নির্দেশনা
প্রদত্তটি লিখুন লগারিদমিক অভিব্যক্তি. যদি এক্সপ্রেশনটি 10-এর লগারিদম ব্যবহার করে, তাহলে এর স্বরলিপি ছোট করা হয় এবং এইরকম দেখায়: lg b হল দশমিক লগারিদম। লগারিদমের বেস হিসাবে e সংখ্যা থাকলে, অভিব্যক্তিটি লিখুন: ln b – প্রাকৃতিক লগারিদম. এটি বোঝা যায় যে যে কোনোটির ফলাফল হল সেই শক্তি যার দিকে ভিত্তি নম্বরটি বাড়াতে হবে b নম্বর পেতে।
দুটি ফাংশনের যোগফল খুঁজে বের করার সময়, আপনাকে কেবল তাদের একে একে আলাদা করতে হবে এবং ফলাফল যোগ করতে হবে: (u+v)" = u"+v";
দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথম ফাংশনের ডেরিভেটিভকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ফাংশন দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ যোগ করতে হবে: (u*v)" = u"*v +v"*u;
দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ বের করার জন্য, ভাজকের ফাংশন দ্বারা গুণিত লভ্যাংশের ডেরিভেটিভের গুনফল থেকে বিয়োগ করতে হবে এবং লভ্যাংশের ফাংশন দ্বারা গুণিত ভাজকের ডেরিভেটিভের গুণফলকে বিয়োগ করতে হবে। এই সব ভাজক ফাংশন বর্গ দ্বারা. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
যদি একটি জটিল ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এর ডেরিভেটিভকে গুণ করতে হবে অভ্যন্তরীণ ফাংশনএবং বাহ্যিকটির ডেরিভেটিভ। ধরুন y=u(v(x)), তারপর y"(x)=y"(u)*v"(x)।
উপরে প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে, আপনি প্রায় কোন ফাংশন পার্থক্য করতে পারেন. তাহলে আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *এক্স));
একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ গণনা করার ক্ষেত্রেও সমস্যা রয়েছে। ফাংশনটি y=e^(x^2+6x+5) দেওয়া যাক, আপনাকে x=1 বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হবে।
1) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।
2) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু y"(1)=8*e^0=8 এ ফাংশনের মান গণনা করুন
বিষয়ের উপর ভিডিও
প্রাথমিক ডেরিভেটিভের সারণী শিখুন। এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সময় বাঁচাবে।
সূত্র:
সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এবং একটি যুক্তিযুক্ত সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী? যদি অজানা চলকটি বর্গমূল চিহ্নের অধীনে থাকে, তাহলে সমীকরণটি অযৌক্তিক বলে বিবেচিত হবে।
নির্দেশনা
এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল উভয় পক্ষের গঠন পদ্ধতি সমীকরণএকটি বর্গক্ষেত্রে যাহোক. এটি স্বাভাবিক, আপনাকে প্রথমে যা করতে হবে তা হল চিহ্নটি থেকে মুক্তি। এই পদ্ধতিটি প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন নয়, তবে কখনও কখনও এটি সমস্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি v(2x-5)=v(4x-7)। উভয় পক্ষকে বর্গ করে আপনি 2x-5=4x-7 পাবেন। এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করা কঠিন নয়; x=1। কিন্তু ১ নম্বর দেওয়া হবে না সমীকরণ. কেন? x এর মানের পরিবর্তে একটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। এবং ডান এবং বাম দিকে এমন অভিব্যক্তি থাকবে যা অর্থহীন, অর্থাৎ। এই মানটি বর্গমূলের জন্য বৈধ নয়। অতএব, 1 একটি বহিরাগত মূল, এবং সেইজন্য এই সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।
সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এর উভয় বাহুর বর্গ করার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এবং সমীকরণটি সমাধান করার পরে, বহিরাগত শিকড় কেটে ফেলা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, মূল সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি প্রতিস্থাপন করুন।
আরেকটি বিবেচনা করুন।
2х+vх-3=0
অবশ্যই, এই সমীকরণটি আগের সমীকরণটির মতো একই সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। যৌগ সরান সমীকরণ, যার একটি বর্গমূল নেই, ডান দিকে এবং তারপর স্কোয়ারিং পদ্ধতি ব্যবহার করুন। ফলস্বরূপ যৌক্তিক সমীকরণ এবং শিকড় সমাধান করুন। কিন্তু আরেকটি, আরো মার্জিত এক. একটি নতুন পরিবর্তনশীল লিখুন; vх=y সেই অনুযায়ী, আপনি 2y2+y-3=0 ফর্মের একটি সমীকরণ পাবেন। অর্থাৎ স্বাভাবিক দ্বিঘাত সমীকরণ. এর শিকড় সন্ধান করুন; y1=1 এবং y2=-3/2। পরবর্তী, দুটি সমাধান করুন সমীকরণ vх=1; vх=-3/2। দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো শিকড় নেই; প্রথম থেকে আমরা খুঁজে পাই যে x=1। শিকড় পরীক্ষা করতে ভুলবেন না।
পরিচয় সমাধান করা বেশ সহজ। এটি করার জন্য আপনাকে করতে হবে পরিচয় রূপান্তরলক্ষ্য অর্জিত না হওয়া পর্যন্ত। এইভাবে, সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে, উত্থাপিত সমস্যাটি সমাধান করা হবে।
আপনার প্রয়োজন হবে
নির্দেশনা
এই ধরনের রূপান্তরগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল বীজগণিতের সংক্ষিপ্ত গুণ (যেমন যোগফলের বর্গ (পার্থক্য), বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, যোগফল (পার্থক্য), যোগফলের ঘনক (পার্থক্য))। উপরন্তু, অনেক ত্রিকোণমিতিক সূত্র আছে, যা মূলত একই পরিচয়।
প্রকৃতপক্ষে, দুটি পদের যোগফলের বর্গটি প্রথমটির বর্গের সমান এবং দ্বিতীয়টির দ্বারা প্রথমটির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গের যোগফল, অর্থাৎ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2।
উভয় সরলীকরণ
আদিম স্তরের বীজগণিতের একটি উপাদান হল লগারিদম। নাম থেকে আসে গ্রীক ভাষা"সংখ্যা" বা "শক্তি" শব্দ থেকে এবং এর অর্থ হল চূড়ান্ত সংখ্যা বের করার জন্য বেসের সংখ্যাটি যে মাত্রায় বাড়াতে হবে।
a থেকে b-এর লগারিদম হল একটি সূচক যার জন্য b কে বেস a-এ উঠাতে হবে। প্রাপ্ত ফলাফল এইভাবে উচ্চারিত হয়: "b থেকে বেস a এর লগারিদম।" লগারিদমিক সমস্যার সমাধান হল আপনাকে নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে সংখ্যায় প্রদত্ত শক্তি নির্ধারণ করতে হবে। লগারিদম নির্ধারণ বা সমাধান করার পাশাপাশি স্বরলিপি নিজেই রূপান্তর করার জন্য কিছু মৌলিক নিয়ম রয়েছে। তাদের ব্যবহার করে, সমাধান তৈরি করা হয় লগারিদমিক সমীকরণ, ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়, ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করা হয়, এবং অন্যান্য অনেক অপারেশন সঞ্চালিত হয়। মূলত, লগারিদমের সমাধান হল এর সরলীকৃত স্বরলিপি। নীচে মৌলিক সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য আছে:
যে কোন একটি জন্য; a > 0; a ≠ 1 এবং যেকোনো x এর জন্য; y > 0।
অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: যদি বেস লগারিদম 10 হয়, তাহলে এন্ট্রিটি ছোট করা হয়, যার ফলে দশমিক লগারিদম হয়। যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা ই থাকে, তাহলে আমরা এটিকে প্রাকৃতিক লগারিদমে কমিয়ে লিখি। এর মানে হল যে সমস্ত লগারিদমের ফলাফল হল সেই শক্তি যার দিকে ভিত্তি সংখ্যাটি b সংখ্যা পাওয়ার জন্য উত্থাপিত হয়।
সরাসরি, সমাধান এই ডিগ্রী গণনা মধ্যে নিহিত. লগারিদম দিয়ে একটি রাশি সমাধান করার আগে, এটিকে নিয়ম অনুযায়ী সরলীকরণ করতে হবে, অর্থাৎ সূত্র ব্যবহার করে। আপনি নিবন্ধে একটু পিছনে গিয়ে মূল পরিচয় খুঁজে পেতে পারেন।
দুটি ভিন্ন সংখ্যার কিন্তু একই বেস সহ লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার সময়, যথাক্রমে b এবং c সংখ্যার গুণফল বা ভাগ দিয়ে একটি লগারিদম দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। এই ক্ষেত্রে, আপনি অন্য বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র প্রয়োগ করতে পারেন (উপরে দেখুন)।
আপনি যদি লগারিদম সরল করার জন্য এক্সপ্রেশন ব্যবহার করেন, তাহলে বিবেচনা করার জন্য কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে। এবং তা হল: লগারিদমের ভিত্তি a শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক সংখ্যা, কিন্তু একটির সমান নয়। সংখ্যা b, a এর মতো, অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বেশি হতে হবে।
এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যেখানে, একটি অভিব্যক্তি সরলীকরণ করে, আপনি সংখ্যাগতভাবে লগারিদম গণনা করতে পারবেন না। এটি ঘটে যে এই জাতীয় প্রকাশের অর্থ হয় না, কারণ অনেক শক্তি অমূলদ সংখ্যা। এই শর্তে, লগারিদম হিসাবে সংখ্যার শক্তি ছেড়ে দিন।
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
এর আরো সহজভাবে ব্যাখ্যা করা যাক. উদাহরণস্বরূপ, \(\log_(2)(8)\) ক্ষমতার সমান, যাতে \(2\) পেতে হবে \(8\)। এ থেকে এটা স্পষ্ট যে \(\log_(2)(8)=3\)।
|
উদাহরণ: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
কারণ \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
কারণ \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
কারণ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
যেকোন লগারিদমের নিম্নলিখিত "শারীরস্থান" থাকে:
লগারিদমের যুক্তি সাধারণত তার স্তরে লেখা হয় এবং বেসটি লগারিদম চিহ্নের কাছাকাছি সাবস্ক্রিপ্টে লেখা হয়। এবং এই এন্ট্রিটি এভাবে পড়ে: "পঁচিশ থেকে বেস ফাইভের লগারিদম।"
উদাহরণ স্বরূপ, লগারিদম গণনা করুন: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
ক) \(16\) পেতে \(4\) কে কোন শক্তিতে উত্থাপন করতে হবে? স্পষ্টতই দ্বিতীয়টি। এই জন্য:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
গ) \(1\) পাওয়ার জন্য \(\sqrt(5)\) কোন শক্তিতে উঠতে হবে? কোন শক্তি কোন এক নম্বর করে? শূন্য, অবশ্যই!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
ঘ) \(\sqrt(7)\) পাওয়ার জন্য কোন শক্তিতে \(\sqrt(7)\) উত্থাপন করতে হবে? প্রথমত, প্রথম ঘাতের যেকোনো সংখ্যা নিজেই সমান।
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
ঙ) \(\sqrt(3)\) পাওয়ার জন্য কোন শক্তিতে \(3\) উত্থাপন করতে হবে? থেকে আমরা জানি যে একটি ভগ্নাংশ শক্তি, যার অর্থ বর্গমূল\(\frac(1)(2)\) এর শক্তি।
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
উদাহরণ : লগারিদম গণনা করুন \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
সমাধান :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
আমাদের লগারিদমের মান খুঁজে বের করতে হবে, আসুন এটিকে x হিসাবে চিহ্নিত করি। এখন একটি লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করা যাক: |
|
|
\(4\sqrt(2))^(x)=8\) |
কি সংযোগ করে \(4\sqrt(2)\) এবং \(8\)? দুই, কারণ উভয় সংখ্যাই দুই দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে: |
|
|
\((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2)))^(x)=2^(3)\) |
বাম দিকে আমরা ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) এবং \(a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
ভিত্তিগুলি সমান, আমরা সূচকগুলির সমতার দিকে এগিয়ে যাই |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
সমীকরণের উভয় দিককে \(\frac(2)(5)\) দ্বারা গুণ করুন |
|
|
ফলস্বরূপ মূলটি লগারিদমের মান |
উত্তর : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
এটি বুঝতে, আসুন সমীকরণটি সমাধান করি: \(3^(x)=9\)। সমতা কাজ করতে শুধু \(x\) মেলে। অবশ্যই, \(x=2\)।
এখন সমীকরণটি সমাধান করুন: \(3^(x)=8\). x এর সমান কি? এটাই আসল কথা.
সবচেয়ে বুদ্ধিমানরা বলবে: "এক্স দুই থেকে একটু কম।" ঠিক কিভাবে এই সংখ্যা লিখতে? এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, লগারিদম উদ্ভাবিত হয়েছিল। তাকে ধন্যবাদ, এখানে উত্তরটি \(x=\log_(3)(8)\) হিসাবে লেখা যেতে পারে।
আমি জোর দিতে চাই যে \(\log_(3)(8)\), যেমন যেকোনো লগারিদম শুধু একটি সংখ্যা. হ্যাঁ, এটি অস্বাভাবিক দেখায়, তবে এটি সংক্ষিপ্ত। কারণ আমরা চাইলে ফর্মে লিখতে পারতাম দশমিক, তাহলে এটি দেখতে এরকম হবে: \(1.892789260714.....\)
উদাহরণ : সমীকরণটি সমাধান করুন \(4^(5x-4)=10\)
সমাধান :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) এবং \(10\) একই বেসে আনা যাবে না। এর মানে আপনি লগারিদম ছাড়া করতে পারবেন না। আসুন লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করি: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
আসুন সমীকরণটি ফ্লিপ করি যাতে X বাম দিকে থাকে |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
আমাদের পূর্বে. আসুন \(4\) ডানদিকে সরানো যাক। এবং লগারিদম ভয় পাবেন না, এটি একটি সাধারণ সংখ্যার মত আচরণ করুন। |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
সমীকরণটিকে 5 দ্বারা ভাগ করুন |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
এটি আমাদের মূল। হ্যাঁ, এটি অস্বাভাবিক দেখায়, কিন্তু তারা উত্তরটি বেছে নেয় না। |
উত্তর : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
লগারিদমের সংজ্ঞায় বলা হয়েছে, এর ভিত্তি একটি \((a>0, a\neq1)\) ছাড়া যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা হতে পারে। এবং সমস্ত সম্ভাব্য ভিত্তিগুলির মধ্যে, দুটি এমন প্রায়ই ঘটে যে তাদের সাথে লগারিদমের জন্য একটি বিশেষ সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি উদ্ভাবিত হয়েছিল:
এটাই, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) এর মতই
এটাই, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) এর মতই, যেখানে \(a\) কিছু সংখ্যা।
লগারিদমের অনেক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তাদের মধ্যে একটিকে "বেসিক লগারিদমিক আইডেন্টিটি" বলা হয় এবং এটি দেখতে এইরকম:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
এই সম্পত্তি সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে. চলুন দেখা যাক ঠিক কিভাবে এই সূত্রটি এসেছে।
লগারিদমের সংজ্ঞার একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি স্মরণ করা যাক:
যদি \(a^(b)=c\), তাহলে \(\log_(a)(c)=b\)
অর্থাৎ, \(b\) \(\log_(a)(c)\ এর মতই। তারপর আমরা সূত্রে \(b\) এর পরিবর্তে \(\log_(a)(c)\) লিখতে পারি \(a^(b)=c\)। দেখা গেল \(a^(\log_(a)(c))=c\) - প্রধান লগারিদমিক পরিচয়।
আপনি লগারিদমের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য খুঁজে পেতে পারেন। তাদের সাহায্যে, আপনি লগারিদমগুলির সাহায্যে অভিব্যক্তির মানগুলি সরল এবং গণনা করতে পারেন, যা সরাসরি গণনা করা কঠিন।
উদাহরণ : রাশিটির মান খুঁজুন \(36^(\log_(6)(5))\)
সমাধান :
উত্তর : \(25\)
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, যেকোনো লগারিদম একটি সংখ্যা মাত্র। কথোপকথনটিও সত্য: যেকোনো সংখ্যাকে লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে \(\log_(2)(4)\) দুইটির সমান। তারপর দুটির পরিবর্তে আপনি লিখতে পারেন \(\log_(2)(4)\)।
কিন্তু \(\log_(3)(9)\)ও \(2\) এর সমান, যার মানে আমরা লিখতে পারি \(2=\log_(3)(9)\)। একইভাবে \(\log_(5)(25)\), এবং \(\log_(9)(81)\), ইত্যাদির সাথে। অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ লগ_(7)(49)...\)
এইভাবে, যদি আমাদের প্রয়োজন হয়, আমরা যেকোন জায়গায় যেকোন বেস সহ লগারিদম হিসাবে দুটি লিখতে পারি (সেটি সমীকরণে, একটি অভিব্যক্তিতে বা অসমতার মধ্যেই হোক) - আমরা কেবল একটি যুক্তি হিসাবে বেস বর্গক্ষেত্র লিখি।
এটি ট্রিপলের সাথে একই - এটি \(\log_(2)(8)\, বা \(\log_(3)(27)\), বা \(\log_(4)( হিসাবে লেখা যেতে পারে। 64) \)... এখানে আমরা একটি যুক্তি হিসাবে ঘনক্ষেত্রে বেস লিখি:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ লগ_(7)(343)...\)
এবং চারটির সাথে:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ লগ_(7)(2401)...\)
এবং বিয়োগ এক সঙ্গে:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
এবং এক তৃতীয়াংশের সাথে:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
উদাহরণ : ভাবের অর্থ খুঁজুন \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
সমাধান :
উত্তর : \(1\)
একটি ধনাত্মক সংখ্যা b-এর লগারিদম ভিত্তি a (a>0, a 1 এর সমান নয়) একটি সংখ্যা c যেমন একটি c = b: লগ a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
মনে রাখবেন যে একটি অ-ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম অনির্ধারিত। উপরন্তু, লগারিদমের ভিত্তিটি অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে যা 1 এর সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা বর্গ -2, তাহলে আমরা 4 নম্বর পাব, কিন্তু এর অর্থ এই নয় যে 4-এর বেস -2-এর লগারিদম 2 এর সমান।
এটি গুরুত্বপূর্ণ যে এই সূত্রের ডান এবং বাম দিকের সংজ্ঞার সুযোগ ভিন্ন। বাম দিকটি শুধুমাত্র b>0, a>0 এবং a ≠ 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিকটি যেকোন b এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং এটি মোটেও a এর উপর নির্ভর করে না। এইভাবে, সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় মৌলিক লগারিদমিক "পরিচয়" প্রয়োগ করলে OD-তে পরিবর্তন হতে পারে।
প্রকৃতপক্ষে, a সংখ্যাটিকে প্রথম পাওয়ারে বাড়ানোর সময়, আমরা একই সংখ্যাটি পাই এবং এটিকে শূন্য শক্তিতে বাড়ালে আমরা একটি পাই।
লগ a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় আমি এই সূত্রগুলিকে চিন্তাহীনভাবে ব্যবহার করার বিরুদ্ধে স্কুলছাত্রীদের সতর্ক করতে চাই। এগুলিকে "বাম থেকে ডানে" ব্যবহার করার সময়, ODZ সংকুচিত হয় এবং লগারিদমের যোগফল বা পার্থক্য থেকে গুণফল বা ভাগফলের লগারিদমে চলে যাওয়ার সময়, ODZ প্রসারিত হয়।
প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি লগ a (f (x) g (x)) দুটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়: যখন উভয় ফাংশন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয় বা যখন f(x) এবং g(x) উভয়ই শূন্যের কম হয়।
এই রাশিটিকে যোগফল লগ a f (x) + log a g (x) এ রূপান্তরিত করে, আমরা শুধুমাত্র f(x)>0 এবং g(x)>0 ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করতে বাধ্য হই। গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের একটি সংকীর্ণতা রয়েছে এবং এটি স্পষ্টভাবে অগ্রহণযোগ্য, কারণ এটি সমাধানের ক্ষতির দিকে নিয়ে যেতে পারে। সূত্র (6) এর জন্য অনুরূপ সমস্যা বিদ্যমান।
এবং আবার আমি সঠিকতার জন্য কল করতে চাই। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:
লগ a (f (x) 2 = 2 লগ a f (x)
সমতার বাম দিকটি শূন্য বাদে f(x) এর সমস্ত মানের জন্য স্পষ্টতই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিকটি শুধুমাত্র f(x)>0 এর জন্য! লগারিদম থেকে ডিগ্রি নেওয়ার মাধ্যমে, আমরা আবার ODZ সংকীর্ণ করি। বিপরীত পদ্ধতি গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের সম্প্রসারণের দিকে নিয়ে যায়। এই সমস্ত মন্তব্য শুধুমাত্র ক্ষমতা 2 এর ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, যেকোনো জোড় ক্ষমতার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।
সেই বিরল ক্ষেত্রে যখন রূপান্তরের সময় ODZ পরিবর্তন হয় না। আপনি যদি বেস সি বুদ্ধিমানের সাথে বেছে নেন (ধনাত্মক এবং 1 এর সমান নয়), একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রটি সম্পূর্ণ নিরাপদ।
যদি আমরা b সংখ্যাটিকে নতুন বেস c হিসাবে বেছে নিই, তাহলে আমরা সূত্রের (8) একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে পাই:
লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
উদাহরণ 1. গণনা করুন: log2 + log50।
সমাধান। log2 + log50 = log100 = 2. আমরা লগারিদম সূত্রের যোগফল (5) এবং দশমিক লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করেছি।
উদাহরণ 2. গণনা করুন: lg125/lg5।
সমাধান। log125/log5 = log 5 125 = 3. আমরা একটি নতুন বেস (8) এ যাওয়ার জন্য সূত্র ব্যবহার করেছি।
| a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
প্রাকৃতিক লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য, গ্রাফ, সংজ্ঞার ডোমেইন, মানের সেট, মৌলিক সূত্র, ডেরিভেটিভ, ইন্টিগ্রাল, পাওয়ার সিরিজের প্রসারণ এবং জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে ln x ফাংশনের উপস্থাপনা দেওয়া হয়েছে।
প্রাকৃতিক লগারিদমফাংশন y = ln x, সূচকের বিপরীত, x = e y, এবং e সংখ্যাটির ভিত্তির লগারিদম: ln x = লগ ই x.
প্রাকৃতিক লগারিদম গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় কারণ এর ডেরিভেটিভের সহজতম রূপ রয়েছে: (ln x)′ = 1/ x.
ভিত্তিক সংজ্ঞা, প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি হল সংখ্যা e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
ফাংশনের গ্রাফ y = ln x.
প্রাকৃতিক লগারিদমের গ্রাফ (ফাংশন y = ln x) সরলরেখা y = x এর সাপেক্ষে আয়না প্রতিফলন দ্বারা সূচকীয় গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত হয়।
প্রাকৃতিক লগারিদম পরিবর্তনশীল x এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সংজ্ঞার ডোমেনে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়।
x → এ 0 প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা হল বিয়োগ অসীম (-∞)।
x → + ∞ হিসাবে, প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা প্লাস ইনফিনিটি (+ ∞)। বড় x এর জন্য, লগারিদম বেশ ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়। যে কোন পাওয়ার ফাংশন x a একটি ধনাত্মক সূচক সহ a লগারিদমের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়।
প্রাকৃতিক লগারিদম একটি একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, তাই এটির কোন চরমতা নেই। প্রাকৃতিক লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।
ln 1 = 0
বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে সূত্র অনুসরণ করে:
বেস প্রতিস্থাপন সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো লগারিদম প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:
এই সূত্রগুলির প্রমাণগুলি "লগারিদম" বিভাগে উপস্থাপন করা হয়েছে।
প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত হল সূচক।
যদি, তাহলে
যদি, তাহলে।
প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
মডুলাস x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:
.
সূত্র প্রাপ্ত করা >>>
অখণ্ডটি অংশ দ্বারা একীকরণ দ্বারা গণনা করা হয়:
.
তাই,
জটিল ভেরিয়েবল z এর ফাংশন বিবেচনা করুন:
.
জটিল চলকটি প্রকাশ করা যাক zমডিউল মাধ্যমে rএবং যুক্তি φ
:
.
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে:
.
বা
.
যুক্তি φ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। রাখলে
, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা,
এটি বিভিন্ন n এর জন্য একই সংখ্যা হবে।
অতএব, প্রাকৃতিক লগারিদম, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন হিসাবে, একটি একক-মূল্যবান ফাংশন নয়।
যখন সম্প্রসারণ ঘটে:
তথ্যসূত্র:
ভিতরে. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়াভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009।
.jpg)
