Kompleks sonlarning geometrik tasviri. Kompleks sonning trigonometrik shakli.
2015-06-04
Haqiqiy va xayoliy o'q
Kompleks son argumenti
Kompleks sonning asosiy argumenti
Kompleks sonning trigonometrik shakli
$z = a+bi$ kompleks sonni ko'rsatish ikki haqiqiy $a,b$ sonini - bu kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlarini ko'rsatishga teng. Lekin $(a,b)$ tartiblangan juft sonlar Dekart toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasida koordinatalari $(a, b)$ boʻlgan nuqta bilan ifodalanadi. Shunday qilib, bu nuqta $z$ kompleks soni uchun tasvir vazifasini ham bajarishi mumkin: kompleks sonlar va koordinata tekisligi nuqtalari o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatiladi.
Kompleks sonlarni ifodalash uchun koordinata tekisligidan foydalanilganda, odatda $Ox$ oʻqi haqiqiy oʻq deb ataladi (chunki sonning haqiqiy qismi nuqtaning abssissasi sifatida qabul qilinadi), $Oy$ oʻqi esa xayoliy oʻq hisoblanadi. (chunki sonning xayoliy qismi nuqtaning ordinatasi sifatida qabul qilinadi).
1-rasm
Shaklda. 1, $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2 raqamlari tasvirlari, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.
Ikkita murakkab konjugat sonlar $Ox$ oʻqiga nisbatan simmetrik nuqtalar bilan ifodalanadi (1-rasmdagi $z_(1)$ va $z_(8)$ nuqtalari).
Guruch. 2
Ko'pincha $z$ kompleks soni bilan bog'langan faqat bu sonni ifodalovchi $M$ nuqtasi emas, balki $O$ dan $M$ gacha bo'lgan $\vec(OM)$ vektori ham; $z$ sonining vektor sifatida ko'rinishi kompleks sonlarni qo'shish va ayirish harakatining geometrik talqini nuqtai nazaridan qulaydir. Shaklda. 2 va $z_(1), z_(2)$ kompleks sonlar yigʻindisini ifodalovchi vektor $\vec(OM_(1)), \vec vektorlari boʻyicha tuzilgan parallelogramma diagonali sifatida olinganligi koʻrsatilgan. (OM_(2)) $ shartlarni ifodalaydi. Vektorlarni qo'shishning ushbu qoidasi parallelogramma qoidasi sifatida tanilgan (masalan, fizika kursida kuchlar yoki tezliklarni qo'shish uchun). Ayirishni qarama-qarshi vektor bilan qo'shishga qisqartirish mumkin (2-rasm, b).
Guruch. 3
Ma'lumki, nuqtaning tekislikdagi o'rnini uning $r, \phi$ qutb koordinatalari orqali ham aniqlash mumkin. Shunday qilib, kompleks son - nuqta affiksi ham $r$ va $\phi$ ko'rsatilishi bilan aniqlanadi. Rasmdan. 3 $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ bir vaqtda $z$ kompleks sonining moduli: sonni ifodalovchi nuqtaning qutb radiusi ekanligi aniq. $z$ bu raqamlarning moduliga teng.
$M$ nuqtaning qutb burchagi shu nuqta bilan ifodalangan $z$ sonining argumenti deyiladi.
Argumentning barcha qiymatlari birgalikda $Arg \: z$ belgisi bilan belgilanadi.
Demak, har qanday kompleks son juft haqiqiy sonlar bilan bog‘lanishi mumkin: berilgan sonning moduli va argumenti va argumenti noaniq aniqlanadi. Aksincha, $|z| moduli berilgan = r$ va $\phi$ argumenti mos keladi birlik$z$ berilgan modul va argumentga ega. Maxsus xususiyatlar nol raqamiga ega: uning moduli nolga teng va argumentga maxsus qiymat berilmagan.
Murakkab sonning argumentini aniqlashda noaniqlikka erishish uchun argumentning qiymatlaridan birini asosiy deb atashga rozi bo'lish mumkin. U $arg \: z$ belgisi bilan belgilanadi. Odatda, argumentning asosiy qiymati tengsizliklarni qondiradigan qiymat sifatida tanlanadi.
$0 \leq arg \: z (boshqa hollarda tengsizliklar $- \pi
Kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari (nuqtaning dekart koordinatalari kabi) uning moduli va argumenti (nuqtaning qutb koordinatalari) orqali quyidagi formulalar yordamida ifodalanadi:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
va kompleks sonni quyidagi trigonometrik shaklda yozish mumkin:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(sonni $z = a + bi$ ko'rinishida yozishni algebraik ko'rinishdagi yozuv deb ataymiz).
Raqamni algebraik shaklda yozishdan trigonometrik shaklda yozishga o'tish va aksincha (4) formulalar bo'yicha amalga oshiriladi:
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
va formulalar (1). Argumentni (uning asosiy qiymati) belgilashda siz birining qiymatidan foydalanishingiz mumkin trigonometrik funktsiyalar$\cos \phi$ yoki $\sin \phi$ va ikkinchisining belgisini hisobga oling.
Misol. Quyidagi raqamlarni trigonometrik shaklda yozing:
a) $6 + 6i$; b) $3i$; c) $-10$.
Yechim, a) Bizda bor
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
qaerdan $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, va shuning uchun
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \o'ng)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \chap (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \o'ng)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$
Kompleks sonlar
Asosiy tushunchalar
Raqam haqidagi dastlabki ma'lumotlar tosh davri - paleomelit davriga to'g'ri keladi. Bular "bir", "oz" va "ko'p". Ular chuqurchalar, tugunlar va boshqalar shaklida qayd etilgan. Rivojlanish mehnat jarayonlari mulkning paydo bo'lishi esa odamni raqamlar va ularning nomlarini ixtiro qilishga majbur qildi. Natural sonlar birinchi bo'lib paydo bo'ldi N, elementlarni sanash orqali olingan. Keyinchalik, hisoblash zarurati bilan bir qatorda, odamlar uzunliklarni, maydonlarni, hajmlarni, vaqtni va boshqa miqdorlarni o'lchash zarurati tug'ildi, bu erda ular qo'llanilgan o'lchov qismlarini hisobga olishlari kerak edi. Kasrlar shunday paydo bo'lgan. Kasr va manfiy sonlar tushunchalarini rasmiy asoslash 19-asrda amalga oshirilgan. Butun sonlar to‘plami Z- bu natural sonlar, minus belgisi va nolga ega natural sonlar. Butun va kasr sonlar ratsional sonlar to‘plamini tashkil qildi Q, lekin doimiy o'zgaruvchan o'zgaruvchilarni o'rganish uchun ham etarli emasligi aniqlandi. Ibtido yana matematikaning nomukammalligini ko'rsatdi: shakl tenglamasini echishning mumkin emasligi. X 2 = 3, shuning uchun irratsional sonlar paydo bo'ldi I. Ratsional sonlar to'plamining birligi Q va irratsional sonlar I- haqiqiy (yoki haqiqiy) raqamlar to'plami R. Natijada, raqamlar chizig'i to'ldirildi: har bir haqiqiy raqam undagi nuqtaga to'g'ri keldi. Lekin ko'pchilikda R shakldagi tenglamani yechishning hech qanday usuli yo'q X 2 = – A 2. Binobarin, son tushunchasini kengaytirish zarurati yana paydo bo'ldi. 1545 yilda kompleks sonlar shunday paydo bo'lgan. Ularning yaratuvchisi J. Kardano ularni "sof salbiy" deb atagan. "Xayoliy" nomi 1637 yilda frantsuz R. Dekart tomonidan kiritilgan, 1777 yilda Eyler frantsuz raqamining birinchi harfidan foydalanishni taklif qilgan. i xayoliy birlikni belgilash uchun. Ushbu belgi K. Gauss tufayli umumiy foydalanishga kirdi.
17—18-asrlarda xayollarning arifmetik tabiati va ularning geometrik talqini haqida munozaralar davom etdi. Daniyalik G. Vessel, fransuz J. Argan va nemis K. Gauss mustaqil ravishda kompleks sonni koordinata tekisligidagi nuqta sifatida tasvirlashni taklif qilishgan. Keyinchalik ma'lum bo'ldiki, raqamni nuqtaning o'zi bilan emas, balki bu nuqtaga kelib chiqadigan vektor bilan ifodalash yanada qulayroqdir.
Faqat 18-asr oxiri - 19-asr boshlarida murakkab sonlar oʻzining munosib oʻrnini egalladi. matematik tahlil. Ularning birinchi qo'llanilishi nazariy jihatdan differensial tenglamalar va gidrodinamika nazariyasida.
Ta'rif 1.Kompleks raqam shaklning ifodasi deyiladi, bu yerda x Va y haqiqiy sonlar va i– xayoliy birlik, .
Ikki kompleks son va teng Agar va faqat agar ,.
Agar bo'lsa, raqam chaqiriladi sof xayoliy; bo'lsa, u holda son haqiqiy son bo'lsa, bu to'plamni anglatadi R BILAN, Qayerda BILAN- kompleks sonlar to'plami.
Konjugat murakkab songa kompleks son deyiladi.
Kompleks sonlarning geometrik tasviri.
Har qanday kompleks son nuqta bilan ifodalanishi mumkin M(x, y) tekislik Oksi. Haqiqiy sonlar juftligi radius vektorining koordinatalarini ham bildiradi 
, ya'ni. tekislikdagi vektorlar to'plami va kompleks sonlar to'plami o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilishi mumkin: .
Ta'rif 2.Haqiqiy qism X.
Belgilash: x= Re z(Lotin Realisdan).
Ta'rif 3.Xayoliy qism kompleks son haqiqiy sondir y.
Belgilash: y= Men z(Lotin Imaginarius dan).
Re z o'qga yotqiziladi ( Oh), Im z o'qga yotqiziladi ( Oh), u holda kompleks songa mos vektor nuqtaning radius vektoridir M(x, y), (yoki M(Re z, Im z)) (1-rasm).
Ta'rif 4. Nuqtalari kompleks sonlar to'plami bilan bog'langan tekislik deyiladi murakkab tekislik. Abscissa o'qi deyiladi haqiqiy o'q, chunki u haqiqiy raqamlarni o'z ichiga oladi. Ordinata o'qi deyiladi xayoliy o'q, unda sof xayoliy kompleks sonlar mavjud. Kompleks sonlar to'plami belgilanadi BILAN.
Ta'rif 5.Modul murakkab son z = (x, y) vektor uzunligi deyiladi: , ya'ni. 
.
Ta'rif 6.Dalil kompleks son - o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak ( Oh) va vektor: 
.
Eslatma 3. Agar nuqta z haqiqiy yoki xayoliy o'qda yotadi, keyin uni to'g'ridan-to'g'ri topishingiz mumkin.
O'tish) raqamlar.
2. Kompleks sonlarni ifodalashning algebraik shakli
Kompleks raqam yoki murakkab, dan iborat sondir ikkita raqam (qismlar) - haqiqiy va xayoliy.
Haqiqiy Har qanday ijobiy yoki manfiy raqam deyiladi, masalan, + 5, - 28 va hokazo. Haqiqiy sonni “L” harfi bilan belgilaymiz.
Xayoliy haqiqiy son va ko'paytmasiga teng son Kvadrat ildiz salbiy birlikdan, masalan, 8, - 20 va boshqalar.
Salbiy birlik deyiladi xayoliy va “yot” harfi bilan belgilanadi:
Hayoliy sondagi haqiqiy sonni “M” harfi bilan belgilaylik.
U holda xayoliy sonni quyidagicha yozish mumkin: j M. Bu holda A kompleks sonni quyidagicha yozish mumkin:
A = L + j M (2).
Haqiqiy va xayoliy qismlarning algebraik yig'indisi bo'lgan kompleks sonni (kompleks) yozishning bunday shakli deyiladi. algebraik.
1-misol. Haqiqiy qismi 6 ga, xayoliy qismi 15 ga teng kompleksni algebraik shaklda ifodalang.
Yechim. A = 6 + j 15.
Algebraik shaklga qo'shimcha ravishda, kompleks son yana uchta bilan ifodalanishi mumkin:
1. grafik;
2. trigonometrik;
3. indikativ.
Bunday xilma-xil shakllar keskin hisob-kitoblarni soddalashtiradi sinusoidal miqdorlar va ularning grafik tasvir.
Keling, grafik, trigonometrik va ko'rsatkichni navbat bilan ko'rib chiqaylik.
murakkab sonlarni ifodalashning yangi shakllari.
Kompleks sonlarni ifodalashning grafik shakli
Kompleks sonlarning grafik tasviri uchun to'g'ridan-to'g'ri
uglerod koordinatalari tizimi. Oddiy (maktab) koordinatalar tizimida ijobiy yoki salbiy qiymatlar "x" (abscissa) va "y" (ordinata) o'qlari bo'ylab chiziladi. haqiqiy raqamlar.
Ramziy usulda qabul qilingan koordinatalar tizimida "x" o'qi bo'ylab
haqiqiy sonlar segmentlar shaklida, xayoliy sonlar esa “y” o‘qi bo‘ylab chiziladi.
Guruch. 1. Kompleks sonlarni grafik tasvirlash uchun koordinatalar tizimi
Shuning uchun x o'qi haqiqiy miqdorlar o'qi deb ataladi yoki qisqacha aytganda, haqiqiy o'qi.
Ordinata o'qi xayoliy miqdorlar o'qi yoki deyiladi xayoliy o'qi.
Murakkab sonlar yoki miqdorlar tasvirlangan tekislikning o'zi (ya'ni, chizma tekisligi) deyiladi. keng qamrovli tekis.
Bu tekislikda A = L + j M kompleks soni A vektor bilan ifodalanadi
(2-rasm), uning haqiqiy o'qga proyeksiyasi uning haqiqiy qismiga teng Re A = A" = L, xayoliy o'qqa proyeksiyasi esa Im A = A" = M tasavvur qismiga teng.
(Re - ingliz tilidan real - real, real, real, Im - ingliz tilidan xayoliy - noreal, xayoliy).
Guruch. 2. Kompleks sonning grafik tasviri
Bunda A sonini quyidagicha yozish mumkin
A = A" + A" = Re A + j Im A (3).
Murakkab tekislikda A sonining grafik tasviridan foydalanib, biz yangi ta'riflarni kiritamiz va ba'zi muhim munosabatlarni olamiz:
1. A vektorining uzunligi deyiladi modul vektor va |A| bilan belgilanadi.
Pifagor teoremasiga ko'ra
|A| = 
(4) .
2. A vektor A va haqiqiy musbat yarmi tomonidan hosil qilingan burchak a
eksa deyiladi dalil vektor A va uning tangensi orqali aniqlanadi:
tg a = A" / A" = Im A / Re A (5).
Shunday qilib, murakkab sonning grafik tasviri uchun
A = A" + A" vektor ko'rinishida sizga kerak:
1. |A| vektorining modulini toping formula (4) bo'yicha;
2. (5) formuladan foydalanib tan a vektorining argumentini toping;
3. a = arc tan a munosabatidan a burchakni toping;
4. j (x) koordinata sistemasida yordamchini chizing
to'g'ri chiziq va uning ustida ma'lum masshtabda |A| vektorining mutlaq qiymatiga teng bo'lgan segmentni chizamiz.
2-misol. A = 3 + j 4 kompleks sonini grafik shaklda keltiring.
Kompleks sonlar, ularning tekislikda tasvirlanishi. Kompleks sonlar ustida algebraik amallar. Murakkab juftlik. Kompleks sonning moduli va argumenti. Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari. Kompleks sonlarning ildizlari. Eksponensial funktsiya murakkab argument. Eyler formulasi. Kompleks sonning ko'rsatkichli shakli.
Integrallashning asosiy usullaridan biri: ratsional kasrlarni integrallashini o'rganayotganda, qat'iy isbotlash uchun murakkab sohadagi ko'phadlarni ko'rib chiqish talab etiladi. Shuning uchun, avvalo, kompleks sonlarning ba'zi xossalarini va ular ustida amallarni o'rganamiz.
Ta'rif 7.1. Kompleks z - tartiblangan juft haqiqiy sonlar (a,b) : z = (a,b) (“tartibli” atamasi kompleks sonni yozishda a va b sonlarining tartibi muhimligini bildiradi: (a). ,b)≠(b,a )). Bunda birinchi a soni z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va a = Re z, ikkinchi b soni esa z ning xayoliy qismi deyiladi: b = Im z.
Ta'rif 7.2. Ikki kompleks son z 1 = (a 1 , b 1) va z 2 = (a 2 , b 2) teng bo‘ladi, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo‘lsa, ya’ni a 1 = a 2, b 1 = b 2 .
Kompleks sonlar ustida amallar.
1. Miqdori murakkab sonlar z 1 =(a 1, b 1) Va z 2 =(a 2, b 2 z =(a,b) shu kabi a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Qo'shish xususiyatlari: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) 0 = (0,0) kompleks son mavjud: z + 0 =z har qanday murakkab son uchun z.
2. Ish murakkab sonlar z 1 =(a 1, b 1) Va z 2 =(a 2, b 2) kompleks son deyiladi z =(a,b) shu kabi a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Ko'paytirishning xossalari: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
Izoh. Kompleks sonlar to'plamining kichik to'plami - bu shaklning kompleks raqamlari sifatida aniqlangan haqiqiy sonlar to'plami ( A, 0). Ko'rinib turibdiki, kompleks sonlar ustida amallar ta'rifi haqiqiy sonlar bilan mos keladigan amallar uchun ma'lum qoidalarni saqlab qoladi. Bundan tashqari, haqiqiy son 1 = (1,0) har qanday kompleks songa ko'paytirilganda o'z xususiyatini saqlab qoladi: 1∙ z = z.
Ta'rif 7.3. Kompleks raqam (0, b) deyiladi sof xayoliy. Xususan, (0,1) raqami chaqiriladi xayoliy birlik va belgisi bilan belgilanadi i.
Xayoliy birlikning xususiyatlari:
1) i∙i=i² = -1; 2) sof xayoliy son (0, b) haqiqiy sonning mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin ( b, 0) va i: (b, 0) = b∙i.
Demak, har qanday kompleks son z = (a,b) quyidagicha ifodalanishi mumkin: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.
Ta'rif 7.4. z = a + ib ko'rinishdagi yozuv deyiladi algebraik shakl murakkab sonni yozish.
Izoh. Kompleks sonlarning algebraik belgilanishi ularga muvofiq amallarni bajarish imkonini beradi normal qoidalar algebra.
Ta'rif 7.5. Kompleks son z = a + ib ning kompleks konjugati deyiladi.
3. Ayirish Kompleks sonlar qo‘shishning teskari amali sifatida aniqlanadi: z =(a,b) kompleks sonlar ayirmasi deyiladi z 1 =(a 1, b 1) Va z 2 =(a 2, b 2), Agar a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.
4. Bo'lim murakkab sonlar ko'paytirishning teskari amali sifatida aniqlanadi: son z = a + ib bo'linish qismi deb ataladi z 1 = a 1 + ib 1 Va z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), agar z 1 = z∙z 2. Binobarin, tenglamalar tizimini yechish orqali qismning haqiqiy va xayoliy qismlarini topish mumkin: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.
Kompleks sonlarning geometrik talqini.
Kompleks raqam z =(a,b) koordinatalari bo'lgan tekislikdagi nuqta sifatida tasvirlanishi mumkin ( a,b) yoki vektorning kelib chiqishi boshida va oxiri ( nuqtasida) a,b).
Bunday holda, hosil bo'lgan vektorning moduli deyiladi modul kompleks son va abscissa o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchak dalil raqamlar. Shuni hisobga olib a = r cos ph, b = r gunoh φ, Qayerda ρ = |z| - modul z, va ph = arg z uning argumentidir, siz murakkab sonni yozishning boshqa shaklini olishingiz mumkin:
Ta'rif 7.6. Yozib olish turi
z = r(chunki ph + i gunoh φ ) (7.1)
chaqirdi trigonometrik shakl murakkab sonni yozish.
O'z navbatida, kompleks sonning moduli va argumenti orqali ifodalanishi mumkin A Va b: 
. Binobarin, kompleks sonning argumenti yagona aniqlanmaydi, balki 2p ga karrali bo'lgan hadgacha.
Kompleks sonlarni qo'shish operatsiyasi vektorlarni qo'shish operatsiyasiga mos kelishini tekshirish oson. Keling, ko'paytirishning geometrik talqinini ko'rib chiqaylik. Unda ruxsat bering
Demak, ikkita kompleks sonning ko'paytmasining moduli mahsulotga teng ularning modullari, argument esa ularning argumentlarining yig'indisidir. Shunga ko'ra, bo'linishda bo'linish moduli dividend va bo'luvchi modullarining nisbatiga teng, argument esa ularning argumentlarining farqidir.
Ko'paytirish amalining alohida holati ko'rsatkichdir:
- Moivre formulasi.
Olingan munosabatlardan foydalanib, biz murakkab konjugat sonlarning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz:
