Перевірте, чи під знаком логарифму не стоять негативні числа чи одиниця.Даний метод застосовний до виразів виду log b (x) log b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Однак він не підходить для деяких особливих випадків:
Перетворіть вираз на один логарифм.Якщо вираз не відноситься до наведених вище особливим випадкам, його можна подати у вигляді одного логарифму. Використовуйте для цього таку формулу: log b (x) log b (a) = log a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log _(a)(x)).
При можливості обчисліть значення виразу вручну.Щоб знайти log a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), уявіть собі вираз " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", тобто поставте наступне питання: "У яку міру необхідно звести a, Щоб отримати x?". Для відповіді на це запитання може знадобитися калькулятор, але якщо вам пощастить, ви зможете знайти його вручну.
Залишіть відповідь у логарифмічній формі, якщо вам не вдається спростити її.Багато логарифмів дуже складно обчислити вручну. У цьому випадку, щоб отримати точну відповідь, вам знадобиться калькулятор. Однак якщо ви вирішуєте завдання на уроці, то вчителі, швидше за все, задовольнять відповідь у логарифмічному вигляді. Нижче розглянутий метод використаний на вирішення складнішого прикладу:
З розвитком суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку шляхом складання і віднімання, за їх багаторазовому повторенні, прийшли до поняття множення та поділу. Скорочення операції, що багаторазово повторюється, множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від основи та числа зведення у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них можна відраховувати час виникнення логарифмів.
Відродження Європи у XVI столітті стимулювало та розвиток механіки. Т потрібний великий обсяг обчислення, пов'язаних з множенням та розподілом багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком уперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але й довільних раціональних.
В 1614 шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін"Логарифм числа". Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів та косінусів, а також тангенсів. Це дуже скоротило працю астрономів.
Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими упродовж трьох століть. Пройшло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі набула свого закінченого вигляду. Було дано визначення логарифму, та його властивості були вивчені.
Лише у XX столітті з появою калькулятора та комп'ютера людство відмовилося від стародавніх таблиць, які успішно працювали протягом XIII століть.
Сьогодні ми називаємо логарифмом b на основі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. Як формули це записується: x = log a(b).
Наприклад, log 3(9) дорівнюватиме 2. Це очевидно, якщо дотримуватися визначення. Якщо 3 звести до ступеня 2, то отримаємо 9.
Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a та b повинні бути речовими.
Класичне визначення називається речовий логарифм і є рішенням рівняння a x = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не становить інтересу. Увага: 1 у будь-якому ступені дорівнює 1.
Речове значення логарифмувизначено тільки при підставі та аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.
Особливе місце у галузі математикиграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їхньої основи:
Основною властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічній сумі. log abp = log a (b) + log a (p).
Як варіант цього твердження буде: log c(b/p) = log с(b) - log c(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.
З попередніх двох правил легко видно, що: log a (b p) = p * log a (b).
Серед інших властивостей можна виділити:
Зауваження. Не треба робити поширену помилку – логарифм суми не дорівнює сумілогарифмів.
Багато століть операція пошуку логарифму була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулоюлогарифмічної теорії розкладання на багаточлен:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.
Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від однієї підстави до іншої та властивості логарифму твору.
Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завданьважкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.
У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a (x), побудована за кількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції у будь-якій іншій точці. Інженери тривалий час для цього використовували так званий міліметровий папір.
У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, XIX віцінабули закінченого вигляду. Найбільш вдалий пристрій отримав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес усіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. Нині вже мало хто знайомий із цим пристроєм.
Поява калькуляторів та комп'ютерів зробила безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.
Для розв'язання різних рівнянь та нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:
Для вирішення нерівностей корисно знати:
Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів та їх властивості. Приклади з розв'язуванням рівнянь:
Розглянемо варіант розміщення логарифму у ступені:
Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано придбав велике значеннядля опису об'єктів реального світу Важко знайти науку, де її не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природних, а й гуманітарних областей знань.
Наведемо кілька прикладів числових залежностей:
Історично механіка та фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження та одночасно служили стимулом для розвитку математики, у тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифму.
Вирішувати задачу розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка започаткувала теорію освоєння космосу:
V = I * ln (M1/M2), де
Інший важливий приклад - це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану термодинаміки.
S = k * ln (Ω), де
Менш очевидним буде використання формул у хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо також лише два приклади:
І вже зовсім незрозуміло, до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення до значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.
Після вищенаведених прикладів не дивує, що у біології широко використовується тема логарифмів. Для біологічних форм, відповідні логарифмічним спіралям, можна писати цілі томи.
Здається, неможливе існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч у таких сферах діяльності:
Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.
Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.
Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:
Основна логарифмічна тотожність:
Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:
*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм ступеня дорівнює творупоказника ступеня на логарифм її основи.
* * *
*Перехід до нової основи
* * *
Ще властивості:
* * *
Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.
Перерахуємо деякі з них:
Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:
Наслідок з цієї властивості:
* * *
При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.
* * *
Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.
Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!
На цьому все! Успіху Вам!
З повагою, Олександр Крутицьких
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів, цей процес називають логарифмуванням. Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходять значення логарифмів з їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія має приклади з докладними рішеннями.
Навігація на сторінці.
У найпростіших випадках можна досить швидко і легко виконати знаходження логарифму за визначенням. Давайте докладно розглянемо, як відбувається цей процес.
Його суть полягає в поданні числа b у вигляді a c , звідки визначення логарифму число c є значенням логарифму. Тобто, знаходження логарифму за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b = log a a c = c.
Отже, обчислення логарифму за визначенням зводиться до знаходження такого числа c , що a c = b , а саме c є значення логарифму.
Враховуючи інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифму задано деяким ступенем заснування логарифму, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм – він дорівнює показнику ступеня. Покажемо рішення прикладів.
приклад.
Знайдіть log 2 2 −3, а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3.
Рішення.
Визначення логарифму дозволяє нам відразу сказати, що log 2 2 −3 =−3 . Дійсно, число під знаком логарифму дорівнює підставі 2 -3 ступеня.
Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 = 5,3.
Відповідь:
log 2 2 −3 =−3 та lne 5,3 =5,3 .
Якщо ж число b під знаком логарифму не задано як ступінь основи логарифму, потрібно уважно подивитися, чи можна дійти уявлення числа b як a c . Часто таке уявлення буває досить очевидним, особливо коли число під знаком логарифму дорівнює підставі в ступені 1, або 2, або 3, ...
приклад.
Обчисліть логарифми log 5 25 і .
Рішення.
Нескладно помітити, що 25 = 5 2 це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .
Переходимо до обчислення другого логарифму. Число можна представити у вигляді ступеня числа 7: (за потреби дивіться ). Отже,
.
Перепишемо третій логарифм у наступному вигляді. Тепер можна побачити, що , звідки укладаємо, що
. Отже, за визначенням логарифму
.
Коротко рішення можна було записати так: .
Відповідь:
log 5 25 = 2, і
.
Коли під знаком логарифму знаходиться досить велике натуральне число, його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає уявити таке число у вигляді певної міри підстави логарифму, отже, обчислити цей логарифм за визначенням.
приклад.
Знайдіть значення логарифму.
Рішення.
Деякі властивості логарифмів дозволяють одразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифму одиниці та властивість логарифму числа, рівної основи: log 1 1 = log a a 0 = 0 і log a a = log a a 1 = 1 . Тобто коли під знаком логарифму знаходиться число 1 або число a , рівне підставі логарифму, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.
приклад.
Чому рівні логарифми та lg10?
Рішення.
Оскільки , то з визначення логарифму випливає .
У другому прикладі число 10 під знаком логарифму збігається з його основою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто lg10=lg10 1 =1 .
Відповідь:
І lg10=1.
Зазначимо, що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p =p, яка є однією з властивостей логарифмів.
На практиці, коли число під знаком логарифму та основа логарифму легко видаються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулу , Що відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифму, що ілюструє використання цієї формули.
приклад.
Обчисліть логарифм.
Рішення.
Відповідь:
.
Не згадані вище властивості логарифмів також використовуються для обчислення, але про це поговоримо в наступних пунктах.
Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів під час їх обчислення. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб виразити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963 тоді ми можемо знайти, наприклад, log 2 6 , виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифму: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
У наведеному прикладі нам було достатньо використати властивість логарифму твору. Однак набагато частіше доводиться застосовувати ширший арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.
приклад.
Обчисліть логарифм 27 на підставі 60 якщо відомо, що log 60 2=a і log 60 5=b .
Рішення.
Отже, нам потрібно знайти log 60 27 . Нескладно помітити, що 27=3 3 і вихідний логарифм в силу властивості логарифму ступеня можна переписати як 3 log 60 3 .
Тепер подивимося, як log 60 3 виразити через відомі логарифми. Властивість логарифму числа, що дорівнює основі, дозволяє записати рівність log 60 60 = 1 . З іншого боку log 60 60 = log60 (2 2 · 3 · 5) = log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Таким чином, 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Отже, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27 = 3 · log 60 3 = 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Відповідь:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Окремо варто сказати про значення формули переходу до нової основи логарифму виду . Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими основами переходити до логарифмів з конкретною основою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифму за формулою переходу переходять до логарифм по одній з підстав 2 , e або 10 , так як з цих підстав існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У цьому пункті ми покажемо, як це робиться.
Для наближеного обчислення значень логарифмів можна використовувати таблиці логарифмів. Найчастіше використовується таблиця логарифмів на підставі 2 , таблиця натуральних логарифмівта таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів на підставі десять. З її допомогою і вчитимемося знаходити значення логарифмів.
Подана таблиця дозволяє з точністю до однієї десятитисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1000 до 9999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифму за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі- так зрозуміліше. Знайдемо lg1,256.
У лівому стовпці таблиці десяткових логарифмів знаходимо дві перші цифри числа 1,256, тобто, знаходимо 1,2 (це для наочності обведено синьою лінією). Третю цифру числа 1,256 (цифру 5) знаходимо в першому або останньому рядку зліва від подвійної лінії (це число обведене червоною лінією). Четверту цифру вихідного числа 1,256 (цифру 6) знаходимо в першому або останньому рядку праворуч від подвійної лінії (це число обведене зеленою лінією). Тепер знаходимо числа у осередках таблиці логарифмів на перетині зазначеного рядка та зазначених стовпців (ці числа виділені помаранчевим кольором). Сума зазначених чисел дає значення десяткового логарифму з точністю до четвертого знака після коми, тобто, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
А чи можна, використовуючи наведену таблицю, знаходити значення десяткових логарифмів чисел, що мають більше трьох цифр після коми, а також за межі від 1 до 9,999? Так можна. Покажемо, як це робиться на прикладі.
Обчислимо lg102,76332. Спочатку потрібно записати число в стандартному вигляді : 102,76332 = 1,0276332 · 10 2 . Після цього мантису слід округлити до третього знака після коми, маємо 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2, при цьому вихідний десятковий логарифм приблизно дорівнює логарифму отриманого числа, тобто, приймаємо lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Тепер застосовуємо властивості логарифму: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Нарешті, знаходимо значення логарифму lg1,028 по таблиці десяткових логарифмів lg1,028 0,0086 +0,0034 = 0,012 . У результаті весь процес обчислення логарифму виглядає так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.
Насамкінець варто відзначити, що використовуючи таблицю десяткових логарифмів можна обчислити наближене значення будь-якого логарифму. Для цього достатньо за допомогою формули переходу перейти до десяткових логарифмів, знайти їх значення по таблиці, і виконати обчислення, що залишилися.
Наприклад обчислимо log 2 3 . За формулою переходу до нової основи логарифму маємо. З таблиці десяткових логарифмів знаходимо lg3 ≈ 0,4771 та lg2 ≈ 0,3010 . Таким чином, .
Список літератури.
Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.
Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.
Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:
Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий моменттут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!
Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:
Log 6 4 + log 6 9.
Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.
Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.
Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.
Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:
Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.
Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .
Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:
Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.
Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.
Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?
На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:
Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:
[Підпис до малюнка]
Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:
[Підпис до малюнка]
З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.
Ці формули рідко зустрічаються у звичайних числових виразів. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише за рішенням логарифмічних рівняньта нерівностей.
Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.
Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А тепер «перевернемо» другий логарифм:
[Підпис до малюнка]Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.
Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:
[Підпис до малюнка]Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:
[Підпис до малюнка]Часто у процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:
У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.
Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.
Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».
Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:
[Підпис до малюнка]Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)
Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.
Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.