Ставлення протилежного катета до гіпотенузи називають синусом гострого кута прямокутного трикутника.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називають косинус гострого кутапрямокутного трикутника.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Відношення протилежного катета до довколишнього катета називають тангенсом гострого кутапрямокутного трикутника.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Відношення прилеглого катета до протилежного катета називають котангенсом гострого кутапрямокутного трикутника.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Ордината точки на одиничному колі , якому відповідає кут \alpha називають синусом довільного кутаповороту \ alpha .
\sin \alpha=y
Абсцис точки на одиничному колі, якому відповідає кут \alpha називають косинус довільного кутаповороту \ alpha .
\cos \alpha=x
Ставлення синуса довільного кута повороту \alpha до його косинусу називають тангенсом довільного кутаповороту \ alpha .
tg \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Відношення косинуса довільного кута повороту \alpha до його синусу називають котангенсом довільного кутаповороту \ alpha .
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Якщо \alpha - деякий кут AOM , де M - точка одиничного кола, то
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Наприклад, якщо \angle AOM = -\frac(\pi)(4), то: ордината точки M дорівнює -\frac(\sqrt(2))(2), абсцису дорівнює \frac(\sqrt(2))(2)і тому
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Значення основних кутів, що часто зустрічаються, наведені в таблиці:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Сінусгострого кута α прямокутного трикутника – це відношення протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sin α.
Косінусгострого кута прямокутного трикутника α – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Позначається так: cos α.
Тангенсгострого кута α – це відношення протилежного катета до прилеглого катета.
Позначається так: tg.
Котангенсгострого кута α – це відношення прилеглого катетадо протилежного.
Позначається так: ctg?
Синус, косинус, тангенс та котангенс кута залежать тільки від величини кута.
Правила:
Основні тригонометричні тотожності у прямокутному трикутнику:
(α - гострий кут, що протилежить катету b і прилеглий до катета a . Сторона з - Гіпотенуза. β - Другий гострий кут).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
При зростанні гострого кутаsin α таtg α зростають, аcos α зменшується.
Для будь-якого гострого кута:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Приклад-пояснення:
Нехай у прямокутному трикутнику АВС
АВ = 6,
НД = 3,
кут А = 30 º.
З'ясуємо синус кута А та косинус кута В.
Рішення .
1) Спочатку знаходимо величину кута В. Тут все просто: так як у прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 º, то кут В = 60 º:
В = 90 º - 30 º = 60 º.
2) Обчислимо sin A. Ми знаємо, що синус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Для кута А протилежним катетом є сторона НД. Отже:
BC 3 1
sin A = - = - = -
AB 6 2
3) Тепер обчислимо cos B. Ми знаємо, що косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Для кута В прилеглим катетом є та сама сторона ВС. Це означає, що знову треба розділити ВС на АВ – тобто здійснити самі дії, як і під час обчислення синуса кута А:
BC 3 1
cos B = - = - = -
AB 6 2
У результаті виходить:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
З цього випливає, що у прямокутному трикутнику синус одного гострого кута дорівнює косинусу іншого гострого кута – і навпаки. Саме це і означають наші дві формули:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Переконаємося в цьому ще раз:
1) Нехай α = 60 º. Підставивши значення в формулу синуса, отримаємо:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30 º = cos 60 º.
2) Нехай α = 30 º. Підставивши значення в формулу косинуса, отримаємо:
cos (90 ° - 30 º) = sin 30 º.
cos 60 ° = sin 30 º.
(Докладніше про тригонометрію - див. розділ Алгебра)
Вивчення тригонометрії ми розпочнемо із прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.
Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.
Гострий кут- менше 90 градусів.
Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)
Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .
Кут позначається відповідною грецькою літерою.
Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.
Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.
Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.
Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:
Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):
Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.
Давайте доведемо деякі з них.
Добре, ми дали визначення та записали формули. А для чого ж потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?
Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.
Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутного трикутника. Це теорема Піфагора: .
Виходить, що знаючи два кути в трикутнику можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?
З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.
Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.
Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .
Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.
Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.
1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .
Завдання вирішується за чотири секунди.
Оскільки , .
2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .
Знайдемо за теоремою Піфагора.
Завдання вирішено.
Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!
Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.
Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.
Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторін чи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІз математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.
Синус є однією з основних тригонометричних функцій, застосування якої не обмежене лише геометрією. Таблиці обчислення тригонометричних функцій, як і інженерні калькулятори, не завжди під рукою, а обчислення синуса часом потрібне для вирішення різних завдань. Взагалі, обчислення синуса допоможе закріпити креслярські навички та знання тригонометричних тотожностей.
Просте завдання: як знайти синус кута, намальованого на папері? Для вирішення знадобиться звичайна лінійка, трикутник (або циркуль) та олівець. Найпростішим способом обчислити синус кута можна розділивши дальній катет трикутника з прямим кутом на довгу сторону - гіпотенузу. Таким чином, спочатку потрібно доповнити гострий кут до фігури прямокутного трикутника, прокресливши перпендикулярну до одного з променів лінію на довільній відстані від вершини кута. Потрібно дотримати кут саме 90 °, для чого нам і знадобиться канцелярський трикутник.
Використання циркуля трохи точніше, але займе більше часу. На одному з променів потрібно відзначити 2 точки на деякій відстані, налаштувати на циркулі радіус, приблизно рівний відстані між точками, і прокреслити півкола з центрами в цих точках до отримання перетинів цих ліній. Поєднавши точки перетину наших кіл між собою, ми отримаємо строгий перпендикуляр до променя нашого кута, залишається лише продовжити лінію до перетину з іншим променем.
В отриманому трикутнику потрібно лінійкою виміряти бік навпроти кута і довгу бік одному з променів. Відношення першого виміру до другого і буде шуканою величиною синуса гострого кута.
Для тупого кутаЗавдання не набагато складніше. Потрібно прокреслити промінь з вершини в протилежний бік за допомогою лінійки для утворення прямої з одним з променів кута, що цікавить нас. З отриманим гострим кутом слід надходити як описано вище, синуси суміжних кутів, Що утворюють разом розгорнутий кут 180 °, рівні.
Також обчислення синуса можливе, якщо відомі значення інших тригонометричних функцій кута або хоча б довжини сторін трикутника. У цьому нам допоможуть тригонометричні тотожності. Розберемо найпоширеніші приклади.
Як знаходити синус при відомому косинус кута? Перше тригонометричне тотожність, що виходить з теореми Піфагора, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута дорівнює одиниці.
Як знаходити синус за відомого тангенсу кута? Тангенс отримують розподілом далекого катета на ближній або поділом синуса на косинус. Таким чином, синусом буде твір косинуса на тангенс, а квадрат синусу буде квадрат цього твору. Замінюємо косинус у квадраті на різницю між одиницею і квадратним синусом згідно з першою тригонометричною тотожністю і шляхом нехитрих маніпуляцій наводимо рівняння до обчислення квадратного синуса через тангенс, відповідно для обчислення синуса доведеться витягти корінь з отриманого результату.
Як знаходити синус за відомого котангенсу кута? Значення котангенсу можна обчислити, розділивши довжину ближнього від кута катета на довжину далекого, а також поділивши косинус на синус, тобто котангенс - функція, зворотна тангенсу щодо числа 1. Для розрахунку синуса можна обчислити тангенс за формулою tg α = 1 / ct скористатися формулою у другому варіанті. Також можна вивести пряму формулу за аналогією з тангенсом, яка виглядатиме таким чином.
Існує формула для знаходження довжини невідомої сторони будь-якого трикутника, не тільки прямокутного, по двох відомим сторонамз використанням тригонометричної функції косинуса протилежного кута. Виглядає вона так.
Як знайти синус?
Вивчення геометрії допомагає розвивати мислення. Цей предмет обов'язково входить до шкільної підготовки. У життєдіяльності знання цього предмета може стати в нагоді - наприклад, при плануванні квартири.
В рамках курсу геометрії вивчається також тригонометрія, яка досліджує тригонометричні функції. У тригонометрії ми вивчаємо синуси, косинуси, тангенси та котангенси кута.
Але зараз почнемо з найпростішого - синуса. Давайте розглянемо детальніше перше поняття - синус кута в геометрії. Що таке синус та як його знайти?
Синус кута – це співвідношення значень протилежного катета та гіпотенузи прямокутного трикутника. Це пряма тригонометрична функція, яка на письмі позначається як "sin(x)", де (х) - кут трикутника.
На графіку синус кута позначається синусоїдою зі своїми особливостями. Синусоїда виглядає як безперервна хвилеподібна лінія, що лежить у певних рамках на площині координат. Функція непарна, тому симетрична щодо 0 на площині координат (виходить із початку відліку координат).
Область визначення цієї функції лежить у діапазоні від -1 до +1 декартової системі координат. Період функції синус кута становить 2 Пі. Це означає, що кожні 2 Пі малюнок повторюється, і синусоїда проходить повний цикл.
Значення синусів кута визначаються за спеціальними таблицями. Створено такі таблиці для полегшення процесу підрахунку складних формулта рівнянь. Вона легка у використанні та містить значення не тільки функції sin(x), а також значення інших функцій.
Понад те, таблиця стандартних значень цих функцій включено до обов'язкового вивчення пам'ять, як таблиця множення. Особливо це актуально для класів із фізико-математичним ухилом. У таблиці можна побачити значення основних кутів, що використовуються в тригонометрії: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 і 360 градусів.
Також існує таблиця, визначальна значення тригонометричних функцій нестандартних кутів. Користуючись різними таблицями, можна легко обчислити синус, косинус, тангенс і котангенс деяких кутів.
З тригонометричними функціями складаються рівняння. Вирішувати ці рівняння легко, якщо знати прості тригонометричні тотожності та приведення функцій, наприклад, такі, як sin(П/2 + х) = cos(x) та інші. Для таких наведень також складено окрему таблицю.
Коли стоїть завдання знайти синус кута, а за умовою у нас є тільки косинус, тангенс або котангенс кута, ми легко можемо обчислити потрібне за допомогою тригонометричних тотожностей.
Виходячи з цього рівняння, ми можемо знайти як синус, і косинус, залежно від цього, яке значення невідомо. У нас вийде тригонометричне рівнянняз одним невідомим:
На цьому рівняння можна знайти значення синуса, знаючи значення котангенса кута. Для спрощення замініть sin 2 x = у і тоді у вас вийде просте рівняння. Наприклад, значення котангенсу дорівнює 1, тоді:
Тепер виконуємо зворотну заміну гравця:
Оскільки ми взяли значення котангенсу стандартного кута (45 0), отримані значення можна перевірити по таблиці .
Якщо у вас дано значення тангенсу, а потрібно знайти синус, допоможе ще одна тригонометрична тотожність:
З цього виходить що:
Для того щоб знайти синус нестандартного кута, наприклад, 240 0 необхідно скористатися формулами приведення кутів. Ми знаємо, що π у нас відповідає 180 0 . Таким чином, ми висловимо нашу рівність за допомогою стандартних кутів шляхом розкладання.
Нам потрібно знайти таке: sin (180 0 + 60 0). У тригонометрії є формули приведення, які в даному випадкустануть у пригоді. Це формула:
Таким чином, синус кута 240 градусів дорівнює:
У нашому випадку, х = 60, а П відповідно 180 градусів. Значення (-√3/2) знайшли за таблиці значень функцій стандартних кутів.
Таким чином, можна розкласти нестандартні кути, наприклад: 210 = 180 + 30.
