МБОУ «Мордовсько-Паївська ЗОШ» Інсарського району РМ
Виконала: Пантілєйкіна Надія,
учениця 11 класу
Керівник: Кадишкіна Н.В.,
вчитель математики
Зміст
Вступ…………………………………………………………………………….
Глава I. Про тригонометричних рівняннях…………………………………..…5
1) Основні типи тригонометричних рівнянь та методи їх вирішення:
1. Рівняння, що зводяться до найпростіших. …………………………………..5
2. Рівняння, що зводяться до квадратним…………………………………….5
3. Однорідні рівняння acosx + b sin x = 0………………………………...6
4.Рівняння виду acosx + b sin x = c , с≠ 0…………………………………7
5. Рівняння, розв'язувані розкладанням на множники…………………...….7
6. Нестандартні рівняння………………………………………………….8
Розділ II. Основні поняття та формули тригонометрії…………………….8-10
Глава II I. Рівняння пропонувалися на ЄДІ минулих років…………...……10-14
Заключение………………………………………………………………………….14
Додаток……………………………………………..……………………….15-17
Література…………………………………………………………………………..18
Вступ
«Єдиний шлях, що веде до знань – це діяльність...»
Бернард Шоу
Актуальність роботи.
За кілька місяців я закінчую школу.
Щоб не було проблем з подальшим вибором життєвого шляху, необхідно отримати шкільний атестат, а для того, щоб отримати шкільний атестат, необхідно скласти два обов'язкові іспити у формі ЄДІ - і один з нихматематика. Що вже там казати, випускні іспити – відповідальний період у житті будь-якого школяра, від якого залежить не лише підсумкова оцінка в атестаті, а й його професійне майбутнє, дохід та кар'єра.
Єдиний Державний Іспит – це важливий тест перед переходом у нове життята вступом до університету або коледжу. Особливо важливо здати його на добрі бали.ЄДІ з математики - серйозне випробування і без хорошої бази учень не зможе претендувати на пристойний результат.
Як не допустити провалу на іспиті та отримати хороші бали? Для цього потрібно добре вирішити завдання. Я не претендую на максимальний бал, проте старанно готуюся. І зауважила, що навіть на першому завданні частини С, а саме на вирішенні тригонометричних рівняннях та їх системах припускаюся помилок.На перший погляд, завдання С1 – це відносно нескладне рівняння або система рівнянь, що може містити тригонометричні функції,одним з основних підходів до вирішення яких полягає в їхньому послідовному спрощенні з метою зведення до одного або кількох найпростіших.То чому я помиляюся?
Актуальність теми визначається тим, що учні повинні розумітися на тих чи інших способах розв'язання тригонометричних рівнянь.
Тому перед собою я поставила наступнумета:
Систематизувати, розширити знання та вміння, пов'язані із застосуванням методів розв'язання тригонометричних рівнянь.
Об'єктом дослідженняє вивчення тригонометричних рівнянь у завданнях ЄДІ.
Предмет дослідження- є розв'язання тригонометричних рівнянь
Таким чином, основною метоюнаписання даної курсової роботиє вивчення тригонометричних рівнянь та його систем, способи їх вирішення.
Відповідно до цілей, об'єкта та предмета дослідження визначено такі завдання:
1). Вивчити всі завдання, пов'язані з розв'язанням тригонометричних рівнянь, що пропонувалися на ЄДІ робітпопередніх років та при виконанні діагностичних робіт;
2) Вивчити методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
3). Виявити основні можливі помилкипри розв'язанні таких рівнянь;
4). З'ясувати причину допущення таких помилок.
6). Зробити висновки.
У своїй роботі я вирішу кілька тригонометричних рівнянь, покажу можливі помилки при їх розв'язанні та намагатимусь відповісти на наступні питання:
1). Чи можна уникнути помилок під час виконання завдань типу С1
2) Якщо я тренуватимуся у вирішенні рівнянь такого типу, то я зможу
Чи можна безпомилково виконувати такі завдання?
Для цієї мети я вивчила всі демонстраційні та тренувальні завдання, що проводяться з нами, матеріали ЄДІпопередніх років;
вивчила довідкові джерела;
самостійно вирішувала завдання з Інтернету;
консультувалася зі своїм учителем у разі скрути;
вчилася аналізувати та правильно оформлювати результати.
Глава I. Про тригонометричні рівняння.
1) Визначення 1. Тригонометричним рівнянням називається рівняння, що містить змінну під знаком тригонометричних функцій.
Найпростіші тригонометричні рівняння - це рівняння виду sin x = a,
cos x = a, tg x = a, ctg x = a.
У таких рівняннях змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції, а – це число.
Рішення тригонометричного рівняння складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння.
2) Основні типи тригонометричних рівнянь.
Рівняння, що зводяться до найпростіших.
Вирішити рівняння
Рішення:
Відповідь:
Рівняння, що зводяться до квадратних.
1) Розв'язати рівняння 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Відповідь:
Однорідні рівняння: asinx + bcosx = 0
a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.
Розв'язати рівняння 2sinx – 3cosx = 0
Рішення: Нехай cosx = 0, тоді 2sinx = 0 і sinx = 0 - протиріччя з тим,
що sin 2 x + cos 2 x = 1. Значить cosx ≠ 0 можна поділити рівняння на cosx.
Отримаємо
Відповідь:
Приклад:Вирішити рівняння
Рішення: 
Відповідь:
Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники.
Припер:Розв'язати рівняння sin2x - sinx = 0.
Рішення: Використовуючи формулу sin2x = 2sinxcosx, отримаємо
2sinxcosx - sinx = 0,
sinx (2cosx - 1) = 0.
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю.
Відповідь:
Нестандартні рівняння.
Розв'язати рівняння cosx = х 2 + 1.
Рішення:
Розглянемо функції
Глава II. Основні поняття та формули тригонометрії.
Тригонометричні рівняння – обов'язкова тема будь-якого іспиту з математики.
Прох, скільки мук завдає учням вивчення тригонометрії.
Певні складнощі виникають навіть у тому випадку, якщо поруч учительз математики і пояснює кожну дрібницю. Це і зрозуміло, лише базових формул існує більше двадцяти. А якщо вважати їх похідні ... Учень плутається в обчисленнях і ніяк не може запам'ятати механізми, за допомогою яких ці формули дозволяють знайти, наприклад, .
Ви знаєте формули – вам легко вирішувати. Не знаєте – не зрозумієте, навіть якщо дадуть формулу.Формулу потрібно не просто тупо знати, а куди її можна застосувати, як розкрити і в чому суть формули, а для цього вам потрібно вирішувати приклади саме для тих завдань, які даються насилу.
Мені спочатку здавалося,Тригонометрія – це нудний набір формул та графіків. Однак, знайомлячись з новими поняттями тригонометрії та методами розв'язання тригонометричних рівнянь, щоразу переконувалася, наскільки цікавий та цікавий світ тригонометрії.
По перше, для успішного розв'язання тригонометричних рівнянь потрібно добре знати тригонометричні формули, причому не тільки основні, а й додаткові (перетворення суми тригонометричних функцій на добуток і добутки на суму, формули зниження ступеня та інші),так як використання на ЄДІ шпаргалок та мобільних телефонівзабороняється
(Додаток 1)
По-друге , ми маємо чітко знати стандартні формуликоренів найпростіших тригонометричних рівнянь (корисно пам'ятати або вміти отримувати за допомогою тригонометричного кола спрощені формули для коренів рівнянь)
Кожне з таких рівнянь вирішується за формулами, які потрібно знати. Ось ці формули:
а) Функціяy= sinx. Функція обмежена: знаходиться в межах [-1; 1]. Це означає, що при вирішенні рівнянь типуsinx=2 абоsinxsinx
1) sinx = a,x=(-1) n arcsin a +n,n 
Z
2) sinx = - a,x=(-1) n+1 arcsin a +n,n Z
Також потрібно знати окремі випадки: 1)
sinx =- 1, 
2)sinx =0,
3)sinx =
a,
Також потрібно вміти рішенняу вигляді двох серій коренів
2. Функція y = cos x . Функція обмежена: знаходиться в межах [-1; 1]. Це означає, що при вирішенні рівнянь типуcosx=2 абоcosx=-5 у відповіді виходить: немає коренів. Формули для функції у =cosx:
1. cosx = a, X=± arccos a+2n,n Z
2.cos x=-a, X=±( - arccos a)+2n,n Z
Приватні випадки: 1.
cosx =-1,
X =
+2
n,
n Z
2.
cosx = 0,
3. cosx = 1, X= 2n,n Z
3. Функціяy= tgx.
Тут лише одна формула, без окремих випадків:tgx = ± a .
х = ±
arctg a+n,n Z
По-третє, треба знати значення тригонометричних функцій;
(Додаток 2)
По-четверте, Якщо рівняння тригонометрична функція перебуває під знаком радикала, таке тригонометричне рівняння буде ірраціональним. У таких рівняннях слід дотримуватись всіх правил, якими користуються при вирішенні звичайних ірраціональних рівнянь (враховується область допустимих значень як самого рівняння, так і при звільненні від кореня парного ступеня).
V. Рівняння, які пропонувалися на ЄДІ минулих років.
«Метод рішення хороший, якщо від початку ми можемо передбачити – і згодом підтвердити це, – що, наслідуючи цей метод, ми досягнемо мети».
Лейбніц
1. Рівняння, що зводяться до квадратного.
З 1. Вирішити рівняння: 
Рішення: Скориставшись основною тригонометричною тотожністю,перепишемо рівняння у вигляді
Заміноюcos=
tрівняння зводиться до квадратного:2t 2
+ 9
t-5 =0, яке має корінняt 1
= ½ іt 2
= -5. Повертаючись до змінної х, отримаємо 
,
Друге рівняння коренів немає оскільки |cosx |≥1, та якщо з першого x =± 
+6k , k Z
Відповідь: =± +6k , k Z
Висновок:вводячи нову змінну, потрібно враховувати, що значення sin x та cos x обмежені відрізком 
, а інакше з'явиться стороннє коріння.
2. Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники
Завдання С1 (2011 р.)
а) Розв'язати рівняння
б) Вказати коріння рівняння, що належить відрізку 
Рішення: а) вирішуємо розкладанням лівої частини на множники:
групуємо та виносимо загальний множник за дужки, отримаємо
Рівняння 1) рішень немає.
Друге рівняння однорідне, вирішується поділом почленно на cosx ≠0, отримаємо 
, звідки 
б) 
Відповідь: а) 
б) 
Висновок:
1.При вирішенні рівняння такого виду, по-перше, потрібно знати, що | sin х | ≤ 1 і | cosx | ≤ 1, і рівняння sinx = -2 рішень не має;
2.В – других, обгрунтувати розподіл на cosx ≠о (оскільки, якщо cosx =0, то sin х=0 , але це неможливо;
по-третє, обґрунтовано провести відбір коренів, що належать даному проміжку
3
.Рівняння на застосування формул приведення
С1 (2010 р.) Дано рівняння
а) розв'язати рівняння;
б 
) Вказати коріння, що належить відрізку
Рішення: Використовуючи формули наведення, отримаємо:
sin 2 x - cos x = 0,
2 sinx cosx-cosx = 0,
з osx (2 sinx -1) = 0, звідки cosx = 0 або sinx = ½,
б) Знайдемо значення до, за яких коріння належатиме
зазначеному проміжку. Для того, щоб вибрати коріння. належать заданому проміжку, рішення представимо у вигляді:
б 
) Знайдемо значення до, за яких коріння належатиме зазначеному проміжку.
2)
Вирішуючи цю нерівність, цілого
значення не отримаємо.
Відповідь: а)
б) 
Висновок:
При вирішенні рівняння такого виду необхідно знати формули наведеного рівняння і правильно її застосувати; вміти представляти рішення 
на дві серії коріння; правильно вибрати коріння, що належить заданому відрізку.
4. Системи тригонометричних рівнянь
З 1 (2010).
Розв'язати систему рівнянь 
Рішення: О.Д.З 
Дроб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.
З рівняння 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, вирішуючи методом запровадження нової змінної, знаходимо
або sin x =1.
1) Нехай тоді 
і у = cos x = 
›0 (використовуючи основну тригонометричну тотожність)
або 
і 
- Немає рішення.
2) Нехай sinx = 1, тоді у = cos x = 0 немає рішення.
Відповідь: і у =
Висновок: 1) потрібно враховувати обмеженість тригонометричних
функцій
2) Записувати та враховувати О.Д.З.
5. С1 (ЄДІ 2011 р.) Розв'язати рівняння:
О.Д.З. - cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 або cos x =0
sinx = t 
4 t 2 + 12 t + 5 = 0, звідки t 1 =-½, t 2 = -
sinx = -½ sinx=- - не має рішення
х = 
х = 
з урахуванням О.Д.З. х =
Відповідь: х =
Висновок: Відповідь записати з урахуванням О.Д.З.
ВИСНОВОК
У виконаній мною роботі було вивчено рішення тригонометричних рівнянь, розглянуто рекомендації щодо вирішення тригонометричних рівнянь, методи розв'язання тригонометричних рівнянь та розглянуто помилки, які можливі при їх вирішенні.
Я дійшла таких висновків:
1. Завдання типу С1 перевіряють уміння розв'язувати тригонометричні рівняння. Ці завдання є справді нескладними, що надає зайвої самовпевненості та присипляють уважність. Єдиною складністю цих завдань і те, що, вирішивши рівняння чи систему рівнянь, відкинути сторонні коріння.
2.
Завдання С1 - це найпростіше завдання групи С. При її вирішенні не повинні виникати громіздкі перетворення та складні обчислення. Якщо ж вони з'явилися – негайно потрібно зупинитися, перевірити рішення та спробувати зрозуміти, що тут не так.
3. В кінцевому рахунку,головна вимога - рішення має бути математично грамотним, з нього має бути зрозумілий перебіг міркувань.Потрібно постаратися записати своє рішення коротко і зрозуміло, але головне правильно!
4. І найголовніше – щоб навчитися без помилок вирішувати рівняння, треба їх вирішувати! Адже, як говорив Пойа, Якщо хочете навчитися плавати, то сміливо пірнайте у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання, треба їх вирішувати!
Додаток 1 (основні формули тригонометрії)
1) основне тригонометричне тотожністьsin 2 α + cos 2 α= 1,
Для цього рівняння на квадрат косинуса і синуса відповідно маємо
2) формули подвійного аргументуsin2α =2sinα cos α,
cos 2α = cos 2 α - sin 2 α ,
Cos 2α = 1- 2sin 2 α,
3) формули зниження ступеня: 
4) формули суми та різниці двох аргументів:
sin(α+ β )= sinα cosβ + cos α sinβ
sin(α- β )= sinα cos β - cos α sin β
cos(α+ β )= cosα cos β + sin α sin β
cos(α- β )= sinα cos β + sinα sin β
5) Формули приведення
Формулами приведення називаються формули наступного виду:
Суми суми та різниці тригонометричних рівнянь
Косинус-парна, синус, тангенс та котангенс-, тобто:
Синус та косинус -
. Тангенс і має
, Котангенс 0; ±π; ±2π;
Функціїy = cosx, y = sinx -
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
