Розглянемо дріб $ frac63 $. Її величина дорівнює 2, тому що $ frac63 = 6:3 = 2 $. А що станеться, якщо чисельник та знаменник помножити на 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Очевидно, величина дробу не змінилася, так як $\frac(12)(6)$ як у дорівнює 2. Можна помножити чисельник та знаменникна 3 і отримати $ frac (18) (9) $, або на 27 і отримати $ frac (162) (81) $ або на 101 і отримати $ frac (606) (303) $. У кожному з цих випадків величина дробу, яку ми отримуємо, розділивши чисельник на знаменник, дорівнює 2. Це означає, що не змінилася.
Така сама закономірність спостерігається й у разі інших дробів. Якщо чисельник і знаменник дробу $\frac(120)(60)$ (рівний 2) розділити на 2 (результат $\frac(60)(30)$), або на 3 (результат $\frac(40)(20) $), або 4 (результат $\frac(30)(15)$) тощо, то кожному разі величина дробу залишається незмінною і дорівнює 2.
Це правило поширюється також на дроби, які не рівні цілого числа.
Якщо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (3) $ помножити на 2, ми отримаємо $ frac (2) (6) $, тобто величина дробу не змінилася. І справді, якщо ви розділите пиріг на 3 частини та візьмете одну з них або розділите його на 6 частин та візьмете 2 частини, ви в обох випадках отримаєте однакову кількість пирога. Отже, числа $ frac (1) (3) $ і $ frac (2) (6) $ ідентичні. Сформулюємо загальне правило.
Чисельник і знаменник будь-якого дробу можна помножити або розділити на те саме число, і при цьому величина дробу не змінюється.
Це правило виявляється дуже корисним. Наприклад, воно дозволяє в ряді випадків, але не завжди уникнути операцій з великими числами.
Наприклад, ми можемо розділити чисельник і знаменник дробу $\frac(126)(189)$ на 63 і отримати дріб $\frac(2)(3)$ з яким набагато простіше робити розрахунки. Ще один приклад. Чисельник і знаменник дробу $\frac(155)(31)$ можемо розділити на 31 і отримати дріб $\frac(5)(1)$ або 5, оскільки 5:1=5.
У цьому прикладі ми вперше зустрілися з дробом, знаменник якого дорівнює 1. Такі дроби відіграють важливу роль під час обчислень. Слід пам'ятати, що будь-яке число можна розділити на 1 і його величина не зміниться. Тобто $ \ frac (273) (1) $ дорівнює 273; $\frac(509993)(1)$ дорівнює 509993 і так далі. Отже, ми можемо не розділяти числа на , оскільки кожне ціле число можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1.
З такими дробами, знаменник яких дорівнює 1, можна робити ті ж арифметичні дії, що і з усіма іншими дробами: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Ви можете запитати, яка користь від того, що ми представимо ціле число у вигляді дробу, у якого під рисою стоятиме одиниця, адже з цілим числом працювати зручніше. Але справа в тому, що уявлення цілого числа у вигляді дробу дає нам можливість ефективніше робити різні дії, коли ми маємо справу одночасно і з цілими, і з дробовими числами. Наприклад, щоб навчитися складати дроби з різними знаменниками. Припустимо, нам треба скласти $\frac(1)(3)$ і $\frac(1)(5)$.
Ми знаємо, що складати можна лише ті дроби, знаменники яких рівні. Отже, нам треба навчитися приводити дроби до такого виду, коли їхні знаменники є рівними. У цьому випадку нам знову знадобиться те, що можна множити чисельник і знаменник дробу на те саме число без зміни його величини.
Спочатку помножимо чисельник і знаменник дробу $\frac(1)(3)$ на 5. Отримаємо $\frac(5)(15)$, величина дробу не змінилася. Потім помножимо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (5) $ на 3. Отримаємо $ frac (3) (15) $, знову величина дробу не змінилася. Отже, $ frac (1) (3) + frac (1) (5) = frac (5) (15) + frac (3) (15) = frac (8) (15) $.
Тепер спробуємо застосувати цю систему до додавання чисел, що містять як цілу, так і дробову частини.
Нам треба скласти $3 + frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Спочатку переведемо всі складові у форму дробів і отримаємо: $ frac31 + frac (1) (3) + frac (5) (4) $. Тепер нам треба привести всі дроби до спільного знаменника, для цього ми чисельник і знаменник першого дробу множимо на 12, другого - на 4, а третього - на 3. У результаті отримуємо $\frac(36)(12) + \frac(4) )(12)+\frac(15)(12)$, що дорівнює $\frac(55)(12)$. Якщо ви хочете позбутися неправильного дробу, її можна перетворити на число, що складається з цілої та дробової частин: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ або $4\frac(7)( 12) $.
Усі правила, що дозволяють проводити операції з дробами, які ми з вами щойно вивчили, також справедливі у разі негативних чисел. Так, -1: 3 можна записати як $ frac (-1) (3) $, а 1: (-3) як $ frac (1) (-3) $.
Оскільки як при розподілі негативного числа на позитивне, так і при розподілі позитивного числа на негативне в результаті ми отримуємо негативні числа, в обох випадках отримаємо відповідь у вигляді негативного числа. Тобто
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ або $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Знак мінус при такому написанні відноситься до всього дробу цілком, а не окремо до чисельника чи знаменника.
З іншого боку, (-1) : (-3) можна записати як $\frac(-1)(-3)$, а оскільки при розподілі негативного числа на негативне число ми отримуємо позитивне число, то $\frac(-1 )(-3)$ можна записати як $+\frac(1)(3)$.
Додавання і віднімання негативних дробів проводять за тією ж схемою, що і додавання, і віднімання позитивних дробів. Наприклад, що таке $1-1\frac13$? Представимо обидва числа у вигляді дробів і отримаємо $ frac (1) (1) - frac (4) (3) $. Приведемо дроби до спільного знаменника і отримаємо $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, тобто $\frac(3)(3)-\frac(4) (3)$, або $-\frac(1)(3)$.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.
Що можна робити із дробами?Та все те, що і зі звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.
Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.
Змішані числаЯк я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у звичайні дроби.
А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами – це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.
Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:
Коротше, у загальному вигляді:
А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:
Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.
До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.
Ще приклад:
Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множенням на 3. Це все зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:
Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:
ВО як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!
Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:
І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.
До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...
Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.
Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення є тим, хто чесно працював у молодших класах... І нічого не забув.
А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...
Отже, нам треба скласти два дробові вирази:
Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, межу дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:
І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:
Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звісно, а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...
У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, як у числових дробах, потім розкриваємо дужки в чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:
Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!
І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.
Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)
Обчислити:
Відповіді (безладно):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Однією з найважливіших наук, застосування якої можна побачити таких дисциплінах, як хімія, фізика і навіть біологія, є математика. Вивчення цієї науки дозволяє розвинути деякі розумові якості, покращити та здатність концентруватися. Одна з тем, які заслуговують на окрему увагу в курсі «Математика» - складання та віднімання дробів. У багатьох учнів її вивчення спричиняє труднощі. Можливо, наша стаття допоможе краще зрозуміти цю тему.
Дроби - це самі числа, з якими можна робити різні дії. Їхня відмінність від цілих чисел полягає в присутності знаменника. Саме тому при виконанні дій із дробами потрібно вивчити деякі їх особливості та правила. Найбільш простим випадком є віднімання звичайних дробів, знаменники яких представлені у вигляді однакового числа. Виконати цю дію не складе особливих труднощів, якщо знати просте правило:
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Від чисельника дробу, що зменшується, «7» віднімаємо чисельник віднімається дробу «3», отримуємо «4». Це число записуємо в чисельник відповіді, а знаменник ставимо те саме число, що було у знаменниках першого і другого дробу - «19».
На малюнку нижче наведено ще кілька таких прикладів.
Розглянемо складніший приклад, де зроблено віднімання дробів з однаковими знаменниками:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Від чисельника дробу, що зменшується «29» відбиранням по черзі чисельники всіх наступних дробів - «3», «8», «2», «7». У результаті отримуємо результат «9», який записуємо в чисельник відповіді, а знаменник записуємо те число, що у знаменниках всіх цих дробів, - «47».
Додавання і віднімання звичайних дробів здійснюється за одним і тим же принципом.
Розглянемо, як це виглядає на прикладі:
1/4 + 2/4 = 3/4.
До чисельника першого доданку дробу - «1» - додаємо чисельник другого доданку дробу - «2». Результат - «3» - записуємо в чисельник суми, а знаменник залишаємо той самий, що був у дробах, - «4».
Дію з дробами, які мають однаковий знаменник, ми вже розглянули. Як бачимо, знаючи прості правила, вирішити такі приклади досить легко. Але що робити, якщо потрібно зробити дію з дробами, які мають різні знаменники? Багато учнів середніх шкіл утрудняються такі приклади. Але й тут, якщо знати принцип рішення, приклади вже не будуть для вас складнощами. Тут також існує правило, без якого розв'язання таких дробів просто неможливе.
Щоб відняти дроби з різними знаменниками, необхідно їх привести до однакового найменшого знаменника.
Про те, як це зробити, ми поговоримо докладніше.
Для того щоб кілька дробів привести до однакового знаменника, потрібно використовувати у рішенні головну властивість дробу: після поділу або множення чисельника і знаменника на однакове число вийде дріб, що дорівнює даній.
Так, наприклад, дріб 2/3 може мати такі знаменники, як "6", "9", "12" і т. д., тобто вона може мати вигляд будь-якого числа, яке кратно "3". Після того, як чисельник і знаменник ми помножимо на «2», вийде дріб 4/6. Після того, як чисельник і знаменник вихідного дробу ми помножимо на «3», отримаємо 6/9, а якщо аналогічну дію зробити з цифрою «4», отримаємо 8/12. Однією рівністю це можна записати так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Розглянемо, як привести кілька дробів до того самого знаменника. Наприклад візьмемо дроби, наведені на малюнку нижче. Для початку необхідно визначити, яке число може стати знаменником для всіх їх. Для полегшення розкладемо знаменники на множники.
Знаменник дробу 1/2 та дробу 2/3 на множники розкласти не можна. Знаменник 7/9 має два множники 7/9 = 7/(3 х 3), знаменник дробу 5/6 = 5/(2 х 3). Тепер необхідно визначити, які множники будуть найменшими для всіх цих чотирьох дробів. Так як у першому дробі в знаменнику є число «2», значить, воно має бути присутнім у всіх знаменниках, у дробі 7/9 присутні дві трійки, значить, вони також обидві повинні бути присутніми у знаменнику. Враховуючи сказане вище, визначаємо, що знаменник складається з трьох множників: 3, 2, 3 і дорівнює 3 х 2 х 3 = 18.
Розглянемо перший дріб – 1/2. У її знаменнику є «2», але немає жодної цифри «3», а має бути дві. Для цього ми знаменник множимо на дві трійки, але, згідно з властивістю дробу, ми і чисельник повинні помножити на дві трійки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогічно робимо дії з дробами, що залишилися.
Все разом це виглядає так:
Як уже говорилося вище, для того щоб зробити додавання або віднімання дробів, що мають різні знаменники, їх необхідно привести до одного знаменника, а далі скористатися правилами віднімання дробів, що мають однаковий знаменник, про який вже розповідалося.
Розглянемо це з прикладу: 4/18 - 3/15.
Знаходимо кратне чисел 18 і 15:
Після того, як знаменник буде знайдений, необхідно обчислити множник, який буде відмінним для кожного дробу, тобто число, на яке необхідно буде помножити не тільки знаменник, але і чисельник. Для цього число, яке ми знайшли (загальне кратне), ділимо на знаменник того дробу, у якого потрібно визначити додаткові множники.
Наступний етап нашого рішення – приведення кожного дробу до знаменника «90».
Як це робиться, ми вже говорили. Розглянемо, як це записується у прикладі:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Якщо дроби з невеликими числами, можна загальний знаменник визначити, як у прикладі, наведеному на малюнку нижче.
Аналогічно виробляється і мають різні знаменники.
Віднімання дробів та їх складання ми вже детально розібрали. Але як зробити віднімання, якщо у дробу є ціла частина? Знову ж таки, скористаємося кількома правилами:
Є й інший спосіб, за допомогою якого можна здійснити додавання та віднімання дробів з цілими частинами. Для цього проводяться окремо дії з цілими частинами, та окремо дії з дробами, а результати записуються разом.
Наведений приклад складається з дробів, які мають однаковий знаменник. У тому випадку, коли знаменники різні, їх необхідно призвести до однакового, а далі виконати дії, як показано на прикладі.
Ще одним із різновидів дій з дробами є той випадок, коли дріб необхідно відібрати від На перший погляд подібний приклад здається важко вирішуваним. Однак тут усе досить просто. Для його вирішення необхідно перевести ціле число в дріб, причому з таким знаменником, який є в дробі, що віднімається. Далі робимо віднімання, аналогічне віднімання з однаковими знаменниками. На прикладі це виглядає так:
7 – 4/9 = (7 х 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.
Наведене у цій статті віднімання дробів (6 клас) є основою для вирішення складніших прикладів, які розглядаються у наступних класах. Знання цієї теми використовуються згодом на вирішення функцій, похідних тощо. Тому дуже важливо розібратися і зрозуміти дії з дробами, що розглядаються вище.
Наступні правила застосовуються для правильних і неправильних дробів (змішаний дріб завжди можна перевести в неправильний дріб) з однаковими знаменниками.
Правило. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.
Наприклад:
Правило. Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу і залишити той самий знаменник.
Наприклад: 
Наступні правила застосовуються для змішаних дробів із однаковими знаменниками.
Правило. Щоб скласти змішані дроби, необхідно окремо скласти їх цілі та дробові частини та записати суму цілих частин та суму дробових частин змішаним дробом.
Якщо сумарна дробова частина виявиться неправильним дробом, ті слід перевести в змішаний дріб, а виділену з неправильного дробу цілу частину додати до суми цілих частин. Остаточну суму цілої та дробової частин записати змішаним дробом.
Наприклад, скласти дроби: 
Правило, Щоб відняти змішані дроби, необхідно окремо відняти їх цілі та окремо їх дробові частини та записати суму отриманих різниць змішаним дробом.
Якщо дробова частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається, то від цілої частини зменшуваного «позичаємо» 1, яку представляємо як дріб з тим же знаменником, що і у дробовій частині змішаних дробів, і з рівним цьому знаменнику чисельником. Позичену 1, виражену неправильним дробом з однаковими чисельником і знаменником, сумуємо з дробовою частиною зменшуваного. Після цього робимо обчислення згідно з правилом віднімання змішаних дробів.
Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:
Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:
Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом,
Приклад 1:
Приклад 2:
Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:
Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як зазначено на початку цієї статті. Загальний знаменник кількох дробів — НОК (найменше загальне кратне). Для чисельника кожного з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою поділу НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що таке НОК.
Найменше загальне кратне двох чисел (НОК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:
Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:
Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:
Повернемося до складання дробів із різними знаменниками.
Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, що дорівнює НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:
Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, яке ділиться на обидва знаменники) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельників дробів. Знайти їх можна, розділивши спільний знаменник (НОК) на знаменник відповідного дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу додатковий множник, а знаменником поставити НОК.
Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:
Якщо ми складаємо ціле число та змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:
Ліміт часу: 0
0 із 20 завдань закінчено
У цьому вся тесті перевіряється вміння складати дроби з однаковими знаменниками. При цьому потрібно дотримуватися двох правил:
Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.
Тест завантажується...
Ви повинні увійти або зареєструватися, щоб почати тест.
Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати це:
Правильних відповідей: 0 з 20
Ваш час:
Час вийшов
Ви набрали 0 з 0 балів (0 )
