, що має тільки одну загальну точку з колом. Проходить через точку кола перпендикулярно до діаметра, проведеного в цю точку (рис.1).

Сікуча- Це пряма, що проходить через дві різні точки кола (рис.1).

Одиничне коло– це коло, радіус якого дорівнює одиниці.

Дуга кола- Це частина кола, розділена двома несхожими точками кола.

1 радіан– це кут, утворений дугою кола, рівної довжинірадіусу (рис.4).
1 радіан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Центральний кут- Це кут з вершиною в центрі кола. дорівнює градусній мірі дуги, на яку спирається (рис.2).

Вписаний кут– це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. дорівнює половині градусної міри дуги, яку спирається (рис.3).

Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.

Два кола, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними.

Довжина кола та площа кола:

Позначення:
Довжина кола – C
Довжина діаметра – d
Довжина радіусу - r

Значенняπ :
Відношення довжини кола до довжини діаметра позначається грецькою буквою π (пі).

22
π = -
7

Формула довжини кола:

C = πd, або C = 2πr

Формули площі кола:

C · r
S = -
2

π · D 2
S = ---
4

Площа кругового сектора та кругового сегмента.

Рівняння кола в декартових координатахx, y з центром у точці (a; b):

(x –a) 2 + (y – b) 2 = R 2

Окружність, описана біля трикутника (рис.4).

Коло, вписане в трикутник (рис.5).

Кути, вписані в коло (рис.3).

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло.

Основні поняття:

Кут поділяє площину на дві частини. Кожна з цих частин називається плоским кутом.

Плоскі кути із загальними сторонами називаються додатковими.

Плоский кут з вершиною в центрі кола називається центральним кутом(Рис.2)

Пропорційність відрізків хорд та січучих кола.

Приватні випадки та формули:

1) З точки C, що знаходиться поза коло, проведемо дотичну до кола та позначимо точку їх дотику буквою D.

Потім з тієї ж точки C проведемо січу і точки перетину сіючої і кола позначимо літерами А і B (рис.8).

В цьому випадку:

CD 2 =AC ·BC

2) Проведемо в колі діаметр AB. Потім з точки C, що знаходиться на колі, проведемо перпендикуляр до цього діаметру і позначимо відрізок CD, що вийшов (рис.9).

В цьому випадку:

CD 2 =AD ·BD.

Розбираємось у тому що таке коло та коло. Формула площі кола та довжини кола.

Ми щодня зустрічаємо безліч предметів, за формою які утворюють коло або навпроти коло. Іноді виникає питання, що таке коло і чим воно відрізняється від кола. Звичайно ж, ми всі проходили уроки геометрії, але іноді не завадить освіжити знання простими поясненнями.

Що таке довжина кола та площа кола: визначення

Отже, коло є замкненою кривою лінією, яка обмежує або навпаки, утворює коло. Обов'язкова умовакола - у неї є центр і всі точки рівновіддалені від нього. Простіше кажучи, коло це гімнастичний обруч (або як його часто називають хула-хуп) на плоскій поверхні.

Довжина кола це Загальна довжинатієї самої кривої, яка утворює коло. Як відомо незалежно від розмірів кола співвідношення її діаметра і довжини дорівнює числу π = 3,141592653589793238462643.

З цього випливає, що π=L/D, де L – довжина кола, а D – діаметр кола.

Якщо Вам відомий діаметр, то довжину можна знайти за простою формулою: L=π*D

Якщо відомий радіус: L=2 πR

Ми розібралися, що таке коло і можемо перейти до визначення кола.

Коло - це геометрична фігура, яка оточена колом. Або ж, коло це постать, межа якої складається з великої кількостіточок рівновіддалених від центру фігури. Вся площа, що знаходиться всередині кола, включаючи її центр, називається колом.

Варто зауважити, що у кола і кола, що знаходиться в ньому, значення радіуса і діаметра однакові. А діаметр у свою чергу вдвічі більший за радіус.

Коло має площу на площині, яку можна дізнатися за допомогою простої формули:

Де S – площа кола, а R – радіус даного кола.

Чим коло відрізняється від кола: пояснення

Основна відмінність між колом і колом — це те, що коло — геометрична фігура, а коло — замкнута крива. Також зверніть увагу на відмінності між колом та колом:

• Коло це замкнута лінія, а коло - площа всередині цього кола;
• Коло це крива лінія на площині, а коло - простір, зімкнутий в кільце коло;
• Подібність між колом і колом: радіус та діаметр;
• У кола та кола єдиний центр;
• Якщо заштриховується місце всередині кола, воно перетворюється на коло;
• У кола є довжина, але її немає у кола, і навпаки, у кола є площа, якої немає у кола.

Коло та коло: приклади, фото

Для наочності пропонуємо розглянути фото, на якому ліворуч зображено коло, а праворуч – коло.

Формула довжини кола та площі кола: порівняння

Формула довжини кола L=2 πR

Формула площі кола S= πR²

Зверніть увагу, що в обох формулах є радіус і число π. Дані формули рекомендується вивчити напам'ять, тому що вони найпростіші і обов'язково знадобляться повсякденному життіта на роботі.

Площа кола за довжиною кола: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, де S — площа кола, L — довжина кола.

Відео: Що таке коло, коло та радіус

Округа- це постать, що складається з усіх точок на площині, рівновіддалених від цієї точки. Ця точка називається центром кола.

Коло нульового радіусу (вироджене коло) є точкою, іноді цей випадок виключається з визначення.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

Окружність та її властивості (bezbotvy)

Вписане та описане коло - від bezbotvy

Математика: підготовка до ОДЕ та ЄДІ. Планіметрія. Кола та їх властивості

Математика 26. Циркуль. Окружність і коло - Шишкіна школа

РІВНЯННЯ ОКРУЖНОСТІ. ЗАВДАННЯ 18 (С5). АРТУР ШАРИФІВ

Субтитри

Позначення

Якщо коло проходить, наприклад, через точки A, B, C, її позначають зазначенням цих точок у круглих дужках: (A, B, C). Тоді дугу кола, що проходить через точки A, B, C, позначають як дуга ABC (або дуга AC), а також ABC (або AC).

Інші визначення

• Коло діаметру AB A, B ABвидно під прямим кутом (Визначення через кут, що спирається на діаметр діаметра).

• Коло з хордою AB- це фігура, що складається з точок A, Bі всіх точок площини, з яких відрізок ABвидно під постійним кутомз одного боку, рівним вписаному кутку дуги AB, та під іншим постійним кутом з іншого боку, рівним 180 градусів мінус вписаний кут дуги AB, вказаний вище (Визначення через вписаний кут).
• Фігура, що складається з таких точок X , (\displaystyle X,)що відношення довжин відрізків AXі BXпостійно: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)є колом (Визначення через окружність Аполлонія).
• Фігура, що складається з усіх таких точок, для кожної з яких сума квадратів відстаней до двох даних точок дорівнює заданій величині, більшої половини квадрата відстані між даними точками, також є коло (Визначення через теорему Піфагора для довільного прямокутного трикутника, вписаного в коло, з гіпотенузою, що є діаметром кола).
• Mвсередині неї провести будь-які хорди AB, CD, EFі т. д., тоді справедливі рівність: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots. Рівності завжди виконуватимуться незалежно від вибору точки Mі напрямів проведених через неї хорд (Визначення через хорди, що перетинаються).
• Окружність - замкнута, самонепересічна фігура, що має наступну властивість. Якщо через довільну точку Mпоза нею провести дві дотичні до точок їх торкання з колом, наприклад, Aі B, Тоді їх довжини завжди будуть рівні: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Рівність завжди виконуватиметься незалежно від вибору точки M(Визначення через рівні дотичні).
• Окружність - замкнута, самонепересічна фігура, що має наступну властивість. Відношення довжини будь-якої її хорди до синуса будь-якого її вписаного кута, що спирається на цю хорду, є величина постійна, що дорівнює діаметру цього кола (Визначення через теорему-синусів).
• Окружність - це окремий випадок еліпса, у якого відстань між фокусами дорівнює нулю (Визначення через вироджений еліпс).

Пов'язані визначення для одного кола

• Геометричне місцеточок площини, відстань від яких до цієї точки не більше ніж задане ненульове, називається кругом .
• Радіус- як величина відстані, а й відрізок , що з'єднує центр кола з однією з її точок. Радіус завжди дорівнює половині діаметракола.
• Радіус завжди перпендикулярний до дотичної прямої, проведеної до кола в його спільній точці з коло. Тобто радіус є водночас і нормаллю до кола.
• Коло називається одиничною , Якщо її радіус дорівнює одиниці. Поодинока колоє одним з основних об'єктів тригонометрії.
• Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордий. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
• Будь-які дві точки, що не збігаються, кола ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугою кола. Дуга називається півколоякщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
• Довжина одиничного півкола позначається через .

• Пряма, що має з колом рівно одну загальну точку, називається дотичноїдо кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.
• Стосовнадо кола завжди перпендикулярна її радіусу (і діаметру), проведеному в точці дотику, який є нормаллю, проведеної у цій точці.
• Пряма, що проходить через дві різні точки кола, називається січучою.

Визначення трикутників для одного кола

• Трикутник ABC називається вписаним у коло(A,B,C), якщо всі три його вершини A, B і C лежать на цьому колі. При цьому коло називається описаним коломтрикутника ABC (Див. Описана коло).
• Стосовнадо кола, проведена через будь-яку вершину вписаного в неї трикутника антипаралельна стороні трикутника, протилежної даній вершині.
• Трикутник ABC називається описаним біля кола(A",B",C"), якщо всі три його сторони AB, BC і CA стосуються цього кола в деяких точках відповідно C", A" та B". При цьому коло називається вписаним коломтрикутника ABC (Див. Вписана коло).

Визначення кутів для одного кола

• Кут, утворений дугою кола, що дорівнює довжині радіусу, приймається за 1 радіан.

• Центральнийкут - кут із вершиною в центрі кола. Центральний кут дорівнює радіанною/градусною мірою дуги, на яку спирається (див. рис.).
• Вписаний  кут - кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Вписаний кутдорівнює половині градусної міри дуги, яку спирається (див. рис.).
• Зовнішній кут для Вписаного  кута - кут, утворений однією стороною та продовженням іншої сторони вписаногокута (див. рис. кут θ коричневого кольору). Зовнішній кутдля вписаного з іншого боку кута кола має ту саму величину θ .
• Кут між колом і прямий- кут між прямим і дотичним до кола в точці перетину прямий і кола. Обидва кути між окружністю, що перетинаються, і прямою рівні.
• Кут, що спирається на діаметр діаметра кола- Кут вписаний в це коло, сторони якого містять кінця діаметра. Він завжди є прямим.

Пов'язані визначення для двох кіл

• Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.
• Два кола, що мають лише одну загальну точку, називаються що стосуютьсязовнішнім чином, якщо їхні кола не мають інших спільних точок, і внутрішнім чином, якщо їхні кола лежать один усередині іншого.
• Два кола, що мають дві спільні точки, називаються перетинаються. Їхні кола (ними обмежені) перетинаються по області, що називається подвійним круговим сегментом.
• Кутомміж двома перетинаючими (або такими, що стосуються) колами називається кут між їх дотичними, проведеними в загальній точці перетину (або торкання).
• Також кутомміж двома перетинаючими (або торкаються) колами можна вважати кут між їх радіусами (діаметрами), проведеними в загальній точці перетину (або торкання).
• Оскільки для будь-якого кола її радіус (або діаметр) і дотична, проведені через будь-яку точку кола, взаємно перпендикулярні, то радіус (або діаметр) можна вважати нормаллюдо кола, побудованої у цій її точці. Отже, два типи кутів, визначених у двох попередніх двох пунктах, завжди дорівнюють між собою, як кути з взаємно перпендикуярними сторонами.
• прямим, кутом, називаються ортогональними. Кола можна вважати ортогональнимиякщо вони утворюють прямий кут один з одним.
• Радикальна, вісь, двох кіл.- геометричне, місце, ступеня яких щодо двох заданих кіл дорівнює. Іншими словами, рівні довжини чотирьох дотичних, проведених до двох даних кіл з будь-якої точки Mданого геометричного, місця, крапок.

Визначення кутів для двох кіл

• Кут між двома перетинаючими колами- Кут між дотичними до кіл у точці перетину цих кіл. Обидва кути між двома колами, що перетинаються, рівні.
• Кут між двома непересічними колами- кут між двома загальними дотичними до двох кіл, утворений у точці перетину цих двох дотичних. Точка перетину цих двох дотичних має лежати між двома колами, а чи не з боку однієї з них (цей кут не розглядається). Обидва вертикальних кутаміж двома непересічними колами рівні.

Ортогональність

• Два кола, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними. Кола можна вважати ортогональнимиякщо вони утворюють прямий кут один з одним.
• Дві кола, що перетинаються в точках A і B, з центрами O і O" називаються ортогональними, якщо є прямими кути OAO" та OBO". Саме ця умова гарантує прямий кутміж колами. У цьому випадку перпендикулярні радіуси (нормалі) двох кіл, проведені в точку їх перетину. Отже, перпендикулярні і дотичні двох кіл, проведені в точку їх перетину. Дотична кола перпендикулярна радіусу (нормалі), проведеному в точку торкання. Зазвичай кут між кривими - це кут між їх дотичними, проведеними у точці їхнього перетину.
• Можлива інша додаткова умова. Нехай дві перетинаються в точках A і B кола мають середини дуг, що припиняються, в точках C і D, тобто дуга AС дорівнює дузі СB, дуга AD дорівнює дузі DB. Тоді ці кола називаються ортогональнимиякщо є прямими кути СAD і СBD.

Пов'язані визначення для трьох кіл

• Три кола називаються такими, що взаємно стосуються (присікаються), якщо будь-які дві з них стосуються (припиняються) один одного.
• У геометрії радикальний центртрьох кіл - це точка перетину трьох радикальних осей пар кіл. Якщо радикальний центр лежить поза всіма трьома кіл, то він є центром єдиного кола ( радикального кола), яка перетинає три дані кола ортогонально.

Лемма Архімеда

Доведення

Нехай G (\displaystyle G)- гомотетія, що переводить мале коло у велике. Тоді ясно, що A 1 (\displaystyle A_(1))є центром цієї гомотетії. Тоді пряма BC (\displaystyle BC)перейде в якусь пряму a (\displaystyle a), що стосується великого кола, а A 2 (\displaystyle A_(2))перейде в точку на цьому прямому і належить великому колу. Згадавши, що гомотетія переводить прямі у паралельні їм прямі, розуміємо, що a ? B C (\displaystyle a\parallel BC). Нехай G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))і D (\displaystyle D)- точка на прямій a (\displaystyle a), Така, що - гострий, а E (\displaystyle E)- Така точка на прямій a (\displaystyle a), що ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- Гострий. Тоді, оскільки a (\displaystyle a)- дотична до великого кола ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Отже △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- рівнобедрений, а значить ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), тобто A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- бісектриса кута ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Теорема Декарта для радіусів чотирьох, що попарно стосуються кіл

Теорема Декартастверджує, що радіуси будь-яких чотирьох взаємно стосуються кіл задовольняють деякому квадратному рівнянню . Їх іноді називають колами Содді.

Властивості

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Рівняння кола, що проходить через точки(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\right),\left(x_(3),y_(3)\right),)

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

y = ± R 2 − x 2 .

(\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).) Полярні координатиз центром у точці Окружність радіусу.