Комплексні числа - це мінімальне розширення множини звичних нам дійсних чисел. Їх важлива відмінність у цьому, що утворюється елемент, що у квадраті дає -1, тобто. i, або .

Будь-яке комплексне число складається з двох частин: речовинної та уявної:

Таким чином видно, що безліч дійсних чисел збігаються з безліччю комплексних чисел з нульовою уявною частиною.

Найпопулярніша модель безлічі комплексних чисел – це звичайна площина. Перша координата кожної точки буде її речовою частиною, а друга -уявною. Тоді в ролі самих комплексних чисел будуть виступати вектори з початком у точці (0,0).

Операції над комплексними числами.

Насправді, якщо брати до уваги модель безлічі комплексних чисел, інтуїтивно зрозуміло, що додавання (віднімання) та множення двох комплексних чисел проводяться так само як відповідні операції над векторами. Причому мається на увазі векторний добуток векторів, тому що результатом цієї операції є знову ж таки вектор.

1.1 Додавання.

(Як видно, дана операціїв точності відповідає

1.2 Віднімання, аналогічно, проводиться за таким правилом:

2. Множення.

3. Розподіл.

Визначається як зворотна операція до множення.

Тригонометрична форма.

Модулем комплексного числа z називається наступна величина:

,

очевидно, що це, знову ж таки, просто модуль (довжина) вектора (a, b).

Найчастіше модуль комплексного числа позначається як ρ.

Виявляється, що

z = ρ(cosφ+isinφ).

Безпосередньо із тригонометричної форми запису комплексного числа випливають такі формули :

Останню формулу називають Формулою Муавра. Безпосередньо з неї виводиться формула кореня n-ного ступеня з комплексного числа:

таким чином, існує n коренів n-го ступеня з комплексного числа z.

План уроку.

1. Організаційний момент.

2. Виклад матеріалу.

3. Домашнє завдання.

4. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

ІІ. Виклад матеріалу.

Мотивація.

Розширення безлічі дійсних чисел у тому, що до дійсним числам приєднуються нові числа (уявні). Введення цих чисел пов'язане з неможливістю в багатьох дійсних чисел вилучення кореня з негативного числа.

Запровадження поняття комплексного числа.

Уявні числа, якими ми доповнюємо дійсні числа, записуються у вигляді bi, де i- уявна одиниця, причому i 2 = - 1.

Виходячи з цього отримаємо наступне визначення комплексного числа.

Визначення. Комплексним числом називається вираз виду a + bi, де aі b- дійсні числа. При цьому виконуються умови:

а) Два комплексні числа a 1 + b 1 iі a 2 + b 2 iрівні тоді і лише тоді, коли a 1 =a 2, b 1 = b 2.

б) Додавання комплексних чисел визначається правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Розмноження комплексних чисел визначається правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Алгебраїчна форма комплексного числа.

Запис комплексного числа у вигляді a + biназивають алгебраїчною формою комплексного числа, де а- дійсна частина, bi- уявна частина, причому b- дійсне число.

Комплексне число a + biвважається рівним нулю, якщо його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю: a = b = 0

Комплексне число a + biпри b = 0вважається збігається з дійсним числом a: a + 0i = a.

Комплексне число a + biпри a = 0називається чисто уявним і позначається bi: 0 + bi = bi.

Два комплексні числа z = a + biі = a - bi, що відрізняються лише знаком уявної частини, називаються сполученими.

Дії над комплексними числами в формі алгебри.

Над комплексними числами в формі алгебри можна виконувати наступні дії.

1) Додавання.

Визначення. Сумою комплексних чисел z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 iназивається комплексне число z, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин z 1і z 2а уявна частина - сумі уявних частин чисел z 1і z 2, тобто z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Числа z 1і z 2називаються доданками.

Додавання комплексних чисел має наступні властивості:

1º. Комутативність: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Асоціативність: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексне число -a -biназивається протилежним комплексному числу z = a + bi. Комплексне число, протилежне комплексному числу z, позначається -z. Сума комплексних чисел zі -zдорівнює нулю: z + (-z) = 0

Приклад 1. Виконайте додавання (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Віднімання.

Визначення.Відняти з комплексного числа z 1комплексне число z 2 z,що z + z 2 = z 1.

Теорема. Різниця комплексних чисел існує і до того ж єдина.

Приклад 2. Виконайте віднімання (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Множення.

Визначення. Добутком комплексних чисел z 1 =a 1 +b 1 iі z 2 =a 2 +b 2 iназивається комплексне число z, що визначається рівністю: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Числа z 1і z 2називаються співмножниками.

Примноження комплексних чисел має такі властивості:

1º. Комутативність: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Асоціативність: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивність множення щодо складання:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z · = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- дійсне число.

На практиці множення комплексних чисел виробляють за правилом множення суми на суму та виділення дійсної та уявної частини.

У наступному прикладі розглянемо множення комплексних чисел двома способами: за правилом та множенням суми на суму.

Приклад 3. Виконайте множення (2 + 3i) (5 – 7i).

1 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (-7)) + (2× (-7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) i = 31 + i.

2 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Розподіл.

Визначення. Розділити комплексне число z 1на комплексне число z 2, значить знайти таке комплексне число z, що z · z 2 = z 1.

Теорема.Частка комплексних чисел існує і єдино, якщо z 2 ≠ 0 + 0i.

Насправді приватне комплексних чисел знаходять шляхом множення чисельника і знаменника на число, пов'язане знаменнику.

Нехай z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 iтоді

.

У наступному прикладі виконаємо поділ за формулою та правилом множення на число, пов'язане знаменнику.

Приклад 4. Знайти приватне .

5) Зведення на цілий позитивний ступінь.

а) Ступені уявної одиниці.

Користуючись рівністю i 2 = -1легко визначити будь-який цілий позитивний ступінь уявної одиниці. Маємо:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1і т.д.

Це показує, що значення ступеня i n, де n– ціле позитивне число, періодично повторюється зі збільшенням показника на 4 .

Тому, щоб звести число iв цілий позитивний ступінь, треба показник ступеня поділити на 4 і звести iу ступінь, показник якої дорівнює залишку від поділу.

Приклад 5. Обчисліть: (i 36 + i 17) · i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (-i) = - i + 1 = 1 - i.

б) Зведення комплексного числа в цілий позитивний ступінь проводиться за правилом зведення двочлена у відповідний ступінь, оскільки воно є окремим випадком множення однакових комплексних співмножників.

Приклад 6. Обчисліть: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.