ত্রিকোণমিতি হল গাণিতিক বিজ্ঞানের একটি শাখা যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জ্যামিতিতে তাদের ব্যবহার অধ্যয়ন করে। ত্রিকোণমিতির বিকাশ সেই দিনগুলিতে শুরু হয়েছিল প্রাচীন গ্রীস. মধ্যযুগে, মধ্যপ্রাচ্য এবং ভারতের বিজ্ঞানীরা এই বিজ্ঞানের বিকাশে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন।
এই নিবন্ধটি ত্রিকোণমিতির মৌলিক ধারণা এবং সংজ্ঞাগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত। এটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সংজ্ঞা নিয়ে আলোচনা করে: সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট। তাদের অর্থ ব্যাখ্যা করা হয়েছে এবং জ্যামিতির প্রেক্ষাপটে চিত্রিত করা হয়েছে।
Yandex.RTB R-A-339285-1
প্রাথমিকভাবে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞাগুলি যার যুক্তি হল একটি কোণ একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়েছিল।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা
একটি কোণের সাইন (sin α) হল এই কোণের বিপরীত পায়ের অনুপাত।
কোণের কোসাইন (cos α) - কর্ণের সাথে সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।
কোণ স্পর্শক (t g α) - সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত।
কোণ কোট্যাঞ্জেন্ট (c t g α) - বিপরীত বাহুর সাথে সন্নিহিত বাহুর অনুপাত।
এই সংজ্ঞা একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের জন্য দেওয়া হয়!
একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া যাক.
সমকোণ C সহ ত্রিভুজ ABC-এ, A কোণের সাইন লেগ BC থেকে কর্ণ AB-এর অনুপাতের সমান।
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা আপনাকে ত্রিভুজের বাহুর পরিচিত দৈর্ঘ্য থেকে এই ফাংশনগুলির মান গণনা করতে দেয়।
মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ!
সাইন এবং কোসাইনের মানের পরিসীমা -1 থেকে 1 পর্যন্ত। অন্য কথায়, সাইন এবং কোসাইন -1 থেকে 1 পর্যন্ত মান নেয়। ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের মানের পরিসীমা হল সম্পূর্ণ সংখ্যারেখা, যে, এই ফাংশন যে কোনো মান নিতে পারে.
উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞা তীব্র কোণ প্রযোজ্য. ত্রিকোণমিতিতে, একটি ঘূর্ণন কোণের ধারণাটি চালু করা হয়, যার মান, একটি তীব্র কোণের বিপরীতে, 0 থেকে 90 ডিগ্রির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়৷ ডিগ্রী বা রেডিয়ানে ঘূর্ণন কোণ - ∞ থেকে + ∞ পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয় .
এই প্রসঙ্গে, আমরা নির্বিচারে মাত্রার একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। আসুন কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি একক বৃত্ত কল্পনা করি।
স্থানাঙ্ক (1, 0) সহ প্রাথমিক বিন্দু A একক বৃত্তের কেন্দ্রের চারপাশে একটি নির্দিষ্ট কোণ α দিয়ে ঘোরে এবং A 1 বিন্দুতে যায়। বিন্দু A 1 (x, y) এর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে।
ঘূর্ণন কোণের সাইন (পাপ)
ঘূর্ণন কোণ α এর সাইন হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেট। sin α = y
ঘূর্ণন কোণের কোসাইন (cos)
ঘূর্ণন কোণ α এর কোসাইন হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অবসিসা। cos α = x
ঘূর্ণন কোণের স্পর্শক (tg)
ঘূর্ণন কোণের স্পর্শক α হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেটের সাথে এর আবসিসা অনুপাত। t g α = y x
ঘূর্ণন কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট (ctg)
ঘূর্ণন কোণ α এর কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেটের অ্যাবসিসা অনুপাত। c t g α = x y
সাইন এবং কোসাইন যেকোনো ঘূর্ণন কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি যৌক্তিক, কারণ ঘূর্ণনের পরে একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট যে কোনও কোণে নির্ধারণ করা যেতে পারে। স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ক্ষেত্রে পরিস্থিতি ভিন্ন। স্পর্শকটি অনির্ধারিত হয় যখন ঘূর্ণনের পরে একটি বিন্দু শূন্য অবসিসা (0, 1) এবং (0, - 1) সহ একটি বিন্দুতে যায়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, স্পর্শক t g α = y x-এর অভিব্যক্তিটি সহজভাবে বোঝা যায় না, কারণ এতে শূন্য দ্বারা বিভাজন রয়েছে। কোট্যাঞ্জেন্টের ক্ষেত্রেও একই অবস্থা। পার্থক্য হল যে ক্ষেত্রে কোট্যাঞ্জেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় না যেখানে একটি বিন্দুর অর্ডিনেট শূন্যে যায়।
মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ!
সাইন এবং কোসাইন যেকোনো কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় α।
α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ছাড়া সমস্ত কোণের জন্য স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয়
α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ব্যতীত সমস্ত কোণের জন্য কোট্যাঞ্জেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয়
সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় ব্যবহারিক উদাহরণ"ঘূর্ণন কোণের সাইন α" বলবেন না। "ঘূর্ণনের কোণ" শব্দগুলিকে সহজভাবে বাদ দেওয়া হয়েছে, এটি বোঝায় যে এটি কী আলোচনা করা হচ্ছে তা প্রসঙ্গ থেকে ইতিমধ্যেই স্পষ্ট।
একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা এবং ঘূর্ণনের কোণ সম্পর্কে কী বলা যায়?
একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট
একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট tএকটি সংখ্যা যা যথাক্রমে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট এর সমান tরেডিয়ান
উদাহরণস্বরূপ, 10 π সংখ্যার সাইন সাইনের সমান 10 π rad এর ঘূর্ণন কোণ।
একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট নির্ণয় করার আরেকটি পদ্ধতি রয়েছে। এর এটা ঘনিষ্ঠভাবে কটাক্ষপাত করা যাক.
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা tএকক বৃত্তের একটি বিন্দু আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তিস্থলের কেন্দ্রের সাথে যুক্ত। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট এই বিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়।
বৃত্তের শুরু বিন্দু হল স্থানাঙ্ক (1, 0) সহ বিন্দু A।
সঠিক নাম্বার t
ঋণাত্মক সংখ্যা tসূচনা বিন্দুটি যে বিন্দুতে যাবে তার সাথে মিলে যায় যদি এটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বৃত্তের চারপাশে ঘোরে এবং পাথ টি অতিক্রম করে।
এখন যেহেতু একটি বৃত্তের একটি সংখ্যা এবং একটি বিন্দুর মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা হয়েছে, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের সংজ্ঞার দিকে এগিয়ে যাই।
সাইন (পাপ) of t
একটি সংখ্যার সাইন t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের একটি বিন্দুর অর্ডিনেট t. sin t = y
টি এর কোসাইন (cos)
একটি সংখ্যার কোসাইন t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট একক বৃত্তের বিন্দুর অবসিসা t. cos t = x
t এর স্পর্শক (tg)
একটি সংখ্যার স্পর্শক t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের একটি বিন্দুর অবসিসার সাথে অর্ডিনেটের অনুপাত t. t g t = y x = sin t cos t
সর্বশেষ সংজ্ঞাগুলি এই অনুচ্ছেদের শুরুতে প্রদত্ত সংজ্ঞার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং বিরোধিতা করে না৷ সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বৃত্তের উপর বিন্দু t, একটি কোণ দ্বারা বাঁক করার পর শুরুর বিন্দু যে বিন্দুতে যায় তার সাথে মিলে যায় tরেডিয়ান
α কোণের প্রতিটি মান এই কোণের সাইন এবং কোসাইনের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায়। ঠিক যেমন α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ব্যতীত অন্যান্য কোণগুলি একটি নির্দিষ্ট স্পর্শক মানের সাথে মিলে যায়। কোট্যাঞ্জেন্ট, যেমন উপরে বলা হয়েছে, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ব্যতীত সমস্ত α-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
আমরা বলতে পারি যে sin α, cos α, t g α, c t g α হল অ্যাঙ্গেল আলফার ফাংশন, বা কৌণিক আর্গুমেন্টের ফাংশন।
একইভাবে, আমরা একটি সংখ্যাগত যুক্তির ফাংশন হিসাবে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট সম্পর্কে কথা বলতে পারি। প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা tএকটি সংখ্যার সাইন বা কোসাইন এর একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায় t. π 2 + π · k, k ∈ Z ব্যতীত সমস্ত সংখ্যা একটি স্পর্শক মানের সাথে মিলে যায়। কোট্যাঞ্জেন্ট, একইভাবে, π · k, k ∈ Z ছাড়া সমস্ত সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।
ত্রিকোণমিতির মৌলিক কাজ
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট হল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের কোন যুক্তি (কৌণিক যুক্তি বা সংখ্যাসূচক যুক্তি) নিয়ে আমরা কাজ করছি সেই প্রসঙ্গ থেকে এটি সাধারণত পরিষ্কার হয়।
আসুন একেবারে শুরুতে প্রদত্ত সংজ্ঞা এবং আলফা কোণে ফিরে আসি, যা 0 থেকে 90 ডিগ্রির মধ্যে থাকে। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ত্রিকোণমিতিক সংজ্ঞাগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের আকৃতি অনুপাত দ্বারা প্রদত্ত জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। দেখাই যাক।
আসুন একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কেন্দ্র সহ একটি ইউনিট বৃত্ত নিই। আসুন শুরু বিন্দু A (1, 0) কে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত একটি কোণ দ্বারা ঘোরান এবং ফলাফল বিন্দু A 1 (x, y) থেকে অ্যাবসিসা অক্ষের একটি লম্ব আঁকুন। ফলস্বরূপ সমকোণী ত্রিভুজে, কোণ A 1 O H ঘূর্ণন কোণের সমান α, পায়ের O H এর দৈর্ঘ্য A 1 (x, y) বিন্দুর অবসিসার সমান। কোণের বিপরীত পায়ের দৈর্ঘ্য A 1 (x, y) বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য একের সমান, যেহেতু এটি একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
জ্যামিতি থেকে সংজ্ঞা অনুসারে, কোণ α এর সাইন কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান।
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
এর মানে হল যে আকৃতির অনুপাতের মাধ্যমে একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের সাইন নির্ণয় করা হল ঘূর্ণন কোণ α এর সাইন নির্ণয় করার সমতুল্য, যেখানে আলফা 0 থেকে 90 ডিগ্রির মধ্যে থাকে।
একইভাবে, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য সংজ্ঞার সঙ্গতি দেখানো যেতে পারে।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
সাইন (), কোসাইন (), স্পর্শক (), কোট্যাঞ্জেন্ট () এর ধারণাগুলি কোণের ধারণার সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে যুক্ত। এগুলির একটি ভাল বোঝার জন্য, প্রথম নজরে, জটিল ধারণাগুলি (যা অনেক স্কুলছাত্রের মধ্যে আতঙ্কের অবস্থা সৃষ্টি করে) এবং নিশ্চিত করতে যে "শয়তান ততটা ভয়ঙ্কর নয় যতটা সে আঁকা হয়েছে" থেকে শুরু করা যাক। খুব শুরু এবং একটি কোণ ধারণা বুঝতে.
চলুন ছবিটা দেখি। ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ দ্বারা বিন্দু আপেক্ষিক "বাঁক" হয়েছে. তাই প্রাথমিক অবস্থানের সাপেক্ষে এই ঘূর্ণনের পরিমাপ হবে কোণ.
কোণের ধারণা সম্পর্কে আপনার আর কী জানা দরকার? ওয়েল, অবশ্যই, কোণ একক!
কোণ, জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি উভয় ক্ষেত্রেই ডিগ্রী এবং রেডিয়ানে পরিমাপ করা যায়।
কোণ (এক ডিগ্রী) হল একটি বৃত্তের কেন্দ্রীয় কোণ যা বৃত্তের অংশের সমান একটি বৃত্তাকার চাপ দ্বারা সংযোজিত হয়। এইভাবে, পুরো বৃত্তটি বৃত্তাকার আর্কের "টুকরা" নিয়ে গঠিত, বা বৃত্ত দ্বারা বর্ণিত কোণটি সমান।
অর্থাৎ, উপরের চিত্রটি একটি সমান কোণ দেখায়, অর্থাৎ এই কোণটি পরিধির আকারের একটি বৃত্তাকার চাপের উপর অবস্থিত।
রেডিয়ানে একটি কোণ হল একটি বৃত্তের কেন্দ্রীয় কোণ যার দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান। আচ্ছা, আপনি কি এটা বের করেছেন? যদি না হয়, তাহলে আসুন অঙ্কন থেকে এটি বের করা যাক।
সুতরাং, চিত্রটি একটি রেডিয়ানের সমান একটি কোণ দেখায়, অর্থাৎ, এই কোণটি একটি বৃত্তাকার চাপের উপর অবস্থিত, যার দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান (দৈর্ঘ্যটি দৈর্ঘ্য বা ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের সমান arcs)। সুতরাং, চাপের দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
রেডিয়ানে কেন্দ্রীয় কোণ কোথায়।
আচ্ছা, এটি জেনে, আপনি কি উত্তর দিতে পারবেন যে বৃত্ত দ্বারা বর্ণিত কোণটিতে কতটি রেডিয়ান রয়েছে? হ্যাঁ, এর জন্য আপনাকে পরিধির সূত্রটি মনে রাখতে হবে। সে এখানে:
ঠিক আছে, এখন এই দুটি সূত্রের সাথে সম্পর্ক স্থাপন করা যাক এবং বৃত্ত দ্বারা বর্ণিত কোণটি সমান। অর্থাৎ, ডিগ্রী এবং রেডিয়ানে মানকে পারস্পরিক সম্পর্ক স্থাপন করে, আমরা তা পাই। যথাক্রমে, . আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "ডিগ্রী" এর বিপরীতে, "রেডিয়ান" শব্দটি বাদ দেওয়া হয়েছে, যেহেতু পরিমাপের এককটি সাধারণত প্রসঙ্গ থেকে পরিষ্কার হয়।
কত রেডিয়ান আছে? সেটা ঠিক!
বুঝেছি? তারপর এগিয়ে যান এবং এটি ঠিক করুন:
অসুবিধা হচ্ছে? তারপর দেখুন উত্তর:
সুতরাং, আমরা একটি কোণের ধারণাটি বের করেছি। কিন্তু একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কী? আসুন এটা বের করা যাক। এটি করার জন্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজ আমাদের সাহায্য করবে।
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোকে কী বলা হয়? এটা ঠিক, কর্ণ এবং পা: কর্ণ হল সেই পাশ যা বিপরীত সমকোণ(আমাদের উদাহরণে এটি পাশ); পা হল দুটি অবশিষ্ট বাহু এবং (যেগুলি সমকোণের সংলগ্ন), এবং যদি আমরা কোণের সাথে পাগুলিকে আপেক্ষিক বিবেচনা করি, তাহলে পা হল সংলগ্ন পা, এবং পা হল বিপরীত। তাহলে, এখন প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাক: একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কী?
কোণের সাইন- এটি কর্ণের বিপরীত (দূরের) পায়ের অনুপাত।
আমাদের ত্রিভুজে।
কোণের কোসাইন- এটি হাইপোটেনাসের সংলগ্ন (ঘনিষ্ঠ) পায়ের অনুপাত।
আমাদের ত্রিভুজে।
কোণের স্পর্শক- এটি সন্নিহিত (বন্ধ) এর বিপরীত (দূরের) দিকের অনুপাত।
আমাদের ত্রিভুজে।
কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট- এটি বিপরীত (দূর) এর পার্শ্ববর্তী (ঘনিষ্ঠ) পায়ের অনুপাত।
আমাদের ত্রিভুজে।
এই সংজ্ঞা প্রয়োজন মনে রাখবেন! কোন পাকে কোনটিতে ভাগ করতে হবে তা মনে রাখা সহজ করার জন্য, আপনাকে এটি পরিষ্কারভাবে বুঝতে হবে স্পর্শকএবং কোট্যানজেন্টশুধুমাত্র পা বসে, এবং কর্ণটি শুধুমাত্র মধ্যে উপস্থিত হয় সাইনাসএবং কোসাইন. এবং তারপরে আপনি অ্যাসোসিয়েশনের একটি চেইন নিয়ে আসতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, এই এক:
কোসাইন→স্পর্শ→স্পর্শ→সংলগ্ন;
কোট্যাঞ্জেন্ট→স্পর্শ→স্পর্শ→সংলগ্ন।
প্রথমত, আপনাকে মনে রাখতে হবে যে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট যেহেতু একটি ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত এই বাহুর দৈর্ঘ্যের (একই কোণে) উপর নির্ভর করে না। বিশ্বাস করিনা? তারপর ছবিটি দেখে নিশ্চিত করুন:
উদাহরণস্বরূপ, একটি কোণের কোসাইন বিবেচনা করুন। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ত্রিভুজ থেকে: , তবে আমরা একটি ত্রিভুজ থেকে একটি কোণের কোসাইন গণনা করতে পারি: . আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, কিন্তু এক কোণের কোসাইনের মান একই। এইভাবে, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মানগুলি শুধুমাত্র কোণের মাত্রার উপর নির্ভর করে।
আপনি যদি সংজ্ঞা বুঝতে পারেন, তাহলে এগিয়ে যান এবং তাদের একত্রিত করুন!
নীচের চিত্রে দেখানো ত্রিভুজের জন্য, আমরা খুঁজে পাই।
আচ্ছা, তুমি কি পেয়েছ? তারপর নিজেই চেষ্টা করুন: কোণের জন্য একই গণনা করুন।
ডিগ্রী এবং রেডিয়ানের ধারণা বোঝার জন্য, আমরা সমান ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত বিবেচনা করেছি। এমন একটি বৃত্ত বলা হয় একক. ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন করার সময় এটি খুব দরকারী হবে। অতএব, আসুন একটু বিস্তারিতভাবে এটি তাকান.
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই বৃত্তটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় নির্মিত। বৃত্তের ব্যাসার্ধ একের সমান, যখন বৃত্তের কেন্দ্র স্থানাঙ্কের উৎপত্তিস্থলে থাকে, ব্যাসার্ধ ভেক্টরের প্রাথমিক অবস্থানটি অক্ষের ইতিবাচক দিক বরাবর স্থির থাকে (আমাদের উদাহরণে, এটি ব্যাসার্ধ)।
বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু দুটি সংখ্যার সাথে মিলে যায়: অক্ষ স্থানাঙ্ক এবং অক্ষ স্থানাঙ্ক। এই স্থানাঙ্ক সংখ্যা কি? এবং সাধারণভাবে, তাদের হাতে বিষয়টির সাথে কী করার আছে? এটি করার জন্য, আমাদের বিবেচনা করা সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে মনে রাখতে হবে। উপরের চিত্রে, আপনি দুটি সম্পূর্ণ সমকোণী ত্রিভুজ দেখতে পাচ্ছেন। একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। এটি আয়তক্ষেত্রাকার কারণ এটি অক্ষের সাথে লম্ব।
ত্রিভুজটি কিসের সমান? সেটা ঠিক. উপরন্তু, আমরা জানি যে এটি একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ, যার অর্থ . আসুন কোসাইনের জন্য আমাদের সূত্রে এই মানটিকে প্রতিস্থাপন করি। এখানে যা ঘটে:
ত্রিভুজটি কিসের সমান? ভালো অবশ্যই, ! এই সূত্রে ব্যাসার্ধ মান প্রতিস্থাপন করুন এবং পান:
সুতরাং, আপনি কি বলতে পারেন একটি বৃত্তের অন্তর্গত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক কী? আচ্ছা, উপায় নেই? যদি আপনি যে বুঝতে পারেন এবং শুধু সংখ্যা? এটি কোন স্থানাঙ্কের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ? ওয়েল, অবশ্যই, স্থানাঙ্ক! এবং কি সমন্বয় এটি সঙ্গতিপূর্ণ? এটা ঠিক, স্থানাঙ্ক! এইভাবে, সময়কাল।
তাহলে কি এবং সমান? এটা ঠিক, আসুন ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা ব্যবহার করি এবং সেটা পাই, ক।
কোণ বড় হলে কি হবে? উদাহরণস্বরূপ, এই ছবির মত:
কি পরিবর্তন হয়েছে এই উদাহরণে? আসুন এটা বের করা যাক। এটি করার জন্য, আসুন আবার একটি সমকোণী ত্রিভুজের দিকে ঘুরি। একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন: কোণ (কোণের সংলগ্ন হিসাবে)। একটি কোণের জন্য সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মান কী? এটা ঠিক, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা মেনে চলি:
ঠিক আছে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কোণের সাইনের মান এখনও স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়; কোণের কোসাইনের মান - স্থানাঙ্ক; এবং সংশ্লিষ্ট অনুপাতের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মান। সুতরাং, এই সম্পর্কগুলি ব্যাসার্ধ ভেক্টরের যেকোনো ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
এটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে যে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের প্রাথমিক অবস্থান অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর। এখন পর্যন্ত আমরা এই ভেক্টরটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরিয়েছি, কিন্তু ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরালে কী হবে? অসাধারণ কিছুই নয়, আপনি একটি নির্দিষ্ট মানের একটি কোণও পাবেন, তবে শুধুমাত্র এটি নেতিবাচক হবে। এইভাবে, ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানোর সময়, আমরা পাই ইতিবাচক কোণএবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরার সময় - নেতিবাচক.
সুতরাং, আমরা জানি যে একটি বৃত্তের চারপাশে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের একটি সম্পূর্ণ বিপ্লব বা। ব্যাসার্ধের ভেক্টরকে বা এর দিকে ঘোরানো কি সম্ভব? ওয়েল, অবশ্যই আপনি পারেন! প্রথম ক্ষেত্রে, তাই, ব্যাসার্ধ ভেক্টর একটি পূর্ণ বিপ্লব ঘটাবে এবং অবস্থানে থামবে বা।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর তিনটি পূর্ণ আবর্তন করবে এবং অবস্থানে থামবে বা।
সুতরাং, উপরের উদাহরণগুলি থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে কোণগুলি যেগুলি দ্বারা পৃথক বা (কোনও পূর্ণসংখ্যা কোথায়) ব্যাসার্ধ ভেক্টরের একই অবস্থানের সাথে মিলে যায়।
নীচের চিত্রটি একটি কোণ দেখায়। একই চিত্র কোণ, ইত্যাদির সাথে মিলে যায়। এই তালিকা অনির্দিষ্টকালের জন্য চালিয়ে যেতে পারে। এই সমস্ত কোণগুলি সাধারণ সূত্র দ্বারা বা (কোথায় কোন পূর্ণসংখ্যা) দ্বারা লেখা যেতে পারে
এখন, মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সংজ্ঞা জেনে এবং একক বৃত্ত ব্যবহার করে, মানগুলি কী তা উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন:
আপনাকে সাহায্য করার জন্য এখানে একটি ইউনিট চেনাশোনা রয়েছে:
অসুবিধা হচ্ছে? তাহলে আসুন এটি বের করা যাক। তাই আমরা জানি যে:
এখান থেকে, আমরা নির্দিষ্ট কোণ পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি। ঠিক আছে, আসুন ক্রমানুসারে শুরু করা যাক: কোণটি স্থানাঙ্কের সাথে একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, তাই:
এটির অস্তিত্ব নেই;
আরও, একই যুক্তি মেনে চললে, আমরা খুঁজে পাই যে কোণগুলি যথাক্রমে স্থানাঙ্কের সাথে বিন্দুর সাথে মিলে যায়। এটি জেনে, সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ধারণ করা সহজ। প্রথমে এটি নিজে চেষ্টা করুন এবং তারপর উত্তরগুলি পরীক্ষা করুন।
উত্তর:
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত টেবিল তৈরি করতে পারি:
এই সমস্ত মান মনে রাখার প্রয়োজন নেই। ইউনিট বৃত্তের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানগুলির মধ্যে চিঠিপত্র মনে রাখা যথেষ্ট:
কিন্তু কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান এবং নিচের সারণীতে দেওয়া আছে, মনে রাখতে হবে:
ভয় পাবেন না, এখন আমরা আপনাকে একটি উদাহরণ দেখাব অনুরূপ মান মনে রাখা বেশ সহজ:
এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য, কোণের তিনটি পরিমাপের জন্য সাইনের মানগুলি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ (), সেইসাথে কোণের স্পর্শকের মান। এই মানগুলি জেনে, পুরো টেবিলটি পুনরুদ্ধার করা বেশ সহজ - কোসাইন মানগুলি তীর অনুসারে স্থানান্তরিত হয়, যা হল:
এটি জেনে, আপনি মানগুলি পুনরুদ্ধার করতে পারেন। লব " " মিলবে এবং হর " " মিলবে৷ কোট্যাঞ্জেন্ট মানগুলি চিত্রে নির্দেশিত তীর অনুসারে স্থানান্তরিত হয়। আপনি যদি এটি বুঝতে পারেন এবং তীরগুলির সাথে চিত্রটি মনে রাখেন তবে টেবিল থেকে সমস্ত মান মনে রাখার জন্য এটি যথেষ্ট হবে।
একটি বৃত্তে একটি বিন্দু (এর স্থানাঙ্ক) খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, এর ব্যাসার্ধ এবং ঘূর্ণনের কোণ জানা?
ওয়েল, অবশ্যই আপনি পারেন! এটা বের করা যাক সাধারণ সূত্রএকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে.
উদাহরণস্বরূপ, এখানে আমাদের সামনে একটি বৃত্ত রয়েছে:
আমাদের দেওয়া হয়েছে যে বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। ডিগ্রী দ্বারা বিন্দু ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
চিত্র থেকে দেখা যায়, বিন্দুর স্থানাঙ্কটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যায়। সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ এটি সমান। কোসাইনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে একটি অংশের দৈর্ঘ্য প্রকাশ করা যেতে পারে:
তারপর আমরা পয়েন্ট স্থানাঙ্ক জন্য যে আছে.
একই যুক্তি ব্যবহার করে, আমরা বিন্দুর জন্য y স্থানাঙ্কের মান খুঁজে পাই। এইভাবে,
তাই, ইন সাধারণ দৃষ্টিকোণবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক,
বৃত্ত ব্যাসার্ধ,
ভেক্টর ব্যাসার্ধের ঘূর্ণন কোণ।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা যে ইউনিট সার্কেলটি বিবেচনা করছি তার জন্য, এই সূত্রগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে, যেহেতু কেন্দ্রের স্থানাঙ্কগুলি শূন্যের সমান এবং ব্যাসার্ধ একের সমান:
1. বিন্দুটিকে ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।
2. বিন্দুটিকে ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
3. বিন্দুটিকে ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
4. বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। দ্বারা প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
5. বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। দ্বারা প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘূর্ণন করে প্রাপ্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
এই পাঁচটি উদাহরণ সমাধান করুন (অথবা সেগুলি সমাধানে ভাল হন) এবং আপনি সেগুলি খুঁজে পেতে শিখবেন!
1.
আপনি যে লক্ষ্য করতে পারেন. কিন্তু আমরা জানি যে সূচনা বিন্দুর একটি পূর্ণ বিপ্লবের সাথে মিল রয়েছে। সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত বিন্দুটি একই অবস্থানে থাকবে যেখানে বাঁক নেওয়ার সময়। এটি জেনে, আমরা বিন্দুর প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই:
2. একক বৃত্তটি একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত, যার মানে আমরা সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
আপনি যে লক্ষ্য করতে পারেন. আমরা জানি প্রারম্ভিক বিন্দুর দুটি পূর্ণ আবর্তনের সাথে কী মিল রয়েছে। সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত বিন্দুটি একই অবস্থানে থাকবে যেখানে বাঁক নেওয়ার সময়। এটি জেনে, আমরা বিন্দুর প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই:
সাইন এবং কোসাইন হল টেবিলের মান। আমরা তাদের অর্থ স্মরণ করি এবং পাই:
সুতরাং, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
3. একক বৃত্তটি একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত, যার মানে আমরা সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
আপনি যে লক্ষ্য করতে পারেন. আসুন চিত্রে প্রশ্নযুক্ত উদাহরণটি চিত্রিত করি:
ব্যাসার্ধটি অক্ষের সমান এবং সাথে কোণ তৈরি করে। কোসাইন এবং সাইনের সারণী মানগুলি সমান তা জেনে এবং নির্ধারণ করে যে এখানে কোসাইন একটি ঋণাত্মক মান নেয় এবং সাইন একটি ধনাত্মক মান নেয়, আমাদের আছে:
বিষয়ের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হ্রাস করার সূত্রগুলি অধ্যয়ন করার সময় এই জাতীয় উদাহরণগুলি আরও বিশদে আলোচনা করা হয়।
সুতরাং, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
4.
ভেক্টরের ব্যাসার্ধের ঘূর্ণনের কোণ (শর্ত অনুসারে)
সাইন এবং কোসাইন এর সংশ্লিষ্ট চিহ্ন নির্ধারণ করতে, আমরা একটি একক বৃত্ত এবং কোণ তৈরি করি:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মান, অর্থাৎ, ধনাত্মক, এবং মান, অর্থাৎ, ঋণাত্মক। সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির ট্যাবুলার মানগুলি জেনে, আমরা এটি পাই:
আসুন প্রাপ্ত মানগুলিকে আমাদের সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি:
সুতরাং, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
5. এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা সাধারণ আকারে সূত্র ব্যবহার করি, যেখানে
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (আমাদের উদাহরণে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (শর্ত অনুসারে)
ভেক্টরের ব্যাসার্ধের ঘূর্ণনের কোণ (শর্ত অনুসারে)।
আসুন সূত্রে সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করি এবং পান:
এবং - টেবিল মান। আসুন মনে রাখবেন এবং তাদের সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন:
সুতরাং, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
একটি কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত (দূরের) পায়ের অনুপাত।
একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন (ঘনিষ্ঠ) পায়ের অনুপাত।
একটি কোণের স্পর্শক হল বিপরীত (দূর) বাহুর সাথে সন্নিহিত (নিকট) দিকের অনুপাত।
একটি কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট হল সন্নিহিত (নিকট) পাশের বিপরীত (দূর) দিকের অনুপাত।
নির্দেশনা
বিষয়ের উপর ভিডিও
বিঃদ্রঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু গণনা করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞান একটি ভূমিকা পালন করতে পারে:
1) যদি একটি সমকোণের পা 30 ডিগ্রি কোণের বিপরীতে থাকে তবে এটি অর্ধেক সমানকর্ণ;
2) কর্ণ সর্বদা যেকোনো পায়ের চেয়ে লম্বা হয়;
3) যদি একটি বৃত্তকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের চারপাশে ঘেরা হয়, তবে এর কেন্দ্র অবশ্যই কর্ণের মাঝখানে অবস্থিত হবে।
কর্ণ একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু যা 90 ডিগ্রি কোণের বিপরীত। এর দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য, একটি পায়ের দৈর্ঘ্য এবং ত্রিভুজের তীব্র কোণের একটির আকার জানা যথেষ্ট।
নির্দেশনা
আসুন জেনে নিই একটি পা এবং এর সংলগ্ন কোণ। সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, এইগুলিকে পাশ হতে দিন |AB| এবং কোণ α। তারপরে আমরা ত্রিকোণমিতিক কোসাইন-সংলগ্ন পায়ের কোসাইন অনুপাতের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি। সেগুলো. আমাদের স্বরলিপিতে cos α = |AB| / |AC| এটি থেকে আমরা কর্ণের দৈর্ঘ্য পাই |AC| = |AB| / cos α।
আমরা যদি পাশ জানি |BC| এবং কোণ α, তাহলে আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে কোণের সাইন গণনা করব - কোণের সাইন বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান: sin α = |BC| / |AC| আমরা দেখতে পাই যে কর্ণের দৈর্ঘ্য হল |AC| = |BC| / cos α।
স্পষ্টতার জন্য, এর একটি উদাহরণ তাকান. পায়ের দৈর্ঘ্য |AB| দেওয়া যাক। = 15. এবং কোণ α = 60°। আমরা পাই |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30।
আসুন দেখি কিভাবে আপনি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে আপনার ফলাফল পরীক্ষা করতে পারেন। এটি করার জন্য, আমাদের দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করতে হবে |BC|। tan α = |BC| কোণের স্পর্শক জন্য সূত্র ব্যবহার করে / |AC|, আমরা পাই |BC| = |AB| * ট্যান α = 15 * ট্যান 60° = 15 * √3। এর পরে, আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি, আমরা পাই 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900। চেক সম্পূর্ণ হয়েছে।
কর্ণের গণনা করার পরে, ফলাফলের মানটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করুন।
সূত্র:
পাগুলোএকটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি ছোট বাহু যা শীর্ষবিন্দু তৈরি করে যার আকার 90°। এই ধরনের ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুকে বলা হয় কর্ণ। ত্রিভুজের এই সমস্ত বাহু এবং কোণগুলি নির্দিষ্ট সম্পর্কের দ্বারা আন্তঃসংযুক্ত যা পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করা সম্ভব করে যদি আরও কয়েকটি পরামিতি জানা থাকে।
নির্দেশনা
যদি আপনি সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি বাহুর (B এবং C) দৈর্ঘ্য জানেন তবে পায়ের (A) জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন। এই উপপাদ্যটি বলে যে পায়ের বর্গক্ষেত্র দৈর্ঘ্যের যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি পায়ের দৈর্ঘ্য সমান বর্গমূলকর্ণের দৈর্ঘ্য এবং দ্বিতীয় পা থেকে: A=√(C²-B²)।
একটি তীব্র কোণের জন্য সরাসরি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন "সাইন" এর সংজ্ঞাটি ব্যবহার করুন যদি আপনি গণনা করা পায়ের বিপরীতে থাকা কোণের (α) মাত্রা এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য (C) জানেন। এটি বলে যে কাঙ্ক্ষিত পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের এই পরিচিত অনুপাতের সাইন। এর মানে হল কাঙ্ক্ষিত পায়ের দৈর্ঘ্য কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং পরিচিত কোণের সাইনের গুণফলের সমান: A=C∗sin(α)। একই পরিচিত পরিমাণের জন্য, আপনি cosecant ব্যবহার করতে পারেন এবং জ্ঞাত কোণ A=C/cosec(α) এর cosecant দ্বারা কর্ণের দৈর্ঘ্যকে ভাগ করে প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য গণনা করতে পারেন।
প্রত্যক্ষ ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করুন যদি, কর্ণের দৈর্ঘ্য (C) ছাড়াও, কাঙ্খিত একটি সংলগ্ন তীব্র কোণ (β) এর মাত্রাও জানা যায়। এই কোণের কোসাইন হল কাঙ্খিত পা এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত এবং এর থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে পায়ের দৈর্ঘ্য কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং পরিচিত কোণের কোসাইনটির গুণফলের সমান: A=C∗cos(β)। আপনি সেকেন্ট ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করতে পারেন এবং পরিচিত কোণ A=C/sec(β) এর সেক্যান্ট দ্বারা কর্ণের দৈর্ঘ্য ভাগ করে পছন্দসই মান গণনা করতে পারেন।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ট্যানজেন্টের ডেরিভেটিভের জন্য অনুরূপ সংজ্ঞা থেকে প্রয়োজনীয় সূত্রটি বের করুন, যদি কাঙ্ক্ষিত পায়ের (A) বিপরীতে থাকা তীব্র কোণের (α) মান ছাড়াও, দ্বিতীয় পায়ের (B) দৈর্ঘ্য জানা যায়। . কাঙ্ক্ষিত পায়ের বিপরীত কোণের স্পর্শক হল এই পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এর মানে হল প্রয়োজনীয় পরিমাণটি দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান হবে বিখ্যাত পাএকটি পরিচিত কোণের স্পর্শক: A=B∗tg(α)। এই একই পরিচিত পরিমাণ থেকে, আমরা যদি কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করি তাহলে আরেকটি সূত্র পাওয়া যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য, পরিচিত কোণের কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে পরিচিত পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত খুঁজে বের করতে হবে: A=B/ctg(α)।
বিষয়ের উপর ভিডিও
"ক্যাথেট" শব্দটি গ্রীক থেকে রাশিয়ান ভাষায় এসেছে। ভিতরে সঠিক অনুবাদএর অর্থ হল একটি প্লাম্ব লাইন, অর্থাৎ পৃথিবীর পৃষ্ঠের লম্ব। গণিতে, পা হল বাহু যা একটি সমকোণ ত্রিভুজের সমকোণ গঠন করে। এই কোণের বিপরীত দিকটিকে হাইপোটেনাস বলে। "ক্যাথেট" শব্দটি স্থাপত্য এবং প্রযুক্তিতেও ব্যবহৃত হয় ঢালাই কাজ.
উভয় পা একে অপরের সাথে এবং একটি কোট্যাঞ্জেন্ট দ্বারা সংযুক্ত। ভিতরে এক্ষেত্রেস্পর্শক হবে বাহুর a থেকে পাশের b এর অনুপাত, অর্থাৎ, সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহু। এই সম্পর্কটি tgCAB=a/b সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। তদনুসারে, বিপরীত অনুপাতটি কোট্যাঞ্জেন্ট হবে: ctgCAB=b/a।
কর্ণের আকার এবং উভয় পায়ের মধ্যে সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল প্রাচীন গ্রীক পিথাগোরাস. লোকেরা এখনও উপপাদ্য এবং তার নাম ব্যবহার করে। এটা বলে যে কর্ণের বর্গক্ষেত্র যোগফলের সমানপায়ের বর্গক্ষেত্র, অর্থাৎ c2=a2+b2। তদনুসারে, প্রতিটি পা কর্ণের বর্গক্ষেত্র এবং অন্য পায়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গমূলের সমান হবে। এই সূত্রটি b=√(c2-a2) হিসাবে লেখা যেতে পারে।
আপনার পরিচিত সম্পর্কের মাধ্যমেও পায়ের দৈর্ঘ্য প্রকাশ করা যেতে পারে। সাইন এবং কোসাইনের উপপাদ্য অনুসারে, একটি পা কর্ণের গুণফলের সমান এবং এই ফাংশনগুলির মধ্যে একটি। এটি এবং বা কোট্যাঞ্জেন্ট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। লেগ a পাওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, সূত্র a = b*tan CAB ব্যবহার করে। ঠিক একইভাবে, প্রদত্ত স্পর্শক বা , দ্বিতীয় লেগ এর উপর নির্ভর করে নির্ধারিত হয়।
"ক্যাথেট" শব্দটি স্থাপত্যেও ব্যবহৃত হয়। এটি আয়নিক রাজধানীতে প্রয়োগ করা হয় এবং তার পিছনের মাঝখানে প্লাম্ব। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, এই শব্দটি একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব।
ঢালাই প্রযুক্তিতে একটি "ফিলেট ওয়েল্ড লেগ" রয়েছে। অন্যান্য ক্ষেত্রে যেমন, এটি সবচেয়ে কম দূরত্ব। এখানে আমরা সম্পর্কে কথা বলছিঅন্য অংশের পৃষ্ঠে অবস্থিত সীমের সীমানায় ঢালাই করা অংশগুলির মধ্যে একটির ফাঁক সম্পর্কে।
বিষয়ের উপর ভিডিও
সূত্র:
গণিতের একটি ক্ষেত্র যা শিক্ষার্থীরা সবচেয়ে বেশি লড়াই করে তা হল ত্রিকোণমিতি। এটা আশ্চর্যজনক নয়: জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি অবাধে আয়ত্ত করার জন্য, আপনার স্থানিক চিন্তাভাবনা, সূত্র ব্যবহার করে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যানজেন্ট খুঁজে বের করার ক্ষমতা, অভিব্যক্তি সরল করা এবং সংখ্যা পাই ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন। গণনা উপরন্তু, উপপাদ্য প্রমাণ করার সময় আপনাকে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে এবং এর জন্য হয় একটি উন্নত গাণিতিক মেমরি বা জটিল লজিক্যাল চেইন বের করার ক্ষমতা প্রয়োজন।
এই বিজ্ঞানের সাথে পরিচিত হওয়া একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা উচিত, তবে প্রথমে আপনাকে ত্রিকোণমিতি সাধারণভাবে কী করে তা বুঝতে হবে।
ঐতিহাসিকভাবে, গাণিতিক বিজ্ঞানের এই শাখায় অধ্যয়নের প্রধান বিষয় ছিল সমকোণী ত্রিভুজ। 90 ডিগ্রি কোণের উপস্থিতি বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ পরিচালনা করা সম্ভব করে যা একজনকে দুটি দিক এবং একটি কোণ বা দুটি কোণ এবং একটি দিক ব্যবহার করে প্রশ্নে থাকা চিত্রের সমস্ত পরামিতির মান নির্ধারণ করতে দেয়। অতীতে, লোকেরা এই প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছিল এবং বিল্ডিং নির্মাণ, নেভিগেশন, জ্যোতির্বিদ্যা এবং এমনকি শিল্পেও এটি সক্রিয়ভাবে ব্যবহার করতে শুরু করেছিল।
প্রাথমিকভাবে, লোকেরা সমকোণী ত্রিভুজের উদাহরণ ব্যবহার করে একচেটিয়াভাবে কোণ এবং বাহুর মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে কথা বলত। তারপরে বিশেষ সূত্রগুলি আবিষ্কৃত হয়েছিল যা ব্যবহারের সীমানা প্রসারিত করা সম্ভব করেছিল প্রাত্যহিক জীবনগণিতের এই শাখা।
আজ স্কুলে ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে শুরু হয়, যার পরে শিক্ষার্থীরা পদার্থবিদ্যায় অর্জিত জ্ঞান ব্যবহার করে এবং বিমূর্ত সমস্যা সমাধান করে। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, কাজ যা দিয়ে হাই স্কুলে শুরু হয়।
পরবর্তীতে, বিজ্ঞান যখন বিকাশের পরবর্তী স্তরে পৌঁছেছে, তখন গোলাকার জ্যামিতিতে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট সহ সূত্রগুলি ব্যবহার করা শুরু হয়েছে, যেখানে বিভিন্ন নিয়ম প্রযোজ্য, এবং একটি ত্রিভুজের কোণের যোগফল সর্বদা 180 ডিগ্রির বেশি হয়। এই বিভাগটি স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না, তবে এটির অস্তিত্ব সম্পর্কে জানা প্রয়োজন, অন্তত কারণ পৃথিবীর পৃষ্ঠ এবং অন্য কোনও গ্রহের পৃষ্ঠ উত্তল, যার অর্থ হল যে কোনও পৃষ্ঠের চিহ্নিতকরণ "চাপ-আকৃতির" হবে। ত্রিমাত্রিক স্থান।
গ্লোব এবং থ্রেড নিন। থ্রেডটিকে পৃথিবীর যেকোনো দুটি বিন্দুতে সংযুক্ত করুন যাতে এটি টান হয়। দয়া করে নোট করুন - এটি একটি চাপের আকার নিয়েছে। গোলাকার জ্যামিতি এই ধরনের ফর্মগুলির সাথে ডিল করে, যা জিওডেসি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং অন্যান্য তাত্ত্বিক এবং প্রয়োগ ক্ষেত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয়।
ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করার উপায়গুলি সম্পর্কে কিছুটা শেখার পরে, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট কী, তাদের সাহায্যে কী গণনা করা যেতে পারে এবং কোন সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে তা আরও বোঝার জন্য আসুন মৌলিক ত্রিকোণমিতিতে ফিরে আসি।
প্রথম ধাপ হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কিত ধারণাগুলি বোঝা। প্রথমত, কর্ণ হল 90 ডিগ্রি কোণের বিপরীত দিক। এটি দীর্ঘতম। আমরা মনে রাখি যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, এর সংখ্যাগত মান অন্য দুটি বাহুর বর্গের যোগফলের মূলের সমান।
উদাহরণ স্বরূপ, দুইটি বাহু যথাক্রমে 3 এবং 4 সেন্টিমিটার হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 5 সেন্টিমিটার। যাইহোক, প্রাচীন মিশরীয়রা প্রায় সাড়ে চার হাজার বছর আগে এটি সম্পর্কে জানত।
দুটি অবশিষ্ট বাহু, যা একটি সমকোণ গঠন করে, তাদের পা বলা হয়। উপরন্তু, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রির সমান।
অবশেষে, জ্যামিতিক ভিত্তির দৃঢ় ধারণার সাথে, কেউ একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকের সংজ্ঞার দিকে ফিরে যেতে পারে।
একটি কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের (অর্থাৎ, কাঙ্ক্ষিত কোণের বিপরীত দিক) অনুপাত। একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন বাহুর অনুপাত।
মনে রাখবেন সাইন বা কোসাইন কোনটাই একের বেশি হতে পারে না! কেন? কারণ কর্ণটি ডিফল্টভাবে দীর্ঘতম। পা যতই লম্বা হোক না কেন, এটি কর্ণের চেয়ে ছোট হবে, যার মানে তাদের অনুপাত সর্বদা একের কম হবে। এইভাবে, যদি আপনার কোনো সমস্যার উত্তরে আপনি 1-এর বেশি মান সহ একটি সাইন বা কোসাইন পান, তাহলে গণনা বা যুক্তিতে একটি ত্রুটি সন্ধান করুন। এই উত্তর স্পষ্টভাবে ভুল.
সবশেষে, একটি কোণের স্পর্শক হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত। সাইনকে কোসাইন দিয়ে ভাগ করলে একই ফল পাওয়া যাবে। দেখুন: সূত্র অনুযায়ী, আমরা বাহুর দৈর্ঘ্যকে কর্ণ দিয়ে ভাগ করি, তারপর দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করি এবং কর্ণ দিয়ে গুণ করি। সুতরাং, আমরা স্পর্শকের সংজ্ঞার মতো একই সম্পর্ক পাই।
কোট্যাঞ্জেন্ট, তদনুসারে, বিপরীত দিকের কোণার সংলগ্ন পাশের অনুপাত। একটিকে স্পর্শক দ্বারা ভাগ করে আমরা একই ফলাফল পাই।
সুতরাং, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট কী তার সংজ্ঞা দেখেছি এবং আমরা সূত্রগুলিতে যেতে পারি।
ত্রিকোণমিতিতে আপনি সূত্র ছাড়া করতে পারবেন না - সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট এগুলো ছাড়া কীভাবে খুঁজে পাবেন? কিন্তু সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এটিই প্রয়োজন।
ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার সময় আপনাকে যে প্রথম সূত্রটি জানতে হবে তা বলে যে একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের বর্গের সমষ্টি একের সমান। এই সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি, তবে এটি সময় সাশ্রয় করে যদি আপনি পাশের চেয়ে কোণের আকার জানতে চান।
অনেক শিক্ষার্থী দ্বিতীয় সূত্রটি মনে রাখতে পারে না, যা সমাধান করার সময়ও খুব জনপ্রিয় স্কুলের কাজ: একের সমষ্টি এবং কোণের স্পর্শকটির বর্গ কোণের কোসাইনের বর্গ দ্বারা ভাগ করলে সমান হয়। আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন: এটি প্রথম সূত্রের মতো একই বিবৃতি, শুধুমাত্র পরিচয়ের উভয় দিকই কোসাইনের বর্গ দ্বারা বিভক্ত ছিল। দেখা যাচ্ছে যে একটি সাধারণ গাণিতিক অপারেশন ত্রিকোণমিতিক সূত্রটিকে সম্পূর্ণরূপে অচেনা করে তোলে। মনে রাখবেন: সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট কী, রূপান্তরের নিয়ম এবং বেশ কয়েকটি মৌলিক সূত্র জেনে আপনি যে কোনো সময় স্বাধীনভাবে প্রয়োজনীয় আরও কিছু অর্জন করতে পারেন। জটিল সূত্রকাগজের টুকরোতে
কোণের যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য সাইন এবং কোসাইনের মানগুলির সাথে আপনার শিখতে হবে এমন আরও দুটি সূত্র। তারা নীচের চিত্রে উপস্থাপন করা হয়. অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রথম ক্ষেত্রে, সাইন এবং কোসাইন উভয়ই গুণিত হয় এবং দ্বিতীয়টিতে, সাইন এবং কোসাইন এর জোড়া গুণফল যোগ করা হয়।
ডবল অ্যাঙ্গেল আর্গুমেন্টের সাথে যুক্ত সূত্রও আছে। এগুলি সম্পূর্ণরূপে পূর্ববর্তীগুলি থেকে উদ্ভূত - একটি অনুশীলন হিসাবে, বিটা কোণের সমান আলফা কোণ গ্রহণ করে সেগুলি নিজে নেওয়ার চেষ্টা করুন।
সবশেষে, মনে রাখবেন সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট আলফার শক্তি কমাতে ডাবল অ্যাঙ্গেল সূত্রগুলোকে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে।
মৌলিক ত্রিকোণমিতির দুটি প্রধান উপপাদ্য হল সাইন উপপাদ্য এবং কোসাইন উপপাদ্য। এই উপপাদ্যগুলির সাহায্যে, আপনি সহজেই বুঝতে পারবেন কীভাবে সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শক খুঁজে বের করতে হয় এবং সেইজন্য চিত্রের ক্ষেত্রফল এবং প্রতিটি বাহুর আকার ইত্যাদি।
সাইন উপপাদ্যটি বলে যে একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে বিপরীত কোণ দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই একই সংখ্যা. অধিকন্তু, এই সংখ্যাটি পরিধিকৃত বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধের সমান হবে, অর্থাৎ একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের সমস্ত বিন্দু সমন্বিত বৃত্ত।
কোসাইন উপপাদ্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, এটিকে যেকোন ত্রিভুজের দিকে প্রক্ষেপণ করে। দেখা যাচ্ছে যে দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল থেকে, তাদের গুণফলকে সন্নিহিত কোণের দ্বিগুণ কোসাইন দ্বারা গুণিত করে বিয়োগ করুন - ফলাফলের মানটি তৃতীয় বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমান হবে। এইভাবে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে।
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট কী তা জেনেও, অনুপস্থিত-মানসিকতার কারণে বা সহজতম গণনার ত্রুটির কারণে ভুল করা সহজ। এই ধরনের ভুলগুলি এড়াতে, আসুন সর্বাধিক জনপ্রিয়গুলি দেখে নেওয়া যাক।
প্রথমত, চূড়ান্ত ফলাফল না পাওয়া পর্যন্ত আপনার ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা উচিত নয় - আপনি উত্তরটি এভাবে রেখে যেতে পারেন সাধারণ ভগ্নাংশ, যদি না অন্যথায় শর্তে বলা হয়। এই ধরনের রূপান্তরকে একটি ভুল বলা যায় না, তবে এটি মনে রাখা উচিত যে সমস্যার প্রতিটি পর্যায়ে নতুন শিকড় উপস্থিত হতে পারে, যা লেখকের ধারণা অনুসারে হ্রাস করা উচিত। এই ক্ষেত্রে, আপনি অপ্রয়োজনীয় গাণিতিক অপারেশনে আপনার সময় নষ্ট করবেন। এটি তিনটির মূল বা দুটির মূলের মতো মানগুলির জন্য বিশেষভাবে সত্য, কারণ এগুলি প্রতিটি ধাপে সমস্যায় পাওয়া যায়। একই "কুৎসিত" সংখ্যা বৃত্তাকার জন্য যায়.
আরও, মনে রাখবেন যে কোসাইন উপপাদ্য যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য নয়! আপনি যদি ভুলবশত তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত বাহুর গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ করতে ভুলে যান, তাহলে আপনি কেবল একটি সম্পূর্ণ ভুল ফলাফলই পাবেন না, তবে আপনি বিষয়টির বোঝার সম্পূর্ণ অভাবও প্রদর্শন করবেন। এটি একটি অসতর্ক ভুলের চেয়েও খারাপ।
তৃতীয়ত, সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যানজেন্টের জন্য 30 এবং 60 ডিগ্রি কোণের মানগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। এই মানগুলি মনে রাখবেন, কারণ 30 ডিগ্রীর সাইন 60 এর কোসাইন এর সমান এবং এর বিপরীতে। তাদের বিভ্রান্ত করা সহজ, যার ফলস্বরূপ আপনি অনিবার্যভাবে একটি ভুল ফলাফল পাবেন।
অনেক ছাত্র ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার জন্য কোন তাড়াহুড়ো করে না কারণ তারা এর ব্যবহারিক অর্থ বুঝতে পারে না। একজন প্রকৌশলী বা জ্যোতির্বিজ্ঞানীর জন্য সাইন, কোসাইন, স্পর্শক কী? এগুলি এমন ধারণা যার সাহায্যে আপনি দূরবর্তী নক্ষত্রের দূরত্ব গণনা করতে পারেন, একটি উল্কাপাতের পূর্বাভাস দিতে পারেন বা অন্য গ্রহে একটি গবেষণা অনুসন্ধান পাঠাতে পারেন। এগুলি ছাড়া, একটি বিল্ডিং তৈরি করা, একটি গাড়ির নকশা করা, একটি পৃষ্ঠের লোড বা একটি বস্তুর গতিপথ গণনা করা অসম্ভব। এবং এই শুধুমাত্র সবচেয়ে সুস্পষ্ট উদাহরণ! সর্বোপরি, ত্রিকোণমিতি এক বা অন্য আকারে সঙ্গীত থেকে ওষুধ পর্যন্ত সর্বত্র ব্যবহৃত হয়।
সুতরাং আপনি সাইন, কোসাইন, স্পর্শক। আপনি তাদের গণনায় ব্যবহার করতে পারেন এবং সফলভাবে স্কুল সমস্যা সমাধান করতে পারেন।
ত্রিকোণমিতির পুরো পয়েন্টটি এই সত্যে নেমে আসে যে একটি ত্রিভুজের পরিচিত প্যারামিটার ব্যবহার করে আপনাকে অজানাগুলি গণনা করতে হবে। মোট ছয়টি পরামিতি আছে: দৈর্ঘ্য তিন দিকেএবং তিনটি কোণের মাপ। কাজের মধ্যে পার্থক্য শুধুমাত্র ভিন্ন ইনপুট ডেটা দেওয়া হয়।
আপনি এখন জানেন কিভাবে পা বা কর্ণের পরিচিত দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক খুঁজে বের করতে হয়। যেহেতু এই পদগুলির অর্থ একটি অনুপাত ছাড়া আর কিছুই নয়, এবং একটি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ, একটি ত্রিকোণমিতি সমস্যার মূল লক্ষ্য হল একটি সাধারণ সমীকরণ বা সমীকরণের সিস্টেমের শিকড় খুঁজে বের করা। এবং এখানে নিয়মিত স্কুলের গণিত আপনাকে সাহায্য করবে।
গড় স্তর
সমস্যাগুলিতে, ডান কোণটি মোটেই প্রয়োজনীয় নয় - নীচের বাম, তাই আপনাকে এই ফর্মটিতে একটি সমকোণ ত্রিভুজ চিনতে শিখতে হবে,
এবং এই
এবং এই 
একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে ভাল কি? ভাল... প্রথমত, বিশেষ আছে সুন্দর নামতার পক্ষের জন্য।
অঙ্কন মনোযোগ!
মনে রাখবেন এবং বিভ্রান্ত করবেন না: দুটি পা আছে, এবং শুধুমাত্র একটি কর্ণ আছে(এক এবং একমাত্র, অনন্য এবং দীর্ঘতম)!
ঠিক আছে, আমরা নামগুলি নিয়ে আলোচনা করেছি, এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়: পিথাগোরিয়ান থিওরেম।
এই উপপাদ্যটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ জড়িত অনেক সমস্যা সমাধানের চাবিকাঠি। পিথাগোরাস এটি সম্পূর্ণরূপে প্রমাণ করেছিলেন অনাদিকাল, এবং তারপর থেকে যারা তাকে চেনেন তাদের জন্য তিনি অনেক সুবিধা নিয়ে এসেছেন। এবং এটি সম্পর্কে সবচেয়ে ভাল জিনিস এটি সহজ.
তাই, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য:
আপনি কি কৌতুক মনে রাখবেন: "পিথাগোরিয়ান প্যান্ট সব দিকে সমান!"?
এই একই Pythagorean প্যান্ট আঁকা এবং তাদের তাকান. 
এটা কিছু শর্টস মত দেখায় না? আচ্ছা, কোন দিকে এবং কোথায় তারা সমান? কেন এবং কোথা থেকে রসিকতা এসেছে? এবং এই কৌতুকটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে অবিকল যুক্ত, বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে পিথাগোরাস নিজেই যেভাবে তার উপপাদ্য তৈরি করেছিলেন তার সাথে। এবং তিনি এটি এই মত প্রণয়ন:
"সমষ্টি বর্গাকার এলাকা, পায়ে নির্মিত, সমান বর্গক্ষেত্র, কর্ণের উপর নির্মিত।"
এটা কি সত্যিই একটু ভিন্ন শোনাচ্ছে? আর তাই, যখন পিথাগোরাস তার উপপাদ্যের বিবৃতিটি আঁকেন, ঠিক এই চিত্রটিই বেরিয়ে এসেছে।
এই ছবিতে ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। এবং যাতে বাচ্চারা আরও ভালভাবে মনে রাখতে পারে যে পায়ের বর্গক্ষেত্রগুলির যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান, কেউ একজন মজাদার পিথাগোরিয়ান প্যান্ট সম্পর্কে এই রসিকতা নিয়ে এসেছেন।
কেন আমরা এখন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রণয়ন করছি?
পিথাগোরাস কি ভুগছিলেন এবং স্কোয়ার সম্পর্কে কথা বলেছিলেন?
আপনি দেখুন, প্রাচীনকালে কোন... বীজগণিত ছিল না! কোন চিহ্ন ইত্যাদি ছিল না। কোন শিলালিপি ছিল না. আপনি কি কল্পনা করতে পারেন যে দরিদ্র প্রাচীন ছাত্রদের কথায় সব কিছু মনে রাখা কতটা ভয়ঙ্কর ছিল?! এবং আমরা আনন্দ করতে পারি যে আমাদের কাছে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সহজ প্রণয়ন আছে। এটি আরও ভালভাবে মনে রাখতে এটি আবার পুনরাবৃত্তি করা যাক:
এটা এখন সহজ হওয়া উচিত:
| কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। |
ঠিক আছে, সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। আপনি যদি এটি কীভাবে প্রমাণিত হয় তা নিয়ে আগ্রহী হন, তাহলে তত্ত্বের নিম্নলিখিত স্তরগুলি পড়ুন এবং এখন চলুন... ত্রিকোণমিতির অন্ধকার বনে... ভয়ঙ্কর শব্দ সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট।
আসলে, সবকিছু এতটা ভীতিকর নয়। অবশ্যই, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের "বাস্তব" সংজ্ঞা নিবন্ধে দেখা উচিত। কিন্তু আমি সত্যিই চাই না, তাই না? আমরা আনন্দ করতে পারি: একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে সমস্যাগুলি সমাধান করতে, আপনি কেবল নিম্নলিখিত সাধারণ জিনিসগুলি পূরণ করতে পারেন:
কেন সবকিছু শুধু কোণার সম্পর্কে? কোণ কোথায়? এটি বোঝার জন্য, আপনাকে জানতে হবে কিভাবে বিবৃতি 1 - 4 শব্দে লেখা হয়। দেখুন, বুঝুন এবং মনে রাখবেন!
1.
আসলে এটা এই মত শোনাচ্ছে:
কোণ সম্পর্কে কি? কোণার বিপরীতে একটি পা আছে, অর্থাৎ, একটি বিপরীত (কোণের জন্য) পা? অবশ্যই আছে! এই একটা পা!
কোণ সম্পর্কে কি? সতর্কতার. কোন পা কোণ সংলগ্ন? অবশ্যই, পা। এর মানে হল যে কোণের জন্য পা সংলগ্ন, এবং
এখন, মনোযোগ দিন! আমরা কি পেয়েছি তা দেখুন:
দেখুন এটি কতটা শীতল:
এখন চলুন স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টে যাওয়া যাক।
এখন কথায় কথায় কিভাবে লিখব? কোণের সাথে পা কী? বিপরীত, অবশ্যই - এটি কোণার বিপরীতে "মিথ্যা"। পা সম্পর্কে কি? কোণ ঘেঁষে। তাহলে আমরা কি পেয়েছি?
দেখুন কিভাবে লব এবং হর স্থান পরিবর্তন করেছে?
এবং এখন আবার কোণগুলি এবং একটি বিনিময় করেছে:
আসুন আমরা যা শিখেছি তা সংক্ষেপে লিখি।
 |
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: |
সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রধান উপপাদ্য হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
যাইহোক, আপনি কি ভাল মনে রাখবেন পা এবং কর্ণ কি? যদি খুব ভাল না হয়, তাহলে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন
এটা খুবই সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যেই বহুবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন, কিন্তু আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন কেন এমন একটি উপপাদ্য সত্য? আমি কিভাবে এটা প্রমাণ করতে পারি? আসুন প্রাচীন গ্রীকদের মত করি। এর একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন।
দেখুন কত চতুরতার সাথে আমরা এর দিকগুলোকে দৈর্ঘ্যে ভাগ করেছি এবং!
এখন চিহ্নিত বিন্দু সংযোগ করা যাক
এখানে আমরা অবশ্য অন্য কিছু উল্লেখ করেছি, তবে আপনি নিজেই অঙ্কনটি দেখুন এবং ভাবুন কেন এটি এমন।
বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? ঠিক, . একটি ছোট এলাকা সম্পর্কে কি? অবশ্যই, . চার কোণার মোট এলাকা রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা তাদের দুজনকে একসাথে নিয়েছি এবং তাদের কর্ণ দিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি। কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র। এর মানে হল "কাট" এর ক্ষেত্রফল সমান।
এখন সব একসাথে করা যাক.
আসুন রূপান্তর করি:
তাই আমরা পিথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা একটি প্রাচীন উপায়ে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছি।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধারণ করে:
একটি তীব্র কোণের সাইন কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোসাইন কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের স্পর্শক বিপরীত বাহুর সাথে সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বিপরীত বাহুর সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
এবং একবার ট্যাবলেট আকারে এই সব:
এটা খুব আরামদায়ক!
I. দুই দিকে
২. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
III. কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা
IV লেগ এবং তীব্র কোণ বরাবর
ক) 
খ) 
মনোযোগ! এটি এখানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে পাগুলি "উপযুক্ত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এই মত যায়:
তাহলে ত্রিভুজ সমান হয় না, তাদের এক অভিন্ন তীব্র কোণ থাকা সত্ত্বেও।
প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজে পা ছিল সংলগ্ন, বা উভয় ক্ষেত্রে এটি বিপরীত ছিল.
আপনি কি লক্ষ্য করেছেন কিভাবে সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ত্রিভুজের সমতার সাধারণ চিহ্ন থেকে আলাদা? বিষয়টির দিকে নজর দিন "এবং এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজের সমতার জন্য, তাদের তিনটি উপাদান অবশ্যই সমান হতে হবে: দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যে কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক বা তিনটি দিক। কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সমতার জন্য শুধুমাত্র দুটি সংশ্লিষ্ট উপাদানই যথেষ্ট। মহান, তাই না?
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণগুলির সাথে পরিস্থিতি প্রায় একই রকম।
I. একটি তীব্র কোণ বরাবর
২. দুই দিকে
III. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
কেন এমন হল?
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে, একটি সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন।
আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং একটি বিন্দু বিবেচনা করুন - কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন?
এবং এই থেকে অনুসরণ কি?
তাই এটা যে পরিণত
এই সত্য মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!
আরও আশ্চর্যের বিষয় হল এর বিপরীতটিও সত্য।
কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান এই সত্য থেকে কী লাভ পাওয়া যায়? চলুন ছবিটা দেখি
সতর্কতার. আমাদের আছে: , অর্থাৎ, বিন্দু থেকে সকলের দূরত্ব তিনটি শিখরত্রিভুজ সমান হতে পরিণত. কিন্তু ত্রিভুজটিতে শুধুমাত্র একটি বিন্দু রয়েছে, যেখান থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে দূরত্ব সমান, এবং এটি হল বৃত্তের কেন্দ্র। তাহলে কি হলো?
তাহলে এর সাথে শুরু করা যাক "পাশাপাশি..."।
এর তাকান এবং.
কিন্তু অনুরূপ ত্রিভুজ সব সমান কোণ আছে!
একই এবং সম্পর্কে বলা যেতে পারে
এখন একে একসাথে আঁকা যাক:
এই "ট্রিপল" সাদৃশ্য থেকে কি সুবিধা পাওয়া যেতে পারে?
আচ্ছা, যেমন- একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।
আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট পক্ষগুলির সম্পর্কগুলি লিখি:
উচ্চতা খুঁজে পেতে, আমরা অনুপাত সমাধান এবং পেতে প্রথম সূত্র "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":
সুতরাং, এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক: .
এখন কি হবে?
আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই:
আপনাকে এই দুটি সূত্র খুব ভালভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি আরও সুবিধাজনক তা ব্যবহার করতে হবে। আসুন আবার সেগুলি লিখি
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান: .
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা: বা।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান: .
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
