Сходи. Вхідна група. Матеріали. Двері. Замки. Дизайн

Звичайними диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, які містять одну або кілька похідних від шуканої функції y=y(x)

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0 де x-незалежна змінна.

Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка після її підстановки на рівняння перетворює його на торжество.

Деякі методи вирішення відомі за курсом диференціальних рівнянь. Для ряду рівнянь першого порядку (з роздільними змінними однорідними, лінійними та ін) вдається отримати рішення у вигляді формул шляхом аналітичних перетворень.

Найчастіше на вирішення диференціальних рівнянь використовуються наближені методи, які можна розділити на дві группы:

1) аналітичні методи, що дають рішення у вигляді аналітичного виразу;

2) численні методи, що дають наближене рішення у вигляді таблиці.

Розглянемо перелічені методи у вигляді таких прикладів.

8.1 Метод послідовного диференціювання.

Розглянемо рівняння:

з початковими умовами , де - Задані числа.

Припустимо, що шукане рішення y=f(x) може бути вирішене в ряд Тейлора за ступенями різниці (x-x 0):

2 n +….

Початкові умови (8.2) дають значення y (k) (x 0) при k=0,1,2,...,(n-1). Значення y (n) (x 0) знайдемо з рівняння (8.1), підставляючи (x-x 0) та використовуючи початкові умови (8.2):

y(n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Значення y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... послідовно визначаються диференціюванням рівняння (8.1) та підстановкою x=x 0 , y (k) (x 0)=y 0k (K - 0,1,2).

ПРИКЛАД:Знайти перші сім членів розкладання в степеневий ряд розв'язків y=y(x) рівняння y "" +0,1(y ") 2 +(1+0,1x)y=0 з початковими умовами y(0)=1; (0) = 2.

РІШЕННЯ:Розв'язання рівняння шукаємо у вигляді ряду:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

З початкових умов маємо y(0)=1, y "(0)=2. Для визначення y""(0) дозволимо дане рівняння щодо y"":

y""(0)= – 0,1(y ") 2 – (1+0,1x)y (8.3)

Використовуючи початкові умови, отримаємо

y""(0) = -0,1 * 4 - 1 * 1 = -1,4

Диференціюючи по x ліву та праву частини рівняння (8.3)

y"""= – 0,2y"y"" – 0,1(xy"+y) – y",

y(4) = – 0,2(y"y""+y"" 2) – 0,1(xy""+2y") – y"",

y(5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y"") – 0,1(xy""+3y"") – y"",

y(6) = – 0,2(y"y(5) +4y""y(4) +3y"" 2) – 0,1(xy(4) +4y""" – y(4) )

Підставляючи початкові умови та значення y""(0), знаходимо y"""(0)= - 1,54;

y (4) (0) = - 1,224; y (5) (0) = 0,1768; y (6) (0) = - 0,7308. Таким чином, наближене рішення, що шукається, запишеться у вигляді: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6 .

8.2 Метод ейлера

Найпростішими з чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь є метод Ейлера, який заснований на заміні функції багаточленом першого ступеня, тобто шуканої функції. лінійною екстраполяцією. Йдеться про знаходження значень функції у сусідніх точках аргументу x між ними.

Виберемо крок h малим, щоб всім x між x 0 і x 1 =x 0 +h значення функції y мало відрізнялося від лінійної функції. Тоді на вказаному інтервалі y = y 0 + (x - x 0) y" = y 0 + (x -

Продовжуючи таким самим способом визначати значення функції, переконуємося, що метод Ейлера представляється у вигляді послідовного виконання формул:

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

ПРИКЛАД

Розв'яжемо методом Ейлера рівняння y" = x - y з початковою умовою х 0 = 0, у 0 = 0 на відрізку з кроком h = 0,1.

Обчислення наведено у таблиці.

Перший рядок у стовпцях 1 та 2 заповнений за початковими даними. Потім обчислюється у" за заданим рівнянням (у стовпці 4), потім ∆y = y"h – у стовпці (4).

Стовпець (5) містить таблицю значень точного розв'язання заданого рівняння.

УТОЧНЕНИЙ МЕТОД ЕЙЛЕРА

При тому ж обсязі обчислювальної роботи дає більше високу точність.

Раніше ми вважали підінтегральну функцію постійної, яка дорівнює її значенню f(x k ,y k) на лівому кінці ділянки. Більш точне значення вийде якщо вважати f(x,y(x)) рівною значенню в центрі ділянки. Для цього треба брати подвійну ділянку (x k-1, x k+1), замінивши формулу

y k+1 = y k + ∆y k на y k+1 = y k-1 +2hy" k (8.5)

Ця формула висловлює уточнений метод Ейлера. Але в цьому випадку треба дотримуватись наступної послідовності дій:

Теорема.

Дано:

Якщо права частина ДУ, тобто. функція , є аналітичною функцією своїх аргументів в деякій околиці точки , то при значеннях , досить близьких до , існує єдине рішення задачі Коші, яке може бути представлене у вигляді статечного ряду (ряду Тейлора).

Розглянемо наведене вище завдання Коші. Шукатимемо розв'язання задачі Коші для ДУ n-го порядку у вигляді ряду Тейлора за ступенями в околиці точки.

Коефіцієнти низки є похідні функції, обчислені у точці.

Знайдемо їх:

1) З початкових умов визначимо перші n коефіцієнтів розкладання:

;

2) Значення (n+1)-го коефіцієнта визначимо, підставивши в ДУ значення:

3) Для знаходження всіх наступних коефіцієнтів будемо послідовно диференціювати ліву і праву частину вихідного ДК і обчислювати значення коефіцієнтів, використовуючи початкові умови та всі вже отримані коефіцієнти.

Зауваження.Якщо виконуються умови теореми існування та єдиності рішення, то часткова сума отриманого ряду Тейлора буде наближеним рішенням поставленого завдання Коші.

Алгоритм методу послідовного диференціювання

1. Записати рішення y(x) у вигляді нескінченного статечного ряду за ступенями:

, де

2. Визначити значення перших n коефіцієнтів (тут n – порядок вихідного рівняння), скориставшись початковими умовами.

3. Виразити з ДК старшу похідну. Обчислити її значення у початковій точці, використовуючи початкові умови. Обчислити коефіцієнт.

4. Продиференціювавши х вираз для старшої похідної з п. 3 знайти n + 1 похідну функції . Обчислити її значення у початковій точці, використовуючи початкові умови та значення старшої похідної, обчислене у п. 3. Обчислити коефіцієнт .

5. Інші коефіцієнти обчислюються аналогічно до процедури, описаної в п. 4.

Якщо ур-ня має вигляд Маємо різн-ня в ряд Тейлора Досліджуємо збіжність отриманого ряду, в який підставляємо початкові умови. Ряди можна використовувати для вирішення рівнянь алгебри. Вида. Розв'язання таких рівнянь здійснено методом неопред коеф і після диференціюванням.

51. Періодичні функції. Тригонометричні. Визначення коефіцієнтів методом Ейлера-Фур'є.

Періодична функція з періодом 2П, що задовольняє інтервалі (-П, П) умовам Дирихле, може бути представлена ​​поруч Фур'є:

Коефіцієнти якого перебувають за формулами

У точках безперервності функції f(x) ряд Фур'є сходиться до f(), а точках розриву - до . Розкладання в ряд Фур'є періодичної функції f(x) з періодом 2l має вигляд де

53 Ортогональні системи функцій. Ряд Фур'є за довільною ортогональною системою функцій.Визначення 1. Нескінченна система функцій f 1 (x), f 2 (x). x)dx=0(2) При цьому передбачається, що dx≠0 Нехай функція ϕ(x) , визначена на відрізку [а, b], така, що вона представляється поруч за функціями ортогональної системи (1), що сходить до даної функції [а, b]: f(x)= (x) (6). Визначимо коефіцієнти з п. Припустимо, що ряд, отриманий після множення ряду (6) на будь-яку k (х), допускає почленное інтегрування. Помножимо обидві частини рівності (6) на k (x) і проінтегруємо в межах від а до b. Враховуючи рівність (2), отримаємо (x)ϕ k (x)dx=c k звідки (7) Коефіцієнти з до, обчислені за формулами (7), називаються 5 коефіцієнтами Фур'є функції f (х) за системою ортогональних функцій (1). Ряд (6) називається поруч Фур'є за системою функцій (1).

54. Умови Діріхле. Достатня умова представлення функції ряд Фур'є.Функція f(x) визначена і безперервна в деякій області значень х, називається не меншою (не зростаючою) якщо з умови х 2 > x 1; f(x 2)≥f(x 1) -не спадна f(x 2)≤f(x 1)- не зростаюча Функція f(x) називається шматково монотонною на відрізку якщо цей відрізок можна розбити на кінцеве числом точок х 1 , х 2 , х 3 ..... х n -1 на інтервали так що на кожному з інтервалів функція монотонна, тобто не убуває, або не зростає,з цього випливає що якщо функція f(x) кусково монотонна і обмежена на відрізки то вона може мати точки розриву 1 роду. х = с = f (c-0) = f (c + 0); f (c-0) f (c + 0). Т.Діріхле. проміжку х [-π;π], то ряд Фур'є побудований на цій функції сходиться у всіх точках сума отриманого ряду S(х) дорівнює значенню f(x) у точках безперервності цієї функції, у точках розриву функції f(x) сума ряду дорівнює середньому арифмітичному приділу функції f(x) праворуч і ліворуч. S(c)=(f(c-0)+f(c+0))/2.

55.Розкладання парних/непарних функцій у ряд Фур'є.

З визначення парної та не парної функціїслід, якщо ψ(х)-парна функція, то дійсно

Оскільки визначення парної функції ψ(-х)= ψ(х).

Аналогічно можна довести, що якщо φ(х)-непарна функція то Якщо ряд Фур'є розкладається непарна функція f(x), то твір f(x)cos(kx) є функція також непарна, а f(x)sin(kx) -парна; отже тобто ряд Фур'є непарної функції містить “тільки синуси”

Якщо ряд Фур'є розкладається парна функція, то твір f(x)sin(kx) є функція непарна, а f(x)cos(kx)-парна, отже

Тобто ряд Фур'є парної функції містить "тільки косинуси" Отримані формули дозволяють спрощувати обчислення при розшуканні коефіцієнтів Фур'є в тих випадках, коли задана функціяє парною чи непарною. Очевидно, що не всяка періодична функція є парною чи непарною.

ВІДОМОСТІ

ТОМСЬКОГО ОРДЕНУ Жовтневої революції та ОРДЕНУ ТРУДОВОГО ЧЕРВОНОГО ЗНАМУ ПОЛІТЕХНІЧНОГО ІНСТИТУТУ імені С. М. КИРОВА

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ НАСЛІДНОГО

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ПРИ РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ЕЛЕКТРОМАШИННИХ ДЖЕРЕЛОВ

Імпульсів

А. В. ЛООС

(Представлена ​​науковим семінаром кафедр електричних машинта загальної електротехніки)

Перехідні процеси електромашинних джерел імпульсів, наприклад, однофазних ударних генераторів, вентильних імпульсних генераторів та ін описуються системами диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами, звільнитися від яких неможливо шляхом будь-яких перетворень. Дослідження перехідних процесів електричних машин у загальному випадку несиметрії ґрунтуються на використанні принципу сталості потокосчеплення, застосуванні інтегральних рівнянь, наближених методах розв'язання іт. д. .

У деяких випадках рівняння перехідних процесів електромашинних імпульсних джереленергії вдається призвести до рівнянь з постійними коефіцієнтами, проте необхідність розгляду випадку двох і більше систем обмоток на роторі вимагає розв'язання кубічного рівняння або характеристичних рівнянь вищих ступенів з комплексними коефіцієнтами, що в формі алгебри неможливо. Необхідність обліку насичення магнітного ланцюга та зміни швидкості обертання ротора ще більшою мірою ускладнює вирішення подібних завдань. У цих випадках найбільш прийнятним є застосування аналітичних методівнаближеного рішення.

Серед аналітичних способів наближеного інтегрування систем диференціальних рівнянь дуже поширеним є інтегрування за допомогою статечних рядів методом послідовного диференціювання. Цей методзастосуємо як для розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними та змінними коефіцієнтами, так і при вирішенні нелінійних завдань. Шукане приватне рішення представляється як розкладання до ряду Тейлора. Ефективність застосування методу сильно залежить від уміння дослідника використовувати апріорну інформацію про фізичної природирозв'язуваної задачі.

Дійсно, якщо скласти систему диференціальних рівнянь електромашинного джерела імпульсів, приймаючи за невідомі функції струму, то заздалегідь відомо, що рішення будуть представляти функції, що швидко коливаються. Очевидно, що для їх подання у вигляді ряду Тейлора знадобиться велика кількість членів, тобто рішення буде надзвичайно громіздким. Диференціальні рівняння перехідних процесів вигідніше становити задля струмів, а потоко-сцеплений. Це обумовлено тим, що потокозчеплення обмоток змінюється.

юте в часі значно менше, оскільки є, як правило, монотонно змінюваними функціями, для досить точного уявлення яких у вигляді розкладання в ряд Тейлора потрібно лише кілька членів. Після визначення потокосцеплений струми знаходять шляхом вирішення звичайних рівнянь алгебри.

Як приклад розглянемо використання методу послідовного диференціювання до розрахунку перехідних процесів вентильного імпульсного генератора.

Розрахунок струму навантаження вентильного генератора мож,але проводити за кривою, що обгинає, фазних струмів, отриманих при раптовому включенні синхронного генераторана симетричне трифазне активне навантаження. Розмір еквівалентної симетричної активної навантаження визначається співвідношенням R3 - 2/sRh . Таким чином, для розрахунку кривої струму навантаження та фазних струмів необхідне рішення повної системи диференціальних рівнянь синхронного генератора при включенні на активну симетричну навантаження.

При визначенні струму якоря зовнішній активний опір можна скласти з активним опір статора r = R3+rc. Рівняння перехідних процесів синхронного генератора в осях d, q мають вигляд:

pYd = - Ud - (ü^q -rld, (1)

р - - Uq + з W6 riq , (2)

P^f = Uf - rfif , (3)

P^Dd - - rodiDcb (4)

PXVD:( = - rDq ioq , (5)

XfXDd - Х2аг| m Xad(XDd-XaH) Тф. xad (Xj - Хпн) ш

Д "д ri" д Tßd 9

,* _ x°q w „ xaq /7)

q ~ "Ä7™ q q "

XdXDd ~~ x"ad іг xad (xDd "~"xad) m Xad(xd Xad) -ЦГ f ^ -Д- 1 ~~ "-~Д- d "---- d" * "

XdXf X2ad угу xad (xf ~ ~ xari) m xad (xd ~ xad) w /n \ iDd = -~д-^ Dd--Д- Td --д--M» w)

Д - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad(xd + xr -f X [) d), (11)

A" = XqXDq - X2aq. (12)

Аналітичне рішення системи рівнянь (1-^12) загальному виглядіВідсутнє. Спроба отримання розрахункових співвідношень для струмів синхронного генератора за наявності активних опорів ланцюга статора була зроблена . Однак автором була зроблена помилка, фізично пов'язана з неприпустимістю припущення сталості потокосцеплений по поздовжній і поперечній осях в машині, що обертається, за наявності активного опору в ланцюгу статора. На цю помилку вказувалося в , де було отримано точне рішення для випадку однієї системи обмоток на роторі і показана неможливість застосування звичайних методів рішення при розгляді двох і більше обмоток на роторі. Тому цей приклад має значний інтерес.

Підставляючи (6-10) в (1-5) і враховуючи, що Ud = Uq=:0, отримуємо рівняння перехідних процесів, записаних щодо потокосцеплений в нормальному вигляді Кош і:

[(х(х1)с1 - х.^Ч^ - ха(1(х0(1 - х^Ч^_)

3 д7~ (хОо(Ч^ х,1(] Ч^)

Р ^ = Ьтг - ^ [(хс] х0с1 - х2аа) Ч * (- Ха (1 (ХО (1 - ха)<1№

Ха<1 (хс! - Х^Ч^] ,

Р =--- Х2а(1)¥141 - хай(х( - х^Ч^)

Хайо(Хс1 - хас1)¥(] ,

р ЧЦ = -г (хч Ч - хач Ч) .

Припустимо, що до включення на навантаження синхронний генератор працював на холостому ходу зі струмом збудження початкові умови при 1 = 0.

Ч^о = *ГохасЬ = Мь^Ч"о = 1Гоха(Ь ЧЦ0 - О, ?С(0 = 0).

За прийнятих початкових умов рішення для Ч^, ЧЪа, Ч^, ЧЬц може бути представлене у вигляді розкладання до ряду Маклорена

Аналогічно для потокосцеплений Ч ^, Ч ^, Тш, Ч ^. Початкові значення похідних потокосцеплений у рівняннях виду (18) неважко знайти за відомих початкових умов послідовним диференціюванням рівнянь (13-17). Після підстановки початкових значень потокозчеплень та їх похідних до рівняння виду (18) отримаємо:

(3 = 1Гохас1

ХгХ^ - х^\

^ = Чо хас1 Н

1 ГХоп« +2 1 ^ - 4 Г---7- Ш X

2 А" (х2очг + х2ачГоч)

X? 1 г(хаН (Хоа - ХЛС1) ®2

се ~ 1гола(1

1__ГР (1 хяс1 (х (- хас!) З ° 2

L Х2ад Рік

(20) (21) (22) (23)

Збіжність рішень для Ч"д, Ч^, Ч"ш, ЧЪч можна визначити дослідженням залишкових членів розкладів у ряд Маклорена (19-23)

Кп№)= -^тт Р(п+1) ^(І), (24)

де 0

Аналогічно для "Рва, За знайденими значеннями потокосцеп-

лень, використовуючи рівняння (6-10), неважко знайти потоки 1г»а, За формулами лінійних перетворень визначаємо фазні струми:

1а = ¡с) сое з 1 - ¡д ет з 1(25) 1ь = 1й соб 1--- 1ч е1п ^--> (26)

-с = - 1а - >Ь- (27)

Струм навантаження вентильного імпульсного генератора знаходиться як сума миттєвих значень фазних струмів 1а, 1ь, з одного знака.

За розглянутою методикою було виконано розрахунок перехідних процесів вентильного імпульсного генератора з параметрами:

Х(1 = = Хос! = Хвч = 1,05 ; ха(1 = хас, = 1; х( = 1,2; гс = р.- !! = гоа = = 0,02; Ін = 0,05) .

На рис. 1 наведено розрахункові криві струмів фаз \', ¡с і струму навантаження ¡ц. Порівняння аналітичних розрахунків з результатами, отриманими на АВМ МН-14 при дослідженні повної системирівнянь, дає

Мал. 1. Розрахункові криві tokos без генератора та навантаження

хорошу збіжність. Оцінка збіжності рішення дослідженням залишкового члена розкладання до ряду Маклорена (24) також показує, що максимальна похибка розрахунку вбирається у 5-=-7%.

p align="justify"> Метод послідовного диференціювання може бути застосований для аналізу перехідних процесів електромашинних джерел імпульсів, рівняння яких містять змінні коефіцієнти. Дослідження перехідних процесів, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями, також не зустрічає важливих труднощів при використанні цього методу, проте його застосування в цьому випадку може призвести до громіздких виразів. Для правильного виборувиду вихідної системи диференціальних рівнянь необхідно у всіх випадках використовувати апріорну інформацію про фізичну картину процесів, що сильно спрощує рішення.

ЛІТЕРАТУРА

1. І. І. Трещев. Методи дослідження машин змінного струму. "Енергія", 1969.

2. А. І. В ажіо в. Основи теорії перехідних процесів синхронної машини. Держенерговидав, 1960.

3. Ч. Конконди і а. Синхронні машини. Держенерговидав, 1959.

4. Є. Я. Казовський. Перехідні процеси електричних машинах змінного струму. Вид-во АН СРСР, 1962.

5. Л. Е. Ельсгольц. Диференціальні рівняння та варіаційне обчислення. "Наука", 1969.

6. Г. А. С і пайлов, А. В. Лос, Ю. І. Рябчиков. Дослідження перехідних процесів вентильного генератора імпульсного. Изв. ТПІ. Справжня збірка.