В основі розрахунку лежить крива деформування (рис. 28), що є залежністю встановлювану з дослідів на розтяг. конструкційних сталей ця залежність має такий самий вигляд і при стисканні.
Для розрахунку зазвичай використовують схематизовану діаграму деформування, показану на рис. 29. Перша пряма відповідає пружним деформаціям друга пряма проходить через точки, що відповідають
Мал. 28. Діаграма деформування
межі плинності та межі міцності. Кут нахилу значно менше кутаа для розрахунку друга пряма іноді представляється горизонтальною лінією, як показано на рис. 30 (крива деформування без зміцнення).
Зрештою, якщо розглядаються значні пластичні деформації, то ділянками кривих, що відповідають пружному деформуванню, у практичних розрахунках можна знехтувати. Тоді схематизовані криві деформування мають вигляд, показаний на рис. 31
Розподіл напруг згину при пружнопластичних деформаціях. Для спрощення задачі розглянемо стрижень прямокутного перерізу та припустимо, що крива деформування не має зміцнення (див. рис. 30).
Мал. 29. Схематизована крива деформування
Мал. 30. Крива деформування без зміцнення
Якщо згинальний момент такий, що найбільша напруга згину (рис. 32), то стрижень працює в області пружної деформації
При подальшому зростанні згинального моменту крайніх волокнах стрижня виникають пластичні деформації. Нехай при даному значенніпластичними деформаціями охоплена область від до. В цій області . Під час напруги змінюються за лінійним законом
З умови рівноваги момент внутрішніх сил
Мал. 31. Крива деформування при великих пластичних деформаціях
Мал. 32. (див. скан) Вигин стрижня прямокутного перерізу в пружнопластичній стадії
Якби матеріал залишався пружним за будь-якої напруги, то найбільша напруга
перевищувало б межу плинності матеріалу.
Напруги при ідеальній пружності матеріалу показано на рис. 32. З урахуванням пластичної деформації напруги, що перевищують межу плинності для ідеально пружного тіла, знижуються. Якщо епюри розподілу напруг для дійсного матеріалу я для ідеально пружною матеріалу Зрізаються одна від іншої (при одних і тих же навантаженнях), то в тілі після зняття зовнішнього навантаження виникають залишкові напруги, епюра яких є різницею епюр згаданих напруг. У місцях найбільшої напруги залишкові напруги протилежні за знаком напругам а робочих умовах.
Граничний пластичний момент. З формули (51) випливає, що за
величина, тобто весь переріз стрижня знаходиться в області пластичної деформації.
Згинальний момент, при якому у всіх точках перерізу виникають пластичні деформації, називають граничним пластично та моментом. Розподіл напруг згину по перерізу у разі показано на рис. 33.
У сфері розтягування області стиснення . Оскільки умови рівноваги то нейтральна лінія ділить перетин на дві рівновеликі (за площею) частини.
Для прямокутного перерізу граничний пластичний момент
Мал. 33. Розподіл напруги при дії граничного пластичного моменту
Згинальний момент, при якому виникає пластична деформація тільки в крайніх волокнах,
Відношення пластичного моменту опору до звичайного (пружного) моменту опору прямокутного перерізу
Для двотаврового сечеиия при згинанні в площині найбільшої жорсткості це відношення становить для тонкостінного трубчастого -1,3; для суцільного круглого перерізу 1,7.
У загальному випадку величину при вигині в площині симетрії сечеиия можна визначити наступним способом (рис. 34); розбити перетин лінією на дві рівновеликі (за площею) частини. Якщо відстань між центрами тяжкості цих частин позначити через те
де - площа поперечного перерізу; - відстань від центру тяжкості будь-якої половини перерізу до центру тяжкості всього перерізу (точку О знаходить на рівній відстані від точок
Перевірка міцності граничних станів.
– максимальний згинальний момент від розрахункових навантажень.
Р р = Р н × n
n – коефіцієнт навантаження.
- Коефіцієнт умови роботи.
Якщо матеріал працює неоднаково на розтягування та стиск, то міцність перевіряється за формулами:
 |  |
де R p і R сж - розрахунковий опір на розтягування та стиск
Розрахунок за несучою здатністю та врахуванням пластичної деформації.
У попередніх методах розрахунку міцність перевіряється за максимальними напругами у верхніх і нижніх волокнах балки. При цьому середні волокна виявляються недовантаженими.
Виявляється, якщо навантаження збільшувати далі, то в крайніх волокнах напруга дійде до межі плинності σ т (у пластичних матеріалах), і до межі міцності n n (у крихких матеріалах). При подальшому збільшенні навантаження тендітні матеріали руйнуються, а в пластичних матеріалах напруги в крайніх волокнах далі не зростають, а ростуть у внутрішніх волокнах. (Див. рис.)
Несуча здатність балки вичерпується, коли по всьому перерізу напруги досягнуть?
Для прямокутного перерізу:
Примітка: для прокатних профілів (швеллер та двотавр) пластичний момент Wnл=(1.1÷1,17)×W
Дотичні напруги при згинанні балки прямокутного перерізу. Формула Журавського.
Оскільки момент у перерізі 2 більший за момент у перерізі 1, то напруга σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.
В цьому випадку елемент abcd повинен переміститися вліво. Цьому переміщенню перешкоджають дотичні напруги на майданчику cd.
- Рівняння рівноваги, після перетворення якого виходить формула для визначення τ: 
- Формула Журавського
Розподіл дотичних напруг у балках прямокутного, круглого та двотаврового перерізів.
1. Прямокутний перетин:
2.Круглий переріз.
3. Двотавровий перетин.
Головні напруження при згинанні. Перевірка міцності балок.
[σ сж ]
Примітка: при розрахунку за граничними станами замість [σ сж] і [σ р] у формули ставляться R c ж і R p – розрахункові опори матеріалу при стисканні та розтягуванні.
Якщо ж балка коротка, то перевіряють точку Б:
де R зріз - розрахунковий опір матеріалу на зріз.
У точці D на елемент діє нормальна і дотична напруга, тому в деяких випадках їхня спільна дія викликає небезпеку для міцності. У цьому випадку елемент D перевіряють на міцність, використовуючи головну напругу.
У нашому випадку: , отже:
Використовуючи σ 1і σ 2з теорії міцності перевіряють елемент D.
За теорією найбільших дотичних напруг маємо: σ 1 - σ 2 ≤R
Примітка: точку D слід брати по довжині балки там, де одночасно діють великі M та Q.
По висоті балки вибираємо таке місце, де одночасно діють значення і τ.
З епюр видно:
1. У балках прямокутного та круглого перерізувідсутні точки, в яких одночасно діють великі ? Тому в таких балках перевірка точки D не провадиться.
2. У балках двутаврового перерізу межі перетину полиці зі стінкою (т. А) одночасно діють великі σ і τ. Тому вони перевіряються на міцність у цій точці.
Примітка:
a) У прокатних двотаврах та швелерах у зоні перетину полиці зі стінкою зроблено плавні переходи (заокруглення). Стінка і полиця підібрані так, що точка A виявляється в сприятливих умовроботи та перевірка міцності не потрібно.
b) У складових (зварних) двотаврових балках перевірка точки А необхідна.
I b = W c · y = 2 · 100 · 4.8 3 / 3 = 7372,8 см 4 або b (2y) 3 / 12 = 100 (2 · 4.8) 3 / 12 = 7372.8 см 4 - момент інерції умовного наведеного перерізу тоді
f b = 5 · 9 · 400 4 / 384 · 275000 · 7372.8 = 1.45 см.
Перевіримо можливий прогин від розтягування арматури.
модуль пружності арматури Е a = 2000000 кгс/см 2 (2 · 10 5 МПа),
умовний момент інерції арматури I a = 10.05 · 2 · 3.2 2 = 205.8 см 4 тоді
f a = 5 · 9 · 400 4 / 384 · 2000000 · 160.8 = 7.9 см
Очевидно, що різним прогин бути не може, а значить у результаті деформації та вирівнювання напруг у стислій зоні висота стиснутої зони зменшуватиметься. Подробиці визначення висоти стиснутої зони тут (через брак місця) не наводяться, при y ≈ 3.5 см прогин становитиме приблизно 3.2 см. Однак реальний прогин буде іншим, по-перше тому, що ми не врахували деформацію бетону при розтягуванні (тому цей метод і є приблизним), по-друге, при зменшенні висоти стиснутої зони в бетоні наростатимуть пластичні деформації, що збільшують загальний прогин. Крім того, при тривалому додатку навантажень розвиток пластичних деформацій також призводить до зниження початкового модуля пружності. Визначення цих величин - окрема тема.
Так для бетону класу В20 при тривалому навантаженні модуль пружності може зменшитися в 3.8 рази (при вологості 40-75%). Відповідно прогин від стиснення бетону складе вже 1.45 · 3.8 = 5.51 см. І тут навіть подвійне збільшення перерізу арматури у розтягнутій зоні сильно не допоможе – необхідно збільшувати висоту балки.
Але навіть якщо не зважати на тривалість дії навантаження, то все одно 3.2 см - це досить великий прогин. Відповідно до СНиП 2.01.07-85 "Навантаження та впливу" максимальний допустимий з конструктивних міркувань прогин для плит перекриття (щоб стяжка не розтріскувалась і т.п.) складе l/150 = 400/150 = 2.67 см. А так як і товщина захисного шару бетону, як і раніше, залишається неприпустимою, то з конструктивних міркувань висоту плити слід збільшити хоча б до 11 см. Втім до визначення моменту опору це ніяк не відноситься.
Напруга при згинанні в пружній стадії розподіляється в перерізі за лінійним законом. Напруги в крайніх волокнах для симетричного перерізу визначаються формулою:
де М -згинальний момент;
W -момент опору перерізу.
Зі збільшенням навантаження (або згинального моменту М)напруги збільшуватимуться і досягнуть значення межі плинності R yn .
Зважаючи на те, що межі плинності досягли тільки крайні волокна перерізу, а з'єднані з ними менш напружені волокна можуть ще працювати, несуча здатністьелемент не вичерпано. З подальшим збільшенням згинального моменту відбуватиметься подовження волокон перерізу, проте напруги не можуть бути більшими за R yn . Граничною епюрою буде така, в якій верхня частинаперерізу до нейтральної осі рівномірно стиснута напругою R yn . Несуча здатність елемента при цьому вичерпується, а він може повертатися навколо нейтральної осі без збільшення навантаження; утворюється шарнір пластичності.
У місці пластичного шарніра відбувається велике наростання деформацій, балка одержує кут перелому, але не руйнується. Зазвичай балка втрачає при цьому або загальну стійкість або місцеву стійкість. окремих частин. Граничний момент, що відповідає шарніру пластичності,
де W пл = 2S - пластичний момент опору
S – статичний момент половини перерізу щодо осі, що проходить через центр тяжкості.
Пластичний момент опору, отже граничний момент, що відповідає шарніру пластичності більше пружного. Нормами дозволяється враховувати розвиток пластичних деформацій для розрізних прокатних балок, закріплених від втрати стійкості та несучих статичне навантаження. Значення пластичних моментів опору при цьому приймаються: для прокатних двотаврів та швелерів:
W пл =1,12W - при вигині в площині стінки
W пл = 1,2W – при вигині паралельно полицям.
Для балок прямокутного поперечного перерізу пл = 1,5 W.
За нормами проектування розвитку пластичних деформацій допускається враховувати для зварних балок постійного перерізу при відносинах ширини звису стисненого пояса до товщини пояса та висоти стінки до її товщини.
У місцях найбільших згинальних моментів неприпустимі найбільші дотичні напруги; вони повинні задовольняти умови:
Якщо зона чистого вигинумає велику протяжність, відповідний момент опору, щоб уникнути надмірних деформацій, приймається рівним 0,5(W yn +W пл).
У нерозрізних балках за граничний станприймається утворення шарнірів пластичності, але за умови збереження системою своєї незмінності. Нормами дозволяється при розрахунку нерозрізних балок (прокатних та зварних) визначати розрахункові згинальні моменти виходячи з вирівнювання опорних та прогонових моментів (за умови, що суміжні прольоти відрізняються не більше ніж на 20%).
У всіх випадках, коли розрахункові моменти приймаються у припущенні розвитку пластичних деформацій (вирівнювання моментів), перевірку міцності слід проводити за пружним моментом опору за формулою:
При розрахунку балок з алюмінієвих сплавіврозвиток пластичних деформацій не враховується. Пластичні деформації пронизують не тільки найбільш напружений переріз балки в місці найбільшого моменту, що згинає, але і поширюються по довжині балки. Зазвичай у елементах, що згинаються, крім нормальних напруг від згинального моменту є ще й дотична напруга від поперечної сили. Тому умова початку переходу металу в пластичний стан у цьому випадку має визначатися наведеною напругою s че d:
.
Як зазначалося, початок плинності в крайніх фібрах (волокнах) перерізу ще вичерпує несучі можливості изгибаемого елемента. При сумісному дії s і t гранична несуча здатність приблизно на 15% вище ніж при пружній роботі, і умова утворення шарніру пластичності записується у вигляді:
,
При цьому має бути.
