5. Revolyutsiya jismlarining sirt maydonini topish

AB egri chizig'i y = f(x) ≥ 0 funksiyaning grafigi bo'lsin, bu erda x [a; b] va y = f(x) funksiya va uning hosilasi y" = f"(x) bu segmentda uzluksizdir.

AB egri chizig'ining Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirtning S maydoni topilsin (8-rasm).

II sxemani (differensial usul) qo'llaymiz.

Ixtiyoriy x nuqta orqali [a; b] Ox o'qiga perpendikulyar P tekislik chizamiz. P tekislik aylanish sirtini radiusi y – f(x) aylana bo‘ylab kesib o‘tadi. Revolyutsiya figurasining tekislikning chap tomonida yotgan qismi sirtining S o'lchami x ning funksiyasi, ya'ni. s = s (x) (s (a) = 0 va s (b) = S).

X argumentiga Dx = dx ortishini beraylik. x + dx nuqta orqali [a; b] Ox o'qiga perpendikulyar tekislik ham chizamiz. s = s(x) funktsiyasi rasmda "kamar" sifatida ko'rsatilgan Ds ga o'sadi.

Kesimlar orasida hosil bo‘lgan figurani generatrisi dl ga, asoslar radiuslari y va y+du ga teng bo‘lgan kesik konus bilan almashtirib, ds differensial maydoni topilsin. Uning lateral yuzasining maydoni teng: = 2ydl + dydl.

du d1 ko'paytmani ds dan yuqori tartibli cheksiz kichik deb rad etib, biz ds = 2udl ni olamiz, chunki d1 = dx.

X = a dan x = b oralig'ida hosil bo'lgan tenglikni integratsiyalash orqali biz hosil bo'lamiz

Agar AB egri chizig'i x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda aylanish sirt maydoni formulasi shaklni oladi.

S=2 dt.

Misol: R radiusli sharning sirt maydonini toping.

S=2 =

6. O‘zgaruvchan kuchning ishini topish

O'zgaruvchan kuch ishi

Mayli moddiy nuqta M bu o'qqa parallel yo'naltirilgan F = F(x) o'zgaruvchan kuch ta'sirida Ox o'qi bo'ylab harakatlanadi. M nuqtani x = a holatidan x = b holatiga ko'chirishda kuch tomonidan bajarilgan ish (a

Prujinani 0,05 m ga cho‘zish uchun 100 N kuch ta’sirida prujinani 0,01 m ga cho‘zish uchun qancha ish qilish kerak?

Guk qonuniga ko'ra, prujinani cho'zuvchi elastik kuch bu cho'zilish x ga proportsionaldir, ya'ni. F = kx, bu erda k - mutanosiblik koeffitsienti. Masalaning shartlariga ko'ra F = 100 N kuch prujinani x = 0,01 m ga cho'zadi; shuning uchun 100 = k 0,01, bundan k = 10000; shuning uchun F = 10000x.

Formula asosida kerakli ish

A=

Balandligi N m va tayanch radiusi R m bo'lgan vertikal silindrsimon rezervuardan suyuqlikni chetidan haydash uchun sarflanishi kerak bo'lgan ishni toping (13-rasm).

Og'irligi p bo'lgan jismni h balandlikka ko'tarish uchun sarflangan ish p N ga teng. Lekin tankdagi suyuqlikning turli qatlamlari turli xil chuqurliklarda va ko'tarilish balandligi (tankning chetiga) turli xil qatlamlari bir xil emas.

Muammoni hal qilish uchun biz II sxemani qo'llaymiz (differensial usul). Keling, koordinatalar tizimini joriy qilaylik.

1) Qalinligi x (0 ≤ x ≤ H) bo‘lgan suyuqlik qatlamini rezervuardan haydashga sarflangan ish x funksiyasi, ya’ni. A = A (x), bu erda (0 ≤ x ≤ H) (A (0) = 0, A (H) = A 0).

2) x Dx = dx miqdoriga o'zgarganda DA o'sishning asosiy qismini toping, ya'ni. A(x) funksiyaning dA differensialini topamiz.

Dx ning kichikligi tufayli biz suyuqlikning "elementar" qatlami bir xil chuqurlikda joylashgan deb taxmin qilamiz x (rezervuarning chetidan). Keyin dA = drx, bu erda dr - bu qatlamning og'irligi; u g AV ga teng, bu erda g - tortishish tezlashishi, suyuqlikning zichligi, dv - suyuqlikning "elementar" qatlamining hajmi (u rasmda ta'kidlangan), ya'ni. dr = g. Ko'rsatilgan suyuqlik qatlamining hajmi aniq ga teng, bu erda dx - silindr (qatlam) balandligi, uning asosining maydoni, ya'ni. dv =.

Shunday qilib, dr =. Va

3) X = 0 dan x = H oralig'ida hosil bo'lgan tenglikni integratsiyalash orqali topamiz

A

8. MathCAD paketi yordamida integrallarni hisoblash

Ayrim amaliy masalalarni yechishda ramziy integratsiya operatsiyasidan foydalanish zarur. Bunday holda, MathCad dasturi boshlang'ich bosqichda ham (javobni oldindan bilish yoki uning mavjudligini bilish yaxshi) va yakuniy bosqichda (natijani boshqa manba yoki javobdan foydalanib tekshirish yaxshi) foydali bo'lishi mumkin. boshqa shaxsning yechimi).

Ko'p sonli muammolarni echishda siz MathCad dasturidan foydalangan holda muammolarni hal qilishning ba'zi xususiyatlarini ko'rishingiz mumkin. Keling, ushbu dastur qanday ishlashini bir nechta misollar bilan tushunishga harakat qilaylik, uning yordami bilan olingan echimlarni tahlil qilamiz va bu echimlarni boshqa usullar bilan olingan echimlar bilan solishtiramiz.

MathCad dasturidan foydalanishdagi asosiy muammolar quyidagilardan iborat:

a) dastur javobni tanish elementar funksiyalar ko‘rinishida emas, balki hammaga ma’lum bo‘lmagan maxsus funksiyalar ko‘rinishida beradi;

b) ba'zi hollarda muammoning yechimi mavjud bo'lsa-da, javob berishdan "rad etadi";

v) ba'zan olingan natijaning noqulayligi tufayli foydalanish mumkin emas;

d) masalani to'liq hal qilmaydi va yechimni tahlil qilmaydi.

Ushbu muammolarni hal qilish uchun dasturning kuchli va zaif tomonlaridan foydalanish kerak.

Uning yordami bilan kasr ratsional funktsiyalarning integrallarini hisoblash oson va sodda. Shuning uchun, o'zgaruvchan almashtirish usulini qo'llash tavsiya etiladi, ya'ni. Yechim uchun integralni oldindan tayyorlang. Ushbu maqsadlar uchun yuqorida muhokama qilingan almashtirishlardan foydalanish mumkin. Shuni ham yodda tutish kerakki, olingan natijalar asl funktsiyani aniqlash sohalari va olingan natijaning mos kelishi uchun tekshirilishi kerak. Bundan tashqari, olingan ba'zi echimlar qo'shimcha tadqiqotlarni talab qiladi.

MathCad dasturi talaba yoki tadqiqotchini muntazam ishdan ozod qiladi, lekin muammoni qo'yishda ham, biron bir natija olishda ham uni qo'shimcha tahlildan ozod qila olmaydi.

Ushbu maqolada matematika kursida aniq integralning qo'llanilishini o'rganish bilan bog'liq asosiy qoidalar ko'rib chiqildi.

– integrallarni yechishning nazariy asoslari tahlil qilindi;

- material tizimlashtirildi va umumlashtirildi.

Kurs ishini bajarish jarayonida fizika, geometriya, mexanika fanlaridan amaliy masalalar misollari ko‘rib chiqildi.

Xulosa

Yuqorida ko'rib chiqilgan amaliy muammolar misollari bizga ahamiyati haqida aniq tasavvur beradi aniq integral ularning echilishi uchun.

Umuman olganda, integral hisoblash usullari, xususan, aniq integralning xossalari ishlatilmaydigan ilmiy sohani nomlash qiyin. Shunday qilib, kurs ishini bajarish jarayonida biz fizika, geometriya, mexanika, biologiya va iqtisod fanlaridan amaliy masalalar misollarini ko'rib chiqdik. Albatta, bu muayyan muammoni hal qilish va nazariy faktlarni o'rnatishda belgilangan qiymatni izlash uchun integral usuldan foydalanadigan fanlarning to'liq ro'yxatidan uzoqdir.

Aniq integral matematikani o'rganish uchun ham qo'llaniladi. Masalan, differensial tenglamalarni yechishda, ular o'z navbatida amaliy masalalarni yechishda o'zgarmas hissa qo'shadi. Aytishimiz mumkinki, aniq integral matematikani o'rganish uchun ma'lum bir asosdir. Shuning uchun ularni qanday hal qilishni bilish muhim.

Yuqorida aytilganlarning barchasidan ma'lum bo'ladiki, aniq integral bilan tanishish nima uchun o'rta maktab doirasida sodir bo'ladi, bu erda o'quvchilar nafaqat integral tushunchasi va uning xossalarini, balki uning ayrim qo'llanilishini ham o'rganadilar.

Adabiyot

1. Volkov E.A. Raqamli usullar. M., Nauka, 1988 yil.

2. Piskunov N.S. Differensial va integral hisoblar. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Oliy matematika. M., Oliy maktab, 1990 y.

I. Aylanish jismlarining hajmlari. G. M. Fixtengolts darsligidan XII bob, 197, 198-bandlarni oldindan o'rganing * 198-bandda keltirilgan misollarni batafsil tahlil qiling.

508. Ellipsni Ox o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang.

Shunday qilib,

530. y = sin x sinusoid yoyining Ox o'qi atrofida X = 0 nuqtadan X = It nuqtasigacha aylanish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping.

531. Balandligi h va radiusi r bo'lgan konusning sirt maydonini hisoblang.

532. Hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang

astroid x3 -)- y* - a3 ning Ox o'qi atrofida aylanishi.

533. 18 ug - x (6 - x) z egri chiziq halqasini Ox o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

534. X2 - j - (y-3)2 = 4 aylananing Ox o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan torusning sirtini toping.

535. Ox o'qi atrofida X = a xarajat, y = asint aylana aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

536. X = 9t2, y = St - 9t3 egri chiziq halqasining Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

537. Ox o'qi atrofida x = e*sint, y = el xarajatlar egri yoyini aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping.

t = 0 dan t = — gacha.

538. Sikloid yoyning x = a (q> -sin ph), y = a (I - cos ph) Oy o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan sirt 16 u2 o2 ga teng ekanligini ko'rsating.

539. Kardioidni qutb o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan sirtni toping.

540. Lemniskatning aylanishidan hosil bo‘lgan sirt maydonini toping Qutb o'qi atrofida.

IV bob uchun qo'shimcha vazifalar

Samolyot figuralarining maydonlari

541. Egri chiziq bilan chegaralangan mintaqaning butun maydonini toping Va Ox o'qi.

542. Egri chiziq bilan chegaralangan hudud maydonini toping

Va Ox o'qi.

543. Viloyat maydonining birinchi kvadrantda joylashgan va egri chiziq bilan chegaralangan qismini toping.

l koordinata o'qlari.

544. Ichkarida joylashgan hududning maydonini toping

halqalar:

545. Egri chiziqning bir halqasi bilan chegaralangan hudud maydonini toping:

546. Doira ichidagi mintaqaning maydonini toping:

547. Egri chiziq bilan chegaralangan hudud maydonini toping

Va Ox o'qi.

548. Egri chiziq bilan chegaralangan hudud maydonini toping

Va Ox o'qi.

549. Oxr o'qi bilan chegaralangan hudud maydonini toping

to'g'ri va egri

Aylanish yuzasi- ixtiyoriy chiziqning (to'g'ri, tekis yoki fazoviy egri) to'g'ri chizig'i (sirt o'qi) atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan sirt. Misol uchun, agar to'g'ri chiziq aylanish o'qini kesib o'tsa, u aylansa, u o'qga parallel bo'lsa, u silindrsimon bo'ladi, bir varaqli giperboloid; inqilobga erishiladi. Xuddi shu sirtni turli xil egri chiziqlarni aylantirish orqali olish mumkin. Egri chiziq tekisligida yotgan, lekin egri chiziqni kesib o'tmaydigan o'q atrofida chekli uzunlikdagi tekislik egri chizig'ining aylanishi natijasida hosil bo'lgan inqilob yuzasining maydoni egri chiziq uzunligi va uzunligi ko'paytmasiga teng. radiusi o'qdan egri chiziqning massa markazigacha bo'lgan masofaga teng bo'lgan doira. Bu bayonot Gyldenning ikkinchi teoremasi yoki Pappusning centroid teoremasi deb ataladi.

Egri chiziqning o'q atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan inqilob sirtining maydoni formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Egri chiziq qutbli koordinatalar tizimida ko'rsatilgan bo'lsa, formula to'g'ri keladi

Aniq integralning mexanik qo'llanilishi (kuchlar ishi, statik momentlar, og'irlik markazi).

Kuchlarning ishini hisoblash

Moddiy nuqta uzluksiz differensiallanuvchi egri chiziq bo'ylab harakatlanadi, shu bilan birga unga harakat yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan kuch ta'sir qiladi. F(lar) kuchi bilan bajarilgan umumiy ish:

Agar nuqtaning harakat traektoriyasidagi holati boshqa parametr bilan tasvirlangan bo'lsa, formula quyidagi shaklni oladi:

Statik momentlarni va og'irlik markazini hisoblash
Oxy koordinata tekisligida ma'lum bir S nuqtalar to'plamiga p = p (y) zichlik bilan qandaydir M massa taqsimlansin (bu egri chiziq yoyi yoki chegaralangan tekis shakl bo'lishi mumkin). s(y) ni belgilaymiz - ko'rsatilgan to'plamning o'lchovi (yoy uzunligi yoki maydoni).

Ta'rif 2. Raqam chaqirdi k moment Ox o'qiga nisbatan M massasi.
k = 0 da M 0 = M - massa,
k = 1 M 1 - statik moment,
k = 2 M 2 - inersiya momenti.

Oy o'qi haqidagi lahzalar xuddi shunday kiritiladi. Fazoda koordinata tekisliklariga nisbatan massa momentlari tushunchalari ham xuddi shunday tarzda kiritiladi.
Agar p = 1 bo'lsa, unda mos keladigan momentlar geometrik deyiladi. Bir hil (p - const) tekis figuraning og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

bu yerda M 1 y, M 1 x figuraning Oy va Ox o'qlariga nisbatan geometrik statik momentlari; S - rasmning maydoni.

Agar egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda bu egri chiziqni o'q atrofida aylantirish natijasida olingan sirt maydoni formula bo'yicha hisoblanadi. . Bunday holda, maqolada juda ko'p nusxalari buzilgan chiziqning "chizish yo'nalishi" befarq. Ammo, avvalgi xatboshida bo'lgani kabi, egri chiziqning joylashganligi muhimdir yuqoriroq abscissa o'qi - aks holda "o'yinlar uchun mas'ul" funktsiyasi salbiy qiymatlarni oladi va siz integral oldiga "minus" belgisini qo'yishingiz kerak bo'ladi.

3-misol

Aylanani eksa atrofida aylantirish orqali olingan sharning maydonini hisoblang.

Yechim: maqoladan parametrik aniqlangan chiziq uchun maydon va hajm bo'yicha bilasizki, tenglamalar markazi 3 radiusning boshida bo'lgan doirani aniqlaydi.

yaxshi va shar , unutganlar uchun bu yuzaki to'p(yoki sferik sirt).

Biz belgilangan yechim sxemasiga amal qilamiz. Keling, hosilalarni topamiz:

Keling, "formula" ildizini tuzamiz va soddalashtiramiz:

Aytishga hojat yo'q, bu konfet bo'lib chiqdi. Taqqoslash uchun Fichtenholtzning bu hudud bilan boshini qanday o'tkazganini tekshiring inqilob ellipsoidi.

Nazariy izohga ko'ra, biz yuqori yarim doira ko'rib chiqamiz. Parametr qiymati chegaralar ichida o'zgarganda "chiziladi" (buni ko'rish oson bu oraliqda), shunday qilib:

Javob:

Muammoni ichida hal qilsangiz umumiy ko'rinish, keyin siz sharning maydoni uchun aniq maktab formulasini olasiz, uning radiusi qayerda.

Bu juda og'riqli oddiy ish edi, men hatto uyaldim ... Bu xatoni tuzatishingizni tavsiya qilaman =)

4-misol

Sikloidning birinchi yoyini o'q atrofida aylantirish natijasida olingan sirt maydonini hisoblang.

Vazifa ijodiydir. Egri chiziqni ordinata o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan sirt maydonini hisoblash formulasini chiqarishga yoki intuitiv ravishda taxmin qilishga harakat qiling. Va, albatta, parametrik tenglamalarning afzalligini yana bir bor ta'kidlash kerak - ularni hech qanday tarzda o'zgartirish kerak emas; boshqa integratsiya chegaralarini topish bilan bezovtalanishning hojati yo'q.

Sikloid grafigini sahifada ko'rish mumkin Maydon va hajm, agar chiziq parametrik ravishda ko'rsatilgan bo'lsa. Aylanish yuzasi o'xshaydi ... Men uni nima bilan solishtirishni ham bilmayman ... g'ayrioddiy narsa - o'rtada o'tkir chuqurchaga ega dumaloq shakl. Tsikloidning o'q atrofida aylanishi haqida darhol xayolga birlashma keldi - cho'zinchoq regbi to'pi.

Yechim va javob dars oxirida.

Biz qiziqarli sharhimizni ish bilan yakunlaymiz qutb koordinatalari. Ha, darsliklarni ko'rib chiqsangiz, aniq sharh matematik tahlil(Fichtengolts, Boxan, Piskunov va boshqa mualliflar), siz o'nlab (yoki undan ham ko'proq) olishingiz mumkin. standart misollar, ular orasida sizga kerakli vazifani topishingiz mumkin.

Revolyutsiyaning sirt maydonini qanday hisoblash mumkin,
agar chiziq qutbli koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa?

Agar egri chiziq berilgan bo'lsa qutb koordinatalari tenglama va funktsiya berilgan oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo'lsa, u holda bu egri chiziqni qutb o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan sirt maydoni formula bilan hisoblanadi. , qayerda egri chiziqning uchlariga to'g'ri keladigan burchak qiymatlari.

Masalaning geometrik ma’nosiga mos ravishda integral funksiyasi , va bunga faqat shart ostida erishiladi (va shubhasiz, salbiy emas). Shuning uchun, diapazondan burchak qiymatlarini hisobga olish kerak, boshqacha qilib aytganda, egri joylashgan bo'lishi kerak yuqoriroq qutb o'qi va uning davomi. Ko'rib turganingizdek, oldingi ikkita xatboshidagi kabi bir xil voqea.

5-misol

Kardioidni qutb o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

Yechim: bu egri chiziqning grafigini darsning 6-misolida ko'rish mumkin qutbli koordinatalar tizimi. Kardioid qutb o'qiga nisbatan nosimmetrikdir, shuning uchun biz uning yuqori yarmini intervalda ko'rib chiqamiz (bu, aslida, yuqoridagi eslatma bilan bog'liq).

Aylanish yuzasi buqaga o'xshaydi.

Yechim texnologiyasi standartdir. Keling, "phi" ga nisbatan hosilani topamiz:

Keling, ildizni tuzamiz va soddalashtiramiz:

Umid qilamanki, oddiylar bilan trigonometrik formulalar hech kim qiyinchilikka duch kelmadi.

Biz formuladan foydalanamiz:

Orasida , shuning uchun: (Men maqolada ildizdan qanday qilib to'g'ri qutulish haqida batafsil gapirib berdim Egri yoy uzunligi).

Javob:

Qiziqarli va qisqa vazifa mustaqil qaror:

6-misol

Sferik kamarning maydonini hisoblang,

Koptokli kamar nima? Stolga dumaloq, tozalanmagan apelsinni qo'ying va pichoqni oling. Ikkita qiling parallel kesib, shu bilan mevani ixtiyoriy o'lchamdagi 3 qismga bo'linadi. Endi har ikki tomonning suvli go'shti ochilgan markazni oling. Bu tana deyiladi sferik qatlam, va uni chegaralovchi sirt (apelsin qobig'i) - sharli kamar.

O'quvchilar bilan tanish qutb koordinatalari, muammoning chizmasini osongina taqdim etdi: tenglama radius qutbida markazi bo'lgan doirani belgilaydi, undan nurlar qirqib tashlash Ozroq yoy. Ushbu yoy qutb o'qi atrofida aylanadi va shuning uchun sferik kamar hosil qiladi.

Endi siz apelsinni toza vijdon va engil yurak bilan iste'mol qilishingiz mumkin va biz ushbu mazali eslatma bilan darsni tugatamiz, boshqa misollar bilan ishtahangizni buzmang =)

Yechimlar va javoblar:

2-misol:Yechim : yuqori shoxning aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang abscissa o'qi atrofida. Biz formuladan foydalanamiz .
Ushbu holatda: ;

Shunday qilib:


Javob:

4-misol:Yechim : formuladan foydalaning . Segmentda sikloidning birinchi yoyi aniqlanadi .
Keling, hosilalarni topamiz:

Keling, ildizni tuzamiz va soddalashtiramiz:

Shunday qilib, aylanish sirtining maydoni:

Orasida , Shunung uchun

Birinchi integralqismlar bo'yicha birlashtiring :

Ikkinchi integralda biz foydalanamiztrigonometrik formula .


Javob:

6-misol:Yechim : formuladan foydalaning:


Javob:

Sirtqi talabalar uchun oliy matematika va boshqalar >>>

(Asosiy sahifaga o'tish)

Aniq integralni qanday hisoblash mumkin
trapezoidal formula va Simpson usuli yordamida?

Raqamli usullar oliy matematikaning juda katta bo'limi bo'lib, ushbu mavzu bo'yicha jiddiy darsliklar yuzlab sahifalarni o'z ichiga oladi. Amalda, in testlar An'anaviy ravishda, ba'zi muammolarni raqamli usullar yordamida hal qilish taklif etiladi va umumiy muammolardan biri bu taxminiy hisoblashdir. aniq integrallar. Ushbu maqolada men aniq integralni taxminiy hisoblashning ikkita usulini ko'rib chiqaman - trapezoid usuli Va Simpson usuli.

Ushbu usullarni o'zlashtirish uchun nimani bilishingiz kerak? Bu kulgili tuyulishi mumkin, lekin siz umuman integrallarni qabul qila olmasligingiz mumkin. Va siz integrallar nima ekanligini ham tushunmaysiz. Kimdan texnik vositalar Sizga mikro kalkulyator kerak bo'ladi. Ha, ha, bizni odatiy maktab hisob-kitoblari kutmoqda. Yaxshisi, menikini yuklab oling trapezoidal usul va Simpson usuli uchun yarim avtomatik kalkulyator. Kalkulyator Excelda yozilgan bo'lib, muammolarni echish va bajarish uchun zarur bo'lgan vaqtni o'nlab marta qisqartiradi. Excel dummies uchun video qo'llanma kiritilgan! Aytgancha, mening ovozim bilan birinchi video yozuv.

Birinchidan, o'zimizga savol beraylik, nima uchun bizga taxminiy hisob-kitoblar kerak? Siz funktsiyaning antiderivativini topishingiz va Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanishingiz mumkin. aniq qiymat aniq integral. Savolga javob berish uchun darhol rasm bilan demo misolini ko'rib chiqaylik.

Aniq integralni hisoblang

Hammasi yaxshi bo'lardi, lekin bu misolda integralni olib bo'lmaydi - sizning oldingizda olinmagan integral mavjud. integral logarifm. Bu integral hatto mavjudmi? Chizmada integral funksiya grafigini tasvirlaymiz:

Hammasi yaxshi. Integratsiya davomiy segmentida va aniq integral son jihatdan soyali maydonga teng. Faqat bitta narsa bor: integralni olib bo'lmaydi. Va bunday hollarda raqamli usullar yordamga keladi. Bunday holda, muammo ikkita formulada yuzaga keladi:

1) Aniq integralni taxminan hisoblang , natijani ma'lum bir kasrga yaxlitlash. Masalan, ikki kasrgacha, uchta kasrgacha va hokazo. Taxminiy javob 5,347 deb faraz qilaylik. Aslida, bu butunlay to'g'ri bo'lmasligi mumkin (aslida, aytaylik, aniqroq javob 5,343). Bizning vazifamiz faqat shu natijani uchta kasrgacha yaxlitlash uchun.

2) Aniq integralni taxminan hisoblang, ma'lum bir aniqlik bilan. Masalan, taxminan 0,001 aniqlik bilan aniq integralni hisoblang. Bu nima degani? Bu shuni anglatadiki, agar taxminiy javob 5,347 bo'lsa, unda Hammasi raqamlar temir-beton bo'lishi kerak to'g'ri. Aniqrog'i, 5.347 javobi mutlaq qiymatdagi haqiqatdan (bir yo'nalishda yoki boshqasida) 0,001 dan ko'p bo'lmagan farq qilishi kerak.

Muammolarda yuzaga keladigan aniq integralni taxminiy hisoblashning bir necha asosiy usullari mavjud:

To'rtburchaklar usuli. Integratsiya segmenti bir necha qismlarga bo'linadi va qadam figurasi quriladi ( ustunli diagramma), kerakli hududga yaqin joylashgan:

Chizmalar bo'yicha qat'iy hukm qilmang, aniqlik ideal emas - ular faqat usullarning mohiyatini tushunishga yordam beradi.

Ushbu misolda integratsiya segmenti uchta segmentga bo'lingan:
. Shubhasiz, bo'linish qanchalik tez-tez bo'lsa (oraliq segmentlar kichikroq bo'lsa), aniqlik shunchalik yuqori bo'ladi. To'rtburchaklar usuli maydonning taxminiy taxminini beradi, shuning uchun u amalda juda kam uchraydi (faqat bittasini eslayman) amaliy misol). Shu munosabat bilan men to'rtburchaklar usulini ko'rib chiqmayman va hatto bermayman oddiy formula. Men dangasaligim uchun emas, balki mening yechim kitobimning printsipi tufayli: amaliy masalalarda juda kam uchraydigan narsa hisobga olinmaydi.

Trapezoid usuli. Fikr o'xshash. Integratsiya segmenti bir nechta oraliq segmentlarga bo'linadi va integratsiya funktsiyasining grafigi yaqinlashadi. singan chiziq qator:

Shunday qilib, bizning hududimiz (ko'k soya) trapezoidlar (qizil) maydonlarining yig'indisi bilan yaqinlashadi. Shuning uchun usulning nomi. Ko'rish osonki, trapezoid usuli to'rtburchaklar usuliga qaraganda ancha yaxshi yaqinlik beradi (bir xil sonli bo'linmalar bilan). Va, tabiiyki, biz qanchalik kichikroq oraliq segmentlarni ko'rib chiqsak, aniqlik shunchalik yuqori bo'ladi. Trapezoid usuli vaqti-vaqti bilan amaliy vazifalarda topiladi va ushbu maqolada bir nechta misollar ko'rib chiqiladi.

Simpson usuli (parabola usuli). Bu yanada ilg'or usul - integrand grafigi siniq chiziq bilan emas, balki kichik parabolalar bilan yaqinlashadi. Oraliq segmentlar qancha bo'lsa, shuncha kichik parabola mavjud. Agar biz bir xil uchta segmentni oladigan bo'lsak, Simpson usuli to'rtburchaklar usuli yoki trapezoid usulidan ham aniqroq yaqinlashishni beradi.

Men chizma yaratishda ma'noni ko'rmayapman, chunki vizual yaqinlashish funksiya grafigiga qo'yiladi (oldingi paragrafning siniq chizig'i - va shunga qaramay, u deyarli bir-biriga to'g'ri keldi).

Simpson formulasi yordamida aniq integralni hisoblash masalasi amaliyotda eng ommabop vazifa hisoblanadi. Va parabola usuliga katta e'tibor beriladi.

Ushbu formula tananing hajmini parallel kesimlar maydoni bo'yicha formula deb ataladi.

Misol. Ellipsoidning hajmini toping x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Ellipsoidni Oyz tekisligiga parallel va undan uzoqlikda (-a ≤x ≤a) tekislik bilan kesib, ellips hosil qilamiz (15-rasmga qarang):

Ushbu ellipsning maydoni

Shuning uchun, (16) formulaga muvofiq, biz bor

Revolyutsiyaning sirt maydonini hisoblash

AB egri chizig'i y = f (x) ≥ 0 funksiyaning grafigi bo'lsin, bunda x [a,b], y = f (x) funksiya va uning hosilasi y" = f" (x) bu uzluksizdir. segment.

Keyin AB egri chizig'ining Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirtning S maydoni formula bo'yicha hisoblanadi.

Agar AB egri chizig'i x = x (t), u = u (t), t 1 ≤t ≤t 2 parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda aylanish sirt maydoni formulasi shaklni oladi.

S x = 2 p ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt.

Misol R radiusli sharning sirt maydonini toping. Yechim:

Biz sharning sirtini Ox o'qi atrofida y = R 2 - x 2, - R ≤x ≤R yarim doira aylanishidan hosil bo'lgan deb taxmin qilishimiz mumkin. (19) formuladan foydalanib topamiz

2 p ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 p Rx− R R = 4 p R2 .

−R

Misol. X = a (t - sin t) sikloid berilgan bo'lsa, 0 ≤ t ≤ 2 p. y = a (1− xarajat),

Ox o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping. Yechim:

Tsikloid yoyning yarmi Ox o'qi atrofida aylanganda, aylanish sirtining maydoni teng bo'ladi.

Tekislik egri chizig'ining yoy uzunligini hisoblash

To'rtburchak koordinatalar

Yoy bo'lsin, siniq chiziqning bo'g'inlari soni cheksiz ko'payganda va eng katta to'rtburchaklar koordinatalarining uzunligi AB tekis egri chizig'i berilganda, tenglamasi y = f(x), bu erda a ≤ x≤ b. .

AB yoyining uzunligi deganda, bu zvenoga chizilgan siniq chiziq uzunligi nolga moyil bo'lgan chegara tushuniladi. Ko'rsataylikki, agar y = f(x) funksiya va uning hosilasi y′ = f' (x) [a ,b ] segmentida uzluksiz bo'lsa, u holda AB egri chizig'i ga teng uzunlikka ega bo'ladi.

AB egri chizig'ining tenglamasi parametrik shaklda berilgan bo'lsa

x = x(t) , a ≤ t ≤ b , y= y(t) ,

bu yerda x (t) va y (t) uzluksiz hosilalari va x (a) = a, x (b) = b bo‘lgan uzluksiz funksiyalar bo‘lsa, AB egri chizig‘ining uzunligi l formula bo‘yicha topiladi.

Bu l = 2p R degan ma'noni anglatadi. Agar aylana tenglamasi parametrik ko'rinishda yozilsa = R xarajat, y = R sint (0 ≤t ≤ 2p ), u holda

Polar koordinatalar

AB egri chizig'i qutb koordinatalarida r =r (s),a ≤ s ≤ b tenglama bilan berilgan bo'lsin. Faraz qilaylik, r (s ) va r" (s ) [a , b ] oraliqda uzluksiz.

Agar x = r cosō, y = r sinu tengliklarida qutb va dekart koordinatalarini bog'lovchi bo'lsa,

s burchagi parametr sifatida qabul qilinadi, u holda AB egri chizig'i parametrik ravishda o'rnatilishi mumkinx = r (u) cos s,

y = r(s) sinu.

(15) formuladan foydalanib, l = ∫ r 2 + r ′ 2 d s ni olamiz.

Misol Kardioid uzunligini toping r =a (1 + cosŕ ). Yechim:

Kardioid r =a (1 + cosŕ) 14-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. U qutb o'qiga nisbatan simmetrikdir. Kardioid uzunligining yarmini topamiz:

Shunday qilib, 1 2 l = 4 a. Bu l = 8a degan ma'noni anglatadi.