Сходи. Вхідна група. Матеріали. Двері. Замки. Дизайн

Завдання 8 для іспиту «Математика»

3.1. Діагональ меншої бічної грані прямокутного паралелепіпеда дорівнює більшому ребру основи. Висота паралелепіпеда дорівнює 2 см, діагональ основи дорівнює 14 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
3.2. Підстава прямої призми - прямокутний трикутникз гіпотенузою 10 см та катетом 6 см. Більший катет трикутника в основі призми дорівнює діагоналіменшою з бічних граней. Знайдіть висоту призми.
3.3. Підставою прямої призми є ромб зі стороною 12 см та кутом 60°. Найменше з діагональних перерізів призми є квадратом. Знайдіть обсяг призми.
3.4. В основі прямої призми лежить рівнобедрена трапеціяіз гострим кутом 60°; бічна сторона та менша з паралельних сторін трапеції дорівнюють 4 см; діагональ призми складає з площиною основи кут 30 °. Обчисліть обсяг призми.
3.5. Діагональ прямокутного паралелепіпеда складає з площиною основи кут 45 °, а діагональ бічної грані - кут 60 °. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 8 см. Знайдіть його об'єм.
3.6. На підставі прямої призми - ромб; діагоналі призми складають з площиною основи кути 30° та 60°; висота призми дорівнює 6 см. Знайдіть обсяг призми.
3.7. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 10 см. Сторона основи віддалена від двох паралельних їй сторін протилежної бічної грані відповідно на 5 см і 13 см. Знайдіть об'єм призми.
3.8. Ребро нижньої основи правильної чотирикутної призми віддалено від площини верхньої основи на 10 см. Відстань між протилежними бічними ребрами дорівнює 8 см. Знайдіть об'єм призми.
3.9. В основі прямої призми лежить трапеція. Площі паралельних бічних граней призми дорівнюють 8см і 12 см, а відстань між ними дорівнює 5 см. Знайдіть об'єм призми.
3.10. В основі прямої призми лежить трапеція. Об'єм призми дорівнює 40 см. Площа паралельних бічних граней дорівнює 6 см і 14 см. Знайдіть відстань між ними.
3.11. Діагональ основи прямокутного паралелепіпеда
дорівнює 10см, а діагоналі бічних граней 2*/W см та 2 л/17 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
3.12. В основі прямої призми лежить ромб. Площа основи призми дорівнює 48 см, а площі її діагональних
перерізів дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть об'єм призми.
3.13. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3 см, площа бічної поверхні дорівнює 80 см. Знайдіть об'єм піраміди.
3.14. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 6 см, площа бічної поверхні вдвічі більша за площу основи. Знайдіть обсяг піраміди.
3.15. Площа бічної поверхні конуса дорівнює 60тг; відстань від центру основи до твірної дорівнює 4,8 см. Знайдіть об'єм конуса.
3.16. Основа похилої призми – квадрат зі стороною 6 см; один із діагональних перерізів призми перпендикулярно площині основи і є ромбом з кутом 60°. Знайдіть обсяг призми.
3.17. В основі похилого паралелепіпеда- квадрат зі стороною 3 см. Дві протилежні бічні граніперпендикулярні до основи, дві інші утворюють з площиною основи кути 30°. Повна поверхня паралелепіпеда 72 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
3.18. В основі похилого паралелепіпеда - ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 45 °; бічне ребро складає з площиною основи кут 60 °; діагональ однієї бічної грані перпендикулярна площині основи. Знайдіть обсяг паралелепіпеда.
3.19. Усі 9 ребер похилої призми дорівнюють 4 см. Об'єм призми дорівнює 24 см. Знайдіть кут нахилу бокового ребра призми до площини основи.
3.20. У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 5см, 12 см і 13 см. Площа меншої бічної грані дорівнює 22 см. Знайдіть об'єм призми.
3.21. В основі похилої призми лежить прямокутний трикутник з катетами 4 см і 6 см. Бокове ребро призми складає з площиною основи кут 60 °.
Об'єм призми дорівнює 60 см. Знайдіть довжину бокового ребра призми.
3.22. Дві бічні грані похилої трикутної призми утворюють кут 60 °; відстань від їхнього загального ребра до двох інших ребер дорівнює 5 см; бічне ребро призми дорівнює 8 см. Знайдіть бічну поверхню призми.
3.23. Дві бічні грані похилої трикутної призми перпендикулярні. Сума їх площ дорівнює 70 см. Довжина бічного ребра дорівнює 5 см. Об'єм призми дорівнює 120 см. Знайдіть відстані між бічними ребрами призми.
3.25. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут 45 °. Сторона основи піраміди дорівнює 6 см. Знайдіть об'єм піраміди.
3.26. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут 60 °. Висота піраміди дорівнює 3 см. Знайдіть площу поверхні піраміди.
3.27. У правильній чотирикутній піраміді апофема утворює з площиною основи кут 60 °. Висота піраміди дорівнює 6 см. Знайдіть площу поверхні піраміди.
3.28. У правильній чотирикутній піраміді апофема утворює з площиною основи кут 30 °. Сторона основи піраміди дорівнює 12 см. Знайдіть площу поверхні піраміди.
3.29. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см і утворює з бічною гранню кут 30 °. Знайдіть об'єм піраміди.
3.30. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см і утворює з бічним ребром кут 45 °. Знайдіть обсяг піраміди.
3.31. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см, а бічне ребро - 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
3.32. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 20 см, а бічне ребро - 16 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
3.33. Висота правильної шестикутної піраміди дорівнює 12 см, а бічне ребро - 13 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
3.34. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см; двогранний кут при основі піраміди дорівнює 60 °. Знайдіть обсяг піраміди.
3.35. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 8 см; двогранний кут при основі піраміди дорівнює 30 °. Знайдіть обсяг піраміди.
3.36. У правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює 16см; двогранний кут при основі піраміди дорівнює 45 °. Знайдіть обсяг піраміди.
3.37. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5 см; діагональний переріз рівновеликий підставі. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
3.38. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см; діагональний переріз рівновеликий підставі. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
3.39. Радіус циліндра дорівнює 8 см, яке висота дорівнює 12 см. Через середину осі циліндра проведена пряма, що перетинає площину нижньої основи циліндра на відстані 24 см від центру нижньої основи. У яких відносинах ця пряма ділить ті, що перетинаються з нею, утворюють циліндри?
3.40. Радіус циліндра дорівнює 6 см, а його висота дорівнює 10 см. Через середину циліндра, що утворює, проведена пряма, що перетинає вісь циліндра. Ця пряма перетинає нижню основу циліндра на відстані 3 см від центру нижньої основи. У чому ця пряма ділить вісь циліндра?
3.41. Радіус циліндра дорівнює 8 см. Через середину осі циліндра проведена пряма, що перетинає площину, що містить нижню основу циліндра, на відстані 12см від центру нижньої основи. Ця пряма перетинає утворює циліндра на відстані 2 см від площини нижньої основи. Знайдіть висоту циліндра.
3.42. Висота циліндра дорівнює 12 см. Через середину утворює циліндра проведена пряма, що перетинає вісь циліндра на відстані 4 см від нижньої основи. Ця пряма перетинає площину, що містить нижню основу циліндра, на відстані 18 см від центру нижньої основи. Знайдіть радіус основи циліндра.
3.43. Висота конуса дорівнює 20 см, відстань від центру основи до твірної дорівнює 12 см. Знайдіть об'єм конуса.
3.44. Радіус основи конуса дорівнює 20 см; відстань від центру основи до твірної дорівнює 12см, Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
3.45. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, "гіпотенуза якого дорівнює 15см, а один з катетів - 9 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через середину висоти піраміди паралельно до її основи.
3.46. На відстані 4 см від вершини піраміди проведено перетин, паралельний до основи. Площа перерізу дорівнює 10 см і становить від площі основи піраміди.
Знайдіть обсяг піраміди.
3.47. Радіус основи конуса б см, а висота дорівнює 12 см. У конусі проведено перетин паралельно основи. Радіус перерізу дорівнює 4 см. У якому відношенні перетин ділить висоту конуса?
3.48. Висота конуса дорівнює 12 см, а радіус основи дорівнює 3 см. На якій відстані від вершини конуса треба провести перетин, паралельний основі, щоб його площа дорівнювала см?
3.49. У прямому паралелепіпеді проведено переріз через діагональ нижньої основи і середину бокового ребра, що не торкається цієї діагоналлі. Відстань від площини перерізу до вершини нижньої основи,
не лежачої в площині перерізу, що дорівнює 5 см. Площа
2 перерізи дорівнює 10 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
3.50. У правильній чотирикутній призмі проведено переріз через діагональ нижньої основи та кінець непаралельної їй діагоналі верхньої основи. Площа основи призми та площа перерізу дорівнюють 20 см. Знайдіть об'єм призми.
3.51. У правильній трикутній призмі проведено переріз через бік нижньої основи і середину бічного ребра, що протилежить. Площина перерізу нахилена до поверхні під кутом 45°; площа перерізу дорівнює 4 л/6 см. Знайдіть об'єм призми.
3.52. Висота правильної трикутної призми дорівнює 12см. У призмі проведено переріз через бік нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи.
Площина перерізу нахилена до поверхні підстави призми під кутом 60°. Знайдіть обсяг призми. 3.53. У прямому паралелепіпеді проведено перетин через діагональ нижньої основи і середину бокового ребра, що не перетинається з цією діагоналлю. Обсяг меншого із двох багатогранників, на які паралелепіпед ділитьсяплощиною перерізу
, дорівнює 40 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
3.54. У трикутній призмі проведено переріз через бік нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи. У якому відношенні площину перерізу поділяє обсяг призми? 3.55. У трикутній піраміді проведено перетин черезсередню лінію
нижньої основи та вершину піраміди. У якому відношенні площину перерізу поділяє об'єм піраміди?
3.56. У правильній чотирикутній піраміді проведено перетин через середини двох суміжних сторін основи перпендикулярно до основи. У якому відношенні площину перерізу поділяє об'єм піраміди? 3.57. Упрямокутному паралелепіпеді
проведено перетин через ребро нижньої основи та точку перетину діагоналей протилежної бічної грані. У якому відношенні площину перерізу поділяє об'єм паралелепіпеда?
3.58. У піраміді проведено перетин паралельно до основи. Площина перерізу поділяє піраміду на частини, обсяги яких відносяться як 1: 26, рахуючи від вершини.
У якому відношенні площину перерізу поділяє висоту піраміди?
3.59. У піраміді проведено переріз паралельно до основи. Площина перерізу поділяє висоту піраміди на частини, відношення яких дорівнює 2:1, рахуючи від вершини.
У якому відношенні площину перерізу поділяє об'єм піоаміли?
3.63. Прямокутник зі сторонами 12 см та 16 см може бути двома способами згорнутий у вигляді бічної поверхні правильної чотирикутної призми. Порівняйте обсяги цих призмів.
3.64. Прямокутник зі сторонами 24 см та 10 см може бути двома способами згорнутий у вигляді бічної поверхні правильної чотирикутної призми. Порівняйте площі повних поверхонь цих Призм.
3.65. Прямокутник зі сторонами 12 см і 8 см вперше згорнутий у вигляді бокової поверхні правильної чотирикутної призми заввишки 8 см, а в другий - правильної трикутної призми з такою самою висотою. Порівняйте обсяги цих призмів.
3.66. Прямокутник зі сторонами 24 см і 10 см вперше згорнутий у вигляді бічної поверхні правильної чотирикутної призми заввишки 10 см, а в другій - правильної трикутної призми з такою самою висотою. Порівняйте площі повних поверхонь цих призмів.
3.67. Квадрат зі стороною 12 см вперше згорнутий у вигляді бічної поверхні правильної трикутної призми, а в другій - правильної чотирикутної призми.
Порівняйте площі повних поверхонь цих призмів.
3.68. Квадрат зі стороною 24 см вперше згорнутий у вигляді бічної поверхні правильної трикутної призми, а в другій - правильної чотирикутної призми.
Порівняйте обсяги цих призмів.
3.69. Ромб зі стороною 10 см і гострим кутом 60 ° обертається біля боку. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.70. Ромб зі стороною 8 см та гострим кутом 60° обертається біля боку. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
3.71. Прямокутна трапеція з основами 5 см і 8 см і висотою 4 см обертається біля більшої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.72. Прямокутна трапеція з основами б см та 10 см і висотою 3 см обертається біля більшої основи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
3.73. Прямокутна трапеція з основами 10см і 14см і висотою 3 см обертається біля меншої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.74. Прямокутна трапеція з основами 12см і 15 CMJ і висотою 4 см обертається біля меншої основи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
3.77. Рівнобічна трапеція з основами 10 см і 16 см і висотою 4 см обертається біля меншої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.78. Рівнобічна трапеція з основами 10 см і 18 см і висотою 3 см обертається біля меншої основи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
3.79. Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 18 см і висотою 4 см обертається біля більшої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.80. Рівнобічна трапеція з основами 15 см і 25 см і висотою 12 см обертається біля більшої основи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
3.81. Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 24 см і висотою 8 см вперше обертається біля меншої основи, а в другий - біля більшої. Порівняйте обсяги тіл обертання.
3.82. Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 28 см і висотою 6 см вперше обертається біля меншої основи, а в другий - біля більшої. Порівняйте площі поверхонь тіл обертання.
3.83. Прямокутний трикутник з катетом 3 см і гіпотенузою 6 см обертається навколо осі, що проходить через вершину прямого утла паралельно до гіпотенузи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.84. Квадрат зі стороною 8 см обертається біля прямої, проведеної через вершину паралельно діагоналі, що не проходить через цю вершину. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.85. Правильний трикутник зі стороною 4 см обертається біля осі, проведеної через вершину паралельно стороні, що не проходить через цю вершину. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.86. Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається біля прямої, паралельної до меншого з катетів і проходить через вершину меншого з кутів трикутника. Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.87. Ромб зі стороною 13 см і діагоналлю 10 см обертається біля осі, що проходить через вершину тупого утла паралельно діагоналі, що не проходить через цю вершину.
Знайдіть об'єм тіла обертання.
3.88. Ромб ABCD зі стороною 10 см і діагоналлю. АС = 12 см вперше обертається біля осі, що проходить через вершину А паралельно діагоналі BD, а в другий - через вершину В паралельно діагоналі АС. Порівняйте обсяги тіл обертання.
3.89. Прямокутна трапеція з основами 10 см і 18 см і висотою 6 см обертається біля прямої, що проходить через вершину гострого кута перпендикулярно до основ.
3.91. Чотири металеві кульки радіусу а сплавлені в один куб. Що більше: площа поверхні цього куба чи сумарна площа поверхонь кульок?
3.92. Скільки кульок діаметром 2 см можна відлити із металевого куба з ребром 4 см?
3.93. Скільки кубиків з ребром 2 см можна відлити із металевої кулі діаметром 4 см?
3.94. У правильну чотирикутну призму вписано циліндр. Об'єм циліндра дорівнює V. Знайдіть обсяг призми.
3.95. У правильну трикутну призму вписано циліндр. Площа бічної поверхні призми дорівнює S. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
3.96. У циліндр вписано правильну трикутна призма. Площа бічної поверхні призми дорівнює 5. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
3.97. У правильну трикутну піраміду вписано конус. Об'єм конуса дорівнює V. Знайдіть об'єм піраміди.
3.98. У конус вписано правильну чотирикутну піраміду. Об'єм піраміди дорівнює V. Знайдіть об'єм конуса.
3.99. У куб вписаний шар. Знайдіть відношення площ поверхонь куба та кулі.
3.100. У кулю вписано куб. Знайдіть відношення об'ємів кулі та куба.

Ви можете переглянути варіант цієї теми уроку від сайту www.urokimatematiki.ru за посиланням

У ході уроку всі охочі зможуть отримати уявлення про тему.Багатогранники. Призма. Завдання на призму». На цьому занятті ми повторимо основні відомості про багатогранники. Особливу увагу приділимо визначенню призми. Згадаймо теорему про площу бічної поверхні прямої призми. Потім вирішимо кілька завдань на цю тему.

Тема: Багатогранники

Урок: Багатогранники. Призма. Завдання на призму

На цьому занятті ми повторимо основні відомості про багатогранники. Особливу увагу приділимо визначенню призми. Згадаймо теорему про площу бічної поверхні прямої призми.

На малюнку 1 зображено призма ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1, її заснування ABCDFі A 1 B 1 C 1 D 1 F 1. П'ятикутники ABCDFі A 1 B 1 C 1 D 1 F 1рівні та лежать у паралельних площинах.

Мал. 1

Підстави призми- це дві грані, що є рівними багатокутниками, що лежать у паралельних площинах.

Боковимигранями є всі грані призми, крім основ. Кожна бічна грань є паралелограмом.

Загальні сторони бічних граней називаються бічними ребрами.

Повернемося до малюнку 1. У п'ятикутнику ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1:

ABCDFі A 1 B 1 C 1 D 1 F 1- Підстави призми.

Боковими гранями є грані АА 1 В 1 В, ВВ 1 З 1 С,CC 1 D 1 D, DD 1 F 1 F, FF 1 A 1 A. А бічними ребрами - АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1 , FF 1 .

Визначення. Якщо бічне ребро призми перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямий.

Розглянемо п'ятикутну призму ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1(Рис. 2).

Нехай бічне ребро AA 1перпендикулярно площині основи. Значить, дана призма – пряма. Оскільки ребро АА 1перпендикулярно до площини АВС, то це бічне ребро перпендикулярно будь-якій прямій із площини основи АВС, у тому числі і прямий AF. Отже, бічна грань прямокутником.

Мал. 2

Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(рис. 3) - окремий випадок призми. В підставах призми лежать паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1.

Мал. 3

Якщо бічне ребро перпендикулярно площині основи, такий паралелепіпед буде називатися прямим паралелепіпедом.

Мал. 4

Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(Рис. 4). Якщо ребро AA 1перпендикулярно до площини ABCD, то паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-прямий.

Якщо підставі прямого паралелепіпеда лежить прямокутник, такий паралелепіпед називається прямокутним. Позначення: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-або коротко AC 1.

Визначення. Правильною n-вугільною призмою називається така пряма призма, у якої в основах лежить правильний n-кутник.

Теорема.Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.

Розглянемо цю теорему з прикладу трикутної прямої призми ABCA 1 B 1 C 1(Рис. 5) . Призма ABCA 1 B 1 C 1-- Пряма, значить, всі бічні ребра перпендикулярні площині основи.

Дано: АВСА 1 В 1 З 1- Пряма призма, тобто. АА 1 ⊥ АВС.

АА1 = h.

Довести: S бік = Р осн ∙ h.

Мал. 5

Доведення.

Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- пряма, отже, бічні грані АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С -прямокутники. А всі бічні ребра призми дорівнюють висоті призми.

Знайдемо площу бічної поверхні як суму площ прямокутників АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 З, ВВ 1 З 1 З:

S бік = АВ∙ АА 1 + ВС∙ ВВ 1 + СА∙ СС 1 = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.

Отримуємо, S бік = Р осн ∙ h,що й потрібно було довести.

У правильній n-вугільній призмі сторона основи дорівнює aі висота дорівнює h. Обчислити площу бічної та повної поверхні призми, якщо n = 3, h= 15 см, a= 10 см. Див. Рис. 6.

Дано: АВСА 1 В 1 З 1- призма,

АА 1 ⊥ АВС,

h =АА 1 = 15см ,

АВ= BC = CA = a = 10 див.

Знайти: S бік, S повний.

Мал. 6

Рішення:

За умовою призму пряма. Значить, ребро АА 1перпендикулярно площині основи і дорівнює висоті призми.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи призми на висоту. Знайдемо площу бічної поверхні.

S бік = P осн ∙ h = P АВС ∙ АА 1 = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (див. 2).

В основі призми лежить правильний трикутник АВС. Знайдемо його площу.

Площа повної поверхні призми - це площа всіх її граней, тобто площа бічної поверхні плюс площа двох підстав. Значить:

Відповідь: (Див. 2).

Бокове ребро похилої чотирикутної призми дорівнює 12 см. Перпендикулярним перетином є ромб зі стороною 5 см. Знайти площу бічної поверхні.

Дано: призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Мал. 7) ,

АА 1 = 12 см,

перпендикулярний переріз – ромб зі стороною 5 см.

Знайти: Sбік

Мал. 7

Рішення:

Ми довели минулого уроці, що площа бічної поверхні похилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

За умовою перпендикулярним перетином є ромб зі стороною 5 см. Всі сторони ромба рівні. Отже, периметр перпендикулярного перерізу дорівнює див.

Тепер обчислимо площу бічної поверхні:

(Див. 2).

Відповідь: 240 см 2 .

Підставою прямої призми є рівнобедрена трапеція з основами 25 см і 9 см і висотою 8 см. Знайдіть двогранні кути при бічних ребрах призми. рис. 8.

Дано:ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- призма,

AA 1 ⊥ ABC,

AB∥CD, CB = AD,

AB = 9 см , CD = 25 см,

hтрап= 8 див.

Знайти:двогранні кути при бічних ребрах призми.

Мал. 8

Рішення:

Згадаймо, що таке двогранний кут. Нехай у нас є дві напівплощини α та β, які перетинаються прямою СC 1(Мал. 9). Тоді вони утворюють двогранний кут із ребром СC 1. Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом.

Як будується лінійний кут? Береться довільна точка Mна ребрі, і проводяться два перпендикуляри: один перпендикуляр у площині β - перпендикуляр b, другий перпендикуляр у площині α - перпендикуляр a. Тоді кут між прямими aі bі буде лінійним кутом двогранного кута.

Мал. 9

Знайдемо лінійний кут при ребрі СС 1. Оскільки ребро СC 1перпендикулярно всій площині ABC, то ребро СC 1перпендикулярно будь-якій прямій із цієї площини, у тому числі прямим BCі CD. Тоді кут між прямими BCі CD, А саме кут DCB, є лінійним кутом двогранного кута при ребрі. СC 1.

Аналогічним чином, отримуємо, що лінійні кут при ребрі АА 1- це кут УAD, при ребрі DD 1 - ∠ADC, при ребрі BB 1 - ∠ABC. Всі ці кути є кутами трапеції ABCD. Знайдемо їх градусний захід.

Розглянемо трапецію ABCD(рис. 10) . Проведемо висоти АНі КВ.За умовою, висота трапеції дорівнює 8 см. Значить, АН = КВ= 8 див.

Мал. 10

Знайдемо НК. Прямі АНі КВперпендикулярні до однієї і тієї ж прямої DC. Значить, прямі АНі КВпаралельні. Так як АН = КВ, то АНКВ- Паралелограм. Значить, НК = АВ= 9 див.

Бо трапеція ABCDрівнобедрена, то див.

Розглянемо трикутник DHA. Він прямокутний, оскільки АН ⊥ DCі рівнобедрений, тому що АН = DH. Значить, ∠ HAD = ∠ HDA= 45 ° градусів.

Бо трапеція ABCDрівнобедрена, то ∠ DCB = ∠ ЗDA= 45 °, ∠ DAB = ∠ ABC= 180 ° - 45 ° = 135 °.

Відповідь: 45 °, 45 °, 135 °, 135 °.

Список літератури

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.

1. Фіз/мат клас ().
2. 5klass.net ().
3. Ppt4web.ru ().
4. Яклас ().
5. Rutube.ru ().

Домашнє завдання

1. У паралелепіпеда три грані мають площу 1 см 2, 2 см 2, 3 см 2 . Чому дорівнює повна поверхня паралелепіпеда?
2. Основа призми – прямокутний трикутник, діагоналі бічних граней призми – 8 см, 14 см, 16 см. Знайдіть висоту призми.
3. Діагональ бічної грані правильної шестикутної призми дорівнює більшій діагоналі основи. Під яким кутом перетинаються діагоналі бічної грані цієї призми?
4. Знайдіть площу поверхні правильною n-вугільної призми, якщо будь-яке ребро це призми одно а.а) n = 3; б) n = 4.

Залік № 3 на тему «Многогранники. Площа поверхні призми, піраміди»

I рівень

Картка № 1

2. Підстави прямої призми – ромб зі стороною 5 см та тупим кутом 120 °. Бічна поверхняпризми має площу 240 см2. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через бічне ребро та меншу діагональ основи.

3. Сторона правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота

Картка № 2

2. Основа прямої призми – ромб із гострим кутом 60°. Бокове ребро призми дорівнює 10 см, а площа бічної поверхні – 240 см2. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через бічне ребро та меншу діагональ основи.

3. Бокове ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 5 см, а висота√13 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

II рівень

Картка № 1

1. Правильні багатогранники.

2. Підстава прямого паралелепіпеда – ромб. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо площі його діагональних перерізів Р іQ.

3. Основа піраміди - прямокутний трикутник з катетом 4√3 см та протилежним кутом 60°. Всі бічні ребра піраміди нахилені до поверхні під кутом 45°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Картка № 2

1. Площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

2. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми має площуQ. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

3. Основа піраміди - прямокутний трикутник із гострим кутом 30°. Висота піраміди дорівнює 4 см і утворює з усіма бічними ребрами кути 45 °. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

III рівень

Картка № 1

1. Призма. Площа бічної поверхні прямої призми.

2. У прямій призмі АВСА1В1С1 АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Діагональ бічної грані А1С складає з площиною грані СС1В1В кут 30°. Знайдіть площу повної поверхні призми.

3. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, кут між суміжними бічними гранями дорівнює 120 °. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Картка № 2

1. Піраміда. Площа бічної поверхні правильної піраміди.

2. У прямому паралелепіпедіABCDA1 B1 C1 D1 AD= 17, DC= 28, АС = 39. Діагональ бічної граніA1 Dскладає з площиною бічної граніDD1 C1 Cкут 45 °. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

3. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнюєm. Кут між суміжними бічними гранями дорівнює 120 °. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Рішення

I рівень (картка 1)

№ 1. Дано:ABCDA1 B1 C1 D1 – пряма призма.ABCD -ромб. AD = 5см; ∠ B = 120° ; S6ок. = 240 см2.

Знайти:Sсіч.

BB1 D1 D. BB1 D1 D- Прямокутник.Sсіч. =BD· DD1. AA= 180 ° - 120 ° = 60 °, оскількиABDC- ромб, то ΔABD- рівносторонній таBD= AD= 5 див.(Відповідь: 60 см2.)

№ 2. Дано:DABC- Правильна трикутна піраміда АВ = ВС = АС = 6 см.DO- Висота;DO= √3.

Знайти:Sбік.

Рішення: Оскільки піраміда правильна, то О - центр описаного та вписаного в ΔАВС кола.деha- Апофема бічної грані. Рос. = 3 · 6 = 18 см. Розглянемо ΔАА1С:(Відповідь:Sбік. = 36 см2.)

I рівень (картка 2)

№ 1. Дано:ABCDA1 B1 C1 D1 – пряма призма.ABCD- Ромб.∠ A= 60 °.AA1 = 10 див.Sбік. = 240 см2.

Знайти:Sсіч.

Рішення: Перетин, що проходить через бічне ребро та меншу діагональ основиBB1 D1 D. BB1 D1 D- Прямокутник.Sсіч. =BD· DD1. AB = DC= АС (за умовою). АВ = 24/4 = 6 см. Розглянемо ΔABD, так як∠ А = 60 °, то ΔABD- рівнобічний.BD= 6 див.Sсіч = 6 · 10 = 60 см. (Відповідь: 60 см.)

№ 2. Дано:DABC- правильна трикутна пірамідаDC= DB= AD= 5 див.DO- Висота;DO= √ 1 3 cm.

Знайти:Sбік.

Рішення:деha- Апофема бічної грані. Розглянемо ΔAOD: Отже,hа = 4(см). Розглянемо ΔАВС – рівносторонній.(Відповідь:Sбік. = 36 см2.)

II рівень (картка 1)

№ 1. Дано:ABCDA1 B1 C1 D1 - прямий паралелепіпед.ABCD- Ромб.SAC1 CA = Р;SB1 D1 DB = Q.

Знайти:Sбік.

Рішення:

2)

3) Діагоналі ромба, перетинаючи, діляться навпіл і взаємно перпендикулярні.

(Відповідь:)

№ 2. Дано:DABC - піраміда∠ C = 90 ° ; СА= 4√3 (см);∠ B = 60 ° ; ∠ DBO = ∠ DAO = ∠ DCO = 45 ° .

Знайти:Sбік.

Рішення: Оскільки ребра піраміди нахилені під тим самим кутом, то ОА = ОВ = СО. Точка О - центр описаного біля ΔАВС кола і є серединою гіпотенузи.

1) Розглянемо ΔADB: ΔDAO- рівнобедрений (∠ DAO= 45 °). Отже,AO = DO. АТ = 1/2AВ. АВ визначимо з ΔABC.

2) Розглянемо ΔCDA: DMвизначимо з ΔDOM. ОМ визначимо з ΔАВС. ОМ = 1/2BЗ. НД =1/2АВ (катет проти кута в 30°). НД = 4 см. МО= 2 див.

3) Розглянемо ΔCDB:

(Відповідь:)

IIрівень (картка 2)

№ 1. Дано:ABCDA1 B1 C1 D1 - правильна чотирикутна призма.ABCD- Квадрат.SACA1 C1 = Q.

Знайти:Sбік.

Рішення:Розглянемо ΔADC: AC2 = AD2 + DC2, оскількиABCD- Квадрат, тоAC2= 2 AD2.

(Відповідь:)

№ 2. Дано;DABC- Піраміда. ΔАВС - прямокутний;∠ З = 90 ° ; ∠ У = 30 ° ; DO- Висота;DO= 4 див.∠ ADO= ∠ BDO= ∠ CDO

Знайти:Sбік.

Рішення: ΔADO= Δ DBO= Δ CDO(за катетом та гострому кутку). Отже, АТ = ОB= ОС. Отже, точка О - центр описаного біля ΔАВС кола і, отже, - середина гіпотенузи. З рівності трикутників випливає АО = ОВ = ОС =OD(рівностегнові, прямокутні). АВ = 4 см. АВ = 8 см. Розглянемо ΔАВС:

1. РозглянемоΔADB:

2. РозглянемоΔADC:

(Відповідь:)

III рівень (картка 1)

№ 1. Дано:ABCA1 B1 C1 – пряма призма.AB= 13, BЗ = 21, АС = 20;∠ АСМ = 30 ° .

Знайти:Sповн.

Рішення: Кут між А1С та площиною ВВ1С1С дорівнює 30°. Це кут між прямою А1С та її проекцією на площину ВВ1С1С. А1М⊥ В1С1, МС - проекція А1С на площинуBB1 CC1. ∠ ACM= 30 °.Розглянемо ΔА1МС: А1М - висота таРозглянемоΔA1 MC: (тобто∠ A1 CM= 30 °); А1С = 24 та(Відповідь:)

№ 2. Дано:MABCD- правильна чотирикутна піраміда.DA= а;∠ BKD= 120 °.

Знайти:Sбік.

Рішення: Кут між гранямиBМС таDMCдорівнює 120 °;DK⊥ MC; тому що ΔВМС = Δ DMC, тоBK⊥ MCі∠ BKD - лінійний кут двогранного кута з ребром МС; ha = MN; BD = а√2 (діагональ квадрата); ΔBKD-рівностегновий. Отже,∠ OKD= 60 °, а∠ ODK= 30 ° іРозглянемо ΔDMC: абоЗΔDKC: З ΔMNC: (Відповідь:)