Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля
Що таке можливість?
Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.
Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.
Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, А перед тобою двері на вибір.
Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.
Але який цей шанс?
Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.
Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:
А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:
а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима
Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.
Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.
А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .
Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.
Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:
Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.
Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:
Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії(У нас така дія - це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.
Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.
Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували до одного з дверей, але нам відчинив незнайома людина. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?
Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.
У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:
1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері
Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):
а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима
Давай знову намалюємо таблицю:
Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.
А чому ні?
Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.
А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .
Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.
Хрестоматійний приклад – кидання монетки.
І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .
Відрізнити залежні події від незалежних легко:
Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.
приклад 1.
Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?
Рішення:
Розглянемо все можливі варіанти:
Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:
Якщо за умови просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.
Відповідь:
приклад 2.
У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.
Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.
Рішення:
Скільки всього можливих наслідків? .
Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.
А скільки сприятливих наслідків?
Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.
Відповідь:
приклад 3.
У коробці куль. їх білі, - чорні.
Рішення:
а) У коробці всього куль. Із них білих.
Імовірність дорівнює:
б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.
Відповідь:
| Імовірність всіх можливих подій дорівнює (). |
Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?
Імовірність витягнути червону кулю
Зелена куля:
Червона або зелена куля:
Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.
приклад 4.
У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.
Яка можливість витягнути не червоний фломастер?
Рішення:
Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.
НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.
| Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться. |
Що таке незалежні події, ти вже знаєш.
А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?
Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?
Ми вже рахували - .
А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?
Усього можливих варіантів:
Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).
Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.
Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подійщоразу зменшується на ймовірність однієї події.
Іншими словами,
Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.
Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.
Яка можливість випадання разів поспіль орла?
Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна й та сама подія кілька разів поспіль.
Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.
Імовірність випадання решка -, орла -.
Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:
Можеш перевірити сам, склавши таблицю.
Так стоп! Нове визначення.
Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:
Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.
Якщо ми хочемо визначити, яка ймовірність двох (або більше) несумісних подійми складаємо ймовірності цих подій.
Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.
Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?
Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.
Усього варіантів, нам підходить.
Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:
Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.
Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:
Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?
Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:
Давайте розглянемо кілька прикладів.
Приклад 5.
У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?
Рішення:
Приклад 6.
Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?
Рішення.
Як ми можемо отримати очки?
(і) або (і) або (і) або (і) або (і).
Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .
Вважаємо ймовірність:
Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.
Завдання:
Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.
Відповіді:
Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!
Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.
Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.
Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).
Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.
А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).
Визначення:
Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.
Позначають ймовірність латинської літерою (мабуть, від англійського слова probability - ймовірність).
Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. тему , ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткоюймовірність.
На відсотках: .
Приклади (виріши сам):
Рішення:
З рішкою те саме: .
Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).
Така подія називається неможливою.
А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.
Така подія називається достовірною.
Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .
У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.
Приклад:
У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?
Рішення:
Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.
Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.
Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?
Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:
Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?
Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.
Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).
Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правилоназивається правилом множення:
Імовірності незалежних подій змінюються.
Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.
Ще приклади:
Відповіді:
Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.
приклад.
У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?
Рішення .
Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .
Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.
Цю ж можливість можна у вигляді: .
Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.
приклад.
Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?
Рішення .
Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.
Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:
Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).
Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:
Спробуй сам:
Рішення:
Ще приклад:
Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?
Рішення:
Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.
Незалежні події
Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.
Повна ймовірність
Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().
Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.
Правило множення ймовірностей незалежних подій
Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій
Несумісні події
Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.
Імовірності несумісних подій складаються.
Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Все на світі відбувається детерміновано чи випадково…
Арістотель
Теорія ймовірностей обчислює ймовірність різних подій. Основним теоретично ймовірностей є поняття випадкового події.
Наприклад, ви кидаєте монету, вона випадково падає на герб або решку. Наперед ви не знаєте, на який бік монета впаде. Ви укладаєте договір страхування, заздалегідь ви не знаєте, чи будуть проводитися виплати.
У актуарних розрахунках необхідно вміти оцінювати можливість різних подій, тому теорія ймовірностей грає ключову роль. Жодна область математики не може оперувати з ймовірностями подій.
Розглянемо докладніше підкидання монети. Є два взаємно виключають результати: випадання герба або випадання решки. Результат кидання є випадковим, оскільки спостерігач неспроможна проаналізувати і врахувати всі чинники, які впливають результат. Яка ймовірність випадання герба? Більшість відповість ½, але чому?
Нехай формально Аозначає випадання герба. Нехай монета кидається nразів. Тоді ймовірність події Аможна визначити як частку тих кидків, у яких випадає герб:
де nзагальна кількість кидків, n(A)кількість випадань герба.
Відношення (1) називається частотоюподії Ау довгій серії випробувань.
Виявляється, у різних серіях випробувань відповідна частота при великих nгрупується біля деякої постійної величини Р(А). Ця величина називається ймовірністю події Аі позначається буквою Р- Скорочення від англійського слова probability - ймовірність.
Формально маємо:
(2)
Цей закон називається законом великих чисел.
Якщо монета правильна (симетрична), то ймовірність випадання герба дорівнює ймовірності випадання решки і дорівнює ½.
Нехай Аі Удеякі події, наприклад, стався чи ні страховий випадок. Об'єднанням двох подій називається подія, яка полягає у виконанні події А, події У, або обох подій разом. Перетином двох подій Аі Уназивається подія, що полягає у здійсненні як події А, так і події У.
Основні правилаобчислення ймовірностей подій такі:
1. Імовірність будь-якої події укладена між нулем та одиницею:
2. Нехай А і У дві події, тоді:
Читається так:ймовірність об'єднання двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність перетину подій. Якщо події є несумісними або непересічними, то ймовірність об'єднання (суми) двох подій дорівнює сумі ймовірностей. Цей закон називається законом додавання ймовірностей.
Ми говоримо, що події є достовірними, якщо його ймовірність дорівнює 1. При аналізі тих чи інших явищ виникає питання, як впливає настання події Уна настання події А. Для цього вводиться умовна ймовірність :
(4)
Читається так:ймовірність настання Аза умови Удорівнює ймовірності перетину Аі У, поділеної на ймовірність події У.
У формулі (4) передбачається, що ймовірність події Убільше нуля.
Формулу (4) можна записати також у вигляді:
(5)
Це формула множення ймовірностей.
Умовну ймовірність називають також апостеріорної ймовірністю події А- ймовірність настання Апісля наступу У.
У цьому випадку саму ймовірність називають апріорний ймовірністю. Є ще кілька важливих формул, що інтенсивно використовуються в актуарних розрахунках.
Допустимо, що проводиться досвід, про умови якого можна заздалегідь зробити взаємноприпущення (гіпотези), що виключають один одного:
Ми припускаємо, що має місце або гіпотеза, або … або. Імовірності цих гіпотез відомі та рівні:
Тоді має місце формула повноїймовірності :
(6)
Ймовірність настання події Адорівнює сумі творів ймовірності наступу Апри кожній гіпотезі на ймовірність цієї гіпотези.
Формула Байєса
дозволяє перераховувати ймовірність гіпотез у світлі нової інформації, яку дав результат А.
Формула Байєса у певному сенсі є зворотною до формули повної ймовірності.
Розглянемо таке практичне завдання.
Припустимо, відбулася авіакатастрофа та експерти зайняті дослідженням її причин. Заздалегідь відомі 4 причини, через які сталася катастрофа: або причина, або , або , або . За наявною статистикою ці причини мають такі ймовірності:
Під час огляду місця катастрофи знайдено сліди займання пального, згідно зі статистикою ймовірність цієї події за тих чи інших причин така:
Питання: яка причина катастрофи найімовірніша?
Обчислимо ймовірність причин за умови настання події А.
Звідси видно, що найімовірнішою є перша причина, оскільки її ймовірність максимальна.
Розглянемо посадку літака на аеродром.
При посадці погодні умовиможуть бути такими: низька хмарність немає (), низька хмарність є (). У першому випадку ймовірність благополучної посадки дорівнює P1. У другому випадку - Р2. Зрозуміло, що P1>P2.
Прилади, що забезпечують сліпу посадку, мають можливість безвідмовної роботи Р. Якщо є низька хмарність та прилади сліпої посадки відмовили, ймовірність вдалого приземлення дорівнює Р3, причому Р3<Р2 . Відомо, що для даного аеродрому частка днів на рік з низькою хмарністю дорівнює .
Знайти можливість благополучної посадки літака.
Потрібно знайти ймовірність.
Є два взаємно виключні варіанти: прилади сліпої посадки діють, прилади сліпої посадки відмовили, тому маємо:
Звідси за формулою повної ймовірності:
Страхова компанія займається страхуванням життя. 10% застрахованих у цій компанії є курцями. Якщо застрахований не палить, ймовірність його смерті протягом року дорівнює 0.01. Якщо ж він курець, то ця ймовірність дорівнює 0.05.
Якою є частка курців серед тих застрахованих, які померли протягом року?
Варіанти відповідей: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36%, (Г) 56%, (Д) 90%.
Рішення
Введемо події:
Умова завдання означає, що
Крім того, оскільки події і утворюють повну групу попарно несумісних подій, то .
Імовірність, що цікавить нас, - це.
Використовуючи формулу Байєса, ми маємо:
тому вірним є варіант ( У).
Страхова компанія продає договори страхування життя трьох категорій: стандартні, привілейовані та ультрапривілейовані.
50% усіх застрахованих є стандартними, 40% - привілейованими та 10% - ультрапривілейованими.
Імовірність смерті протягом року для стандартного застрахованого дорівнює 0.010, для привілейованого – 0.005, а для ультра привілейованого – 0.001.
Чому дорівнює ймовірність того, що застрахований, що помер, є ультрапривілейованим?
Рішення
Введемо на розгляд такі події:
У термінах цих подій ймовірність, що цікавить нас, - це. За умовою:
Оскільки події , утворюють повну групу попарно несумісних подій, використовуючи формулу Байєса ми маємо:
Нехай деяка випадкова величина, наприклад, збитки від пожежі чи розмір страхових виплат.
Випадкова величина повністю характеризується своєю функцією розподілу.
Визначення.Функція 
називається функцією розподілу
випадкової величини ξ
.
Визначення.Якщо існує така функція, що для довільних a виконано
то кажуть, що випадкова величина ξ має густина розподілу ймовірності f(x).
Визначення.Нехай. Для безперервної функції розподілу F теоретичною α-квантиллюназивається рішення рівняння.
Таке рішення може бути не єдиним.
Квантиль рівня ½ називається теоретичною медіаною , квантили рівнів ¼ і ¾ -нижньою та верхньою квартилями відповідно.
В актуарних додатках важливу роль відіграє нерівність Чебишева:
за будь-якого
Математичне очікування символ.
Читається так:ймовірність того, що модуль більше менше або дорівнює математичному очікуванню величини модуль , поділеному на .
Невизначеність моменту смерті є основним фактором ризику страхування життя.
Щодо моменту смерті окремої людини не можна сказати нічого певного. Однак якщо ми маємо справу з великою однорідною групою людей і не цікавимося долею окремих людей цієї групи, то ми знаходимося в рамках теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, що володіють властивістю стійкості частот.
Відповідно, ми можемо говорити про тривалість життя як про випадкову величину Т.
Теоретично ймовірностей описують стохастичну природу будь-якої випадкової величини Тфункцією розподілу F(x),яка визначається як ймовірність того, що випадкова величина Тменше, ніж число x:
.
В актуарній математиці приємно працювати не з функцією розподілу, а з додатковою функцією розподілу 
.
Щодо тривалого життя - це ймовірність того, що людина доживе до віку xроків.
називається функцією виживання(survival function):
Функція виживання має такі властивості:
У таблицях тривалості життя зазвичай вважають, що існує певний граничний вік (limiting age) (як правило, років) і відповідно при x>.
При описі смертності аналітичними законами зазвичай вважають, що життя необмежено, проте підбирають вигляд і параметри законів те щоб ймовірність життя понад деякого віку була зневажливо мала.
Функція виживання має простий статистичний зміст.
Припустимо, що ми спостерігаємо за групою з новонароджених (як правило), яких ми спостерігаємо і можемо фіксувати моменти їхньої смерті.
Позначимо кількість живих представників цієї групи у віці через . Тоді:
.
Символ Eтут і нижче використовується для позначення математичного очікування.
Отже, функція виживання дорівнює середній частці новонароджених, що дожили до віку з деякої фіксованої групи.
В актуарної математики часто працюють не з функцією виживання, а з щойно введеною величиною (зафіксувавши початковий розмір групи).
Функція виживання може бути відновлена за щільністю:
З практичної точки зору важливі такі характеристики:
1 . Середнєчас життя
,
2
. Дисперсіячасу життя
,
де 
,
Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.
Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі відрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один із них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?
Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цю кулю з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.
Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А сталася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25
Порахуємо для тієї ж задачі можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75
Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді у повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або поділу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися – неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо вважати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)
Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.
Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.
приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?
Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора одного з усіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Отже, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4
Жеребкування тут є встановленням випадкової відповідності між людьми і впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):
приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.
Кількість елементарних результатів – кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на це місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5
Трохи відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо творчіші. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.
Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.
приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання решки?
Виходів 2 – орел чи решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.
Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо під час підкидання двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – вперше орел, вдруге решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Імовірність: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25
Яка ймовірність того, що із двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5
У таких завданнях може стати в нагоді ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидання результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидання 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .
Так, можна знайти можливість випадання 5 решок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Імовірність: 1/32 = 0,03125
Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.
Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?
Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливих: 3 результати. (2, 4, 6)
Імовірність: 3/6 = 0,5
Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)
Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08
Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із таких статей «Як вирішувати».
Навряд чи багато людей замислюються, чи можна прорахувати події, які тією чи іншою мірою випадкові. Висловлюючись простими словами, чи реально дізнатися, яка сторона кубика випаде наступного разу. Саме цим питанням задалися два великих вчених, які започаткували таку науку, як теорія ймовірності, ймовірність події в якій вивчається досить широко.
Якщо спробувати дати визначення такому поняттю, як теорія ймовірності, то вийде таке: це з розділів математики, який займається вивченням сталості випадкових подій. Ясна річ, це поняття до ладу не розкриває всю суть, тому необхідно розглянути її детальніше.
Хотілося б розпочати із творців теорії. Як було вище згадано, їх було двоє, і саме вони одні з перших спробували з використанням формул і математичних обчислень прорахувати результат тієї чи іншої події. Загалом же зачатки цієї науки виявлялися ще в середньовіччі. На той час різні мислителі та вчені намагалися проаналізувати азартні ігри, такі як рулетка, кістки тощо, тим самим встановити закономірність та відсоткове співвідношення випадання того чи іншого числа. Фундамент був закладений у сімнадцятому столітті саме вищезгаданими вченими.
Спочатку їх праці не можна було віднести до великих досягнень у цій галузі, адже все, що вони зробили, це були емпіричні факти, а досліди ставилися наочно, без використання формул. Згодом вдалося досягти великих результатів, які з'явилися внаслідок спостереження за киданням кісток. Саме цей інструмент допоміг вивести перші виразні формули.
Не можна не згадати про таку людину, як Християн Гюйгенс, у процесі вивчення теми, що зветься "теорія ймовірності" (ймовірність події висвітлюється саме в цій науці). Ця особа дуже цікава. Він, як і представлені вище вчені, намагався як математичних формул вивести закономірність випадкових подій. Примітно, що робив він це разом із Паскалем і Ферма, тобто всі його праці не перетиналися з цими умами. Гюйгенс вивів
Цікавим є той факт, що його робота вийшла задовго до результатів праць першовідкривачів, а точніше, на двадцять років раніше. Серед позначених понять найвідомішою стали:
Також не можна не згадати який теж зробив вагомий внесок у вивченні проблеми. Проводячи свої ні від кого не залежать випробування, він зумів надати доказ закону великих чисел. У свою чергу вчені Пуассон і Лаплас, які працювали на початку дев'ятнадцятого століття, змогли довести початкові теореми. Саме з цього моменту для аналізу помилок під час спостережень почали використовувати теорію ймовірностей. Стороною обійти цю науку не змогли і російські вчені, а точніше Марков, Чебишев та Дяпунов. Вони, виходячи з виконаної роботи великих геніїв, закріпили цей предмет як розділ математики. Працювали ці діячі вже наприкінці дев'ятнадцятого століття, і завдяки їхньому внеску були доведені такі явища, як:
Отже, з історією зародження науки та з основними персонами, що вплинули на неї, все більш-менш зрозуміло. Зараз настав час конкретизувати всі факти.
Перед тим як торкатися законів та теорем, варто вивчити основні поняття теорії ймовірностей. Подія у ній займає чільну роль. Ця тема досить об'ємна, але без неї не вдасться розібратися в усьому іншому.
Подія теоретично ймовірності - це будь-яка сукупність результатів проведеного досвіду. Понять цього явища існує так мало. Так, учений Лотман, який працює в цій галузі, висловився, що в цьому випадку йдеться про те, що «відбулося, хоча могло й не статися».
Випадкові події (теорія ймовірності приділяє їм особливу увагу) - це поняття, яке передбачає абсолютно будь-яке явище, що може статися. Або ж, навпаки, цей сценарій може не статися при виконанні багатьох умов. Також варто знати, що захоплюють весь обсяг явищ, що відбулися, саме випадкові події. Теорія ймовірності свідчить, що це умови можуть повторюватися постійно. Саме їх проведення отримало назву "досвід" або "випробування".
Достовірна подія - це те явище, яке в цьому випробуванні повністю відбудеться. Відповідно, неможлива подія – це та, яка не станеться.
Поєднання пари дій (умовно випадок A та випадок B) є явище, яке відбувається одночасно. Вони позначаються як AB.
Сума пар подій А і В - це С, тобто, якщо хоча б одне з них відбудеться (А або В), то вийде С. Формула описуваного явища записується так: С = А + В.
Несумісні події теорії ймовірності мають на увазі, що два випадки взаємно виключають один одного. Одночасно вони в жодному разі не можуть статися. Спільні події теорії ймовірності - це їх антипод. Тут мається на увазі, що й сталося А, воно ніяк не перешкоджає У.
Протилежні події (теорія ймовірності розглядає їх дуже докладно) прості розуміння. Найкраще розібратися з ними порівняно. Вони майже такі самі, як і несумісні події теорії ймовірності. Але їхня відмінність полягає в тому, що одне з безлічі явищ у будь-якому випадку має відбутися.
Рівноможливі події - це дії, можливість повторення яких дорівнює. Щоб було зрозуміліше, можна уявити кидання монети: випадання однієї з її сторін рівноймовірне випадання іншої.
Сприятливу подію легше розглянути з прикладу. Припустимо, є епізод і епізод А. Перше - це кидок грального кубика з появою непарного числа, а друге - поява числа п'ять на кубику. Тоді виходить, що А сприяє В.
Незалежні події в теорії ймовірності проектуються лише на два і більше випадків і мають на увазі незалежність будь-якої дії від іншого. Наприклад, А – випадання решки при киданні монети, а В – діставання валета з колоди. Вони і є незалежними подіями в теорії ймовірності. Із цим моментом стало зрозуміліше.
Залежні події теорії ймовірності також припустимі лише їх безлічі. Вони мають на увазі залежність одного від іншого, тобто явище може статися тільки в тому випадку, якщо А вже сталося або ж, навпаки, не сталося, коли це - головна умова для Ст.
Результат випадкового експерименту, що з одного компонента, - це елементарні події. Теорія ймовірності пояснює, що це таке явище, яке відбулося лише один раз.
Отже, вище було розглянуто поняття " подія " , " теорія ймовірності " , визначення основним термінам цієї науки також було дано. Зараз настав час ознайомитися безпосередньо з важливими формулами. Ці висловлювання математично підтверджують все основні поняття у такому складному предметі, як теорія ймовірності. Імовірність події тут грає величезну роль.
Почати краще з основних І перед тим, як приступити до них, варто розглянути, що це таке.
Комбінаторика - це насамперед розділ математики, займається вивченням величезної кількості цілих чисел, і навіть різних перестановок як самих чисел, і їх елементів, різних даних, і т. п., які ведуть появу низки комбінацій. Окрім теорії ймовірності, ця галузь важлива для статистики, комп'ютерної науки та криптографії.
Отже, тепер можна переходити до подання самих формул та їх визначення.
Першою буде вираз для числа перестановок, виглядає воно так:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Застосовується рівняння лише тому випадку, якщо елементи відрізняються лише порядком розташування.
Тепер буде розглянуто формулу розміщення, виглядає вона так:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Це вираз застосовно вже не тільки до порядку розміщення елемента, але і до його складу.
Третє рівняння з комбінаторики, і воно останнє, називається формулою для числа поєднань:
C_n^m = n! : ((n - m))! : m!
Поєднанням називаються вибірки, які не впорядковані відповідно до них і застосовується дане правило.
З формулами комбінаторики вдалося розібратися легко, тепер можна перейти до класичного визначення ймовірностей. Виглядає цей вираз наступним чином:
У цій формулі m - це кількість умов, що сприяють події A, а n - число всіх рівноможливих і простих результатів.
Існує велика кількість висловів, у статті не будуть розглянуті всі, але будуть порушені найважливіші з них такі, як, наприклад, ймовірність суми подій:
P(A + B) = P(A) + P(B) - ця теорема для складання лише несумісних подій;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а це для складання тільки сумісних.
Імовірність твору подій:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ця теорема для незалежних подій;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а ця для залежних.
Закінчить перелік формула подій. Теорія ймовірностей розповідає нам про теорему Баєса, яка виглядає так:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
У цій формулі H 1 , H 2 ..., H n - це повна група гіпотез.
Якщо ретельно вивчити будь-який розділ математики, він не обходиться без вправ і зразків рішень. Так і теорія ймовірності: події, приклади тут є невід'ємним компонентом, який підтверджує наукові викладення.
Припустимо, у картковій колоді є тридцять карток, починаючи з номіналу один. Далі питання. Скільки є способів скласти колоду так, щоб карти з номіналом один і два не були розташовані поряд?
Завдання поставлене, тепер давайте перейдемо до його вирішення. Для початку потрібно визначити число перестановок із тридцяти елементів, для цього беремо подану вище формулу, виходить P_30 = 30!.
Виходячи з цього правила, ми дізнаємося, скільки є варіантів скласти колоду по-різному, але нам необхідно відняти з них ті, в яких перша та друга карта будуть поруч. Для цього почнемо з варіанта коли перша знаходиться над другою. Виходить, що перша карта може зайняти двадцять дев'ять місць - з першого по двадцять дев'яте, а друга карта з другого по тридцяте, виходить лише двадцять дев'ять місць для пари карт. У свою чергу решта може приймати двадцять вісім місць, причому в довільному порядку. Тобто для перестановки двадцяти восьми карток є двадцять вісім варіантів P_28 = 28!
У результаті виходить, що якщо розглядати рішення, коли перша карта знаходиться над другою, зайвих можливостей вийде 29⋅28! = 29!
Використовуючи той самий метод, потрібно обчислити кількість надлишкових варіантів у тому випадку, коли перша карта перебуває під другий. Виходить також 29 ⋅ 28! = 29!
З цього випливає, що зайвих варіантів 2 ⋅ 29!, тоді як необхідних способів збирання колоди 30! - 2 ⋅ 29!. Залишається тільки порахувати.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Тепер потрібно перемножувати між собою всі числа від одного до двадцяти дев'яти, після чого наприкінці помножити всі на 28. Відповідь виходить 2,4757335 ⋅〖10〗^32
У цій задачі необхідно з'ясувати, скільки є способів, щоб поставити п'ятнадцять томів на одній полиці, але за умови, що всього томів тридцять.
У цьому завдання рішення трохи простіше, ніж у попередній. Використовуючи вже відому формулу, необхідно обчислити сумарну кількість розташувань із тридцяти томів по п'ятнадцять.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720 36
Відповідь, відповідно, дорівнюватиме 202 843 204 931 727 360 000.
Тепер візьмемо завдання трохи важче. Необхідно дізнатися, скільки є способів розставити тридцять книг на двох книжкових полицях, за умови, що на одній полиці можуть бути лише п'ятнадцять томів.
Перед початком рішення хотілося б уточнити, що деякі завдання вирішуються кількома шляхами, так і в цьому є два способи, але в обох застосовано одну й ту саму формулу.
У цьому завдання можна взяти відповідь із попередньої, адже там ми вирахували, скільки разів можна заповнити полицю на п'ятнадцять книг по-різному. Вийшло A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Другу ж полицю розрахуємо за формулою перестановки, адже до неї міститься п'ятнадцять книг, тоді як всього залишається п'ятнадцять. Використовуємо формулу P_15 = 15!
Виходить, що в сумі буде A_30^15 ⋅ P_15 способів, але, крім цього, добуток усіх чисел від тридцяти до шістнадцяти треба буде помножити на добуток чисел від одного до п'ятнадцяти, в результаті вийде добуток всіх чисел від одного до тридцяти, тобто відповідь дорівнює 30!
Але це завдання можна вирішити і по-іншому – простіше. Для цього можна припустити, що є одна полиця на тридцять книг. Всі вони розставлені на цій площині, але так як умова вимагає, щоб полиць було дві, то одну довгу пиляємо навпіл, виходить дві по п'ятнадцять. З цього виходить що варіантів розміщення може бути P_30 = 30!.
Наразі буде розглянуто варіант третього завдання з комбінаторики. Потрібно дізнатися, скільки способів є, щоб розставити п'ятнадцять книг за умови, що вибирати потрібно з тридцяти абсолютно однакових.
Для вирішення буде, звичайно ж, застосовано формулу для числа поєднань. З умови стає зрозумілим, що порядок однакових п'ятнадцяти книг не має значення. Тому спочатку потрібно з'ясувати загальну кількість поєднань із тридцяти книг по п'ятнадцять.
C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520
От і все. Використовуючи цю формулу, у найкоротший час вдалося вирішити таке завдання, відповідь, відповідно, дорівнює 155117520.
За допомогою формули, зазначеної вище, можна знайти відповідь у нескладному завданні. Але це допоможе наочно побачити та простежити хід дій.
У задачі дано, що в урні є десять абсолютно однакових кульок. З них чотири жовті та шість синіх. З урни береться одна кулька. Необхідно дізнатися ймовірність діставання синього.
Для вирішення завдання необхідно позначити діставання синьої кульки подією А. Даний досвід може мати десять результатів, які, у свою чергу, елементарні та рівноможливі. У той же час з десяти шість є сприятливими для події А. Вирішуємо за формулою:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Застосувавши цю формулу, ми дізналися, що можливість діставання синьої кульки дорівнює 0,6.
Наразі буде представлений варіант, який вирішується з використанням формули ймовірності суми подій. Отже, в умові дано, що є дві скриньки, в першій знаходиться одна сіра і п'ять білих кульок, а в другій - вісім сірих і чотири білі кулі. У результаті з першого та другого короба взяли по одному з них. Необхідно дізнатися, який шанс того, що кульки, що дістаються, будуть сірого і білого кольору.
Щоб вирішити це завдання, необхідно позначити події.
За умовою завдання необхідно, щоб трапилося одне з явищ: АВ або А'В. Використовуючи формулу, отримуємо: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Наразі була використана формула з множення ймовірності. Далі, щоб дізнатися відповідь, необхідно застосувати рівняння їхнього складання:
P = P(AB"+A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Ось так, використовуючи формулу, можна вирішувати такі завдання.
У статті було представлено інформацію на тему " Теорія ймовірності " , ймовірність події у якій грає найважливішу роль. Звичайно ж, не все було враховано, але виходячи з представленого тексту, можна теоретично ознайомитися з даним розділом математики. Розглянута наука може стати в нагоді у професійному справі, а й у повсякденному житті. З її допомогою можна прорахувати будь-яку можливість будь-якої події.
У тексті торкнулися також знаменні дати історія становлення теорії ймовірності як науки, і прізвища людей, чиї праці було у неї вкладено. Отак людська цікавість призвела до того, що люди навчилися прораховувати навіть випадкові події. Колись вони просто зацікавилися цим, а сьогодні про це вже знають усі. І ніхто не скаже, що чекає нас у майбутньому, які ще геніальні відкриття, пов'язані з аналізованою теорією, будуть здійснені. Але одне можна сказати точно – дослідження на місці не стоять!
Зрозуміло, що кожна подія має той чи інший рівень можливості свого наступу (своєї реалізації). Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певну кількість, яка тим більша, чим можливіша подія. Таке число називається ймовірністю події.
Ймовірність події– є чисельний захід ступеня об'єктивної можливості настання цієї події.
Розглянемо стохастичний експеримент і випадкову подію А, що спостерігається у цьому експерименті. Повторимо цей експеримент n разів і нехай m(A) – кількість експериментів, у яких подія відбулася.
Відношення (1.1)
називається відносною частотоюподії А у проведеній серії експериментів.
Легко переконатися у справедливості властивостей:
якщо А та В несумісні (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)
Відносна частота визначається лише після проведення серії експериментів і, взагалі кажучи, може змінюватись від серії до серії. Однак досвід показує, що у багатьох випадках зі збільшенням кількості дослідів відносна частота наближається до деякого числа. Цей факт стійкості відносної частоти неодноразово перевірявся і можна вважати експериментально встановленим.
приклад 1.19.. Якщо кинути одну монету, ніхто не зможе передбачити, якою стороною вона впаде вгору. Але якщо кинути дві тонни монет, кожен скаже, що приблизно одна тонна впаде догори гербом, тобто відносна частота випадання герба приблизно дорівнює 0,5.
Якщо зі збільшенням числа дослідів відносна частота події ν(А) прагне деякому фіксованому числу, то кажуть, що подія А статистично стійка, а це число називають ймовірністю події А.
Ймовірністю події Аназивається деяке фіксоване число Р(А), якого прагне відносна частота ν(А) цієї події при збільшенні числа дослідів, тобто, 
Це визначення називають статистичним визначенням ймовірності .
Розглянемо якийсь стохастичний експеримент і нехай простір його елементарних подій складається з кінцевої або нескінченної (але лічильної) множини елементарних подій ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . припустимо, що кожній елементарній події ω i прописано деяке число - р i , що характеризує ступінь можливості появи даної елементарної події і задовольняє наступним властивостям:
Таке число p i називається ймовірністю елементарної подіїω i.
Нехай тепер А-випадкова подія, що спостерігається в цьому досвіді, і йому відповідає деяка безліч
У такій постановці ймовірністю події А називають суму ймовірностей елементарних подій, що сприяють А(що входять до відповідної множини А):
(1.4)
Введена таким чином ймовірність має ті ж властивості, що і відносна частота, а саме:
І якщо АВ = (А і В несумісні),
то P(A+B) = P(A) + P(B)
Дійсно, згідно (1.4)
В останньому співвідношенні ми скористалися тим, що жодна елементарна подія не може сприяти одночасно двом несумісним подіям.
Особливо відзначимо, що теорія ймовірностей не вказує способів визначення р i їх треба шукати з міркувань практичного характеру або отримувати з відповідного статистичного експерименту.
Як приклад розглянемо класичну схему теорії ймовірностей. І тому розглянемо стохастичний експеримент, простір елементарних подій якого складається з кінцевого (n) числа елементів. Припустимо додатково, що це елементарні події рівноможливі, тобто ймовірності елементарних подій рівні p(ω i)=p i =p. Звідси слідує що
Приклад 1.20. При киданні симетричної монети випадання герба та «решки» рівноможливі, їх ймовірності дорівнюють 0,5.
Приклад 1.21. При киданні симетричного кубика всі межі рівноможливі, їх ймовірності дорівнюють 1/6.
Нехай тепер події А сприяє m елементарних подій, їх зазвичай називають результатами, що сприяють події А. Тоді
Отримали класичне визначення ймовірності: ймовірність Р(А) події А дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події А, до загального числа наслідків
Приклад 1.22. У урні лежить m білих куль і n чорних. Чому дорівнює можливість витягнути білу кулю?
Рішення. Усього елементарних подій m+n. Вони все рівноймовірні. Сприятливих для події А з них m. Отже, 
.
З визначення ймовірності випливають такі властивості:
Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку т=п,отже,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Властивість 2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.
Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприятиме події. В цьому випадку т= 0, отже, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Властивість 3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.
Справді, випадковому події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів испытания. Тобто, 0≤m≤n, отже, 0≤m/n≤1, отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Порівнюючи визначення ймовірності (1.5) та відносної частоти (1.1), укладаємо: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилисьв дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування були здійснені фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту після досвіду.
Однак, обчислення ймовірності вимагає наявності попередньої інформації про кількість або ймовірності елементарних результатів, що сприяють даній події. У разі відсутності такої попередньої інформації визначення ймовірності вдаються до емпіричних даних, тобто, за результатами стохастичного експерименту визначають відносну частоту події.
Приклад 1.23. Відділ технічного контролю виявив 3нестандартні деталі в партії з 80 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей r (А)= 3/80.
Приклад 1.24. З мети. 24 пострілу, причому було зареєстровано 19 влучень. Відносна частота ураження цілі. r (А)=19/24.
Тривалі спостереження показали, що й у однакових умов виробляють досліди, у кожному у тому числі число випробувань досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що у різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, що більше проведено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа.Виявилося, що це постійне число можна сприйняти як наближене значення ймовірності.
Докладніше і точніше зв'язок між відносною частотою та ймовірністю буде викладено далі. Тепер проілюструємо властивість стійкості на прикладах.
Приклад 1.25. За даними шведської статистики, відносна частота народження дівчаток за 1935 р. по місяцях характеризується такими числами (числа розташовані в порядку прямування місяців, починаючи з Січня): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Відносна частота коливається близько числа 0,481, яке можна сприйняти за наближене значення ймовірності народження дівчаток.
Зауважимо, що статистичні дані різних країн дають приблизно те значення відносної частоти.
приклад 1.26.Багаторазово проводилися досліди кидання монети, у яких підраховували появу «герба». Результати кількох дослідів наведені у таблиці.
