সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

$a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত।$ $a, b$ এবং $c$ সংখ্যাগুলি একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের সহগ, তারা হল সাধারণত বলা হয়: a - অগ্রণী একটি, b - দ্বিতীয় বা গড় সহগ, c - বিনামূল্যে শব্দ। y = ax 2 + bx + c ফর্মের একটি ফাংশনকে দ্বিঘাত ফাংশন বলে।

এই সমস্ত প্যারাবোলার উৎপত্তিস্থলে তাদের শীর্ষবিন্দু রয়েছে; একটি > 0 এর জন্য এটি গ্রাফের সর্বনিম্ন বিন্দু ( ক্ষুদ্রতম মানফাংশন), এবং ক< 0, наоборот, наивысшая точка (সর্বোচ্চ মানফাংশন)। Oy অক্ষ এই প্রতিটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ।

দেখা যায়, a > 0 এর জন্য প্যারাবোলা উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, a এর জন্য< 0 - вниз.

একটি সহজ এবং সুবিধাজনক আছে গ্রাফিক পদ্ধতি, যা আপনাকে গণনা ছাড়াই প্যারাবোলা y = ax 2-এর যেকোনো সংখ্যক বিন্দু তৈরি করতে দেয়, যদি শীর্ষবিন্দু ব্যতীত প্যারাবোলার একটি বিন্দু জানা যায়। M(x 0 , y 0) বিন্দুটিকে প্যারাবোলা y = ax 2 (চিত্র 2) এর উপর রাখা যাক। যদি আমরা O এবং M বিন্দুর মধ্যে একটি অতিরিক্ত n বিন্দু তৈরি করতে চাই, তাহলে আমরা অবসিসা অক্ষের ON অংশটিকে n + 1 সমান অংশে ভাগ করি এবং বিভাজন বিন্দুতে আমরা অক্স অক্ষের লম্ব আঁকব। আমরা সেগমেন্ট এনএমকে সমান সংখ্যক সমান অংশে ভাগ করি এবং স্থানাঙ্কের উত্সের সাথে রশ্মির সাথে বিভাজন বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করি। প্যারাবোলার প্রয়োজনীয় বিন্দুগুলি একই সংখ্যার সাথে লম্ব এবং রশ্মির সংযোগস্থলে অবস্থিত (চিত্র 2-এ বিভাজন বিন্দুর সংখ্যা 9)।

y =ax 2 + bx + c ফাংশনের গ্রাফটি শুধুমাত্র তার অবস্থানে গ্রাফ y = ax 2 থেকে আলাদা এবং অঙ্কনের উপর বক্ররেখা সরানোর মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। এটি ফর্মে দ্বিঘাত ত্রিনয়কের উপস্থাপনা থেকে অনুসরণ করে

যা থেকে সহজেই উপসংহারে আসা যায় যে ফাংশনের গ্রাফটি y = ax 2 + bx + c একটি প্যারাবোলা y = ax 2, যার শীর্ষবিন্দুটি বিন্দুতে সরানো হয়েছে

এবং এর প্রতিসাম্যের অক্ষটি Oy অক্ষের সমান্তরাল ছিল (চিত্র 3)। একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিকের জন্য প্রাপ্ত অভিব্যক্তি থেকে, এর সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্য সহজেই অনুসরণ করে। D = b 2 − 4ac অভিব্যক্তিটিকে দ্বিঘাত ত্রিনামিক ax 2 + bx + c এবং সংশ্লিষ্টদের বৈষম্যকারী বলা হয় দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0. বৈষম্যকারীর চিহ্ন নির্ধারণ করে যে একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের গ্রাফটি x-অক্ষকে ছেদ করে নাকি এটির এক পাশে অবস্থিত। যথা, যদি ডি< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, তাহলে প্যারাবোলা অক্স অক্ষের উপরে থাকে এবং যদি a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের গ্রাফটি x-অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে x 1 এবং x 2, যা দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 এর মূল এবং যথাক্রমে সমান

D = 0 এ প্যারাবোলা বিন্দুতে অক্স অক্ষকে স্পর্শ করে

দ্বিঘাত ত্রিনয়কের বৈশিষ্ট্য দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের ভিত্তি তৈরি করে। একটি উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক। ধরুন আমাদের 3x 2 - 2x - 1 অসমতার সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করতে হবে< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, তারপর সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ 3x 2 − 2x − 1 = 0 এর দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে, সেগুলি পূর্বে দেওয়া সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

x 1 = −1/3 এবং x 2 = 1।

বিবেচনাধীন দ্বিঘাত ত্রিনমিয়ালে, a = 3 > 0, যার অর্থ হল এর গ্রাফের শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত এবং দ্বিঘাত ত্রিনাময়ের মানগুলি কেবলমাত্র শিকড়ের মধ্যবর্তী ব্যবধানে ঋণাত্মক। সুতরাং, অসমতার সমস্ত সমাধান শর্ত পূরণ করে

−1/3 < x < 1.

বিভিন্ন বৈষম্যকে একই প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে দ্বিঘাত অসমতায় হ্রাস করা যেতে পারে যার দ্বারা বিভিন্ন সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা হয়।

সংজ্ঞা

পরাবৃত্তএকটি গ্রাফ বলা হয় দ্বিঘাত ফাংশন$y = ax^(2) + bx + c$, যেখানে $a \neq 0$।

$y = x^2$ ফাংশনের গ্রাফ।

$y = x^2$ ফাংশনের গ্রাফটি পরিকল্পিতভাবে প্লট করার জন্য, আমরা বেশ কয়েকটি পয়েন্ট খুঁজে পাব যা এই সমতাকে সন্তুষ্ট করে। সুবিধার জন্য, আমরা একটি টেবিলের আকারে এই পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি লিখি:

$y = ax^2$ ফাংশনের গ্রাফ।

যদি সহগ $a > 0$ হয়, তাহলে গ্রাফ $y = ax^2$ গ্রাফ $y = x^2$ থেকে প্রাপ্ত হয় উল্লম্ব প্রসারিত ($a > 1$ এর জন্য) বা $x$ এ কম্প্রেশন করে অক্ষ ($0 এর জন্য< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac(x^2)(2)$

যদি $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac(x^2)(2)$

একটি দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ।

$y = ax^2 + bx + c$ ফাংশনটি গ্রাফ করার জন্য, আপনাকে বর্গাকার ট্রিনমিয়াল থেকে $ax^2 + bx + c$ আলাদা করতে হবে পারফেক্ট বর্গ, অর্থাৎ, এটিকে $a(x - x_0)^2 + y_0$ আকারে উপস্থাপন করুন। $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ ফাংশনের গ্রাফটি $x$ অক্ষ বরাবর $x_0$ এবং $y_0$ দ্বারা স্থানান্তর করে সংশ্লিষ্ট গ্রাফ $y = ax^2$ থেকে প্রাপ্ত হয় $y$ অক্ষ বরাবর। ফলস্বরূপ, পয়েন্ট $(0;0)$ পয়েন্ট $(x_0;y_0)$ এ চলে যাবে।

সংজ্ঞা

শীর্ষপ্যারাবোলা $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ হল স্থানাঙ্ক $(x_0;y_0)$ সহ বিন্দু।

আসুন একটি প্যারাবোলা $y = 2x^2 - 4x - 6$ তৈরি করি। সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করে, আমরা $y = 2(x - 1)^2 - 8$ পাব।

আসুন $y = 2x^2$ প্লট করি	এর ডানদিকে 1 দ্বারা সরানো যাক	এবং 8 দ্বারা নিচে

ফলাফল হল একটি প্যারাবোলা যার শীর্ষবিন্দু $(1;-8)$।

দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ $y = ax^2 + bx + c$ $y$ অক্ষকে $(0; c)$ বিন্দুতে এবং $x$ অক্ষকে $(x_(1,2) বিন্দুতে ছেদ করে ;0)$, যেখানে $x_(1,2)$ হল দ্বিঘাত সমীকরণের মূল $ax^2 + bx + c = 0$ (এবং যদি সমীকরণটির কোনো মূল না থাকে, তাহলে সংশ্লিষ্ট প্যারাবোলা $কে ছেদ করে না x$ অক্ষ)।

উদাহরণস্বরূপ, প্যারাবোলা $y = 2x^2 - 4x - 6$ $(0; -6)$, $(-1; 0)$ এবং $(3; 0)$ বিন্দুতে অক্ষগুলিকে ছেদ করে।

পাঠ: কিভাবে একটি প্যারাবোলা বা চতুর্ভুজ ফাংশন গঠন করতে হয়?

তাত্ত্বিক অংশ

একটি প্যারাবোলা হল একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ যা সূত্র ax 2 +bx+c=0 দ্বারা বর্ণিত।
একটি প্যারাবোলা তৈরি করতে আপনাকে একটি সাধারণ অ্যালগরিদম অনুসরণ করতে হবে:

1) প্যারাবোলা সূত্র y=ax 2 +bx+c,
যদি a>0তারপর প্যারাবোলার শাখাগুলি নির্দেশিত হয় আপ,
অন্যথায় প্যারাবোলার শাখাগুলি নির্দেশিত হয় নিচে.
বিনামূল্যে সদস্য গএই বিন্দুটি প্যারাবোলাকে OY অক্ষের সাথে ছেদ করে;

2), এটি সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায় x=(-b)/2a, আমরা প্যারাবোলা সমীকরণে পাওয়া x প্রতিস্থাপন করি এবং সন্ধান করি y;

3)ফাংশন শূন্যবা, অন্য কথায়, OX অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ করার বিন্দুগুলিকে সমীকরণের মূলও বলা হয়। শিকড় খুঁজে বের করতে আমরা সমীকরণটি 0 এর সাথে সমান করি ax 2 +bx+c=0;

সমীকরণের ধরন:

ক) সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্ম আছে ax 2 +bx+c=0এবং বৈষম্যকারী দ্বারা সমাধান করা হয়;
b) ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +bx=0।এটি সমাধান করতে, আপনাকে বন্ধনী থেকে x বের করতে হবে, তারপর প্রতিটি ফ্যাক্টরকে 0 এর সাথে সমান করুন:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 এবং ax+b=0;
গ) ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +c=0.এটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে অজানাকে একদিকে এবং পরিচিতকে অন্য দিকে নিয়ে যেতে হবে। x =±√(c/a);

4) ফাংশন নির্মাণের জন্য বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজুন।

ব্যবহারিক অংশ

এবং তাই এখন, একটি উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা ধাপে ধাপে সবকিছু বিশ্লেষণ করব:
উদাহরণ #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 মানে প্যারাবোলা OY কে x=0 y=3 বিন্দুতে ছেদ করে। প্যারাবোলার শাখাগুলি a=1 1>0 থেকে উপরের দিকে দেখায়।
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 শীর্ষবিন্দু বিন্দুতে (-2;-1)
আসুন x 2 +4x+3=0 সমীকরণের মূল বের করি
বৈষম্য ব্যবহার করে আমরা শিকড় খুঁজে পাই
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

চলো x = -2 শীর্ষবিন্দুর কাছে অবস্থিত বেশ কয়েকটি অবাধ বিন্দু নিই

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

y=x 2 +4x+3 মানের সমীকরণে x এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করুন
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
এটি ফাংশন মান থেকে দেখা যায় যে প্যারাবোলা সরলরেখা x = -2 সাপেক্ষে প্রতিসম

উদাহরণ #2:
y=-x 2 +4x
c=0 মানে প্যারাবোলা OY কে x=0 y=0 বিন্দুতে ছেদ করে। a=-1 -1 থেকে প্যারাবোলার শাখা নিচের দিকে তাকায় -x 2 +4x=0 সমীকরণের মূল বের করা যাক
ax 2 +bx=0 ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ। এটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে বন্ধনী থেকে x বের করতে হবে, তারপর প্রতিটি ফ্যাক্টরকে 0 এ সমান করুন।
x(-x+4)=0, x=0 এবং x=4।

চলো x=2 শীর্ষবিন্দুর কাছে অবস্থিত বেশ কয়েকটি অবাধ বিন্দু নিই
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
y=-x 2 +4x মানের সমীকরণে x এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করুন
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
এটি ফাংশন মান থেকে দেখা যায় যে প্যারাবোলা সরলরেখা x = 2 সম্পর্কে প্রতিসম

উদাহরণ নং 3
y=x 2 -4
c=4 মানে প্যারাবোলা OY কে x=0 y=4 বিন্দুতে ছেদ করে। প্যারাবোলার শাখাগুলি a=1 1>0 থেকে উপরের দিকে দেখায়।
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 শীর্ষবিন্দু বিন্দুতে (0;- ৪)
আসুন x 2 -4=0 সমীকরণের মূল বের করি
ax 2 +c=0 ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ। এটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে অজানাকে একদিকে এবং পরিচিতকে অন্য দিকে নিয়ে যেতে হবে। x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

চলো x=0 শীর্ষবিন্দুর কাছে অবস্থিত বেশ কয়েকটি অবাধ বিন্দু নিই
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
y= x 2 -4 মানের সমীকরণে x এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করুন
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
এটি ফাংশন মান থেকে দেখা যায় যে প্যারাবোলা সরলরেখা x = 0 সম্পর্কে প্রতিসম

সাবস্ক্রাইব ইউটিউবে চ্যানেলেসমস্ত নতুন পণ্যের সমতা রাখতে এবং পরীক্ষার জন্য আমাদের সাথে প্রস্তুতি নিতে।

একটি দ্বিঘাত ত্রিনামীর গ্রাফ

2019-04-19

বর্গাকার ত্রিনামিক

আমরা একটি বর্গাকার ত্রিনামিককে দ্বিতীয় মাত্রার একটি সম্পূর্ণ যুক্তিবাদী ফাংশন বলেছি:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

যেখানে $a \neq 0$। আসুন আমরা প্রমাণ করি যে একটি দ্বিঘাত ত্রিনাময়ের গ্রাফ হল একটি প্যারাবোলা যা প্যারাবোলা $y = ax^2$ থেকে সমান্তরাল স্থানান্তর (স্থানাঙ্ক অক্ষের দিকনির্দেশে) দ্বারা প্রাপ্ত। এটি করার জন্য, আমরা সহজ ব্যবহার করে অভিব্যক্তি (1) উপস্থাপন করি পরিচয় রূপান্তরমন থেকে

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$। (2)

নীচে লিখিত সংশ্লিষ্ট রূপান্তরগুলি "সঠিক বর্গ নিষ্কাশন" হিসাবে পরিচিত:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$। (2")

আমরা দ্বিঘাত ত্রিনামিককে (2) আকারে হ্রাস করেছি; যেখানে

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(এই অভিব্যক্তিগুলি মুখস্থ করা উচিত নয়; প্রতিবার ত্রিনয়িক (1) ফর্মে (2) সরাসরি রূপান্তর করা আরও সুবিধাজনক)।

এখন এটা স্পষ্ট যে ত্রিনয়কের (1) গ্রাফটি প্যারাবোলা $y = ax^2$ এর সমান এবং প্যারাবোলা $y = ax^2$কে স্থানাঙ্ক অক্ষের দিকনির্দেশে $\ দ্বারা স্থানান্তর করে প্রাপ্ত হয়। alpha$ এবং $\beta$ (যথাক্রমে $\alpha$ এবং $\beta$ চিহ্নটি বিবেচনা করে)। এই প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু $(- \alpha, \beta)$ বিন্দুতে অবস্থিত, এর অক্ষ হল সরলরেখা $x = - \alpha$। $a > 0$ এর জন্য, শীর্ষবিন্দু হল প্যারাবোলার সর্বনিম্ন বিন্দু, $a এর জন্য
আসুন এখন চতুর্ঘাতিক ত্রিনমিক নিয়ে একটি অধ্যয়ন করা যাক, অর্থাৎ, আমরা এর অভিব্যক্তি (1) সহগ $a, b, c$ এর সংখ্যাগত মানের উপর নির্ভর করে এর বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করব।

সমতায় (2") আমরা $b^2- 4ac$-কে $d$ দ্বারা চিহ্নিত করি:

$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ কে দ্বিঘাত ত্রিনামীর বৈষম্য বলা হয়। ত্রিনয়কের বৈশিষ্ট্য (1) (এবং এর গ্রাফের অবস্থান) বৈষম্যকারী $d$ এবং অগ্রণী সহগ $a$ এর চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়।

1) $a > 0, d 0$; যেহেতু $a > 0$, তাহলে গ্রাফটি শীর্ষবিন্দুর উপরে অবস্থিত $O^( \prime)$; এটি উপরের অর্ধেক প্লেনে অবস্থিত ($y > 0$ - চিত্র ক।)।

2) $a
3) $a > 0, d > 0$। শীর্ষবিন্দু $O^( \prime)$ $Ox$ অক্ষের নীচে অবস্থিত, প্যারাবোলা $Ox$ অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে $x_1, x_2$ (চিত্র c.)।

4) $a 0$। শীর্ষবিন্দু $O^( \prime)$ $Ox$ অক্ষের উপরে অবস্থিত, প্যারাবোলা আবার $Ox$ অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে $x_1, x_2$ (চিত্র d)।

5) $a > 0, d = 0$। শীর্ষবিন্দুটি $Ox$ অক্ষের উপরেই অবস্থিত, প্যারাবোলা উপরের অর্ধেক সমতলে অবস্থিত (চিত্র e)।

6) $a
উপসংহার যদি $d 0$), বা কম (যদি $a
যদি $d > 0$, তাহলে ফাংশনটি পর্যায়ক্রমে হয় (গ্রাফটি আংশিকভাবে নিচে এবং আংশিকভাবে $Ox$ অক্ষের উপরে)। $d > 0$ সহ একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের দুটি মূল (শূন্য) $x_1, x_2$ আছে। $a > 0$ এর জন্য এটি মূলের (চিত্র c) মধ্যে ব্যবধানে ঋণাত্মক এবং এই ব্যবধানের বাইরে ধনাত্মক। $a এ

পরিচায়ক মন্তব্য এবং সহজ উদাহরণ

উদাহরণ 1. a এর কোন মানের জন্য সমীকরণ ax 2 + 2x + 1 = 0 এর দুটি ভিন্ন মূল আছে?

সমাধান।

এই সমীকরণটি a এর জন্য x চলকের সাপেক্ষে দ্বিঘাত№ 0 এবং বিভিন্ন শিকড় আছে যখন এটি বৈষম্যমূলক

যেমন একটি জন্য< 1.

উপরন্তু, যখন a = 0, সমীকরণ 2x + 1 = 0 পাওয়া যায়, যার একটি মূল আছে।

এইভাবে, একটি O (– Ґ; 0) এবং (0; 1)।

নিয়ম 1। দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীর x 2 এর সহগটিতে একটি পরামিতি থাকলে, এটি অদৃশ্য হয়ে গেলে কেসটি বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 2. সমীকরণ ax 2 + 8x + c = 0 এর একটি একক মূল 1 এর সমান। a এবং c কিসের সমান?

সমাধান। এর সাথে সমস্যার সমাধান শুরু করা যাক বিশেষ অনুষ্ঠান a = 0, সমীকরণটি 8x + c = 0। এই রৈখিক সমীকরণটির c = – 8 এর জন্য x 0 = 1 সমাধান রয়েছে।

যখন একটি না. 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি একক মূল আছে যদি

উপরন্তু, সমীকরণে root x 0 = 1 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা a + 8 + c = 0 পাব।

দুই সিস্টেমের সমাধান রৈখিক সমীকরণ, আমরা a = c = – 4 খুঁজে পাই।

উপপাদ্য ঘ.

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত ত্রিনয়কের জন্য y = x 2 + px + q (ধরে নিলাম p 2і 4q)
মূলের যোগফল x 1 + x 2 = – p, মূলের গুণফল x 1 x 2 = q, মূলের পার্থক্য হল
এবং মূলের বর্গের সমষ্টি x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q।

উপপাদ্য 2।

দুইটি মূল x 1 এবং x 2 সহ y = ax 2 + bx + c দ্বিঘাত ত্রিনয়কের জন্য, আমাদের আছে
সম্প্রসারণ ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), একটি মূল x 0 - সম্প্রসারণ
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2।

মন্তব্য করুন। প্রায়শই, শূন্যের সমান বৈষম্য সহ দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে এবং সেই অনুযায়ী, একটি মূল, তারা বলে যে এটির দুটি সমার্থক মূল (?) রয়েছে। এটি উপপাদ্য 2 এ প্রদত্ত বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশনের সাথে সম্পর্কিত।(এই ক্ষেত্রে বলার এবং বোঝার সঠিক উপায় হল "একাধিক দুটির একটি মূল।" - এড।)

আমরা এই সূক্ষ্মতার দিকে মনোযোগ দেব এবং 2 গুণের একটি একক মূলের ক্ষেত্রে হাইলাইট করব।

উদাহরণ 3. সমীকরণ x 2 + ax + 12 = 0, এমনভাবে a নির্ধারণ করুন যাতে সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে পার্থক্য একটি সমান হয়।

সমাধান। মূল পার্থক্য
যেখান থেকে a = ± 7।

উদাহরণ 4. 2x 2 + 4x + a = 0 সমীকরণের মূলের বর্গক্ষেত্রের যোগফল 6 এর জন্য কিসের জন্য?

সমাধান। আকারে সমীকরণ লিখি
যেখান থেকে x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 এবং a = – 2।

উদাহরণ 5. সবকটির জন্য, সমীকরণ ax 2 – 2x + 4 = 0 সমাধান করুন।

সমাধান। যদি a = 0, তাহলে x = 2। যদি a№ 0, তাহলে সমীকরণটি দ্বিঘাত হয়ে যায়। এর বৈষম্যমূলক
D = 4 – 16a এর সমান। যদি ডি< 0, т. е. a > ,
সমীকরণের কোন সমাধান নেই। যদি D = 0, অর্থাৎ a = ,
x = 4. যদি D > 0, যেমন a< ,
সমীকরণ দুটি মূল আছে

চতুর্মুখী ত্রিনয়কের শিকড়ের অবস্থান

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা, এবং একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানগুলি হল অক্স অক্ষের সাথে এই প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলির অবসিসাস। এই বিভাগে সমস্ত সমস্যা সমাধানের ভিত্তি হল স্থানাঙ্ক সমতলে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্য সহ প্যারাবোলাগুলির অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন।

উদাহরণ 6. x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 সমীকরণের মূলে কিসের জন্য বিভিন্ন লক্ষণ?

সমাধান (চিত্র 1)।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের হয় কোন সমাধান নেই (গ্রাফটি D টাইপের একটি প্যারাবোলা), অথবা এক বা দুটি ধনাত্মক মূল (প্যারাবোলা সি) আছে, বা এক বা দুটি ঋণাত্মক মূল (প্যারাবোলা এ) আছে, বা বিভিন্ন চিহ্নের শিকড় রয়েছে (প্যারাবোলা) খ)।

এটা বোঝা সহজ যে শেষ ধরনের প্যারাবোলা, অন্যদের থেকে ভিন্ন, এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

এই সমাধানটি একটি সাধারণীকরণের অনুমতি দেয়, যা আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম হিসাবে প্রণয়ন করব।

নিয়ম 2. ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণের জন্য

x 1 এবং x 2 এর দুটি ভিন্ন মূল ছিল যেমন x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

উদাহরণ 7. কিসের জন্য a সমীকরণ x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 একই চিহ্নের দুটি ভিন্ন মূল আছে?

সমাধান। আমরা A এবং C প্রকারের প্যারাবোলাগুলিতে আগ্রহী (চিত্র 1 দেখুন)। তারা যে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

যেখান থেকে একটি O (– 6; – 2) এবং (3; + Ґ)।

উদাহরণ 8. কিসের জন্য a সমীকরণ x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 এর দুটি ভিন্ন ধনাত্মক মূল আছে?

সমাধান। আমরা চিত্রের টাইপ সি প্যারাবোলাতে আগ্রহী। 1.

সমীকরণের শিকড় থাকার জন্য, আমাদের প্রয়োজন

যেহেতু সমীকরণের উভয় শিকড় অবশ্যই শর্ত অনুসারে ধনাত্মক হতে হবে, শিকড়ের মধ্যে থাকা প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর অ্যাবসিসা ধনাত্মক: x 0 = a > 0।

ভার্টেক্স অর্ডিনেট f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, তারপর, অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনের ধারাবাহিকতার কারণে, একটি বিন্দু x 1 আছেসম্পর্কিত (0; x 0) যেমন f(x 1) = 0। স্পষ্টতই, এটি সমীকরণের একটি ছোট মূল।

সুতরাং, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, এবং সমস্ত শর্ত একসাথে রাখলে, আমরা সিস্টেমটি পাই

সমাধানের সাথে একটি O (3; + Ґ)।

উদাহরণ 9. কিসের জন্য a সমীকরণ x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 এর দুটি ভিন্ন ঋণাত্মক মূল আছে?

সমাধান। ডুমুর এ টাইপ A প্যারাবোলাস অধ্যয়ন করে। 1, আমরা সিস্টেম পেতে

যেখান থেকে একটি O (– 6; – 2)।

আসুন আমরা নিম্নলিখিত নিয়মের আকারে পূর্ববর্তী সমস্যার সমাধানকে সাধারণীকরণ করি।

নিয়ম 3. ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণের জন্য দুটি ভিন্ন মূল x 1 এবং x 2, যার প্রতিটি M এর চেয়ে বড় (এর চেয়ে কম), এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট

উদাহরণ 10. ফাংশন f(x) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য সমীকরণ f(x) = 0 এর অন্তত একটি সমাধান রয়েছে।

সমাধান। একটি প্রদত্ত সমীকরণের সমস্ত সম্ভাব্য সমাধান একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসাবে প্রাপ্ত হয়

x 2 – (4a + 14) x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

অতিরিক্ত শর্ত সহ যে অন্তত একটি (স্পষ্টতই বড়) রুট x 2আমি একটি.

স্বাভাবিকভাবেই, সমীকরণের শিকড় থাকার জন্য, এটি অবশ্যই = – 5(a + 2) হতে হবে і 0,
যেখান থেকে একটি Ј – 2।

নির্বাচিত সমীকরণের বাম দিকের গ্রাফটি হল একটি প্যারাবোলা, যার শীর্ষবিন্দুর অ্যাবসিসা হল x 0 = 2a + 7। সমস্যার সমাধান দুটি ধরণের প্যারাবোলা (চিত্র 2) দ্বারা দেওয়া হয়েছে।

A: x 0 i a, যেখান থেকে a i – 7. এই ক্ষেত্রে, বহুপদীর বড় মূল হল x 2 i x 0 i a.

বি: x 0< a, f(a) Ј 0, কোথা থেকে .
এই ক্ষেত্রেও বহুপদীর বড় মূল হল x 2আমি একটি.

অবশেষে .

একটি বৈষম্যের তিনটি সমাধান

উদাহরণ 11. প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য অসমতা x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

সম্পাদিত:

1) x এর সমস্ত মানের জন্য;
2) x এর সমস্ত ইতিবাচক মানের জন্য;
3) x এর সমস্ত মানের জন্যও [– 1; 1]।

সমাধান।

প্রথম উপায়.

1) স্পষ্টতই, বৈষম্যকারী নেতিবাচক হলে এই অসমতা সমস্ত x এর জন্যই ধারণ করে, যেমন

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,

যেখান থেকে একটি >।

2) সমস্যা বিবৃতিতে কী প্রয়োজন তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আসুন একটি সাধারণ কৌশল ব্যবহার করি: স্থানাঙ্ক সমতলে কিছু প্যারাবোলা আঁকুন এবং তারপরে Oy অক্ষের সাথে সম্পর্কিত বাম অর্ধ-বিমানটি নিন এবং বন্ধ করুন। প্যারাবোলার যে অংশটি দৃশ্যমান থাকে সেটি অবশ্যই অক্স অক্ষের উপরে হতে হবে।

সমস্যার অবস্থা দুটি ক্ষেত্রে সন্তুষ্ট (চিত্র 3 দেখুন):

< 0, откуда a > ;

B: x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 সমীকরণের উভয় মূল (হয়তো একটি, কিন্তু দ্বিগুণ) উৎপত্তির বাম দিকে রয়েছে। নিয়ম 3 অনুসারে, এই শর্তটি অসমতা ডি সিস্টেমের সমতুল্যі 0, x 0 Ј 0 এবং f(0) і 0।

যাইহোক, এই সিস্টেমটি সমাধান করার সময়, প্রথম অসমতা বাদ দেওয়া যেতে পারে, যেহেতু কিছু মান a শর্ত D পূরণ না করলেওі 0, তারপর এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে বিন্দু A এর সমাধানে পড়ে। এভাবে, আমরা সিস্টেমটি সমাধান করি

যেখান থেকে একটি Ј – 3।

A এবং B বিন্দুর সমাধানগুলিকে একত্রিত করলে আমরা পাই

উত্তর:

3) সমস্যার অবস্থা তিনটি ক্ষেত্রে সন্তুষ্ট (চিত্র 4 দেখুন):

A: ফাংশনের গ্রাফটি y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 অক্স অক্ষের উপরে অবস্থিত, যেমন D< 0, откуда a > ;

B: x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 সমীকরণের উভয় মূল (হয়তো একাধিক 2-এর মধ্যে একটি) – 1-এর বামদিকে রয়েছে। এই শর্তটি সমতুল্য, যেমনটি আমরা নিয়ম 3 থেকে সিস্টেমে জানি। অসমতা ডিі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 সমীকরণের উভয় মূলই 1 এর ডানদিকে রয়েছে।
এই অবস্থা ডি এর সমতুল্য i 0, x 0 > 1, f(1) > 0।

যাইহোক, বি এবং সি পয়েন্টে, সেইসাথে পূর্বের সমস্যা সমাধানে, বৈষম্যকারীর সাথে সম্পর্কিত অসমতা বাদ দেওয়া যেতে পারে।

তদনুসারে, আমরা বৈষম্যের দুটি সিস্টেম পাই

সমস্ত ক্ষেত্রে বিবেচনা করে, আমরা ফলাফল পেতে পারি: একটি >
বিন্দু
সি তে
সমস্যার উত্তর এই তিনটি সেটের মিলন।

দ্বিতীয় উপায়। সমস্যার তিনটি পয়েন্টের প্রতিটির শর্ত পূরণ করার জন্য, ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 প্রতিটি সংশ্লিষ্ট ব্যবধানে অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

1) প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 বিন্দুতে (a; 2a – 3), তাই সমগ্র সংখ্যা রেখায় ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হল 2a – 3, এবং a >

2) অর্ধ-অক্ষের উপর x i 0 ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হল f(0) = a 2 + 2a – 3, যদি a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. উভয় ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ, আমরা পেতে

3) অংশে সবচেয়ে ছোট [– 1; 1] ফাংশনের মান হল

যেহেতু ক্ষুদ্রতম মানটি অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে, তাই আমরা অসমতার সিস্টেমগুলি পাই

এই তিনটি সিস্টেমের সমাধান একটি সেট

তৃতীয় উপায়। 1) প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

বিন্দুতে অবস্থিত (a; 2a – 3)। আসুন আমরা স্থানাঙ্ক সমতলে একটি সেট আঁকি যা বিভিন্ন a (চিত্র 5) এর জন্য সমস্ত প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু দ্বারা গঠিত হয়।

এটি হল লাইন y = 2x – 3। আমাদের মনে করা যাক যে এই লাইনের প্রতিটি বিন্দুর নিজস্ব প্যারামিটার মান রয়েছে এবং এই লাইনের প্রতিটি বিন্দু থেকে একটি প্যারাবোলা "আউট হয়", অনুরূপ। প্রদত্ত মানপ্যারামিটার সম্পূর্ণরূপে অক্স অক্ষের উপরে থাকা প্যারাবোলাগুলি 2a – 3 > 0 শর্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

2) এই বিন্দুর সমাধানগুলি হল প্রথম বিন্দুর সমস্ত সমাধান, এবং উপরন্তু, প্যারাবোলা যার জন্য a নেতিবাচক, এবং f(0) = a 2 + 2a – 3і 0.

3) চিত্র থেকে। 5 এটা স্পষ্ট যে আমরা প্যারাবোলাগুলিতে আগ্রহী যার জন্য হয় a নেতিবাচক এবং f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
অথবা a ধনাত্মক এবং f(1) = a 2 – 2 > 0।

সমীকরণ এবং বৈষম্য যেগুলিকে দ্বিগুণে কমিয়ে দেয়৷

উদাহরণ 12. a এর কোন মানের জন্য 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 সমীকরণের কোন সমাধান নেই?

সমাধান। y = x 2 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা চতুর্মুখী সমীকরণ f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0 পাই।

ফলস্বরূপ সমীকরণের কোন সমাধান নেই যখন D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

এই শর্তগুলি একটি সেট হিসাবে লেখা যেতে পারে

কোথায়

উদাহরণ 13. a প্যারামিটারের প্রতিটি মানের জন্য cos x sin 2x = asin 3x সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান। যেহেতু 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x এবং sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

তাহলে সমীকরণটি লেখা হবে sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0।

এখান থেকে আমরা x = সমাধান পাই p n, n O Z যেকোন ক. সমীকরণটি

সমাধান আছে

প্রথম সমীকরণের সমাধানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, শুধুমাত্র শর্তের অধীনে

পরবর্তী সীমাবদ্ধতা সমতুল্য

উত্তরঃ x = p n, n O যে কোন একটি জন্য Z; এছাড়া,

উদাহরণ 14. একটি প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য অসমতা
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 যেকোনো সংখ্যা x এর জন্য ধরে।

সমাধান। আসুন অসমতাকে রূপান্তর করি cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

এবং প্রতিস্থাপন করুন t = cos x। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে প্যারামিটার টি - 1 থেকে 1 পর্যন্ত, তাই সমস্যাটি নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে: সমস্ত খুঁজে বের করুন

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

সব টি জন্য ঝুলিতেসম্পর্কিত [- 1; 1]। আমরা আগেই এই সমস্যার সমাধান করেছি।

উদাহরণ 15. একটি সমীকরণ লগ 3 (9 x + 9a 3) = x এর কোন মানের জন্য সমাধান আছে তা নির্ধারণ করুন এবং সেগুলি খুঁজুন।

সমাধান। আসুন সমীকরণটিকে 9 x – 3 x + 9a 3 = 0 ফর্মে রূপান্তর করি

এবং, y = 3 x প্রতিস্থাপন করলে, আমরা y 2 – y + 9a 3 = 0 পাব।

বৈষম্যকারী নেতিবাচক হলে, সমীকরণের কোন সমাধান নেই। যখন বৈষম্যকারী

D = 1 – 36a 3 = 0, সমীকরণটির একটি একক মূল আছে,
এবং x = – লগ 3 2. অবশেষে, যখন বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়, যেমন,
মূল সমীকরণের একটি মূল আছে ,
এবং যদি, উপরন্তু, অভিব্যক্তি 1 ইতিবাচক হয়,
তারপর সমীকরণের একটি দ্বিতীয় মূল আছে .

সুতরাং, আমরা অবশেষে পেতে

,

অবশিষ্ট একটি জন্য কোন সমাধান আছে.

উদাহরণ 16. a প্যারামিটারের প্রতিটি মানের জন্য, sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান। কারণ
sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0 আকারে সমীকরণটি আবার লিখি।
ধরুন y = sin 2x, তারপর y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 ( | y |জে 1)।

সমীকরণের বাম দিকে ফাংশনের গ্রাফটি একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি প্যারাবোলা যার অবসিসা হল y 0 = 1; y = – 1 বিন্দুতে ফাংশনের মান হল 1 – 2a; সমীকরণের বৈষম্যকারী হল 8a + 12। এর মানে হল y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 সমীকরণের বৃহত্তর রুট y 2, এমনকি এটি বিদ্যমান থাকলেও, 1-এর চেয়ে বড় এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণ sin 2x = y 2 এর কোন সমাধান নেই। 3. a এর কোন মানের জন্য 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 সমীকরণের অন্তত একটি মূল আছে?
4. সমীকরণ ax 2 + bx + 5 = 0 এর একটি একক মূল 1 এর সমান। a এবং b কি সমান?
5. প্যারামিটার a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি 5x 2 – 7x + a = 0 2 থেকে 5 হিসাবে সম্পর্কিত?
6. সমীকরণ ax 2 + 8x + 3 = 0, a নির্ধারণ করুন যাতে সমীকরণের মূলের মধ্যে পার্থক্য একের সমান হয়।
7. সমীকরণ x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 সমান 20 এর মূলের বর্গক্ষেত্রের যোগফল কিসের জন্য?
8. কিসের জন্য b এবং c সমীকরণ c + bx – 2x 2 = 0 এর একটি ধনাত্মক এবং একটি ঋণাত্মক মূল আছে?
9. প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য সমীকরণ x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 এর একটি মূল a এর থেকে বড় এবং অন্যটি a এর চেয়ে কম।
10. প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য সমীকরণ x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 একই চিহ্নের দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে।
11. a এর কোন মানের জন্য সমীকরণের (a – 3) x 2 – 2ax + 6a = 0 ধনাত্মক সমস্ত ফলের মূল?
12. সমীকরণের (1 + a) x 2 – 3ax + 4a = 0 1 এর চেয়ে বড় সমস্ত ফলমূল মূল কিসের জন্য?
13. প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য x 2 + x + a = 0 সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূলই a থেকে বড়।
14. 4x 2 – 2x + a = 0 সমীকরণের উভয় মূলের জন্য a এর কোন মানের জন্য – 1 এবং 1 এর মধ্যে রয়েছে?
15. a-এর কোন মানের জন্য x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 সমীকরণটির অন্তত একটি ধনাত্মক মূল আছে?
16. ফাংশন f(x) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য সমীকরণ f(x) = 0 এর অন্তত একটি সমাধান রয়েছে।
17. কিসের জন্য a অসমতা (a 2 – 1) x 2 + 2 (a – 1) x + 2 > 0 সকল x এর জন্য সত্য?
18. a প্যারামিটারের কোন মানের জন্য অসমতা ax 2 + 2x > 1 – 3a সব ধনাত্মক x এর জন্য ধরে?
19. a এর কোন মানের জন্য x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 সমীকরণের কোন সমাধান নেই?
20. a প্যারামিটারের কোন মানের জন্য 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 সমীকরণের এক বা দুটি সমাধান আছে?
21. a এর প্রতিটি মানের জন্য, acos x cos 2x = cos 3x সমীকরণটি সমাধান করুন।
22. a প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য অসমতা cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. সবকটির জন্য, লগ 2 (4 x + a) = x সমীকরণটি সমাধান করুন।
24. a প্যারামিটারের প্রতিটি মানের জন্য, sin 2 x + asin 2 2x = sin সমীকরণটি সমাধান করুন।