নির্দেশনা
প্রদত্ত লগারিদমিক রাশিটি লিখ। যদি এক্সপ্রেশনটি 10-এর লগারিদম ব্যবহার করে, তাহলে এর স্বরলিপি ছোট করা হয় এবং এইরকম দেখায়: lg b হল দশমিক লগারিদম। লগারিদমের বেস হিসাবে যদি e সংখ্যা থাকে, তাহলে অভিব্যক্তিটি লিখুন: ln b – প্রাকৃতিক লগারিদম। এটি বোঝা যায় যে যে কোনোটির ফলাফল হল সেই শক্তি যার দিকে ভিত্তি নম্বরটি বাড়াতে হবে b নম্বর পেতে।
দুটি ফাংশনের যোগফল খুঁজে বের করার সময়, আপনাকে কেবল তাদের একে একে আলাদা করতে হবে এবং ফলাফল যোগ করতে হবে: (u+v)" = u"+v";
দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথম ফাংশনের ডেরিভেটিভকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ফাংশন দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ যোগ করতে হবে: (u*v)" = u"*v +v"*u;
দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ বের করার জন্য, ভাজকের ফাংশন দ্বারা গুণিত লভ্যাংশের ডেরিভেটিভের গুনফল থেকে বিয়োগ করতে হবে এবং লভ্যাংশের ফাংশন দ্বারা গুণিত ভাজকের ডেরিভেটিভের গুণফলকে বিয়োগ করতে হবে। এই সব ভাজক ফাংশন বর্গ দ্বারা. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
যদি একটি জটিল ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এর ডেরিভেটিভকে গুণ করতে হবে অভ্যন্তরীণ ফাংশনএবং বাহ্যিকটির ডেরিভেটিভ। ধরুন y=u(v(x)), তারপর y"(x)=y"(u)*v"(x)।
উপরে প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে, আপনি প্রায় কোন ফাংশন পার্থক্য করতে পারেন. তাহলে আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *এক্স));
একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ গণনা করার ক্ষেত্রেও সমস্যা রয়েছে। ফাংশনটি y=e^(x^2+6x+5) দেওয়া যাক, আপনাকে x=1 বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হবে।
1) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।
2) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু y"(1)=8*e^0=8 এ ফাংশনের মান গণনা করুন
বিষয়ের উপর ভিডিও
প্রাথমিক ডেরিভেটিভের সারণী শিখুন। এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সময় বাঁচাবে।
সূত্র:
সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এবং একটি যুক্তিযুক্ত সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী? যদি অজানা চলকটি চিহ্নের নীচে থাকে বর্গমূল, তাহলে সমীকরণটি অযৌক্তিক বলে বিবেচিত হয়।
নির্দেশনা
এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল উভয় পক্ষের গঠন পদ্ধতি সমীকরণএকটি বর্গক্ষেত্রে যাহোক. এটি স্বাভাবিক, আপনাকে প্রথমে যা করতে হবে তা হল চিহ্নটি থেকে মুক্তি। এই পদ্ধতিটি প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন নয়, তবে কখনও কখনও এটি সমস্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি v(2x-5)=v(4x-7)। উভয় পক্ষকে বর্গ করে আপনি 2x-5=4x-7 পাবেন। এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করা কঠিন নয়; x=1। কিন্তু ১ নম্বর দেওয়া হবে না সমীকরণ. কেন? x এর মানের পরিবর্তে একটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। এবং ডান এবং বাম দিকে এমন অভিব্যক্তি থাকবে যা অর্থহীন, অর্থাৎ। এই মানটি বর্গমূলের জন্য বৈধ নয়। অতএব, 1 একটি বহিরাগত মূল, এবং সেইজন্য এই সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।
সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এর উভয় বাহুর বর্গ করার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এবং সমীকরণটি সমাধান করার পরে, বহিরাগত শিকড় কেটে ফেলা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, মূল সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি প্রতিস্থাপন করুন।
আরেকটি বিবেচনা করুন।
2х+vх-3=0
অবশ্যই, এই সমীকরণটি আগের সমীকরণটির মতো একই সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। যৌগ সরান সমীকরণ, যার একটি বর্গমূল নেই, ডান দিকে এবং তারপর স্কোয়ারিং পদ্ধতি ব্যবহার করুন। ফলস্বরূপ যৌক্তিক সমীকরণ এবং শিকড় সমাধান করুন। কিন্তু আরেকটি, আরো মার্জিত এক. একটি নতুন পরিবর্তনশীল লিখুন; vх=y সেই অনুযায়ী, আপনি 2y2+y-3=0 ফর্মের একটি সমীকরণ পাবেন। অর্থাৎ স্বাভাবিক দ্বিঘাত সমীকরণ. এর শিকড় সন্ধান করুন; y1=1 এবং y2=-3/2। পরবর্তী, দুটি সমাধান করুন সমীকরণ vх=1; vх=-3/2। দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো শিকড় নেই; প্রথম থেকে আমরা খুঁজে পাই যে x=1। শিকড় পরীক্ষা করতে ভুলবেন না।
পরিচয় সমাধান করা বেশ সহজ। এটি করার জন্য আপনাকে করতে হবে পরিচয় রূপান্তরলক্ষ্য অর্জিত না হওয়া পর্যন্ত। এইভাবে, সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে, উত্থাপিত সমস্যাটি সমাধান করা হবে।
আপনার প্রয়োজন হবে
নির্দেশনা
এই ধরনের রূপান্তরগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল বীজগণিতের সংক্ষিপ্ত গুণ (যেমন যোগফলের বর্গ (পার্থক্য), বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, যোগফল (পার্থক্য), যোগফলের ঘনক (পার্থক্য))। উপরন্তু, অনেক ত্রিকোণমিতিক সূত্র আছে, যা মূলত একই পরিচয়।
প্রকৃতপক্ষে, দুটি পদের যোগফলের বর্গটি প্রথমটির বর্গের সমান এবং দ্বিতীয়টির দ্বারা প্রথমটির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গের যোগফল, অর্থাৎ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2।
উভয় সরলীকরণ
আজ আমরা কথা বলবো লগারিদমিক সূত্রএবং আমরা ইঙ্গিত দেব সমাধান উদাহরণ.
তারা নিজেরাই লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী সমাধান প্যাটার্ন বোঝায়। সমাধানের জন্য লগারিদম সূত্র প্রয়োগ করার আগে, আসুন আমরা আপনাকে সমস্ত বৈশিষ্ট্য মনে করিয়ে দিই:
এখন, এই সূত্রগুলির (বৈশিষ্ট্য) উপর ভিত্তি করে, আমরা দেখাব লগারিদম সমাধানের উদাহরণ.
লগারিদমএকটি ধনাত্মক সংখ্যা b এর ভিত্তি a (লগ a b দ্বারা নির্দেশিত) একটি সূচক যার সাথে b পেতে হলে aকে অবশ্যই b > 0, a > 0 এবং 1 বাড়াতে হবে।
সংজ্ঞা অনুসারে, লগ a b = x, যা a x = b এর সমতুল্য, তাই লগ a a x = x।
লগারিদম, উদাহরণ:
লগ 2 8 = 3, কারণ ২ ৩ = ৮
লগ 7 49 = 2, কারণ 7 2 = 49
লগ 5 1/5 = -1, কারণ 5 -1 = 1/5
দশমিক লগারিদম- এটি একটি সাধারণ লগারিদম, যার ভিত্তি হল 10৷ এটিকে lg হিসাবে চিহ্নিত করা হয়৷
লগ 10 100 = 2, কারণ 10 2 = 100
প্রাকৃতিক লগারিদম- এছাড়াও একটি সাধারণ লগারিদম, একটি লগারিদম, কিন্তু বেস e সহ (e = 2.71828... - একটি অমূলদ সংখ্যা)। ln হিসাবে চিহ্নিত।
লগারিদমগুলির সূত্র বা বৈশিষ্ট্যগুলি মুখস্থ করার পরামর্শ দেওয়া হয়, কারণ লগারিদম, লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার সময় আমাদের পরে তাদের প্রয়োজন হবে। আসুন উদাহরণ সহ আবার প্রতিটি সূত্রের মাধ্যমে কাজ করি।
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
লগ 3 8.1 + লগ 3 10 = লগ 3 (8.1*10) = লগ 3 81 = 4
9 লগ 5 50 /9 লগ 5 2 = 9 লগ 5 50- লগ 5 2 = 9 লগ 5 25 = 9 2 = 81
লগারিদমিক সংখ্যার সূচক লগ a b m = mlog a b
লগারিদমের ভিত্তির সূচক লগ a n b =1/n*log a b
লগ a n b m = m/n * লগ a b,
যদি m = n হয়, আমরা log a n b n = log a b পাব
লগ 4 9 = লগ 2 2 3 2 = লগ 2 3
যদি c = b, আমরা log b b = 1 পাই
তারপর লগ a b = 1/ log b a
লগ 0.8 3*লগ 3 1.25 = লগ 0.8 3*লগ 0.8 1.25/লগ 0.8 3 = লগ 0.8 1.25 = লগ 4/5 5/4 = -1
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমের সূত্রগুলি যতটা জটিল মনে হয় ততটা জটিল নয়। এখন, লগারিদম সমাধানের উদাহরণগুলি দেখে, আমরা লগারিদমিক সমীকরণে যেতে পারি। আমরা নিবন্ধে আরও বিশদে লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণগুলি দেখব: ""। মিস করবেন না!
সমাধান সম্পর্কে আপনার যদি এখনও প্রশ্ন থাকে তবে নিবন্ধের মন্তব্যে সেগুলি লিখুন।
দ্রষ্টব্য: আমরা একটি ভিন্ন শ্রেণির শিক্ষা পেতে এবং একটি বিকল্প হিসাবে বিদেশে পড়াশোনা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি।
274. মন্তব্য।
ক)আপনি যে অভিব্যক্তিটি মূল্যায়ন করতে চান তা ধারণ করে যোগফলবা পার্থক্যসংখ্যা, তারপর তারা সাধারন যোগ বা বিয়োগ দ্বারা সারণি সাহায্য ছাড়া পাওয়া আবশ্যক. যেমন:
লগ (35 +7.24) 5 = 5 লগ (35 + 7.24) = 5 লগ 42.24।
খ)লগারিদম এক্সপ্রেশন কিভাবে জানা যায়, আমরা, বিপরীতভাবে, একটি প্রদত্ত লগারিদম ফলাফল ব্যবহার করে, যে অভিব্যক্তিটি থেকে এই ফলাফলটি পাওয়া গেছে তা খুঁজে বের করতে পারি; তাই যদি
লগ এক্স= লগ ক+ লগ খ- 3 লগ সঙ্গে,
তাহলে এটা বোঝা সহজ
ভি)লগারিদমিক টেবিলের গঠন বিবেচনা করার আগে, আমরা দশমিক লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করব, যেমন যেগুলিতে 10 নম্বরটি ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয় (কেবলমাত্র এই ধরনের লগারিদমগুলি গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়)।
অধ্যায় দুই.
দশমিক লগারিদমের বৈশিষ্ট্য।
275 . ক) যেহেতু 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 ইত্যাদি, তারপর লগ 10 = 1, লগ 100 = 2, লগ 1000 = 3, লগ 10000 = 4, এবং ইত্যাদি।
মানে, একটি এবং শূন্য দ্বারা উপস্থাপিত একটি পূর্ণসংখ্যার লগারিদম হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাতে সংখ্যাটির উপস্থাপনায় শূন্য থাকে।
এইভাবে: লগ 100,000 = 5, লগ 1000 000 = 6 , ইত্যাদি
খ) কারণ
লগ 0.1 = -l; লগ 0.01 = - 2; লগ 0.001 == -3; লগ 0.0001 = - 4,ইত্যাদি
মানে, একটি দশমিক ভগ্নাংশের লগারিদম, পূর্ববর্তী শূন্য সহ একটি একক দ্বারা উপস্থাপিত, একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা শূন্য পূর্ণসংখ্যা সহ ভগ্নাংশের উপস্থাপনায় যতগুলি ঋণাত্মক একক রয়েছে।
এইভাবে: লগ 0.00001= - 5, লগ 0.000001 = -6,ইত্যাদি
ভি)আসুন একটি পূর্ণসংখ্যা নেওয়া যাক যা এক এবং শূন্য দ্বারা উপস্থাপিত হয় না, উদাহরণস্বরূপ। 35, অথবা একটি ভগ্নাংশ সহ একটি পূর্ণ সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ। 10.7। এই ধরনের একটি সংখ্যার লগারিদম একটি পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না, যেহেতু একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) সহ 10কে একটি ঘাতে বাড়ালে আমরা শূন্যের সাথে 1 পাই (1 অনুসরণ করে বা এটির আগে)। আসুন এখন ধরে নিই যে এমন একটি সংখ্যার লগারিদম কিছু ভগ্নাংশ ক / খ . তাহলে আমাদের সমতা থাকবে
কিন্তু এই সমতা অসম্ভব, যেমন 10ক শূন্য সহ 1s আছে, যেখানে ডিগ্রি 35খ এবং 10,7খ কোন পরিমাপ দ্বারা খ 1 এর পরে শূন্য দিতে পারে না। এর মানে আমরা অনুমতি দিতে পারি না লগ 35এবং লগ 10.7ভগ্নাংশের সমান ছিল। কিন্তু লগারিদমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা জানি যে () প্রতিটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি লগারিদম আছে; ফলস্বরূপ, প্রতিটি সংখ্যা 35 এবং 10.7 এর নিজস্ব লগারিদম রয়েছে এবং যেহেতু এটি একটি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ সংখ্যা হতে পারে না, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা এবং তাই, সংখ্যার মাধ্যমে সঠিকভাবে প্রকাশ করা যায় না। অযৌক্তিক লগারিদমগুলি সাধারণত কয়েকটি দশমিক স্থান সহ একটি দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এই ভগ্নাংশের পূর্ণসংখ্যাকে (যদিও এটি "0 পূর্ণসংখ্যা" হয়) বলা হয় বৈশিষ্ট্য, এবং ভগ্নাংশ অংশটি লগারিদমের ম্যান্টিসা। যদি, উদাহরণস্বরূপ, একটি লগারিদম আছে 1,5441 , তাহলে এর বৈশিষ্ট্য সমান 1 , এবং mantissa হয় 0,5441 .
ছ)উদাহরণস্বরূপ, কিছু পূর্ণসংখ্যা বা মিশ্র সংখ্যা নেওয়া যাক। 623 বা 623,57 . এই জাতীয় সংখ্যার লগারিদম একটি বৈশিষ্ট্য এবং একটি ম্যান্টিসা নিয়ে গঠিত। দেখা যাচ্ছে যে দশমিক লগারিদমের সুবিধা আছে আমরা সর্বদা এক ধরনের সংখ্যা দ্বারা তাদের বৈশিষ্ট্য খুঁজে পেতে পারি . এটি করার জন্য, আমরা একটি প্রদত্ত পূর্ণ সংখ্যা বা একটি পূর্ণসংখ্যা অংশে কতগুলি সংখ্যা আছে তা গণনা করি মিশ্র সংখ্যা, এই সংখ্যা আমাদের উদাহরণ 3 . অতএব, প্রতিটি সংখ্যা 623 এবং 623,57 100 এর বেশি কিন্তু 1000 এর কম; এর মানে হল যে তাদের প্রত্যেকের লগারিদম বড় লগ 100, অর্থাৎ আরো 2 , কিন্তু কম লগ 1000, অর্থাৎ কম 3 (মনে রাখবেন যে একটি বড় সংখ্যারও একটি বড় লগারিদম রয়েছে)। তাই, লগ 623 = 2,..., এবং লগ 623.57 = 2,... (বিন্দুগুলি অজানা ম্যান্টিসাস প্রতিস্থাপন করে)।
এই মত আমরা খুঁজে পাই:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 লগ 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 লগ 8634 = 3,... |
সাধারণভাবে একটি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা, বা একটি প্রদত্ত মিশ্র সংখ্যার একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকুক মি সংখ্যা যেহেতু ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা রয়েছে মি সংখ্যা, হ্যাঁ 1 সঙ্গে মি - 1 শেষে শূন্য, তারপর (এই সংখ্যাটি নির্দেশ করে এন) আমরা অসমতা লিখতে পারি:
এবং সেইজন্য,
মি - 1 < log N < মি ,
লগ এন = ( মি- 1) + ধনাত্মক ভগ্নাংশ.
তাই বৈশিষ্ট্য logN = মি - 1 .
আমরা যে এই ভাবে দেখতে একটি পূর্ণসংখ্যা বা মিশ্র সংখ্যার লগারিদমের বৈশিষ্ট্যে সংখ্যা বিয়োগ একের পূর্ণসংখ্যা অংশে যতগুলি সংখ্যা রয়েছে ততগুলি ধনাত্মক একক রয়েছে।
এটি লক্ষ্য করার পরে, আমরা সরাসরি লিখতে পারি:
লগ 7.205 = 0,...; লগ 83 = 1,...; লগ 720.4 = 2,...এবং তাই
ঘ)কয়েকটি দশমিক ভগ্নাংশ ছোট করে নেওয়া যাক 1 (অর্থাৎ থাকা 0 সমগ্র): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, এবং তাই
সুতরাং, এই লগারিদমগুলির প্রতিটি দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে রয়েছে যা একটি ইউনিট দ্বারা পৃথক; তাই তাদের প্রতিটি কিছু ধনাত্মক ভগ্নাংশ দ্বারা বৃদ্ধি এই ঋণাত্মক সংখ্যার ছোট সমান। উদাহরণ স্বরূপ, log0.0056= -3 + ধনাত্মক ভগ্নাংশ. ধরা যাক এই ভগ্নাংশটি 0.7482। তাহলে এর মানে হলঃ
লগ 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518)।
যেমন পরিমাণ - 3 + 0,7482 , একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক দশমিক ভগ্নাংশের সমন্বয়ে, আমরা লগারিদমিক গণনায় নিম্নরূপ সংক্ষেপে লিখতে সম্মত হয়েছি: 3 ,7482 (এই সংখ্যাটি পড়ে: 3 বিয়োগ, 7482 দশ হাজারতম.), অর্থাৎ তারা বৈশিষ্ট্যটির উপরে একটি বিয়োগ চিহ্ন রাখে যাতে দেখানো হয় যে এটি শুধুমাত্র এই বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত, এবং ম্যান্টিসার সাথে নয়, যা ইতিবাচক থেকে যায়। সুতরাং, উপরের টেবিল থেকে এটা স্পষ্ট যে
লগ 0.35 == 1,....; লগ 0.07 = 2,....; লগ 0.0008 = 4,...
সব যাক 
. প্রথম উল্লেখযোগ্য অঙ্কের আগে একটি দশমিক ভগ্নাংশ আছে α
খরচ মি
শূন্য, 0 পূর্ণসংখ্যা সহ। তাহলে এটা স্পষ্ট
- মি < log A < - (মি- 1).
যেহেতু দুটি পূর্ণসংখ্যা থেকে: - মি এবং - (মি- 1) কম আছে - মি , যে
লগ A = - মি+ ধনাত্মক ভগ্নাংশ,
এবং তাই বৈশিষ্ট্য লগ A = - মি (একটি ইতিবাচক ম্যান্টিসা সহ)।
এইভাবে, 1-এর কম দশমিক ভগ্নাংশের লগারিদমের বৈশিষ্ট্যে শূন্য পূর্ণসংখ্যা সহ প্রথম উল্লেখযোগ্য অঙ্কের আগে দশমিক ভগ্নাংশের ছবিতে শূন্যের মতো অনেকগুলি ঋণাত্মক রয়েছে; এই ধরনের লগারিদমের ম্যান্টিসা ইতিবাচক।
ঙ)এর কিছু সংখ্যা গুণ করা যাক এন(পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ - এটা কোন ব্যাপার না) 10 দ্বারা, 100 দ্বারা 1000..., সাধারণভাবে শূন্য সহ 1 দ্বারা। এই পরিবর্তন কিভাবে দেখা যাক লগ এন. যেহেতু গুণফলের লগারিদম গুণনীয়কগুলির লগারিদমের যোগফলের সমান, তাহলে
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;ইত্যাদি
কখন লগ এনআমরা কিছু পূর্ণসংখ্যা যোগ করি, তারপরে আমরা সর্বদা এই সংখ্যাটিকে বৈশিষ্ট্যের সাথে যুক্ত করতে পারি, এবং ম্যান্টিসাতে নয়।
সুতরাং, যদি লগ হয় N = 2.7804, তাহলে 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, ইত্যাদি;
অথবা যদি লগ হয় N = 3.5649, তাহলে 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, ইত্যাদি।
যখন একটি সংখ্যাকে 10, 100, 1000,..., সাধারণত শূন্য দিয়ে 1 দ্বারা গুণ করা হয়, লগারিদমের ম্যান্টিসা পরিবর্তিত হয় না, এবং গুণনীয়কটিতে শূন্য যতগুলি একক থাকে ততগুলি দ্বারা বৈশিষ্ট্য বৃদ্ধি পায় .
একইভাবে, ভাগফলের লগারিদম ভাজকের লগারিদম ছাড়াই লভ্যাংশের লগারিদমের সমান তা বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:
log N/10 = log N- log 10 = log N -1;
log N/100 = log N- log 100 = log N -2;
log N/1000 = log N- log 1000 = log N -3;এবং তাই
যদি আমরা সম্মত হই, লগারিদম থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করার সময়, সর্বদা এই পূর্ণসংখ্যাটিকে বৈশিষ্ট্য থেকে বিয়োগ করতে এবং ম্যান্টিসাটিকে অপরিবর্তিত রেখে দিতে, তাহলে আমরা বলতে পারি:
কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে 1 দিয়ে ভাগ করলে লগারিদমের ম্যান্টিসা পরিবর্তন হয় না, কিন্তু ভাজকের মধ্যে যতগুলো শূন্য থাকে ততগুলো একক দ্বারা বৈশিষ্ট্য কমে যায়।
276. পরিণতি।সম্পত্তি থেকে ( e) নিম্নলিখিত দুটি সমষ্টি অনুমান করা যেতে পারে:
ক) দশমিক বিন্দুতে স্থানান্তরিত হলে দশমিক সংখ্যার লগারিদমের ম্যান্টিসা পরিবর্তন হয় না , কারণ একটি দশমিক বিন্দু সরানো 10, 100, 1000 ইত্যাদি দ্বারা গুণ বা ভাগ করার সমতুল্য। এইভাবে, সংখ্যার লগারিদম:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
শুধুমাত্র বৈশিষ্ট্যের মধ্যে পার্থক্য, কিন্তু mantissas মধ্যে নয় (প্রদান করা হয় যে সমস্ত mantissas ইতিবাচক হয়)।
খ) সংখ্যার ম্যান্টিসাসগুলি যেগুলির একই তাৎপর্যপূর্ণ অংশ রয়েছে, কিন্তু শুধুমাত্র শূন্য শেষ করে ভিন্ন, একই: এইভাবে, সংখ্যার লগারিদমগুলি: 23, 230, 2300, 23,000 শুধুমাত্র বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে পৃথক।
মন্তব্য করুন। দশমিক লগারিদমের নির্দেশিত বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে এটা স্পষ্ট যে আমরা টেবিলের সাহায্য ছাড়াই একটি পূর্ণসংখ্যা এবং দশমিক ভগ্নাংশের লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে পেতে পারি (এটি দশমিক লগারিদমের দুর্দান্ত সুবিধা); ফলস্বরূপ, লগারিদমিক টেবিলে শুধুমাত্র একটি ম্যান্টিসা রাখা হয়; উপরন্তু, যেহেতু ভগ্নাংশের লগারিদম খুঁজে বের করা পূর্ণসংখ্যার লগারিদম (একটি ভগ্নাংশের লগারিদম = হরের লগারিদম ছাড়া লবের লগারিদম), শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার লগারিদমের ম্যান্টিসাসগুলি টেবিলে স্থাপন করা হয়।
তৃতীয় অধ্যায়.
চার-সংখ্যার টেবিলের নকশা এবং ব্যবহার।
277. লগারিদমের সিস্টেম।লগারিদমের একটি সিস্টেম হল একই বেস ব্যবহার করে পরপর সংখ্যক পূর্ণসংখ্যার জন্য গণনা করা লগারিদমের একটি সেট। দুটি সিস্টেম ব্যবহার করা হয়: সাধারণ বা দশমিক লগারিদমের সিস্টেম, যেখানে সংখ্যাটিকে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয় 10 , এবং তথাকথিত সিস্টেম প্রাকৃতিক লগারিদম, যেখানে একটি অমূলদ সংখ্যাকে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয় (কিছু কারণে যা গণিতের অন্যান্য শাখায় স্পষ্ট) 2,7182818 ... গণনার জন্য, দশমিক লগারিদম ব্যবহার করা হয়, সুবিধার কারণে যেটি আমরা এই ধরনের লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করার সময় নির্দেশ করেছি।
প্রাকৃতিক লগারিদমকে নেপেরভও বলা হয়, যার নামকরণ করা হয় লগারিদমের উদ্ভাবক, একজন স্কটিশ গণিতবিদ নেপেরা(1550-1617), এবং দশমিক লগারিদম - ব্রিগস অধ্যাপকের নামে নামকরণ করা হয়েছে ব্রিগা(নেপিয়ারের একজন সমসাময়িক এবং বন্ধু), যিনি প্রথম এই লগারিদমগুলির টেবিল সংকলন করেছিলেন।
278. একটি নেতিবাচক লগারিদমকে রূপান্তর করা যার ম্যান্টিসা ধনাত্মক, এবং বিপরীত রূপান্তর। আমরা দেখেছি যে 1 এর কম সংখ্যার লগারিদম ঋণাত্মক। এর মানে হল যে তারা একটি নেতিবাচক বৈশিষ্ট্য এবং একটি নেতিবাচক ম্যান্টিসা নিয়ে গঠিত। এই ধরনের লগারিদমগুলি সর্বদা রূপান্তরিত হতে পারে যাতে তাদের ম্যান্টিসা ইতিবাচক হয়, তবে বৈশিষ্ট্যটি নেতিবাচক থাকে। এটি করার জন্য, ম্যান্টিসাতে একটি ইতিবাচক যোগ করা যথেষ্ট এবং বৈশিষ্ট্যটিতে একটি নেতিবাচক যোগ করা যথেষ্ট (যা অবশ্যই লগারিদমের মান পরিবর্তন করে না)।
যদি, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের একটি লগারিদম আছে - 2,0873 , তারপর আপনি লিখতে পারেন:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
বা সংক্ষেপে:
বিপরীতভাবে, একটি নেতিবাচক বৈশিষ্ট্য এবং একটি ইতিবাচক ম্যান্টিসা সহ যেকোন লগারিদম একটি নেতিবাচক একটিতে পরিণত হতে পারে। এটি করার জন্য, ইতিবাচক ম্যান্টিসাতে একটি নেতিবাচক এবং নেতিবাচক বৈশিষ্ট্যে একটি ইতিবাচক যুক্ত করা যথেষ্ট: সুতরাং, আপনি লিখতে পারেন:
279. চার-সংখ্যার টেবিলের বর্ণনা।বেশিরভাগ ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য, চার-সংখ্যার টেবিলগুলি যথেষ্ট, যার হ্যান্ডলিং খুব সহজ। এই টেবিলগুলি (উপরে শিলালিপি "লগারিদম" সহ) এই বইয়ের শেষে স্থাপন করা হয়েছে, এবং তাদের একটি ছোট অংশ (ব্যবস্থা ব্যাখ্যা করার জন্য) এই পৃষ্ঠায় মুদ্রিত হয়েছে। এতে ম্যান্টিসাস রয়েছে
লগারিদম।
থেকে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার লগারিদম 1 আগে 9999 অন্তর্ভুক্ত, চার দশমিক স্থানে গণনা করা হয়েছে, এই স্থানগুলির মধ্যে শেষটি দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে৷ 1 যে সমস্ত ক্ষেত্রে 5ম দশমিক স্থান 5 বা 5 এর বেশি হবে; অতএব, 4-সংখ্যার টেবিলগুলি পর্যন্ত আনুমানিক ম্যান্টিসাস দেয় 1 / 2 দশ হাজারতম অংশ (একটি অভাব বা অতিরিক্ত সঙ্গে)।
যেহেতু আমরা দশমিক লগারিদমের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি পূর্ণসংখ্যা বা দশমিক ভগ্নাংশের লগারিদমকে সরাসরি চিহ্নিত করতে পারি, তাই আমাদের অবশ্যই টেবিল থেকে শুধুমাত্র ম্যান্টিসাস নিতে হবে; একই সময়ে, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে দশমিক সংখ্যার দশমিক বিন্দুর অবস্থান, সেইসাথে সংখ্যার শেষে শূন্যের সংখ্যা, মানটিসার মানকে প্রভাবিত করে না। অতএব, একটি প্রদত্ত সংখ্যার জন্য ম্যান্টিসা খুঁজে বের করার সময়, আমরা এই সংখ্যার কমাটি বাতিল করি, সেইসাথে এটির শেষে শূন্য, যদি থাকে, এবং এর পরে গঠিত পূর্ণসংখ্যার ম্যান্টিসাটি খুঁজে পাই। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে দেখা দিতে পারে.
1) একটি পূর্ণসংখ্যা 3টি সংখ্যা নিয়ে গঠিত।উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমাদের 536 নম্বরের লগারিদমের ম্যান্টিসা খুঁজে বের করতে হবে। এই সংখ্যার প্রথম দুটি সংখ্যা, অর্থাৎ 53, বাম দিকের প্রথম উল্লম্ব কলামের টেবিলে পাওয়া যায় (টেবিল দেখুন)। 53 নম্বরটি খুঁজে পাওয়ার পরে, আমরা এটি থেকে একটি অনুভূমিক রেখা বরাবর ডানদিকে সরে যাই যতক্ষণ না এই রেখাটি শীর্ষে রাখা 0, 1, 2, 3,... 9 নম্বরগুলির একটির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি উল্লম্ব কলামের সাথে ছেদ না করে (এবং টেবিলের নীচে), যা একটি প্রদত্ত সংখ্যার 3-তম সংখ্যা, যেমন আমাদের উদাহরণে, সংখ্যা 6। ছেদ-এ আমরা মন্তিসা 7292 (অর্থাৎ 0.7292) পাই, যা 536 নম্বরের লগারিদমের অন্তর্গত। একইভাবে , 508 নম্বরের জন্য আমরা ম্যান্টিসা 0.7059 খুঁজে পাই, 500 নম্বরের জন্য আমরা 0.6990 খুঁজে পাই।
2) একটি পূর্ণসংখ্যা 2 বা 1 সংখ্যা নিয়ে গঠিত।তারপরে আমরা মানসিকভাবে এই সংখ্যাটিতে এক বা দুটি শূন্য নির্ধারণ করি এবং এইভাবে গঠিত তিন-সংখ্যার সংখ্যাটির জন্য ম্যান্টিসা খুঁজে পাই। উদাহরণস্বরূপ, আমরা 51 নম্বরে একটি শূন্য যোগ করি, যেখান থেকে আমরা 510 পাই এবং ম্যান্টিসা 7070 পাই; 5 নম্বরে আমরা 2টি শূন্য নির্ধারণ করি এবং ম্যান্টিসা 6990 ইত্যাদি খুঁজে পাই।
3) একটি পূর্ণসংখ্যাকে 4 সংখ্যায় প্রকাশ করা হয়।উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে লগ 5436-এর ম্যান্টিসা খুঁজে বের করতে হবে। তারপর প্রথমে আমরা টেবিলে খুঁজে পাই, যেমনটি কেবল নির্দেশ করা হয়েছিল, এই সংখ্যার প্রথম 3টি সংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সংখ্যাটির জন্য মানটিসা, অর্থাৎ 543 এর জন্য (এই মানটিসাটি 7348 হবে ); তারপরে আমরা অনুভূমিক রেখা বরাবর পাওয়া ম্যান্টিসা থেকে ডানদিকে (টেবিলের ডানদিকে, পুরু উল্লম্ব রেখার পিছনে অবস্থিত) সরে যাই যতক্ষণ না এটি একটি সংখ্যার মধ্য দিয়ে যাওয়া উল্লম্ব কলামের সাথে ছেদ করে: 1, 2 3,। .. 9, টেবিলের এই অংশের শীর্ষে (এবং নীচে) অবস্থিত, যা একটি প্রদত্ত সংখ্যার 4 র্থ সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে, অর্থাৎ, আমাদের উদাহরণে, সংখ্যা 6। ছেদটিতে আমরা সংশোধন (সংখ্যা) পাই 5), যা 5436 নম্বরের ম্যান্টিসা পাওয়ার জন্য মানসিকভাবে 7348-এর ম্যান্টিসাতে প্রয়োগ করতে হবে; এইভাবে আমরা ম্যান্টিসা 0.7353 পাই।
4) একটি পূর্ণসংখ্যাকে 5 বা তার বেশি সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা হয়।তারপরে আমরা প্রথম 4টি ব্যতীত সমস্ত সংখ্যা বাদ দিই, এবং একটি আনুমানিক চার-সংখ্যার সংখ্যা নিই এবং এই সংখ্যাটির শেষ সংখ্যাটি সেই সংখ্যাটিতে 1 দ্বারা বৃদ্ধি করি। যদি সংখ্যাটির বাতিল করা 5ম সংখ্যাটি 5 বা 5 এর বেশি হয়। সুতরাং, 57842 এর পরিবর্তে আমরা 5784 নিই, 30257 এর পরিবর্তে আমরা 3026 নিই, 583263 এর পরিবর্তে 5833 নিই ইত্যাদি। এই বৃত্তাকার চার-সংখ্যার সংখ্যার জন্য, আমরা ঠিক যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে তেমনি ম্যান্টিসা খুঁজে পাই।
এই নির্দেশাবলী দ্বারা পরিচালিত, আসুন, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির লগারিদমগুলি সন্ধান করি:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
প্রথমত, আপাতত টেবিলের দিকে না গিয়ে, আমরা ম্যান্টিসাসের জন্য জায়গা রেখে শুধুমাত্র বৈশিষ্ট্যগুলি রাখব, যা আমরা পরে লিখব:
লগ 36.5 = 1,.... লগ 0.00345 = 3,...
লগ 804.7 = 2,.... লগ 7.2634 = 0,...
লগ 0.26 = 1,.... লগ 3456.86 = 3,...
লগ 36.5 = 1.5623; লগ 0.00345 = 3.5378;
লগ 804.7 = 2.9057; লগ 7.2634 = 0.8611;
লগ 0.26 = 1.4150; লগ 3456.86 = 3.5387।
280. নোট. কিছু চার-সংখ্যার টেবিলে (উদাহরণস্বরূপ, টেবিলে ভি. লরচেঙ্কো এবং এন. ওগ্লোব্লিনা, এস. গ্লাজেনাপ, এন. কামেনশিকোভা) এই সংখ্যার ৪র্থ সংখ্যার জন্য সংশোধন করা হয় না। এই ধরনের টেবিলের সাথে কাজ করার সময়, আপনাকে এই সংশোধনগুলি ব্যবহার করে খুঁজে বের করতে হবে সহজ হিসাব, যা নিম্নলিখিত সত্যের ভিত্তিতে সঞ্চালিত হতে পারে: যদি সংখ্যা 100 এর বেশি হয় এবং তাদের মধ্যে পার্থক্য 1 এর কম হয়, তবে সংবেদনশীল ত্রুটি ছাড়াই এটি গ্রহণ করা যেতে পারে লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যগুলি সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলির মধ্যে পার্থক্যের সমানুপাতিক . উদাহরণস্বরূপ, আমাদের 5367 নম্বরের সাথে সম্পর্কিত ম্যান্টিসা খুঁজে বের করতে হবে। এই ম্যান্টিসাটি অবশ্যই 536.7 নম্বরের মতোই। আমরা 536 নম্বর ম্যান্টিসা 7292 এর জন্য টেবিলে খুঁজে পাই। ডানদিকে সংলগ্ন ম্যান্টিসা 7300 এর সাথে এই মানটিসার তুলনা করে, 537 নম্বরের সাথে মিল রেখে, আমরা লক্ষ্য করি যে যদি 536 নম্বরটি 1 দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তবে এর মানটিসা 8 দশ বৃদ্ধি পাবে - হাজারতম (8 তথাকথিত টেবিল পার্থক্যদুটি সংলগ্ন ম্যান্টিসাসের মধ্যে); যদি 536 সংখ্যাটি 0.7 দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তবে এর মানটিসা 8 দশ-হাজারতম দ্বারা নয়, কিছু ছোট সংখ্যা দ্বারা বৃদ্ধি পাবে এক্স দশ হাজারতম, যা অনুমানকৃত আনুপাতিকতা অনুসারে অনুপাতগুলি পূরণ করতে হবে:
এক্স :8 = 0.7:1; কোথায় এক্স = 8 07 = 5,6,
যা 6 দশ হাজারতম বৃত্তাকার। এর মানে হল যে 536.7 নম্বরের জন্য ম্যান্টিসা (এবং তাই 5367 নম্বরের জন্য) হবে: 7292 + 6 = 7298৷
উল্লেখ্য, সারণিতে দুটি সন্নিহিত সংখ্যা ব্যবহার করে একটি মধ্যবর্তী সংখ্যা বের করাকে বলা হয় ইন্টারপোলেশনএখানে বর্ণিত ইন্টারপোলেশন বলা হয় সমানুপাতিক, যেহেতু এটি অনুমানের উপর ভিত্তি করে যে লগারিদমের পরিবর্তন সংখ্যার পরিবর্তনের সমানুপাতিক। এটিকে রৈখিকও বলা হয়, কারণ এটি অনুমান করে যে গ্রাফিকভাবে লগারিদমিক ফাংশনের পরিবর্তন একটি সরল রেখা দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
281. আনুমানিক লগারিদমের ত্রুটি সীমা।যে সংখ্যাটির লগারিদম চাওয়া হচ্ছে সেটি যদি সঠিক সংখ্যা হয়, তাহলে 4-সংখ্যার টেবিলে পাওয়া তার লগারিদমের ত্রুটির সীমাটি নেওয়া যেতে পারে, যেমনটি আমরা বলেছি। 1 / 2 দশ হাজারতম অংশ। যদি এই সংখ্যাটি সঠিক না হয়, তাহলে এই ত্রুটির সীমাতে আমাদের অবশ্যই সংখ্যাটির ভুলতার ফলে অন্য একটি ত্রুটির সীমা যোগ করতে হবে। এটি প্রমাণিত হয়েছে (আমরা এই প্রমাণটি বাদ দিই) যে এই ধরনের একটি সীমা পণ্য হিসাবে নেওয়া যেতে পারে
ক(d +1) দশ হাজারতম।,
যা ক এটি অনুমান করে সবচেয়ে অশুদ্ধ সংখ্যার জন্য ত্রুটির মার্জিন এর পূর্ণসংখ্যা অংশে 3টি সংখ্যা রয়েছে, ক d ম্যান্টিসাসের ট্যাবুলার পার্থক্য দুটি পরপর তিন-সংখ্যার সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত যার মধ্যে প্রদত্ত অসম্পূর্ণ সংখ্যাটি রয়েছে। সুতরাং, লগারিদমের চূড়ান্ত ত্রুটির সীমা তারপর সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হবে:
1 / 2 + ক(d +1) দশ হাজারতম
উদাহরণ. লগ খুঁজুন π , জন্য গ্রহণ π আনুমানিক সংখ্যা 3.14, সঠিক 1 / 2 শততম
3.14 নম্বরে 3য় অঙ্কের পরে কমা সরানো, বাম থেকে গণনা করা, আমরা পাই তিন অঙ্কের সংখ্যা 314, সঠিক 1 / 2 ইউনিট; এর মানে হল একটি ভুল সংখ্যার জন্য ত্রুটির মার্জিন, অর্থাত্, আমরা অক্ষর দ্বারা যা চিহ্নিত করেছি ক , এখানে 1 / 2 টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
লগ 3.14 = 0.4969।
টেবিল পার্থক্য d 314 এবং 315 সংখ্যার ম্যান্টিসাসের মধ্যে 14 এর সমান, তাই পাওয়া লগারিদমের ত্রুটি কম হবে
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 দশ হাজারতম.
যেহেতু আমরা লগারিদম 0.4969 সম্পর্কে জানি না এটি ঘাটতি বা অত্যধিক কিনা, আমরা শুধুমাত্র নিশ্চিত করতে পারি যে সঠিক লগারিদম π 0.4969 - 0.0008 এবং 0.4969 + 0.0008, অর্থাৎ 0.4961 এর মধ্যে অবস্থিত< log π < 0,4977.
282. একটি প্রদত্ত লগারিদম ব্যবহার করে একটি সংখ্যা খুঁজুন. একটি প্রদত্ত লগারিদম ব্যবহার করে একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলির ম্যান্টিসাসগুলি খুঁজে পেতে একই টেবিল ব্যবহার করা যেতে পারে; তবে তথাকথিত অ্যান্টিলগারিদম, অর্থাৎ এই ম্যান্টিসাসের সাথে সম্পর্কিত সংখ্যাগুলি ধারণ করে এমন অন্যান্য টেবিলগুলি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক। এই সারণীগুলি, উপরের শিলালিপি দ্বারা নির্দেশিত "অ্যান্টিলোগারিদম" এই বইয়ের শেষে লগারিদমের টেবিলের পরে স্থাপন করা হয়েছে; তাদের একটি ছোট অংশ এই পৃষ্ঠায় (ব্যাখ্যার জন্য) স্থাপন করা হয়েছে।
ধরুন আপনাকে একটি 4-সংখ্যার ম্যান্টিসা 2863 দেওয়া হয়েছে (আমরা বৈশিষ্ট্যের দিকে মনোযোগ দিই না) এবং আপনাকে সংশ্লিষ্ট পূর্ণসংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে। তারপরে, অ্যান্টিলগারিদমগুলির সারণী থাকার জন্য, আপনাকে সেগুলিকে ঠিক একইভাবে ব্যবহার করতে হবে যেমনটি পূর্বে একটি প্রদত্ত সংখ্যার জন্য ম্যান্টিসা খুঁজে বের করার জন্য ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, যথা: আমরা বাম দিকের প্রথম কলামে ম্যান্টিসার প্রথম 2টি সংখ্যা খুঁজে পাই। তারপরে আমরা এই সংখ্যাগুলি থেকে অনুভূমিক রেখা বরাবর ডানদিকে সরে যাই যতক্ষণ না এটি ম্যান্টিসার 3য় সংখ্যা থেকে আসা উল্লম্ব কলামের সাথে ছেদ করে, যা অবশ্যই উপরের লাইনে (বা নীচে) সন্ধান করতে হবে। ছেদটিতে আমরা চার-সংখ্যার সংখ্যা 1932 পাই, যা ম্যান্টিসা 286-এর সাথে মিলে যায়। তারপরে এই সংখ্যা থেকে আমরা অনুভূমিক রেখা বরাবর ডানদিকে আরও এগিয়ে যাই যতক্ষণ না ম্যান্টিসার 4 র্থ সংখ্যা থেকে আসা উল্লম্ব কলামের সাথে ছেদ না হয়, যা অবশ্যই 1, 2 সেখানে রাখা , 3,... 9 এর মধ্যে উপরের (বা নীচে) পাওয়া যাবে ম্যান্টিসা 2863 এর সাথে সম্পর্কিত নম্বর পেতে।
এইভাবে, সংখ্যাটি 1933 হবে। এর পরে, বৈশিষ্ট্যের দিকে মনোযোগ দিয়ে, আপনাকে 1933 নম্বরটিতে সঠিক জায়গায় দখল করতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:
যদি লগ এক্স = 3.2863, তারপর এক্স = 1933,
„ লগ x = 1,2863, „ এক্স = 19,33,
, লগ এক্স = 0,2&63, „ এক্স = 1,933,
„ লগ এক্স = 2 ,2863, „ এক্স = 0,01933
এখানে আরো উদাহরণ আছে:
লগ এক্স = 0,2287, এক্স = 1,693,
লগ এক্স = 1 ,7635, এক্স = 0,5801,
লগ এক্স = 3,5029, এক্স = 3184,
লগ এক্স = 2 ,0436, এক্স = 0,01106.
যদি ম্যান্টিসাতে 5 বা তার বেশি সংখ্যা থাকে, তবে আমরা শুধুমাত্র প্রথম 4টি সংখ্যা গ্রহণ করি, বাকিগুলি বাদ দিয়ে (এবং 5 তম সংখ্যায় পাঁচ বা তার বেশি থাকলে 4র্থ সংখ্যাটি 1 দ্বারা বৃদ্ধি করি)। উদাহরণস্বরূপ, mantissa 35478 এর পরিবর্তে আমরা 3548 নিই, 47562 এর পরিবর্তে আমরা 4756 নিই।
283. নোট।ম্যান্টিসার ৪র্থ এবং পরবর্তী সংখ্যার সংশোধনও ইন্টারপোলেশনের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। সুতরাং, যদি ম্যান্টিসা 84357 হয়, তাহলে, ম্যান্টিসা 843 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ 6966 নম্বরটি পাওয়া গেলে, আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে আরও কারণ করতে পারি: যদি ম্যান্টিসা 1 (হাজারতম) দ্বারা বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, এটি 844 করে, তাহলে সংখ্যাটি হিসাবে টেবিল থেকে দেখা যায়, 16 ইউনিট বৃদ্ধি পাবে; যদি ম্যান্টিসা 1 (হাজারতম) দ্বারা না বেড়ে 0.57 (হাজারতম) দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তবে সংখ্যাটি বৃদ্ধি পাবে এক্স ইউনিট, এবং এক্স অনুপাত পূরণ করতে হবে:
এক্স : 16 = 0.57: 1, কোথা থেকে x = 16 0,57 = 9,12.
এর মানে হল প্রয়োজনীয় সংখ্যাটি হবে 6966+ 9.12 = 6975.12 বা (মাত্র চারটি সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ) 6975।
284. পাওয়া সংখ্যার ত্রুটি সীমা.এটি প্রমাণিত হয়েছে যে যখন পাওয়া সংখ্যায় কমাটি বাম থেকে 3য় অঙ্কের পরে থাকে, অর্থাৎ লগারিদমের বৈশিষ্ট্য 2 হয়, তখন যোগফলটিকে ত্রুটি সীমা হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।
কোথায় ক লগারিদমের ত্রুটি সীমা (দশ হাজারে প্রকাশ করা হয়েছে) যার দ্বারা সংখ্যাটি পাওয়া গেছে, এবং d - দুটি তিন-সংখ্যার পরপর সংখ্যার ম্যান্টিসাসের মধ্যে পার্থক্য যার মধ্যে পাওয়া সংখ্যাটি রয়েছে (বাম থেকে 3য় সংখ্যার পরে একটি কমা সহ)। যখন বৈশিষ্ট্যটি 2 নয়, তবে অন্য কিছু, তখন পাওয়া সংখ্যাটিতে কমাটি বাম বা ডানদিকে সরাতে হবে, অর্থাৎ, সংখ্যাটিকে 10 এর কিছু শক্তি দিয়ে ভাগ বা গুণ করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, ত্রুটি ফলাফলের একই শক্তি 10 দ্বারা ভাগ বা গুণ করা হবে।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা লগারিদম ব্যবহার করে একটি সংখ্যা খুঁজছি 1,5950 , যা 3 দশ-হাজারতমের জন্য সঠিক বলে পরিচিত; তার মানে তখন ক = 3 . এই লগারিদমের সাথে সম্পর্কিত সংখ্যাটি, অ্যান্টিলগারিদমের টেবিল থেকে পাওয়া যায় 39,36 . বাম দিক থেকে 3য় সংখ্যার পরে কমা সরানো, আমাদের সংখ্যা আছে 393,6 , মধ্যে গঠিত 393 এবং 394 . লগারিদমের সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই দুটি সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত ম্যান্টিসাসের মধ্যে পার্থক্য হল 11 দশ হাজারতম; মানে d = 11 . 393.6 নম্বরের ত্রুটি কম হবে
মানে সংখ্যায় ত্রুটি 39,36 কম হবে 0,05 .
285. নেতিবাচক বৈশিষ্ট্য সহ লগারিদমের উপর অপারেশন।লগারিদম যোগ করা এবং বিয়োগ করা কোন অসুবিধা উপস্থাপন করে না, যেমনটি নিম্নলিখিত উদাহরণ থেকে দেখা যায়:
লগারিদমকে ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতেও কোন অসুবিধা নেই, উদাহরণস্বরূপ:
শেষ উদাহরণে, ইতিবাচক ম্যান্টিসা আলাদাভাবে 34 দ্বারা গুণিত হয়, তারপর নেতিবাচক বৈশিষ্ট্যটি 34 দ্বারা গুণিত হয়।
যদি একটি নেতিবাচক বৈশিষ্ট্য এবং একটি ধনাত্মক ম্যান্টিসার লগারিদম একটি নেতিবাচক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে দুটি উপায়ে এগিয়ে যান: হয় প্রদত্ত লগারিদমটি প্রথমে ঋণাত্মক পরিণত হয়, অথবা ম্যান্টিসা এবং বৈশিষ্ট্যকে পৃথকভাবে গুণ করা হয় এবং ফলাফলগুলি একসাথে মিলিত হয়, উদাহরণস্বরূপ :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
ভাগ করার সময়, দুটি ক্ষেত্রে দেখা দিতে পারে: 1) নেতিবাচক বৈশিষ্ট্য বিভক্ত এবং 2) ভাজক দ্বারা বিভাজ্য নয়। প্রথম ক্ষেত্রে, বৈশিষ্ট্য এবং ম্যান্টিসা আলাদাভাবে পৃথক করা হয়:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, বৈশিষ্ট্যের সাথে এত নেতিবাচক একক যোগ করা হয় যাতে ফলিত সংখ্যাটি ভাজক দ্বারা ভাগ করা হয়; একই সংখ্যক ইতিবাচক ইউনিট ম্যান্টিসাতে যোগ করা হয়েছে:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
এই রূপান্তরটি অবশ্যই মনের মধ্যে করা উচিত, তাই ক্রিয়াটি এভাবে যায়:
286. পদ দিয়ে বিয়োগকৃত লগারিদম প্রতিস্থাপন।লগারিদম ব্যবহার করে কিছু জটিল রাশি গণনা করার সময়, আপনাকে কিছু লগারিদম যোগ করতে হবে এবং অন্যগুলি বিয়োগ করতে হবে; এই ক্ষেত্রে, ক্রিয়া সম্পাদনের স্বাভাবিক পদ্ধতিতে, তারা আলাদাভাবে যোগ করা লগারিদমের যোগফল খুঁজে পায়, তারপর বিয়োগকৃতগুলির যোগফল এবং প্রথম যোগফল থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের থাকে:
লগ এক্স = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
তারপর কর্মের স্বাভাবিক সঞ্চালন এই মত দেখাবে:
যাইহোক, যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা সম্ভব। তাই:
এখন আপনি এই মত গণনা ব্যবস্থা করতে পারেন:
287. গণনার উদাহরণ।
উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি মূল্যায়ন:
যদি A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127এবং D = 7.246।
আসুন এই অভিব্যক্তিটির একটি লগারিদম নেওয়া যাক:
লগ এক্স= 1/3 লগ A + 4 লগ B - 3 লগ C - 1/3 লগ D
এখন, সময়ের অপ্রয়োজনীয় ক্ষতি এড়াতে এবং ত্রুটির সম্ভাবনা কমাতে, প্রথমে আমরা সমস্ত গণনাগুলি আপাতত কার্যকর না করে এবং তাই, টেবিলগুলি উল্লেখ না করেই সাজিয়ে রাখব:
এর পরে, আমরা টেবিলগুলি গ্রহণ করি এবং অবশিষ্টগুলিতে লগারিদম রাখি বিনামূল্যে জায়গা:
ত্রুটি সীমা.প্রথমে, সংখ্যাটির ত্রুটির সীমাটি খুঁজে বের করা যাক এক্স 1 = 194,5 , সমান:
সুতরাং, সবার আগে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে ক , অর্থাৎ, আনুমানিক লগারিদমের ত্রুটির সীমা, দশ হাজারে প্রকাশ করা হয়েছে। ধরা যাক এই সংখ্যাগুলো A, B, Cএবং ডিসব সঠিক তারপর পৃথক লগারিদমের ত্রুটিগুলি নিম্নরূপ হবে (দশ হাজারে):
ভি logA.......... 1 / 2
ভি 1/3 লগ ক......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 যোগ করা হয়েছে কারণ 1.9146-এর 3টি লগারিদম দ্বারা ভাগ করার সময়, আমরা ভাগফলটিকে এর 5 তম সংখ্যা বাতিল করে বৃত্তাকার করেছি, এবং তাই, একটি আরও ছোট ত্রুটি করেছি 1 / 2 দশ-হাজারতম)।
এখন আমরা লগারিদমের ত্রুটি সীমা খুঁজে পাই:
ক = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (দশ হাজার ভাগ)।
আসুন আরও সংজ্ঞায়িত করি d . কারণ এক্স 1 = 194,5 , তারপর 2টি পরপর পূর্ণসংখ্যা যার মধ্যে থাকে এক্স 1 ইচ্ছাশক্তি 194 এবং 195 . টেবিল পার্থক্য d এই সংখ্যাগুলির সাথে সম্পর্কিত ম্যান্টিসাসের মধ্যে সমান 22 . এর মানে হল সংখ্যাটির ত্রুটির সীমা এক্স 1 এখানে:
কারণ এক্স = এক্স 1 : 10, তারপর সংখ্যার ত্রুটি সীমা এক্স সমান 0,3:10 = 0,03 . এইভাবে, আমরা পাওয়া সংখ্যা 19,45 সঠিক সংখ্যা থেকে কম দ্বারা পৃথক 0,03 . যেহেতু আমরা জানি না যে আমাদের আনুমানিক ঘাটতি বা অতিরিক্তের সাথে পাওয়া গেছে, তাই আমরা কেবল গ্যারান্টি দিতে পারি
19,45 + 0,03 > এক্স > 19,45 - 0,03 , অর্থাৎ
19,48 > এক্স > 19,42 ,
এবং তাই, যদি আমরা গ্রহণ করি এক্স =19,4 , তাহলে আমাদের কাছে 0.1 পর্যন্ত নির্ভুলতার সাথে অসুবিধা সহ একটি আনুমানিকতা থাকবে।
উদাহরণ 2।গণনা করুন:
এক্স = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
যেহেতু নেতিবাচক সংখ্যার লগারিদম নেই, আমরা প্রথমে খুঁজে পাই:
এক্স" = (2,31) 3 5 √72
পচন দ্বারা:
লগ এক্স"= 3 লগ 2.31 + 1 / 5 লগ72.
গণনার পরে দেখা যাচ্ছে:
এক্স" = 28,99 ;
তাই,
এক্স = - 28,99 .
উদাহরণ 3. গণনা করুন:
এখানে ক্রমাগত লগারিদমাইজেশন ব্যবহার করা যাবে না, যেহেতু মূলের চিহ্ন হল c u m m a। এই ধরনের ক্ষেত্রে, অংশ দ্বারা সূত্র গণনা.
প্রথমে আমরা খুঁজে পাই এন = 5 √8 , তারপর এন 1 = 4 √3 ; তারপর সহজ যোগ দ্বারা আমরা নির্ধারণ করি এন+ এন 1 , এবং অবশেষে আমরা গণনা করি 3 √এন+ এন 1 ; এটা সক্রিয় আউট:
N=1.514, এন 1 = 1,316 ; এন+ এন 1 = 2,830 .
লগ এক্স= লগ 3 √ 2,830 = 1 / 3 লগ 2.830 = 0,1506 ;
এক্স = 1,415 .
অধ্যায় চার.
সূচকীয় এবং লগারিদমিক সমীকরণ।
288. সূচকীয় সমীকরণগুলি হল যেগুলির মধ্যে অজানাকে সূচকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, এবং লগারিদমিক- যাদের মধ্যে অজানা চিহ্নের নীচে প্রবেশ করে লগ. এই ধরনের সমীকরণগুলি শুধুমাত্র বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধানযোগ্য হতে পারে, এবং একজনকে লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করতে হবে এবং এই নীতির উপর নির্ভর করতে হবে যে যদি সংখ্যাগুলি সমান হয় তবে তাদের লগারিদমগুলি সমান হবে, এবং বিপরীতভাবে, লগারিদমগুলি সমান হলে, অনুরূপ সংখ্যা সমান।
উদাহরণ 1.সমীকরণটি সমাধান করুন: 2 এক্স = 1024 .
সমীকরণের উভয় পক্ষের লগারিদম করা যাক:
উদাহরণ 2।সমীকরণটি সমাধান করুন: ক 2x - ক এক্স = 1 . বসানো ক এক্স = এ , আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই:
y 2 - এ - 1 = 0 ,
কারণ 1-√5 < 0 , তাহলে শেষ সমীকরণটি অসম্ভব (ফাংশন ক এক্স সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকে), এবং প্রথমটি দেয়:
উদাহরণ 3.সমীকরণটি সমাধান করুন:
লগ( a + x) + লগ ( b + x) = লগ ( c + x) .
সমীকরণটি এভাবে লেখা যেতে পারে:
লগ[( a + x) (b + x)] = লগ ( c + x) .
লগারিদমের সমতা থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে সংখ্যাগুলি সমান:
(a + x) (b + x) = c + x .
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যার সমাধান কঠিন নয়।
পঞ্চম অধ্যায়।
চক্রবৃদ্ধি সুদ, মেয়াদী অর্থ প্রদান এবং মেয়াদী অর্থ প্রদান।
289. চক্রবৃদ্ধি সুদের উপর মৌলিক সমস্যা।কতটা পুঁজিতে পরিণত হবে? ক রুবেল, এ বৃদ্ধি দেওয়া আর চক্রবৃদ্ধিহারে সুদ, এর বিলোপের পর t বছর ( t - পূর্ণসংখ্যা)?
তারা বলে যে মূলধন চক্রবৃদ্ধি সুদে প্রদান করা হয় যদি তথাকথিত "সুদের উপর সুদ" বিবেচনায় নেওয়া হয়, অর্থাৎ, যদি মূলধনের উপর বকেয়া সুদের টাকা প্রতি বছর বৃদ্ধির জন্য মূলধনে যোগ করা হয়। এটি পরবর্তী বছরগুলিতে আগ্রহের সাথে।
মূলধন প্রতিটি রুবেল দূরে দেওয়া আর %, এক বছরের মধ্যে লাভ আনবে পি / 100 রুবেল, এবং তাই, 1 বছরে প্রতিটি রুবেল মূলধনে পরিণত হবে 1 + পি / 100 রুবেল (উদাহরণস্বরূপ, যদি মূলধন দেওয়া হয় 5 %, তারপর এক বছরে এটির প্রতিটি রুবেল পরিণত হবে 1 + 5 / 100 , অর্থাৎ ইন 1,05 রুবেল)।
সংক্ষিপ্ততার জন্য, ভগ্নাংশকে বোঝানো হচ্ছে পি / 100 একটি অক্ষর সহ, উদাহরণস্বরূপ, r , আমরা বলতে পারি যে এক বছরে মূলধনের প্রতিটি রুবেল পরিণত হবে 1 + r রুবেল; তাই, ক রুবেল 1 বছরের মধ্যে ফেরত দেওয়া হবে ক (1 + r ) ঘষা. আরও একটি বছর পরে, অর্থাৎ বৃদ্ধির শুরু থেকে 2 বছর, এর প্রতিটি রুবেল ক (1 + r ) ঘষা. আবার যোগাযোগ করবে 1 + r ঘষা.; এর অর্থ হল সমস্ত মূলধন পরিণত হবে ক (1 + r ) 2 ঘষা. একইভাবে আমরা দেখতে পাই তিন বছর পর রাজধানী হবে ক (1 + r ) 3 , চার বছরের মধ্যে এটা হবে ক (1 + r ) 4 ,... সাধারণত মাধ্যমে t বছর যদি t একটি পূর্ণসংখ্যা, এটি চালু হবে ক (1 + r ) tঘষা. এইভাবে, দ্বারা চিহ্নিত কচূড়ান্ত মূলধন, আমাদের নিম্নলিখিত চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র থাকবে:
ক = ক (1 + r ) tকোথায় r = পি / 100 .
উদাহরণ।দিন ক =2,300 ঘষা।, পি = 4, t=20 বছর তারপর সূত্র দেয়:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20।
হিসাব করতে ক, আমরা লগারিদম ব্যবহার করি:
লগ ক = লগ 2 300 + 20 লগ 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017।
A = 5031রুবেল
মন্তব্য করুন।এই উদাহরণে আমরা ছিল লগ 1.04গুন করা 20 . সংখ্যার পর থেকে 0,0170 একটি আনুমানিক মান আছে লগ 1.04পর্যন্ত 1 / 2 দশ হাজারতম অংশ, তারপর এই সংখ্যা দ্বারা গুণফল 20 এটা স্পষ্টভাবে শুধুমাত্র পর্যন্ত হবে 1 / 2 20, অর্থাৎ 10 দশ-হাজারতম = 1 হাজারতম পর্যন্ত। তাই মোট 3,7017 আমরা কেবল দশ হাজারের সংখ্যার জন্যই নয়, হাজারতম সংখ্যার জন্যও প্রমাণ করতে পারি না। এই ধরনের ক্ষেত্রে বৃহত্তর নির্ভুলতা প্রাপ্ত করার জন্য, এটি সংখ্যার জন্য ভাল 1 + r লগারিদম নিন 4-সংখ্যা নয়, কিন্তু সহ একটি বড় সংখ্যাসংখ্যা, যেমন 7-সংখ্যা। এই উদ্দেশ্যে, আমরা এখানে একটি ছোট টেবিল উপস্থাপন করি যাতে 7-সংখ্যার লগারিদমগুলি সবচেয়ে সাধারণ মানগুলির জন্য লেখা হয় আর .
290. প্রধান কাজ হল জরুরী অর্থ প্রদানের জন্য।কেউ নিল ক প্রতি রুবেল আর % ঋণ পরিশোধের শর্ত সহ, এর উপর বকেয়া সুদ সহ, মধ্যে t বছর, প্রতি বছর শেষে একই পরিমাণ অর্থ প্রদান। এই পরিমাণ কি হওয়া উচিত?
সমষ্টি এক্স , এই ধরনের অবস্থার অধীনে বার্ষিক অর্থ প্রদান, জরুরী পেমেন্ট বলা হয়. আবার চিঠি দ্বারা বোঝানো যাক r বার্ষিক সুদের টাকা 1 রুব থেকে। অর্থাৎ সংখ্যা পি / 100 . তারপর প্রথম বছর শেষে দেনা ক পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় ক (1 + r ), মৌলিক পেমেন্ট এক্স এটা রুবেল খরচ হবে ক (1 + r )-এক্স .
দ্বিতীয় বছরের শেষে, এই পরিমাণের প্রতিটি রুবেল আবার পরিণত হবে 1 + r রুবেল, এবং তাই ঋণ হবে [ ক (1 + r )-এক্স ](1 + r ) = ক (1 + r ) 2 - এক্স (1 + r ), এবং অর্থপ্রদানের জন্য এক্স রুবেল হবে: ক (1 + r ) 2 - এক্স (1 + r ) - এক্স . একইভাবে, আমরা নিশ্চিত করব যে 3য় বছরের শেষ নাগাদ ঋণ হবে
ক (1 + r ) 3 - এক্স (1 + r ) 2 - এক্স (1 + r ) - এক্স ,
এবং সাধারণভাবে এবং শেষ t বছর এটি হবে:
ক (1 + r ) t - এক্স (1 + r ) t -1 - এক্স (1 + r ) t -2 ... - এক্স (1 + r ) - এক্স , বা
ক (1 + r ) t - এক্স [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
বন্ধনীর ভিতরের বহুপদী একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির পদগুলির যোগফলকে প্রতিনিধিত্ব করে; যার প্রথম সদস্য আছে 1 , শেষ ( 1 + r ) t -1, এবং হর ( 1 + r ) জ্যামিতিক অগ্রগতির পদগুলির যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (বিভাগ 10, অধ্যায় 3, § 249), আমরা পাই:
এবং পরে ঋণের পরিমাণ t -ম পেমেন্ট হবে:
সমস্যার শর্ত অনুযায়ী দেনা শেষ t -ম বছর সমান হতে হবে 0 ; এই জন্য:
কোথায়
এই হিসাব করার সময় জরুরী পেমেন্ট সূত্রলগারিদম ব্যবহার করে আমাদের প্রথমে সহায়ক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে এন = (1 + r ) tলগারিদম দ্বারা: লগ এন = tলগ (1+ r) ; খুঁজে পাওয়া এন, এটি থেকে 1 বিয়োগ করুন, তাহলে আমরা সূত্রটির হর পাব এক্স, এর পরে আমরা সেকেন্ডারি লগারিদম দ্বারা খুঁজে পাই:
লগ এক্স= লগ ক+ লগ N + লগ r - লগ (N - 1).
291. মেয়াদী অবদানের জন্য প্রধান কাজ।কেউ প্রতি বছরের শুরুতে ব্যাংকে একই পরিমাণ জমা করে। ক ঘষা. পরে এই অবদানগুলি থেকে কী মূলধন গঠিত হবে তা নির্ধারণ করুন t ব্যাংক পরিশোধ করলে বছর আর চক্রবৃদ্ধিহারে সুদ.
দ্বারা মনোনীত r 1 রুবেল থেকে বার্ষিক সুদের টাকা, যেমন পি / 100 , আমরা এই মত কারণ: প্রথম বছরের শেষে রাজধানী হবে ক (1 + r );
2য় বছরের শুরুতে এই পরিমাণ যোগ করা হবে ক রুবেল; এর মানে এই সময়ে মূলধন হবে ক (1 + r ) + ক . ২য় বর্ষের শেষ নাগাদ তিনি হবেন ক (1 + r ) 2 + ক (1 + r );
3য় বছরের শুরুতে এটি আবার প্রবেশ করা হয় ক রুবেল; এর মানে এই সময়ে মূলধন থাকবে ক (1 + r ) 2 + ক (1 + r ) + ক ; 3 য় শেষ নাগাদ তিনি হবেন ক (1 + r ) 3 + ক (1 + r ) 2 + ক (1 + r ) এই আর্গুমেন্টগুলি আরও চালিয়ে যাওয়া, আমরা শেষ পর্যন্ত এটি খুঁজে পাই t বছর প্রয়োজনীয় মূলধন কইচ্ছাশক্তি:
এটি প্রতি বছরের শুরুতে করা মেয়াদী অবদানের সূত্র।
একই সূত্র নিম্নলিখিত যুক্তি দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে: ডাউন পেমেন্ট ক ব্যাংকে থাকাকালীন রুবেল t বছর, চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র অনুসারে, পরিণত হবে ক (1 + r ) tঘষা. দ্বিতীয় কিস্তি, এক বছর কম ব্যাঙ্কে থাকা, অর্থাৎ t - 1 বছর বয়সী, যোগাযোগ ক (1 + r ) t- 1ঘষা. একইভাবে তৃতীয় কিস্তিও দেবেন ক (1 + r ) t-2ইত্যাদি, এবং অবশেষে শেষ কিস্তি, শুধুমাত্র 1 বছর ধরে ব্যাঙ্কে থাকার পরে, যাবে ক (1 + r ) ঘষা. এর অর্থ চূড়ান্ত মূলধন কঘষা. ইচ্ছাশক্তি:
ক= ক (1 + r ) t + ক (1 + r ) t- 1 + ক (1 + r ) t-2 + . . . + ক (1 + r ),
যা, সরলীকরণের পরে, উপরে পাওয়া সূত্র দেয়।
এই সূত্রের লগারিদম ব্যবহার করে গণনা করার সময়, জরুরী অর্থপ্রদানের সূত্র গণনা করার সময় আপনাকে অবশ্যই একইভাবে এগিয়ে যেতে হবে, যেমন, প্রথমে N = ( নম্বরটি খুঁজুন 1 + r ) tএর লগারিদম দ্বারা: লগ এন = tলগ(1 + r ), তারপর সংখ্যা এন- ১এবং তারপর সূত্রের লগারিদম নিন:
log A = লগ ক+লগ(1+ r) + লগ (N - 1) - 1ogr
মন্তব্য করুন।যদি একটি জরুরী অবদান ক ঘষা. শুরুতে নয়, প্রতি বছরের শেষে করা হয়েছিল (যেমন, একটি জরুরী অর্থপ্রদান করা হয় এক্স ঋণ পরিশোধ করার জন্য), তারপর, আগেরটির মতো একইভাবে যুক্তি দিয়ে, আমরা শেষ পর্যন্ত এটি খুঁজে পাই t বছর প্রয়োজনীয় মূলধন ক"ঘষা. হবে (শেষ কিস্তি সহ ক ঘষা।, সুদ বহন না করে):
ক"= ক (1 + r ) t- 1 + ক (1 + r ) t-2 + . . . + ক (1 + r ) + ক
যা সমান:
অর্থাৎ ক"শেষ হয় ( 1 + r ) গুণ কম ক, যা প্রত্যাশিত ছিল, মূলধন প্রতিটি রুবেল থেকে ক"মূলধন সংশ্লিষ্ট রুবেল তুলনায় একটি বছর কম জন্য ব্যাংকে মিথ্যা ক.
a (a > 0, a ≠ 1) বেস করার জন্য b (b > 0) সংখ্যার লগারিদম- যে সূচকে একটি সংখ্যাটি b পেতে হবে বাড়াতে হবে।
b এর বেস 10 লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে লগ (খ), এবং লগারিদম থেকে বেস e (প্রাকৃতিক লগারিদম) হল ln(b).
লগারিদমগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:
চারটি প্রধান আছে লগারিদমের বৈশিষ্ট্য.
ধরুন a > 0, a ≠ 1, x > 0 এবং y > 0।
পণ্যের লগারিদমলগারিদমের সমষ্টির সমান:
log a (x ⋅ y) = লগ a x + লগ a y
ভাগফলের লগারিদমলগারিদমের পার্থক্যের সমান:
log a (x / y) = লগ a x - লগ a y
ডিগ্রির লগারিদম পণ্যের সমানলগারিদম প্রতি ক্ষমতা:
লগারিদমের ভিত্তি যদি ডিগ্রীতে থাকে, তাহলে আরেকটি সূত্র প্রযোজ্য:
এই বৈশিষ্ট্যটি একটি পাওয়ারের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য থেকে পাওয়া যেতে পারে, যেহেতু nম ঘাতের মূল ক্ষমতার সমান 1/n:
এই সূত্রটিও প্রায়শই সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় বিভিন্ন কাজলগারিদম থেকে:
বিশেষ মামলা:
অনুরূপ বেস সহ লগারিদমের অধীনে 2টি ফাংশন f(x) এবং g(x) আছে এবং তাদের মধ্যে একটি অসমতার চিহ্ন রয়েছে:
তাদের তুলনা করার জন্য, আপনাকে প্রথমে লগারিদমের ভিত্তিটি দেখতে হবে a:
লগারিদমের সমস্যাটাস্ক 5 এবং টাস্ক 7-এ গ্রেড 11-এর জন্য গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় অন্তর্ভুক্ত, আপনি উপযুক্ত বিভাগে আমাদের ওয়েবসাইটে সমাধান সহ কাজগুলি খুঁজে পেতে পারেন। এছাড়াও, লগারিদম সহ কাজগুলি গণিত টাস্ক ব্যাঙ্কে পাওয়া যায়। আপনি সাইট অনুসন্ধান করে সব উদাহরণ খুঁজে পেতে পারেন.
লগারিদম সবসময় স্কুলের গণিত কোর্সে একটি কঠিন বিষয় হিসেবে বিবেচিত হয়েছে। লগারিদমের অনেকগুলি ভিন্ন সংজ্ঞা আছে, কিন্তু কিছু কারণে অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তক তাদের মধ্যে সবচেয়ে জটিল এবং অসফল ব্যবহার করে।
আমরা লগারিদম সহজভাবে এবং স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করব। এটি করার জন্য, আসুন একটি টেবিল তৈরি করি:
সুতরাং, আমাদের দুটি ক্ষমতা আছে।
আপনি যদি নীচের লাইন থেকে নম্বরটি নেন, আপনি সহজেই সেই শক্তিটি খুঁজে পেতে পারেন যেখানে এই নম্বরটি পেতে আপনাকে দুটি বাড়াতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 16 পেতে, আপনাকে দুই থেকে চতুর্থ শক্তি বাড়াতে হবে। এবং 64 পেতে, আপনাকে দুই থেকে ষষ্ঠ শক্তি বাড়াতে হবে। এটি টেবিল থেকে দেখা যায়।
এবং এখন - আসলে, লগারিদমের সংজ্ঞা:
আর্গুমেন্ট x এর বেস a হল সেই শক্তি যা x সংখ্যা পেতে হলে a সংখ্যাটি বাড়াতে হবে।
পদবি: লগ a x = b, যেখানে a হল বেস, x হল আর্গুমেন্ট, b হল লগারিদম আসলে যার সমান।
উদাহরণস্বরূপ, 2 3 = 8 ⇒ লগ 2 8 = 3 (8 এর ভিত্তি 2 লগারিদম তিনটি কারণ 2 3 = 8)। একই সাফল্যের সাথে, লগ 2 64 = 6, যেহেতু 2 6 = 64।
একটি প্রদত্ত বেস থেকে একটি সংখ্যার লগারিদম খুঁজে বের করার অপারেশন বলা হয়। সুতরাং, আমাদের টেবিলে একটি নতুন লাইন যোগ করা যাক:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| লগ 2 2 = 1 | লগ 2 4 = 2 | লগ 2 8 = 3 | লগ 2 16 = 4 | লগ 2 32 = 5 | লগ 2 64 = 6 |
দুর্ভাগ্যবশত, সব লগারিদম এত সহজে গণনা করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 5 খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। 5 নম্বরটি টেবিলে নেই, কিন্তু যুক্তি নির্দেশ করে যে লগারিদমটি ব্যবধানে কোথাও থাকবে। কারণ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
এই ধরনের সংখ্যাগুলিকে অযৌক্তিক বলা হয়: দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যাগুলিকে অসীম হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং সেগুলি কখনও পুনরাবৃত্তি হয় না। লগারিদম যদি অযৌক্তিক হতে দেখা যায়, তবে এটিকে এভাবে ছেড়ে দেওয়া ভাল: লগ 2 5, লগ 3 8, লগ 5 100৷
এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে লগারিদম হল দুটি ভেরিয়েবল (বেস এবং আর্গুমেন্ট) সহ একটি অভিব্যক্তি। প্রথমে, অনেকে বিভ্রান্ত করে যে ভিত্তি কোথায় এবং যুক্তি কোথায়। বিরক্তিকর ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে, শুধু ছবিটি দেখুন:
আমাদের সামনে লগারিদমের সংজ্ঞা ছাড়া আর কিছুই নয়। মনে রাখবেন: লগারিদম একটি শক্তি, যার মধ্যে একটি যুক্তি পাওয়ার জন্য ভিত্তি তৈরি করতে হবে। এটি বেস যা একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয় - এটি ছবিতে লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে বেস সবসময় নীচে থাকে! আমি প্রথম পাঠেই আমার ছাত্রদের এই চমৎকার নিয়মটি বলি - এবং কোন বিভ্রান্তি সৃষ্টি হয় না।
আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছি - যা বাকি আছে তা হল লগারিদমগুলি কীভাবে গণনা করা যায় তা শিখতে হবে, যেমন "লগ" চিহ্ন থেকে মুক্তি পান। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:
এই ধরনের নিষেধাজ্ঞা বলা হয় গ্রহণযোগ্য মান পরিসীমা(ODZ)। দেখা যাচ্ছে যে লগারিদমের ODZ দেখতে এইরকম: লগ a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1।
মনে রাখবেন যে সংখ্যা b (লগারিদমের মান) উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই। উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমটি নেতিবাচক হতে পারে: লগ 2 0.5 = −1, কারণ 0.5 = 2 −1।
যাইহোক, এখন আমরা শুধুমাত্র সংখ্যাসূচক রাশি বিবেচনা করছি, যেখানে লগারিদমের VA জানার প্রয়োজন নেই। সমস্ত বিধিনিষেধ ইতিমধ্যেই সমস্যাগুলির লেখকদের দ্বারা বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা কার্যকর হলে, DL প্রয়োজনীয়তা বাধ্যতামূলক হয়ে যাবে। সর্বোপরি, ভিত্তি এবং যুক্তিতে খুব শক্তিশালী নির্মাণ থাকতে পারে যা অগত্যা উপরের বিধিনিষেধের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।
এখন বিবেচনা করা যাক সাধারণ স্কিমলগারিদম গণনা করা। এটি তিনটি ধাপ নিয়ে গঠিত:
এখানেই শেষ! লগারিদম অযৌক্তিক হতে দেখা গেলে, এটি ইতিমধ্যেই প্রথম ধাপে দৃশ্যমান হবে। ভিত্তিটি একের চেয়ে বড় হওয়ার প্রয়োজনীয়তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: এটি ত্রুটির সম্ভাবনা হ্রাস করে এবং গণনাগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করে। একই সাথে দশমিক: আপনি যদি অবিলম্বে সেগুলিকে নিয়মিতগুলিতে রূপান্তর করেন তবে অনেক কম ত্রুটি থাকবে৷
আসুন দেখি কিভাবে এই স্কিমটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে কাজ করে:
টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 5 25
আসুন সমীকরণটি তৈরি এবং সমাধান করি:
লগ 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন:
টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 4 64
টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 16 1
টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 7 14
শেষ উদাহরণ একটি ছোট নোট. আপনি কিভাবে নিশ্চিত হতে পারেন যে একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার একটি সঠিক শক্তি নয়? এটা খুবই সহজ - শুধুমাত্র এটাকে প্রধান ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করুন। যদি সম্প্রসারণের কমপক্ষে দুটি ভিন্ন কারণ থাকে তবে সংখ্যাটি একটি সঠিক শক্তি নয়।
টাস্ক। সংখ্যাগুলি সঠিক শক্তি কিনা তা খুঁজে বের করুন: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - সঠিক ডিগ্রী, কারণ শুধুমাত্র একটি গুণক আছে;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - একটি সঠিক শক্তি নয়, যেহেতু দুটি কারণ রয়েছে: 3 এবং 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - সঠিক ডিগ্রী;
35 = 7 · 5 - আবার একটি সঠিক শক্তি নয়;
14 = 7 · 2 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;
আসুন আমরা নিজেরাও খেয়াল করি মৌলিক সংখ্যাসবসময় নিজেদের সঠিক ডিগ্রী হয়.
কিছু লগারিদম এত সাধারণ যে তাদের একটি বিশেষ নাম এবং প্রতীক রয়েছে।
যুক্তির x হল বেস 10-এর লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য 10 নম্বরটিকে যে শক্তিতে তুলতে হবে। পদবি: এলজি এক্স।
উদাহরণস্বরূপ, লগ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - ইত্যাদি।
এখন থেকে, যখন একটি পাঠ্যপুস্তকে "Find lg 0.01" এর মতো একটি বাক্যাংশ উপস্থিত হবে, তখন জেনে রাখুন যে এটি টাইপো নয়। এটি একটি দশমিক লগারিদম। যাইহোক, যদি আপনি এই স্বরলিপির সাথে অপরিচিত হন তবে আপনি সর্বদা এটি পুনরায় লিখতে পারেন:
log x = লগ 10 x
সাধারণ লগারিদমের জন্য যা সত্য তা দশমিক লগারিদমের জন্যও সত্য।
আরেকটি লগারিদম আছে যার নিজস্ব উপাধি রয়েছে। কিছু উপায়ে, এটি দশমিকের চেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ। এটা সম্পর্কেপ্রাকৃতিক লগারিদম সম্পর্কে।
যুক্তির x হল বেস e এর লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য যে শক্তিতে সংখ্যা e বাড়াতে হবে। পদবী: ln x.
অনেকে প্রশ্ন করবেঃ ই সংখ্যা কত? এটি একটি অমূলদ সংখ্যা, তার প্রকৃত মূল্যখুঁজে পাওয়া এবং রেকর্ড করা অসম্ভব। আমি শুধুমাত্র প্রথম পরিসংখ্যান দেব:
e = 2.718281828459…
এই সংখ্যাটি কী এবং কেন এটি প্রয়োজন সে সম্পর্কে আমরা বিস্তারিতভাবে যাব না। শুধু মনে রাখবেন যে e হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি:
ln x = লগ ই x
এইভাবে ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ইত্যাদি। অন্যদিকে, ln 2 একটি অমূলদ সংখ্যা। সাধারণভাবে, যেকোনো মূলদ সংখ্যার প্রাকৃতিক লগারিদম অমূলদ। ব্যতীত, অবশ্যই, একজনের জন্য: ln 1 = 0।
প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য, সাধারণ লগারিদমের জন্য সত্য সব নিয়ম বৈধ।
আরো দেখুন:
লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যাকে কীভাবে উপস্থাপন করবেন?
আমরা লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করি।
লগারিদম হল এমন একটি সূচক যার ভিত্তিতে লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যা পেতে হলে বেসটি বাড়াতে হবে।
এইভাবে, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা c কে লগারিদম হিসাবে একটি বেস a এর সাথে উপস্থাপন করার জন্য, আপনাকে লগারিদমের চিহ্নের নীচে লগারিদমের বেসের মতো একই বেস সহ একটি শক্তি স্থাপন করতে হবে এবং এই সংখ্যাটি সূচক হিসাবে লিখতে হবে:
একেবারে যেকোন সংখ্যাকে লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে - ধনাত্মক, ঋণাত্মক, পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ, মূলদ, অযৌক্তিক:
একটি পরীক্ষা বা পরীক্ষার চাপপূর্ণ পরিস্থিতিতে a এবং c বিভ্রান্ত না করার জন্য, আপনি নিম্নলিখিত মুখস্থ নিয়ম ব্যবহার করতে পারেন:
নিচে যা আছে তা নিচে যায়, যা উপরে আছে তা উঠে যায়।
উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে বেস 3 থেকে লগারিদম হিসাবে 2 নম্বরটি উপস্থাপন করতে হবে।
আমাদের দুটি সংখ্যা আছে - 2 এবং 3। এই সংখ্যাগুলি হল ভিত্তি এবং সূচক, যা আমরা লগারিদমের চিহ্নের নীচে লিখব। এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি ডিগ্রীর বেসে লিখতে হবে এবং কোনটি – ঊর্ধ্বে, তা নির্ধারণ করতে হবে।
লগারিদমের স্বরলিপিতে বেস 3 নীচে থাকে, যার মানে আমরা যখন বেস 3-তে লগারিদম হিসাবে দুটিকে উপস্থাপন করি, তখন আমরা বেসটিতে 3 লিখব।
2টি তিনটির চেয়ে বেশি। এবং দুই ডিগ্রির স্বরলিপিতে আমরা তিনটির উপরে লিখি, অর্থাৎ, একটি সূচক হিসাবে:
লগারিদমসঠিক নাম্বার খউপর ভিত্তি করে ক, কোথায় a > 0, a ≠ 1, কে সূচক বলা হয় যেটির দিকে সংখ্যা বাড়াতে হবে ক, অর্জন খ.
লগারিদমের সংজ্ঞাসংক্ষেপে এভাবে লেখা যেতে পারে:
এই সমতা জন্য বৈধ b > 0, a > 0, a ≠ 1।এটি সাধারণত বলা হয় লগারিদমিক পরিচয়।
সংখ্যার লগারিদম বের করার ক্রিয়াকে বলে লগারিদম দ্বারা।
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য:
পণ্যের লগারিদম:
ভাগফলের লগারিদম:
লগারিদম বেস প্রতিস্থাপন:
ডিগ্রির লগারিদম:
মূলের লগারিদম:
পাওয়ার বেস সহ লগারিদম:
দশমিক লগারিদমসংখ্যাগুলি এই সংখ্যার লগারিদমকে বেস 10 এ কল করে এবং lg লিখবে খ
প্রাকৃতিক লগারিদমসংখ্যাগুলিকে সেই সংখ্যার বেসের লগারিদম বলা হয় e, কোথায় e- একটি অমূলদ সংখ্যা প্রায় 2.7 এর সমান। একই সময়ে তারা ln লিখে খ.
বীজগণিত এবং জ্যামিতির অন্যান্য নোট
লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতোই, যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তরিত হতে পারে। কিন্তু লগারিদম যেহেতু ঠিক নয় সাধারণ সংখ্যা, এখানে নিয়ম আছে, যা বলা হয় প্রধান বৈশিষ্ট্য.
আপনাকে অবশ্যই এই নিয়মগুলি জানতে হবে - এগুলি ছাড়া, একটি গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যাবে না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - আপনি একদিনে সবকিছু শিখতে পারেন। চল শুরু করা যাক.
একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: লগ a x এবং লগ a y। তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:
সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান এবং পার্থক্যটি ভাগফলের লগারিদমের সমান। বিঃদ্রঃ: মূল মুহূর্তএখানে - অভিন্ন ভিত্তি. কারণ ভিন্ন হলে এই নিয়মগুলো কাজ করে না!
এই সূত্রগুলি আপনাকে লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠটি দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:
লগ 6 4 + লগ 6 9।
যেহেতু লগারিদমের একই ভিত্তি রয়েছে, তাই আমরা যোগফল সূত্রটি ব্যবহার করি:
লগ 6 4 + লগ 6 9 = লগ 6 (4 9) = লগ 6 36 = 2।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 2 48 − log 2 3।
ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
লগ 2 48 − লগ 2 3 = লগ 2 (48: 3) = লগ 2 16 = 4।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 3 135 − log 3 5।
আবার ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
লগ 3 135 − লগ 3 5 = লগ 3 (135: 5) = লগ 3 27 = 3।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে গণনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পরে, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যা প্রাপ্ত হয়। অনেকেই এই সত্যের উপর নির্মিত পরীক্ষার কাগজপত্র. হ্যাঁ, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরীক্ষার মতো অভিব্যক্তিগুলি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে (কখনও কখনও কার্যত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই) দেওয়া হয়।
এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তি একটি শক্তি হলে কি হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচককে বের করা যেতে পারে:
এটি দেখতে সহজ যে শেষ নিয়মটি প্রথম দুটি অনুসরণ করে। তবে যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।
অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: a > 0, a ≠ 1, x > 0। এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধু বাম থেকে ডানে নয়, উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন। , অর্থাৎ লগারিদমে লগারিদম সাইন করার আগে আপনি সংখ্যাগুলি লিখতে পারেন।
এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 7 49 6।
আসুন প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করে আর্গুমেন্টের ডিগ্রি থেকে পরিত্রাণ পাই:
লগ 7 49 6 = 6 লগ 7 49 = 6 2 = 12
টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:
লক্ষ্য করুন যে হরটিতে একটি লগারিদম রয়েছে, যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2। আমাদের আছে:
আমি মনে করি শেষ উদাহরণ কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন. লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। আমরা শক্তির আকারে সেখানে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছি এবং সূচকগুলি বের করেছি - আমরা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছি।
এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা ধারণ করে: লগ 2 7। যেহেতু লগ 2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি অংকে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল উত্তর ছিল: 2.
লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। কারণ ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক ক্ষমতা না হয়?
একটি নতুন ফাউন্ডেশনে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আসুন একটি উপপাদ্য আকারে তাদের গঠন করা যাক:
লগারিদম log a x দেওয়া যাক। তারপর c > 0 এবং c ≠ 1 যেকোন সংখ্যার জন্য, সমতা সত্য:
বিশেষ করে, যদি আমরা c = x সেট করি, আমরা পাই:
দ্বিতীয় সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি অদলবদল করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর প্রদর্শিত হয়.
এই সূত্রগুলো প্রচলিত খুব কমই পাওয়া যায় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি. লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব।
যাইহোক, এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যা একটি নতুন ভিত্তির দিকে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। আসুন এর মধ্যে কয়েকটি দেখি:
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 5 16 log 2 25।
মনে রাখবেন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টে সঠিক ক্ষমতা রয়েছে। আসুন সূচকগুলি বের করা যাক: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
এখন দ্বিতীয় লগারিদমটিকে "বিপরীত" করা যাক:
যেহেতু উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময় পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমের সাথে কাজ করেছি।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 9 100 lg 3।
প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক ক্ষমতা। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:
এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:
প্রায়শই সমাধান প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করা প্রয়োজন।
এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:
প্রথম ক্ষেত্রে, n সংখ্যাটি যুক্তিতে সূচকে পরিণত হয়। n সংখ্যাটি একেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি লগারিদম মান।
দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। একেই বলে:।
প্রকৃতপক্ষে, b সংখ্যাটিকে এমন একটি শক্তিতে উত্থাপন করা হলে কি হবে যে এই শক্তিতে b সংখ্যাটি একটি সংখ্যা দেয়? এটা ঠিক: ফলাফল একই সংখ্যা a. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেকে এতে আটকে যায়।
একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।
টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:
লক্ষ্য করুন যে লগ 25 64 = লগ 5 8 - সহজভাবে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি থেকে বর্গক্ষেত্রটি নিয়েছে। সাথে ক্ষমতা গুণ করার নিয়ম বিবেচনা করে একই ভিত্তি, আমরা পেতে:
যদি কেউ না জানে, এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি বাস্তব কাজ ছিল :)
উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে খুব কমই বৈশিষ্ট্য বলা যেতে পারে - বরং, তারা লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে উপস্থিত হয় এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্যও সমস্যা তৈরি করে।
যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট আউট করুন এবং সমস্যার সমাধান করুন।
যেমন আপনি জানেন, রাশিগুলিকে শক্তি দিয়ে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি সর্বদা যোগ হয় (a b *a c = a b+c)। এই গাণিতিক আইনআর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল, এবং পরে, 8ম শতাব্দীতে, গণিতবিদ ভিরাসেন পূর্ণসংখ্যার সূচকের একটি সারণী তৈরি করেছিলেন। তারাই লগারিদমের আরও আবিষ্কারের জন্য কাজ করেছিল। এই ফাংশনটি ব্যবহার করার উদাহরণগুলি প্রায় সর্বত্র পাওয়া যাবে যেখানে আপনাকে সহজ যোগ করে কষ্টকর গুণকে সহজ করতে হবে। আপনি যদি এই নিবন্ধটি পড়তে 10 মিনিট সময় ব্যয় করেন, আমরা আপনাকে লগারিদমগুলি কী এবং কীভাবে সেগুলির সাথে কাজ করতে হবে তা ব্যাখ্যা করব৷ সহজ এবং সহজলভ্য ভাষায়।
লগারিদম হল নিম্নোক্ত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: লগ a b=c, অর্থাৎ যেকোন নন-নেগেটিভ সংখ্যার লগারিদম (অর্থাৎ যেকোন ধনাত্মক) "b" এর বেস "a" কে পাওয়ার "c" বলে মনে করা হয় " যার জন্য ভিত্তি "a" অবশ্যই বাড়াতে হবে যাতে শেষ পর্যন্ত "b" মান পাওয়া যায়। উদাহরণ ব্যবহার করে লগারিদম বিশ্লেষণ করা যাক, ধরা যাক একটি এক্সপ্রেশন লগ আছে 2 8। উত্তরটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি পাওয়ার খুঁজে বের করতে হবে যাতে 2 থেকে প্রয়োজনীয় পাওয়ার পর্যন্ত আপনি 8 পেতে পারেন। আপনার মাথায় কিছু গণনা করার পরে, আমরা 3 নম্বর পাই! এবং এটি সত্য, কারণ 2 থেকে 3 এর শক্তি উত্তর দেয় 8।
অনেক ছাত্র এবং ছাত্রদের জন্য, এই বিষয়টি জটিল এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু আসলে লগারিদমগুলি এতটা ভীতিকর নয়, মূল জিনিসটি তাদের সাধারণ অর্থ বোঝা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য এবং কিছু নিয়ম মনে রাখা। লগারিদমিক এক্সপ্রেশনের তিনটি পৃথক প্রকার রয়েছে:
লগারিদমিক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি একক লগারিদমে সরলীকরণ, হ্রাস এবং পরবর্তী হ্রাস সহ তাদের প্রত্যেকটি একটি আদর্শ উপায়ে সমাধান করা হয়। লগারিদমগুলির সঠিক মানগুলি পেতে, আপনাকে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেগুলি সমাধান করার সময় কর্মের ক্রমটি মনে রাখতে হবে।
গণিতে, বেশ কয়েকটি নিয়ম-সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গৃহীত হয়, অর্থাৎ, তারা আলোচনার বিষয় নয় এবং সত্য। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগুলিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা অসম্ভব, এবং ঋণাত্মক সংখ্যার জোড় মূল বের করাও অসম্ভব। লগারিদমেরও তাদের নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, যেগুলি অনুসরণ করে আপনি সহজেই এমনকি দীর্ঘ এবং ধারণীয় লগারিদমিক অভিব্যক্তির সাথে কাজ করতে শিখতে পারেন:
উদাহরণস্বরূপ, 10 x = 100 সমীকরণের উত্তর খুঁজে বের করার জন্য কাজটি দেওয়া হয়েছে। এটি খুবই সহজ, আপনাকে দশ নম্বরটি বাড়িয়ে একটি ঘাত বাছাই করতে হবে যাতে আমরা 100 পাই। এটি অবশ্যই 10 2 = 100।
এখন এই রাশিটিকে লগারিদমিক আকারে উপস্থাপন করা যাক। আমরা লগ 10 100 = 2 পাই। লগারিদম সমাধান করার সময়, একটি প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়ার জন্য লগারিদমের ভিত্তিতে প্রবেশ করার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তি খুঁজে পেতে সমস্ত ক্রিয়া কার্যত একত্রিত হয়।
একটি অজানা ডিগ্রির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে ডিগ্রীর টেবিলের সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা শিখতে হবে। এটি এই মত দেখায়:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছু সূচককে স্বজ্ঞাতভাবে অনুমান করা যেতে পারে যদি আপনার কাছে একটি প্রযুক্তিগত মন এবং গুণন সারণী সম্পর্কে জ্ঞান থাকে। তবে এর জন্য বড় মানআপনি ডিগ্রী একটি টেবিল প্রয়োজন হবে. এটি এমনকি যারা জটিল গাণিতিক বিষয় সম্পর্কে কিছুই জানেন না তাদের দ্বারা ব্যবহার করা যেতে পারে। বাম কলামে সংখ্যা রয়েছে (বেস a), সংখ্যার উপরের সারি হল পাওয়ার c এর মান যেখানে a সংখ্যাটি উত্থাপিত হয়েছে। সংযোগস্থলে, কক্ষগুলিতে সংখ্যার মান থাকে যা উত্তর (a c =b)। উদাহরণস্বরূপ, 10 নম্বর সহ প্রথম ঘরটি ধরা যাক এবং এটিকে বর্গ করুন, আমরা 100 মান পাই, যা আমাদের দুটি কোষের সংযোগস্থলে নির্দেশিত। সবকিছু এত সহজ এবং সহজ যে এমনকি সবচেয়ে সত্যিকারের মানবতাবাদীও বুঝতে পারবে!
দেখা যাচ্ছে যে নির্দিষ্ট শর্তে সূচকটি লগারিদম। অতএব, কোনো গাণিতিক সংখ্যাসূচক রাশিকে লগারিদমিক সমতা হিসেবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3 4 =81 কে বেস 3 লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে 81 সমান চারের (লগ 3 81 = 4)। ঋণাত্মক শক্তির জন্য নিয়মগুলি একই: 2 -5 = 1/32 আমরা এটিকে লগারিদম হিসাবে লিখি, আমরা লগ 2 (1/32) = -5 পাই। গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল "লগারিদম" বিষয়। আমরা নীচের সমীকরণগুলির উদাহরণ এবং সমাধানগুলি দেখব, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরপরই। এখন দেখা যাক বৈষম্যগুলো কেমন দেখায় এবং কীভাবে সেগুলোকে সমীকরণ থেকে আলাদা করা যায়।
নিম্নলিখিত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছে: লগ 2 (x-1) > 3 - এটি লগারিদমিক অসমতা, যেহেতু অজানা মান "x" লগারিদমের চিহ্নের অধীনে। এবং এছাড়াও অভিব্যক্তিতে দুটি পরিমাণের তুলনা করা হয়েছে: বেস দুই থেকে পছন্দসই সংখ্যার লগারিদম সংখ্যা তিনের চেয়ে বড়।
লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল লগারিদমের সমীকরণগুলি (উদাহরণস্বরূপ, লগারিদম 2 x = √9) উত্তরে এক বা একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান নির্দেশ করে, যখন একটি অসমতা সমাধান করার সময়, উভয়ই গ্রহণযোগ্য পরিসীমা এই ফাংশনটি ভেঙে মান এবং পয়েন্টগুলি নির্ধারিত হয়। ফলস্বরূপ, উত্তরটি একটি সমীকরণের উত্তরের মতো পৃথক সংখ্যার একটি সাধারণ সেট নয়, তবে একটি ধারাবাহিক ধারা বা সংখ্যার সেট।
লগারিদমের মান খুঁজে বের করার আদিম কাজগুলি সমাধান করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানা নাও হতে পারে। যাইহোক, যখন লগারিদমিক সমীকরণ বা অসমতার কথা আসে, প্রথমত, লগারিদমের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি পরিষ্কারভাবে বোঝা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা প্রয়োজন। আমরা পরে সমীকরণের উদাহরণগুলি দেখব; আসুন প্রথমে প্রতিটি সম্পত্তি আরও বিশদে দেখি।
এই সূত্রটিকে "লগারিদমের ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য" বলা হয়। এটি সাধারণ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সমস্ত গণিত প্রাকৃতিক অনুমানের উপর ভিত্তি করে। আসুন প্রমাণ দেখি।
একটি b = t লগ করা যাক, এটি একটি t = b পরিণত হয়। যদি আমরা উভয় অংশকে শক্তিতে বাড়াই m: a tn = b n;
কিন্তু যেহেতু a tn = (a q) nt/q = b n, তাই লগ a q b n = (n*t)/t, তারপর a q b n = n/q লগ a b লগ করুন। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
লগারিদমের সবচেয়ে সাধারণ ধরনের সমস্যা হল সমীকরণ এবং অসমতার উদাহরণ। এগুলি প্রায় সমস্ত সমস্যা বইতে পাওয়া যায় এবং এটি গণিত পরীক্ষার একটি প্রয়োজনীয় অংশ। একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করতে বা গণিতে প্রবেশিকা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার জন্য, আপনাকে এই জাতীয় কাজগুলি কীভাবে সঠিকভাবে সমাধান করতে হবে তা জানতে হবে।
দুর্ভাগ্যবশত, লগারিদমের অজানা মান সমাধান এবং নির্ধারণের জন্য কোন একক পরিকল্পনা বা স্কিম নেই, তবে প্রতিটি গাণিতিক অসমতা বা লগারিদমিক সমীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথমত, আপনার অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত বা নেতৃত্ব দেওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা উচিত সাধারণ উপস্থিতি. লম্বাগুলোকে সরলীকরণ করুন লগারিদমিক এক্সপ্রেশনসম্ভব যদি আপনি তাদের বৈশিষ্ট্য সঠিকভাবে ব্যবহার করেন। আসুন দ্রুত তাদের পরিচিত হই।
লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমাদের অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে যে আমাদের কী ধরনের লগারিদম আছে: একটি উদাহরণ এক্সপ্রেশনে একটি প্রাকৃতিক লগারিদম বা দশমিক একটি থাকতে পারে।
এখানে ln100, ln1026 উদাহরণ রয়েছে। তাদের সমাধানটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে তাদের শক্তি নির্ধারণ করতে হবে যার ভিত্তি 10 যথাক্রমে 100 এবং 1026 এর সমান হবে। প্রাকৃতিক লগারিদম সমাধান করতে, আপনাকে লগারিদমিক পরিচয় বা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করতে হবে। আসুন বিভিন্ন ধরনের লগারিদমিক সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।
সুতরাং, আসুন লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করার উদাহরণ দেখি।
লগারিদমগুলি প্রায়ই প্রবেশিকা পরীক্ষায় পাওয়া যায়, বিশেষ করে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (সমস্ত স্কুল স্নাতকদের জন্য রাজ্য পরীক্ষা) অনেক লগারিদমিক সমস্যা। সাধারণত, এই কাজগুলি শুধুমাত্র A অংশে (পরীক্ষার সবচেয়ে সহজ পরীক্ষা অংশ) নয়, অংশ C (সবচেয়ে জটিল এবং বিশাল কাজ) তেও উপস্থিত থাকে। পরীক্ষার জন্য "প্রাকৃতিক লগারিদম" বিষয়ের সঠিক এবং নিখুঁত জ্ঞান প্রয়োজন।
উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান অফিসিয়াল থেকে নেওয়া হয় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্প. আসুন দেখি কিভাবে এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করা হয়।
প্রদত্ত লগ 2 (2x-1) = 4. সমাধান:
আসুন এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি, এটিকে একটু সরল করে log 2 (2x-1) = 2 2, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই যে 2x-1 = 2 4, তাই 2x = 17; x = 8.5।
