Zinalar. Kirish guruhi. Materiallar. Eshiklar. Qulflar. Dizayn

Biz sizga qulay bepul taklif qilamiz onlayn kalkulyator kvadrat tenglamalarni yechish uchun. Aniq misollar yordamida ular qanday hal qilinganligini tezda olishingiz va tushunishingiz mumkin.
Ishlab chiqarish uchun Kvadrat tenglamani onlayn yechish, birinchi navbatda tenglamani qisqartiring umumiy ko'rinish:
ax 2 + bx + c = 0
Shakl maydonlarini mos ravishda to'ldiring:

Kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin

1-misol. Har xil haqiqiy ildizli oddiy kvadrat tenglamani yechish.
x 2 + 3x -10 = 0
Ushbu tenglamada
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kvadrat ildiz Biz uni 1/2 raqami sifatida belgilaymiz!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Tekshirish uchun quyidagini almashtiramiz:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

2-misol. Haqiqiy ildizlari mos keladigan kvadrat tenglamani yechish.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Keling, almashtiramiz
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

3-misol. Kompleks ildizli kvadrat tenglamani yechish.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminant salbiy - ildizlar murakkab.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, bu erda I -1 ning kvadrat ildizi

Bu erda aslida kvadrat tenglamalarni echishning barcha mumkin bo'lgan holatlari mavjud.
Umid qilamizki, bizning onlayn kalkulyator siz uchun juda foydali bo'ladi.
Agar material foydali bo'lsa, mumkin

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Bu erdan biz bitta tenglama mavjudligini ko'ramiz 3 * x – 1 = 0.

Biz 3 * x – 1 = 0 ko'rinishidagi chiziqli tenglamani oldik

Tenglamani yechish uchun tenglama qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlaymiz:

• Tenglama chiziqli bo'lib, * x + b = 0 ko'rinishida yoziladi, bu erda a va b har qanday sonlar;
• a = b = 0 bo'lganda, tenglama cheksiz sonli echimlarga ega;
• Agar a = 0, b ≠ 0 bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q;
• Agar a ≠ 0, b = 0 bo'lsa, tenglama yechimga ega: x = 0;
• Agar a va b 0 dan boshqa raqamlar bo'lsa, u holda ildiz quyidagi formula yordamida topiladi x = - b/a.

Bu yerdan biz a = 3, b = - 1 ni olamiz, ya'ni tenglama bitta ildizga ega.

Tenglamaning yechimini tekshirish

Topilgan x = 1/3 qiymatini dastlabki ifodaga almashtiramiz |3 * x - 1| = 0, keyin biz olamiz:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Ifodaning qiymatini topish uchun avval navbatma-navbat ko‘paytirish yoki bo‘linishni hisoblaymiz, so‘ngra qo‘shamiz yoki ayiramiz. Ya'ni, biz olamiz:

Bu shuni anglatadiki, x = 1/3 tenglamaning ildizi |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Modul ortiqcha va minus belgisi bilan ochiladi. Biz 2 ta tenglamani olamiz:

1) 3 * x - 1 = 0;

Biz ma'lum qiymatlarni bir tomonga, noma'lum qiymatlarni esa boshqa tomonga o'tkazamiz. Qiymatlarni uzatishda ularning belgilari qarama-qarshi belgiga o'zgaradi. Ya'ni, biz olamiz:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Qavslarni ochish. Qavslar oldida minus belgisi borligi sababli, ular kengaytirilganda, qiymatlarning belgilari qarama-qarshi belgiga o'zgaradi. Ya'ni, biz olamiz:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Javob: x = 1/3.

Keling, x^2=a tenglamasini ko'rib chiqaylik, bu erda a ixtiyoriy son bo'lishi mumkin. a (a0) soni qabul qiladigan qiymatga qarab, bu tenglamani yechishning uchta holati mavjud.

Keling, har bir ishni alohida ko'rib chiqaylik.

x^2=a tenglamaning turli holatlariga misollar

x^2=a, a uchun<0

Har qanday haqiqiy sonning kvadrati manfiy son bo'lishi mumkin emasligi sababli, a uchun x^2=a tenglamasi

x^2=a, a=0 bilan

Bunday holda, tenglama bitta ildizga ega. Bu ildiz 0 raqamidir. Tenglamani x*x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin bo'lgani uchun, ba'zan bu tenglamaning bir-biriga teng va 0 ga teng ikkita ildizi borligi ham aytiladi.

x^2=a, a>0 uchun

Bunda x^2=a tenglama, a uchun u quyidagicha yechiladi. Avval biz a chap tomonga o'tamiz.

Kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadiki, a yozilishi mumkin quyidagi shakl: a=(√a)^2. Keyin tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

x^2 - (√a)^2 = 0.

Chap tomonda kvadratchalar farqi formulasini ko'ramiz, uni kengaytiramiz.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Ikki qavsning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Demak,

Demak, x1=√a x2=-√a.

Ushbu yechimni grafik chizish orqali tekshirish mumkin.

Misol uchun, buni x^2 = 4 tenglama uchun bajaramiz.

Buning uchun ikkita y=x^2 va y=4 grafiklarini qurish kerak. Va ularning kesishish nuqtalarining x koordinatalariga qarang. Ildizlar 2 va -2 bo'lishi kerak. Rasmda hamma narsa aniq ko'rinadi.

O'qishlaringizda yordam kerakmi?

I. Chiziqli tenglamalar

II. Kvadrat tenglamalar

bolta 2 + bx +c= 0, a≠ 0, aks holda tenglama chiziqli bo'ladi

Kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblash mumkin turli yo'llar bilan, Masalan:

Biz kvadrat tenglamalarni echishni yaxshi bilamiz. Yuqori darajali ko'plab tenglamalarni kvadrat tenglamalarga keltirish mumkin.

III. Kvadratga qisqartirilgan tenglamalar.

o'zgaruvchining o'zgarishi: a) bikvadrat tenglama bolta 2n+ bx n+ c = 0,a ≠ 0,n ≥ 2

2) 3-darajali simmetrik tenglama – shakl tenglamasi

3) 4-darajali simmetrik tenglama – shakl tenglamasi

bolta 4 + bx 3 + cx 2 +bx + a = 0, a≠ 0, koeffitsientlar a b c b a yoki

bolta 4 + bx 3 + cx 2 –bx + a = 0, a≠ 0, koeffitsientlar a b c (-b) a

Chunki x= 0 tenglamaning ildizi emas, u holda tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha bo'lish mumkin. x 2, keyin biz olamiz: .

Almashtirish orqali biz kvadrat tenglamani yechamiz a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Masalan, tenglamani yechamiz x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, ikkala tomonni bo'linadi x 2 ,

, almashtirilgandan so'ng biz tenglamani olamiz t 2 – 2t – 3 = 0

- tenglamaning ildizlari yo'q.

4) shakl tenglamasi ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Ax 2 , koeffitsientlar ab = cd

Masalan, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. 1-4 va 2-3 qavslarni ko'paytirsak, biz ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling x 2, biz olamiz:

Bizda ... bor ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) 2-darajali bir jinsli tenglama - P(x,y) = 0 ko'rinishdagi tenglama, bu erda P(x,y) ko'phad bo'lib, har bir a'zosi 2 darajaga ega.

Javob: -2; -0,5; 0

IV. Yuqoridagi barcha tenglamalar taniqli va tipik, ammo ixtiyoriy shakldagi tenglamalar haqida nima deyish mumkin?

Polinom berilgan bo'lsin P n ( x) = a n x n+ a n-1 x n-1 + ...+ a 1x+ a 0, qayerda a n ≠ 0

Tenglama darajasini pasaytirish usulini ko'rib chiqamiz.

Ma'lumki, agar koeffitsientlar a butun sonlar va a n = 1, keyin tenglamaning butun ildizlari P n ( x) = 0 erkin terminning bo'luvchilari qatoriga kiradi a 0 . Masalan, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, 5 sonining bo'luvchilari 5 raqamlari; -5; 1; -1. Keyin P 4 (1) = 0, ya'ni. x= 1 - tenglamaning ildizi. Keling, tenglamaning darajasini pasaytiramiz P 4 (x) = 0 “burchakli” ko‘phadni x –1 omilga bo‘lish orqali hosil bo‘ladi.

P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Xuddi shunday, P 3 (1) = 0, keyin P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), ya'ni. tenglama P 4 (x) = 0 ning ildizlari bor x 1 = x 2 = 1. Keling, ko'proq ko'rsataylik qisqa yechim bu tenglama (Horner sxemasidan foydalangan holda).

Ma'nosi, x 1 = 1 degan ma'noni anglatadi x 2 = 1.

Shunday qilib, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Biz nima qildik? Biz tenglamaning darajasini pasaytirdik.

V. 3 va 5 darajali simmetrik tenglamalarni ko‘rib chiqaylik.

A) bolta 3 + bx 2 + bx + a= 0, aniq x= –1 tenglamaning ildizi, keyin tenglamaning darajasini ikkiga tushiramiz.

b) bolta 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a= 0, aniq x= –1 tenglamaning ildizi, keyin tenglamaning darajasini ikkiga tushiramiz.

Masalan, 2-tenglamaning yechimini ko'rsatamiz x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

x = –1

Biz olamiz ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Demak, tenglamaning ildizlari: 1; 1; -1; –2; -0,5.

VI. Bu erda sinfda va uyda yechish uchun turli xil tenglamalar ro'yxati keltirilgan.

Men o'quvchiga 1-7 tenglamalarni o'zi yechish va javoblarni olishni taklif qilaman...

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini unutmang:

1. Ildizlari yo'q;
2. Aynan bitta ildizga ega bo'ling;
3. Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat tenglamalar va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq, bu erda ildiz har doim mavjud va noyobdir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

Ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin, u holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac sonidir.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
3. Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ildizlarning sonini ko'rsatadi, ammo ularning belgilari emas, chunki ko'pchilik negadir ishonadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shunday tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Qolgan oxirgi tenglama:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, bu zerikarli, lekin siz qiyinchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz o'zingizni tushunsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin biror joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimning o'ziga o'taylik. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblasangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formulaga salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni yozing - va tez orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Bu shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Bu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini payqash oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashni ham talab qilmaydi. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat mumkin: b = c = 0. Bu holda, tenglama ax 2 = 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x. = 0.

Keling, qolgan holatlarni ko'rib chiqaylik. b = 0 bo'lsin, u holda ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sonda mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik faqat (−c /a) ≥ 0 uchun ma'noga ega. Xulosa:

1. Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamada (−c /a) ≥ 0 tengsizlik qanoatlansa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. Agar (−c /a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisoblar umuman yo'q. Darhaqiqat, (−c /a) ≥ 0 tengsizlikni eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, unda hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorga kiritish kifoya:

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu ildizlar qaerdan keladi. Xulosa qilib, keling, ushbu tenglamalardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.