Сходи. Вхідна група. Матеріали. Двері. Замки. Дизайн

Залежність змінної y від перемінно x, коли кожен значенню x відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y=f(x). Кожна функція має ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.

Розглянь докладніше властивість парності.

Функція y=f(x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції, має дорівнювати значення функції в точці -х. Тобто для будь-якої точки х з області визначення функції повинна виконуватися наступна рівність f(x) = f(-x).

Графік парної функції

Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.

Наприклад, функція y=x^2 є парною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Отже f(x) = f(-x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже функція парна. Нижче наведено графік функції y=x^2.

На малюнку видно, що графік симетричний щодо осі Оу.

Графік непарної функції

Функція y=f(x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

1. Область визначення даної функції має бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.

2. Для будь-якої точки х, з області визначення функції має виконуватися така рівність f(x) = -f(x).

Графік непарної функції симетричний щодо точки Про - початку координат. Наприклад, функція y=x^3 є непарною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Отже f(x) = -f(x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік функції y=x^3.

На малюнку наочно представлено, що не парна функція y=x^3 симетрична щодо початку координат.

Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі.

Визначення 1.

Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).

Визначення 2.

Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).

Довести, що у = х 4 – парна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.

Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.

Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -Х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною.

Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х5, у = х7 є непарними.

Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна.

Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).

Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.

Вивчення питання про те, чи є задана функціяпарною чи непарною, зазвичай називають дослідженням функції на парність.

У визначеннях 1 та 2 мова йдепро значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, тоді якоскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .

Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.

Зростаюча та спадна функція

Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді коли більшого значення x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Екстремуми функції

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необхідна умова

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Достатня умова

1. Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
2. x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу плюс при переході через стаціонарну точку x_(0) .

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Кроки обчислень:

1. Шукається похідна f"(x);
2. Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
3. Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точках та кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значеннямфункції, а більше найбільшим.

Дослідження функції.

1) D(y) – Область визначення: безліч усіх тих значень змінної х. при яких вирази алгебри f(x) і g(x) мають сенс.

Якщо функція задана формулою, область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має сенс.

2) Властивості функції: парність/непарність, періодичність:

Непарнимиі парниминазиваються функції, графіки яких мають симетрію щодо зміни знака аргументу.

Непарна функція- функція, що змінює значення на протилежне зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо центру координат).

Парна функція- функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо осі ординат).

Ні парна ні непарна функція (функція загального вигляду) - функція, що не має симетрії. До цієї категорії відносять функції, що не підпадають під попередні 2 категорії.

Функції, що не належать жодній із категорій вище, називаються ні парними ні непарними(або функціями загального вигляду).

Непарні функції

Непарний ступінь де - довільне ціле число.

Чітні функції

парний ступінь де - довільне ціле число.

Періодична функція― функція, що повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа ( періодуфункції) по всій області визначення.

3) Нулі (коріння) функції - точки, де вона перетворюється на нуль.

Знаходження точки перетину графіка з віссю Ой. Для цього потрібно обчислити значення f(0). Знайти також точки перетину графіка з віссю Ox, для чого знайти коріння рівняння f(x) = 0 (або переконатися у відсутності коріння).

Точки, в яких графік перетинає вісь, називають нулями функції. Щоб знайти нулі функції потрібно вирішити рівняння, тобто знайти ті значення «ікс», у яких функція перетворюється на нуль.

4) Проміжки сталості знаків, знаки у яких.

Проміжки, де функція f(x) зберігає знак.

Інтервал знаковості - це інтервал, у кожній точці якогофункція позитивна чи негативна.

Вище осі абсцис.

НИЖЧЕ ОСІ.

5) Безперервність (точки розриву, характер розриву, асимптоти).

Безперервна функція- функція без «стрибків», тобто така, у якої малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Усунуті точки розриву

Якщо межа функції існує, Але функція не визначена в цій точці, або межа не збігається зі значенням функції цієї точки:

,

то точка називається точкою усуненого розривуфункції (у комплексному аналізі -усувна особлива точка).

Якщо «поправити» функцію в точці розриву, що усувається, і покласти , то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усувногорозриву.

Точки розриву першого та другого роду

Якщо функція має розрив у цій точці (тобто межа функції у цій точці відсутня чи збігається зі значенням функції у цій точці), то числових функцій виникає два можливі варіанти, що з існуванням у числових функцій односторонніх меж:

якщо обидва односторонні межі існують і кінцеві, то таку точку називають точкою розриву першого роду.

Точки усуненого розриву є точками розриву першого роду; якщо хоча б одна з односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають.

точкою розриву другого роду - Асимптотапряма , Що володіє тим властивістю, що відстань від точки кривої до цієїпрямий

прагне до нуля при видаленні точки вздовж гілки внескінченність.

Вертикальна .

Вертикальна асимптота - пряма межа

Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають не одну межу, а два односторонні (лівий і правий). Це робиться з метою визначити, як функція поводиться при наближенні до вертикальної асимптоти з різних сторін. Наприклад:

Горизонтальна АсимптотаГоризонтальна асимптота виду за умови існування

.

межі

Похила АсимптотаГоризонтальна асимптота Похила асимптота -

меж

Зауваження: функція може мати не більше двох похилих (горизонтальних) асимптотів.

Примітка: якщо хоча б одна з двох згаданих вище меж не існує (або дорівнює), то похилої асимптоти при (або) не існує. .

6) якщо в п. 2.), то і межа знаходиться за формулою горизонтальної асимптоти,Знаходження проміжків монотонності. f(xЗнайти інтервали монотонності функції f(x) (Тобто інтервали зростання та спадання). Це робиться за допомогою дослідження похідного знака f(x). Для цього знаходять похідну f(x)0. На проміжках, де ця нерівність виконана, функція f(x) Зростає. Там, де виконано зворотну нерівність f(x)0, функція f(x) Зменшується.

Знаходження локального екстремуму.Знайшовши інтервали монотонності, ми можемо відразу визначити точки локального екстремуму там, де зростання змінюється зменшенням, розташовуються локальні максимуми, а там, де зменшення змінюється зростанням - локальні мінімуми. Обчислити значення функції у цих точках. Якщо функція має критичні точки, які є точками локального екстремуму, то корисно обчислити значення функції й у цих точках.

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції y = f(x) на відрізку(продовження)

Перетворення графіків.

Словесний опис функції.

Графічний метод.

Графічний спосіб завдання функції є найнаочнішим і найчастіше застосовується у техніці. У математичний аналізграфічний спосіб завдання функцій використовується як ілюстрація.

Графіком функції f називають безліч всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x «пробігає» всю область визначення цієї функції.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більше однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі Оу.

приклад. Чи є графіками функцій фігури, зображені нижче?

Перевагою графічного завданняє його наочність. Відразу видно, як поводиться функція, де зростає, де зменшується. За графіком відразу можна дізнатися деякі важливі характеристикифункції.

Взагалі, аналітичний та графічний методизавдання функції йдуть рука об руку. Робота із формулою допомагає побудувати графік. А графік часто нагадує рішення, які у формулі і помітиш.

Майже будь-який учень знає три способи завдання функції, які ми щойно розглянули.

Спробуємо відповісти на запитання: "А чи існують інші способи завдання функції?"

Такий спосіб є.

Функцію можна цілком однозначно поставити словами.

Наприклад, функцію у = 2х можна задати наступним словесним описом: кожному дійсному значеннюаргументу х ставиться у відповідність його подвоєне значення. Правило встановлено, функцію встановлено.

Більше того, словесно можна задати функцію, яку формулою задати вкрай скрутно, а то й неможливо.

Наприклад: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, з яких складається значення х. Наприклад, якщо х=3, то у=3. Якщо х=257, то у=2+5+7=14. І так далі. Формулою це записати проблематично. А ось табличку легко скласти.

Спосіб словесного опису - досить рідко використовуваний спосіб. Але іноді трапляється.

Якщо є закон однозначної відповідності між х і у – значить, є функція. Який закон, у якій формі він виражений – формулою, табличкою, графіком, словами – суті справи не змінює.

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні щодо початку координат, тобто. для будь-кого хз області визначення число (- х) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні та непарні.

Визначення.Функція f називається парної, якщо для будь-кого хз її галузі визначення

приклад.Розглянемо функцію

Вона є парною. Перевіримо це.

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже функція парна. Нижче наведено графік цієї функції.

Визначення.Функція f називається непарною, якщо для будь-кого хз її галузі визначення

приклад. Розглянемо функцію

Вона є непарною. Перевіримо це.

Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки (0;0).

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік цієї функції.

Графіки, зображені першому і третьому малюнках симетричні щодо осі ординат, а графіки, зображені другою і четвертому малюнкам симетричні щодо початку координат.

Які функції, графіки яких зображені на малюнках є парними, а які непарними?