Aniq integralning geometrik ma'nosini tahlil qilishga bag'ishlangan oldingi bo'limda biz egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblash uchun bir qator formulalarni oldik:
S (G) = ∫ a b f (x) d x uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya uchun [ a oraliqda y = f (x) ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x uzluksiz va nomusbat funksiya uchun y = f (x) [ a oraliqda; b].
Bu formulalar nisbatan oddiy masalalarni yechishda qo'llaniladi. Aslida, biz ko'pincha murakkabroq raqamlar bilan ishlashga majbur bo'lamiz. Shu munosabat bilan biz ushbu bo'limni aniq shakldagi funktsiyalar bilan cheklangan raqamlar maydonini hisoblash algoritmlarini tahlil qilishga bag'ishlaymiz, ya'ni. y = f(x) yoki x = g(y) kabi.
Teoremay = f 1 (x) va y = f 2 (x) funksiyalar aniqlangan va [ a oraliqda uzluksiz bo lsin; b ] , va [ a dan har qanday x qiymat uchun f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Keyin x = a, x = b, y = f 1 (x) va y = f 2 (x) chiziqlar bilan chegaralangan G rasmining maydonini hisoblash formulasi S (G) = ∫ ga o'xshaydi. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Xuddi shunday formula y = c, y = d, x = g 1 (y) va x = g 2 (y) chiziqlari bilan chegaralangan figuraning maydoni uchun ham amal qiladi: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Isbot
Keling, formula to'g'ri bo'lgan uchta holatni ko'rib chiqaylik.
Birinchi holda, maydonning qo'shimchalilik xususiyatini hisobga olgan holda, asl G figurasi va G 1 egri chiziqli trapezoidning maydonlari yig'indisi G 2 rasmining maydoniga teng. Bu shuni anglatadiki
Demak, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Biz oxirgi o'tishni aniq integralning uchinchi xususiyatidan foydalanib bajarishimiz mumkin.
Ikkinchi holatda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x
Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:
Agar ikkala funksiya ham nomusbat bo‘lsa, biz quyidagilarni olamiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafik rasm quyidagicha ko'rinadi:
y = f 1 (x) va y = f 2 (x) O x o'qini kesishganda umumiy holatni ko'rib chiqishga o'tamiz.
Kesishish nuqtalarini x i, i = 1, 2, deb belgilaymiz. . . , n - 1. Bu nuqtalar segmentni [a; b ] n qismga x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, bu yerda a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Demak,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Biz oxirgi o'tishni aniq integralning beshinchi xususiyatidan foydalanib amalga oshirishimiz mumkin.
Keling, grafikdagi umumiy holatni ko'rsatamiz.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formulasini isbotlangan deb hisoblash mumkin.
Endi y = f (x) va x = g (y) chiziqlari bilan chegaralangan raqamlar maydonini hisoblash misollarini tahlil qilishga o'taylik.
Biz har qanday misolni ko'rib chiqishni grafik qurishdan boshlaymiz. Tasvir bizga murakkab shakllarni oddiyroq shakllarning birlashmasi sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Agar ular bo'yicha grafik va raqamlarni qurish siz uchun qiyin bo'lsa, siz funktsiyani o'rganayotganda asosiy elementar funktsiyalar, funktsiyalar grafiklarini geometrik o'zgartirish, shuningdek grafiklarni qurish bo'limini o'rganishingiz mumkin.
1-misol
y = - x 2 + 6 x - 5 parabola va y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini aniqlash kerak.
Yechim
Grafikdagi chiziqlarni Dekart koordinata tizimida chizamiz.
Segmentda [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolaning grafigi y = - 1 3 x - 1 2 to'g'ri chiziq ustida joylashgan. Shu munosabat bilan javobni olish uchun biz ilgari olingan formuladan, shuningdek, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integralni hisoblash usulidan foydalanamiz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Javob: S(G) = 13
Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.
2-misol
y = x + 2, y = x, x = 7 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Bunday holda, bizda x o'qiga parallel joylashgan faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud. Bu x = 7. Bu bizdan integratsiyaning ikkinchi chegarasini o'zimiz topishimizni talab qiladi.
Grafik tuzamiz va uning ustiga masala bayonida berilgan chiziqlarni chizamiz.
Grafikni ko'z oldimizda turgan holda, biz integrallashning pastki chegarasi y = x to'g'ri chiziq grafigi va y = x + 2 yarim parabolaning kesishish nuqtasining abssissasi bo'lishini osongina aniqlashimiz mumkin. Abtsissani topish uchun tengliklardan foydalanamiz:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ma’lum bo‘lishicha, kesishish nuqtasining abssissasi x = 2 ga teng.
Chizmadagi umumiy misolda y = x + 2, y = x chiziqlar (2; 2) nuqtada kesishishiga e'tiboringizni qaratamiz, shuning uchun bunday batafsil hisob-kitoblar keraksiz ko'rinishi mumkin. Biz bu erda bunday batafsil yechimni taqdim etdik, chunki murakkabroq holatlarda yechim unchalik aniq bo'lmasligi mumkin. Bu shuni anglatadiki, chiziqlar kesishish koordinatalarini har doim analitik tarzda hisoblash yaxshiroqdir.
[2] oraliqda; 7] y = x funksiya grafigi y = x + 2 funksiya grafigidan yuqorida joylashgan. Maydonni hisoblash uchun formulani qo'llaymiz:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Javob: S (G) = 59 6
3-misol
y = 1 x va y = - x 2 + 4 x - 2 funktsiyalari grafiklari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Grafikdagi chiziqlarni chizamiz.
Keling, integratsiya chegaralarini aniqlaylik. Buning uchun 1 x va - x 2 + 4 x - 2 ifodalarni tenglashtirib, chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini aniqlaymiz. Agar x nol bo'lmasa, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tenglik uchinchi darajali tenglamaga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 koeffitsientlari bilan ekvivalent bo'ladi. Bunday tenglamalarni yechish algoritmi haqidagi xotirangizni yangilash uchun “Kubik tenglamalarni yechish” bo‘limiga murojaat qilishimiz mumkin.
Bu tenglamaning ildizi x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifodasini x - 1 binomiga bo'lib, quyidagilarga erishamiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Qolgan ildizlarni x 2 - 3 x - 1 = 0 tenglamadan topishimiz mumkin:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Biz x ∈ 1 oralig'ini topdik; 3 + 13 2, unda G raqami ko'kning tepasida va qizil chiziq ostida joylashgan. Bu bizga rasmning maydonini aniqlashga yordam beradi:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Javob: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4-misol
y = x 3, y = - log 2 x + 1 egri chiziqlari va abscissa o'qi bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Keling, grafikdagi barcha chiziqlarni chizamiz. y = - log 2 x + 1 funksiyaning grafigini y = log 2 x grafigidan olishimiz mumkin, agar uni x o'qiga nisbatan simmetrik joylashtirsak va uni bir birlik yuqoriga siljitsak. X o'qining tenglamasi y = 0 ga teng.
Chiziqlarning kesishish nuqtalarini belgilaymiz.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, y = x 3 va y = 0 funksiyalarning grafiklari (0; 0) nuqtada kesishadi. Buning sababi, x = 0 tenglamaning yagona haqiqiy ildizi x 3 = 0.
x = 2 tenglamaning yagona ildizi - log 2 x + 1 = 0, shuning uchun y = - log 2 x + 1 va y = 0 funktsiyalarining grafiklari (2; 0) nuqtada kesishadi.
x = 1 - tenglamaning yagona ildizi x 3 = - log 2 x + 1. Shu munosabat bilan y = x 3 va y = - log 2 x + 1 funksiyalarning grafiklari (1; 1) nuqtada kesishadi. Oxirgi bayonot aniq bo'lmasligi mumkin, lekin x 3 = - log 2 x + 1 tenglama bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emas, chunki y = x 3 funktsiyasi qat'iy ravishda ortib bormoqda va y = - log 2 x + 1 funktsiyasi qat'iy kamayadi.
Keyingi yechim bir nechta variantni o'z ichiga oladi.
Variant №1
Biz G rasmini x o'qi ustida joylashgan ikkita egri chiziqli trapetsiya yig'indisi sifatida tasavvur qilishimiz mumkin, ularning birinchisi x ∈ 0 segmentida o'rta chiziq ostida joylashgan; 1, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil chiziq ostida; 2. Demak, maydon S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ga teng bo'ladi.
Variant № 2
G rasmini ikkita raqamning farqi sifatida ko'rsatish mumkin, ularning birinchisi x o'qi ustida va x ∈ 0 segmentida ko'k chiziq ostida joylashgan; 2, ikkinchisi esa x ∈ 1 segmentidagi qizil va ko'k chiziqlar orasidagi; 2. Bu bizga hududni quyidagicha topish imkonini beradi:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Bu holda maydonni topish uchun S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ko'rinishdagi formuladan foydalanish kerak bo'ladi. Darhaqiqat, raqamni bog'laydigan chiziqlar y argumentining funktsiyalari sifatida ifodalanishi mumkin.
y = x 3 va - log 2 x + 1 tenglamalarni x ga nisbatan yechamiz:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Biz kerakli maydonni olamiz:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Javob: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5-misol
y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 chiziqlari bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblash kerak.
Yechim
Qizil chiziq bilan y = x funktsiyasi bilan aniqlangan chiziqni chizamiz. y = - 1 2 x + 4 chiziqni ko'k rangda, y = 2 3 x - 3 chizig'ini esa qora rangda chizamiz.
Keling, kesishgan nuqtalarni belgilaymiz.
y = x va y = - 1 2 x + 4 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarini topamiz:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Tekshiring: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 emas. x 2 = tenglamaning yechimi 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tenglamaning yechimi ⇒ (4; 2) kesishish nuqtasi i y = x va y = - 1 2 x + 4
y = x va y = 2 3 x - 3 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasi topilsin:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tekshiring: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 - tenglamaning yechimi ⇒ (9 ; 3) nuqta a s y = x va y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Tenglamaning yechimi yo'q
y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3 chiziqlarning kesishish nuqtasi topilsin:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) kesishish nuqtasi y = - 1 2 x + 4 va y = 2 3 x - 3
№1 usul
Keling, kerakli raqamning maydonini alohida raqamlarning maydonlarining yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik.
Keyin rasmning maydoni:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
№ 2 usul
Asl rasmning maydoni ikkita boshqa raqamning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.
Keyin chiziqning x ga nisbatan tenglamasini echamiz va shundan keyingina rasmning maydonini hisoblash formulasini qo'llaymiz.
y = x ⇒ x = y 2 qizil chiziq y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qora chiziq y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Shunday qilib, hudud:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ko'rib turganingizdek, qiymatlar bir xil.
Javob: S (G) = 11 3
Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini topish uchun biz tekislikda chiziqlar qurishimiz, ularning kesishish nuqtalarini topishimiz va maydonni topish uchun formulani qo'llashimiz kerak. Ushbu bo'limda biz vazifalarning eng keng tarqalgan variantlarini ko'rib chiqdik.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Keling, integral hisoblarning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz - tekislik figurasining maydonini hisoblash uchun aniq integraldan qanday foydalanish. Nihoyat, oliy matematikadan ma'no izlayotganlar - topsinlar. Siz hech qachon bilmaysiz. Haqiqiy hayotda siz elementar funktsiyalardan foydalangan holda dacha uchastkasini taxmin qilishingiz va aniq integral yordamida uning maydonini topishingiz kerak bo'ladi.
Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:
1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.
2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar.
Aslida, figuraning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida unchalik ko'p ma'lumot kerak emas. "Aniq integral yordamida maydonni hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ancha dolzarb masala bo'ladi. Shu munosabat bilan, asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqidagi xotirangizni yangilash va hech bo'lmaganda to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qurish uchun foydalidir. Buni uslubiy material va grafiklarning geometrik o'zgarishlariga oid maqola yordamida (ko'pchilik uchun bu zarur) amalga oshirish mumkin.
Darhaqiqat, hamma maktabdan beri aniq integral yordamida maydonni topish vazifasi bilan tanish edi va biz maktab o'quv dasturidan uzoqqa bormaymiz. Bu maqola umuman bo'lmagan bo'lishi mumkin edi, lekin haqiqat shundaki, muammo 100 ta holatdan 99 tasida, ya'ni talaba nafratlangan maktabdan azob chekayotganda va oliy matematika kursini ishtiyoq bilan o'zlashtirganda yuzaga keladi.
Ushbu seminarning materiallari sodda, batafsil va minimal nazariya bilan taqdim etilgan.
Egri trapezoiddan boshlaylik.
Egri chiziqli trapezoid o‘q, to‘g‘ri chiziqlar va shu oraliqda ishorasini o‘zgartirmaydigan oraliqda uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan tekis figura. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas x o'qi:
Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechimlarga misollar Aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.
Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qning ustida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar rasm chizishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Qarorda birinchi va eng muhim nuqta - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroq (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funksiyalarning grafiklarini tuzish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtadan-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani tugatamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):
Men egri trapezoidni soya qilmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:
Javob:
Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi 
, ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar.
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
, , va o'qlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?
3-misol
Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Keling, rasm chizamiz: 
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda: 
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping.
Yechim: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolarida chizmani qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..
Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Turli grafiklar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.
Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz: 
Takror aytamanki, nuqta yo'nalishini qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik ravishda" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi: Agar segmentda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya , keyin bu funktsiyalarning grafiklari va chiziqlari bilan chegaralangan raqamning maydoni , , formula yordamida topilishi mumkin: 
Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda va taxminan aytganda, Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziq ustida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam yuqoridagi parabola va pastdagi to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Tegishli formula bo'yicha segmentda:
Javob:
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-sonli oddiy misolga qarang) formulaning alohida holatidir. 
. Chunki o'q tenglama bilan belgilanadi va funktsiyaning grafigi joylashgan yuqori emas keyin boltalar 
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... noto'g'ri raqamning maydoni topildi, sizning kamtarin xizmatkoringiz bir necha marta mana shu tarzda buzildi. Mana haqiqiy hayotiy holat:
7-misol
, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Birinchidan, rasm chizamiz: 
...Eh, chizma ahmoq chiqdi, lekin hamma narsa o'qiladiganga o'xshaydi.
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan figuraning maydonini topishingiz kerak bo'lgan "nosozlik" paydo bo'ladi!
Ushbu misol, shuningdek, ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblashda foydalidir. Haqiqatan ham:
1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqning grafigi mavjud;
2) Eksa ustidagi segmentda giperbolaning grafigi joylashgan.
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
Keling, boshqa mazmunli vazifaga o'tamiz.
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz: 
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan amalga oshirilishiga kafolat qayerda bo'lsa, shunday bo'lishi mumkin ... Yoki ildiz. Grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak nima bo'ladi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
To'g'ri chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz: 
,
Haqiqatan ham, .
Keyingi yechim arzimas, asosiysi almashtirishda chalkashmaslik va bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas;
Segmentda 
, mos keladigan formula bo'yicha: 
Javob: 
Xo'sh, darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,
Yechim: Keling, ushbu rasmni chizmada tasvirlaymiz. 
Jin ursin, men jadvalga imzo qo'yishni unutibman va afsuski, rasmni qayta tiklashni xohlamadim. Rasm chizish kuni emas, qisqasi, bugun kun =)
Nuqtama-nuqta qurish uchun sinusoidning ko'rinishini bilish kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funktsiya grafigi eksa ustida joylashgan, shuning uchun:
Ko'rsatmalar
Agar sizning raqamingiz ko'pburchak bo'lsa, harakat qilish qulay. Siz uni har doim cheklangan songa bo'lishingiz mumkin va siz faqat bitta formulani - uchburchakning maydonini eslab qolishingiz kerak. Shunday qilib, uchburchak uning tomoni uzunligi va shu tomonga chizilgan balandlik uzunligining yarmiga ko'paytiriladi. Sizning xohishingiz bilan murakkabroq uchburchak aylantirilgan individual uchburchaklarning maydonlarini jamlab, siz kerakli natijani bilib olasiz.
Ixtiyoriy figuraning maydonini aniqlash masalasini hal qilish qiyinroq. Bunday raqam nafaqat, balki kavisli chegaralarga ham ega bo'lishi mumkin. Taxminiy hisob-kitob qilish usullari mavjud. Oddiy.
Birinchidan, siz palitradan foydalanishingiz mumkin. Bu shaffof materialdan yasalgan, uning yuzasiga ma'lum maydon qo'llaniladigan kvadratlar yoki uchburchaklar panjarasi bo'lgan asbobdir. Palitrani izlayotgan shaklning tepasiga qo'yish orqali siz tasvirni bir-biriga yopishgan o'lchov birliklari sonini qayta hisoblaysiz. To'liq bo'lmagan o'lchov birliklarini bir-biri bilan birlashtirib, ularni to'ldirish uchun ongingizda to'ldiring. Keyinchalik, bitta palitra shaklining maydonini siz hisoblagan raqamga ko'paytirish orqali siz o'zingizning ixtiyoriy shaklingizning taxminiy maydonini bilib olasiz. Ko'rinib turibdiki, palitraga qanchalik zichroq panjara qo'llanilsa, natija shunchalik aniq bo'ladi.
Ikkinchidan, siz maydonni aniqlayotgan ixtiyoriy raqam chegaralaridagi uchburchaklarning maksimal sonini belgilashingiz mumkin. Har birining maydonini aniqlang va ularning maydonlarini qo'shing. Bu juda qo'pol natija bo'ladi. Agar xohlasangiz, yoylar bilan chegaralangan segmentlar maydonini alohida aniqlashingiz mumkin. Buning uchun segment aylananing bir qismi ekanligini tasavvur qiling. Ushbu doirani tuzing, so'ngra uning markazidan yoyning chetlariga radiuslarni torting. Segmentlar o'zaro a burchak hosil qiladi. Butun sektorning maydoni p*R^2*a/360 formulasi bilan aniqlanadi. Shaklingizning har bir kichik qismi uchun siz maydonni aniqlaysiz va olingan qiymatlarni qo'shish orqali umumiy natijani olasiz.
Uchinchi usul qiyinroq, ammo aniqroq va ba'zilari uchun osonroq. Har qanday raqamning maydonini integral hisob yordamida aniqlash mumkin. Funktsiyaning aniq integrali funksiya grafigidan abtsissagacha bo'lgan maydonni ko'rsatadi. Ikki grafik orasiga oʻralgan maydonni bir xil chegaralardagi, lekin kattaroq qiymatga ega boʻlgan maʼlum bir integraldan kichikroq qiymatli integralni ayirish yoʻli bilan aniqlash mumkin. Ushbu usuldan foydalanish uchun o'zingizning ixtiyoriy raqamingizni koordinatalar tizimiga o'tkazish va keyin ularning funktsiyalarini aniqlash va yuqori matematika usullaridan foydalangan holda harakat qilish qulay, biz bu erda va hozir ko'rib chiqmaymiz.
Geometrik figuraning maydoni- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik shaklning raqamli xarakteristikasi (bu raqamning yopiq konturi bilan chegaralangan sirtning bir qismi). Maydonning o'lchami undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.
| S= | 1 | 2 |
| 2 |
a b sin a
Bu erda S - trapetsiya maydoni,
- trapetsiya asoslarining uzunligi;
- trapetsiya tomonlarining uzunligi;
Geometriyada figuraning maydoni tekis tananing asosiy raqamli xususiyatlaridan biridir. Hudud nima, uni turli xil raqamlar uchun qanday aniqlash mumkin, shuningdek, u qanday xususiyatlarga ega - biz ushbu savollarning barchasini ushbu maqolada ko'rib chiqamiz.
Shaklning maydoni - bu rasmdagi birlik kvadratlar soni; norasmiy ravishda aytganda, bu raqamning o'lchamidir. Ko'pincha raqamning maydoni "S" bilan belgilanadi. Uni palitra yoki planimetr yordamida o'lchash mumkin. Shaklning asosiy o'lchamlarini bilib, uning maydonini ham hisoblashingiz mumkin. Masalan, uchburchakning maydonini uchta turli formulalar yordamida hisoblash mumkin:
To'rtburchakning maydoni uning kengligining uzunligi bo'yicha ko'paytmasiga teng, aylananing maydoni esa radius kvadrati va p = 3,14 sonining mahsulotiga teng.
