একটি সমান্তরাল পাইপড হল একটি প্রিজম যার ভিত্তিগুলি সমান্তরালগ্রাম। এই ক্ষেত্রে, সমস্ত প্রান্ত হবে সমান্তরালগ্রাম.
প্রতিটি সমান্তরাল পাইপকে তিনটি সহ একটি প্রিজম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ভিন্ন পথ, যেহেতু প্রতিটি দুটি বিপরীত মুখকে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে (চিত্র 5-এ, ABCD এবং A"B"C"D", বা ABA"B" এবং CDC"D", বা VSV"C" এবং ADA"D") .
প্রশ্নে থাকা দেহটির বারোটি প্রান্ত রয়েছে, চারটি সমান এবং একে অপরের সমান্তরাল।
উপপাদ্য 3
. একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণ একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তাদের প্রতিটির মাঝখানের সাথে মিলে যায়।
সমান্তরাল পাইপযুক্ত ABCDA"B"C"D" (চিত্র 5) এর চারটি কর্ণ AC", BD", CA, DB" রয়েছে। আমাদের অবশ্যই প্রমাণ করতে হবে যে তাদের যেকোন দুটির মধ্যবিন্দু, যেমন AC এবং BD" মিলে যায়৷ এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ABC"D" চিত্রটি, যার সমান এবং সমান্তরাল বাহু রয়েছে AB এবং C"D", একটি সমান্তরালগ্রাম।
সংজ্ঞা 7
. একটি ডান প্যারালেলেপিপড হল একটি প্যারালেলেপিপড যা একটি সরল প্রিজম, অর্থাৎ, একটি সমান্তরাল নালী যার পাশের প্রান্তগুলি বেসের সমতলে লম্ব।
সংজ্ঞা 8
. একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল একটি ডান সমান্তরাল পাইপ যার ভিত্তি একটি আয়তক্ষেত্র। এই ক্ষেত্রে, এর সমস্ত মুখ আয়তক্ষেত্র হবে।
আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্তএকটি সরল প্রিজমের প্রতিনিধিত্ব করে, আমরা এর যে কোন মুখগুলোকে ভিত্তি হিসেবে নিই না কেন, যেহেতু এর প্রতিটি প্রান্ত একই শীর্ষবিন্দু থেকে বের হওয়া প্রান্তের সাথে লম্ব, এবং তাই, এই প্রান্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত মুখগুলির সমতলগুলির সাথে লম্ব হবে . বিপরীতে, একটি সোজা, কিন্তু আয়তক্ষেত্রাকার নয়, সমান্তরাল পাইপকে শুধুমাত্র একটি উপায়ে ডান প্রিজম হিসাবে দেখা যেতে পারে।
সংজ্ঞা 9
. একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের তিনটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য, যার মধ্যে দুটিই একে অপরের সমান্তরাল নয় (উদাহরণস্বরূপ, একই শীর্ষবিন্দু থেকে তিনটি প্রান্ত উদ্ভূত), তাকে এর মাত্রা বলা হয়। অনুরূপভাবে সমান মাত্রা বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালপিপ স্পষ্টতই একে অপরের সমান।
সংজ্ঞা 10
.একটি ঘনক হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল, যার তিনটি মাত্রাই একে অপরের সমান, যাতে এর সমস্ত মুখ বর্গাকার। দুটি ঘনক্ষেত্র যার প্রান্ত সমান সমান। 
সংজ্ঞা 11
. আনত সমান্তরাল পাইপড, যেখানে সমস্ত প্রান্ত একে অপরের সমান এবং সমস্ত মুখের কোণগুলি সমান বা পরিপূরক, তাকে রম্বোহেড্রন বলে।
একটি রম্বোহেড্রনের সমস্ত মুখ সমান রম্বস। (কিছু স্ফটিক একটি রম্বোহেড্রন আকৃতি আছে, আছে তাত্পর্যপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, আইসল্যান্ড স্পার স্ফটিক।) একটি রম্বোহেড্রনে আপনি একটি শীর্ষবিন্দু (এবং এমনকি দুটি বিপরীত শীর্ষবিন্দু) খুঁজে পেতে পারেন যাতে এটির সংলগ্ন সমস্ত কোণ একে অপরের সমান।
উপপাদ্য 4
. একটি আয়তাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণ পরস্পর সমান। তির্যকের বর্গ তিনটি মাত্রার বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল ABCDA"B"C"D" (চিত্র 6) এ, কর্ণ AC" এবং BD" সমান, যেহেতু চতুর্ভুজ ABC"D" একটি আয়তক্ষেত্র (সরলরেখা AB সমতল ECB-তে লম্ব" C", যার মধ্যে BC মিথ্যা")।
উপরন্তু, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 কর্ণের বর্গ সম্পর্কে উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে। কিন্তু একই উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; তাই আমরা আছে:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2।
আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের ভলিউম এবং অন্যান্য অজানা পরামিতিগুলি খুঁজে পেতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে হাই স্কুলের শিক্ষার্থীদের জন্য এটি কার্যকর হবে। পূর্ববর্তী বছরের অভিজ্ঞতা নিশ্চিত করে যে এই ধরনের কাজগুলি অনেক স্নাতকের জন্য বেশ কঠিন।
একই সময়ে, যে কোনও স্তরের প্রশিক্ষণ সহ উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের বোঝা উচিত কীভাবে আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের আয়তন বা ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া যায়। শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে তারা গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার ফলাফলের উপর ভিত্তি করে প্রতিযোগিতামূলক স্কোর প্রাপ্তির উপর নির্ভর করতে সক্ষম হবে।
আপনার ক্লাস সহজ এবং যতটা সম্ভব কার্যকর করতে, আমাদের গণিত পোর্টাল নির্বাচন করুন। এখানে আপনি সব পাবেন প্রয়োজনীয় উপাদান, যা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির পর্যায়ে প্রয়োজন হবে।
Shkolkovo শিক্ষামূলক প্রকল্পের বিশেষজ্ঞরা সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত যাওয়ার প্রস্তাব দেন: প্রথমে আমরা তত্ত্ব, মৌলিক সূত্র এবং সমাধান সহ প্রাথমিক সমস্যাগুলি দিই এবং তারপরে ধীরে ধীরে বিশেষজ্ঞ-স্তরের কাজগুলিতে এগিয়ে যান। আপনি অনুশীলন করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, এর সাথে।
আপনি "তাত্ত্বিক তথ্য" বিভাগে প্রয়োজনীয় মৌলিক তথ্য পাবেন। এছাড়াও আপনি অবিলম্বে অনলাইনে "আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপড" বিষয়ে সমস্যার সমাধান শুরু করতে পারেন। "ক্যাটালগ" বিভাগটি উপস্থাপন করে বড় নির্বাচনঅনুশীলন বিভিন্ন ডিগ্রী থেকেঅসুবিধা টাস্ক ডাটাবেস নিয়মিত আপডেট করা হয়.
আপনি এই মুহূর্তে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন সহজেই খুঁজে পাচ্ছেন কিনা দেখুন। যেকোনো কাজ বিশ্লেষণ করুন। ব্যায়াম আপনার জন্য সহজ হলে, আরো এগিয়ে যান জটিল কাজ. এবং যদি কিছু অসুবিধা দেখা দেয়, আমরা সুপারিশ করি যে আপনি আপনার দিনটি এমনভাবে পরিকল্পনা করুন যাতে আপনার সময়সূচীতে শকোলকোভো রিমোট পোর্টালের সাথে ক্লাস অন্তর্ভুক্ত থাকে।
সংজ্ঞা
পলিহেড্রনআমরা বহুভুজ দ্বারা গঠিত এবং স্থানের একটি নির্দিষ্ট অংশকে আবদ্ধ করে একটি বদ্ধ পৃষ্ঠকে বলব।
এই বহুভুজের বাহুগুলিকে বলা হয় পাঁজরপলিহেড্রন, এবং বহুভুজ নিজেই প্রান্ত. বহুভুজের শীর্ষবিন্দুকে বলা হয় পলিহেড্রন শীর্ষবিন্দু।
আমরা শুধুমাত্র উত্তল পলিহেড্রন বিবেচনা করব (এটি একটি পলিহেড্রন যা প্রতিটি সমতলের একপাশে যার মুখ রয়েছে)।
যে বহুভুজগুলি একটি পলিহেড্রন তৈরি করে তার পৃষ্ঠটি তৈরি করে। স্থানের যে অংশটি একটি প্রদত্ত পলিহেড্রন দ্বারা আবদ্ধ থাকে তাকে এর অভ্যন্তর বলা হয়।
সংজ্ঞা: প্রিজম
সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত দুটি সমান বহুভুজ \(A_1A_2A_3...A_n\) এবং \(B_1B_2B_3...B_n\) বিবেচনা করুন যাতে অংশগুলি \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)সমান্তরাল বহুভুজ \(A_1A_2A_3...A_n\) এবং \(B_1B_2B_3...B_n\) , সেইসাথে সমান্তরালগ্রাম দ্বারা গঠিত একটি পলিহেড্রন \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), বলা হয় (\(n\)-গোনাল) প্রিজম.
বহুভুজ \(A_1A_2A_3...A_n\) এবং \(B_1B_2B_3...B_n\) বলা হয় প্রিজম বেস, সমান্তরালগ্রাম \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- পাশের মুখ, অংশ \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- পার্শ্বীয় পাঁজর।
সুতরাং, প্রিজমের পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি একে অপরের সমান্তরাল এবং সমান।
আসুন একটি উদাহরণ দেখি - একটি প্রিজম \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), যার গোড়ায় রয়েছে একটি উত্তল পঞ্চভুজ।
উচ্চতাপ্রিজম হল একটি লম্ব যা একটি ভিত্তির যেকোনো বিন্দু থেকে অন্য ভিত্তির সমতলে নেমে যায়।
যদি পাশের প্রান্তগুলি ভিত্তির সাথে লম্ব না হয় তবে এই ধরনের প্রিজম বলা হয় ঝোঁক(চিত্র 1), অন্যথায় - সোজা. একটি সোজা প্রিজমে, পাশের প্রান্তগুলি উচ্চতা এবং পাশের মুখগুলি সমান আয়তক্ষেত্র।
যদি একটি নিয়মিত বহুভুজ একটি সরল প্রিজমের গোড়ায় থাকে, তাহলে তাকে প্রিজম বলা হয় সঠিক.
সংজ্ঞা: আয়তনের ধারণা
আয়তন পরিমাপের একক হল একটি একক ঘনক (একটি ঘনক পরিমাপক \(1\times1\times1\) একক\(^3\), যেখানে একক পরিমাপের একটি নির্দিষ্ট একক)।
আমরা বলতে পারি যে একটি পলিহেড্রনের আয়তন হল এই পলিহেড্রন সীমাবদ্ধ স্থানের পরিমাণ। অন্যথায়: এটি এমন একটি পরিমাণ যার সংখ্যাসূচক মান দেখায় যে একটি একক ঘনক এবং এর অংশগুলি একটি প্রদত্ত পলিহেড্রনে কতবার ফিট করে।
আয়তনের ক্ষেত্রের মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1. সমান পরিসংখ্যানের আয়তন সমান।
2. যদি একটি পলিহেড্রন বেশ কয়েকটি অ ছেদহীন পলিহেড্রা দিয়ে গঠিত হয়, তাহলে এর আয়তন এই পলিহেড্রার আয়তনের সমষ্টির সমান।
3. আয়তন একটি অ-ঋণাত্মক পরিমাণ।
4. আয়তন পরিমাপ করা হয় cm\(^3\) (ঘন সেন্টিমিটার), m\(^3\) ( কিউবিক মিটার) ইত্যাদি
উপপাদ্য
1. প্রিজমের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বেসের পরিধি এবং প্রিজমের উচ্চতার গুণফলের সমান।
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল প্রিজমের পার্শ্বীয় মুখগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি।
2. প্রিজম আয়তন পণ্যের সমানপ্রিজম উচ্চতা প্রতি ভিত্তি এলাকা: \
সংজ্ঞা: সমান্তরাল পাইপড
সমান্তরাল পাইপডএকটি প্রিজম যার ভিত্তি একটি সমান্তরাল বৃত্ত।
সমান্তরালপাতার সমস্ত মুখ (এখানে \(6\): \(4\) পাশের মুখ এবং \(2\) ভিত্তিগুলি) সমান্তরালগ্রাম, এবং বিপরীত মুখগুলি (পরস্পরের সমান্তরাল) সমান সমান্তরাল (চিত্র 2) .
একটি সমান্তরাল পাইপ এর তির্যকএকটি সমান্তরাল পাইপের দুটি শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে এমন একটি অংশ যা একই মুখের উপর থাকে না (এগুলির মধ্যে \(8\) রয়েছে: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)ইত্যাদি)।
আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্তএটির গোড়ায় একটি আয়তক্ষেত্র সহ একটি ডান সমান্তরাল পাইপ।
কারণ যেহেতু এটি একটি ডান সমান্তরাল, পাশের মুখগুলি আয়তক্ষেত্র। এর মানে হল যে সাধারণভাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের সমস্ত মুখই আয়তক্ষেত্র।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের সমস্ত কর্ণ সমান (এটি ত্রিভুজের সমতা থেকে অনুসরণ করে \(\ত্রিভুজ ACC_1=\ত্রিভুজ AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)ইত্যাদি)।
মন্তব্য করুন
এইভাবে, একটি সমান্তরাল পাইপে একটি প্রিজমের সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
উপপাদ্য
একটি আয়তাকার সমান্তরাল পাইপ এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \
বর্গক্ষেত্র সম্পূর্ণ পৃষ্ঠআয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ এর সমান \
উপপাদ্য
একটি কিউবয়েডের আয়তন একটি শীর্ষবিন্দু থেকে উদ্ভূত এর তিনটি প্রান্তের গুণফলের সমান (ঘনক্ষেত্রের তিনটি মাত্রা): \
প্রমাণ
কারণ একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালে, পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি ভিত্তির সাথে লম্ব হয়, তারপর তারা এর উচ্চতাও হয়, অর্থাৎ, \(h=AA_1=c\) কারণ ভিত্তি একটি আয়তক্ষেত্র, তারপর \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). এই সূত্র থেকে আসে.
উপপাদ্য
একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের তির্যক \(d\) সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যায় (যেখানে \(a,b,c\) সমান্তরাল পাইপের মাত্রা) \
প্রমাণ
এর Fig তাকান. 3. কারণ ভিত্তিটি একটি আয়তক্ষেত্র, তারপর \(\ত্রিভুজ ABD\) আয়তক্ষেত্রাকার, তাই, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\)।
কারণ সমস্ত পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি ঘাঁটিগুলির সাথে লম্ব হয়, তারপর \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)এই সমতলে যেকোন সরলরেখায় লম্ব, অর্থাৎ \(BB_1\perp BD\)। এর মানে হল যে \(\triangle BB_1D\) আয়তক্ষেত্রাকার। তারপর, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
সংজ্ঞা: ঘনক
কিউবএকটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল, যার সমস্ত মুখ সমান বর্গক্ষেত্র।
এইভাবে, তিনটি মাত্রা একে অপরের সমান: \(a=b=c\)। তাই নিম্নলিখিত সত্য
উপপাদ্য
1. প্রান্ত বিশিষ্ট একটি ঘনকের আয়তন \(a\) \(V_(\text(cube))=a^3\) এর সমান।
2. কিউবের তির্যক সূত্রটি \(d=a\sqrt3\) ব্যবহার করে পাওয়া যায়।
3. একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \(S_(\text(পূর্ণ ঘনক))=6a^2\).
জ্যামিতিতে, মূল ধারণাগুলি হল সমতল, বিন্দু, সরলরেখা এবং কোণ। এই পদগুলি ব্যবহার করে, আপনি যে কোনও জ্যামিতিক চিত্র বর্ণনা করতে পারেন। পলিহেড্রা সাধারণত আরও পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত হয় সহজ পরিসংখ্যান, যা একই সমতলে থাকে, যেমন একটি বৃত্ত, ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র ইত্যাদি। এই নিবন্ধে আমরা সমান্তরাল পাইপড কী তা দেখব, সমান্তরাল পাইপগুলির প্রকারগুলি, এর বৈশিষ্ট্যগুলি, এতে কী কী উপাদান রয়েছে তা বর্ণনা করব এবং প্রতিটি ধরণের সমান্তরালপিপের জন্য ক্ষেত্রফল এবং আয়তন গণনা করার জন্য প্রাথমিক সূত্রগুলিও দেব।
ত্রিমাত্রিক স্থানের সমান্তরাল পাইপ হল একটি প্রিজম, যার সমস্ত বাহু সমান্তরালগ্রাম। তদনুসারে, এটিতে শুধুমাত্র তিন জোড়া সমান্তরাল সমান্তরালগ্রাম বা ছয়টি মুখ থাকতে পারে।
একটি সমান্তরাল পাইপড কল্পনা করতে, একটি সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড ইট কল্পনা করুন। ইট - ভালো উদাহরণএকটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ যা এমনকি একটি শিশু কল্পনা করতে পারে। অন্যান্য উদাহরণ বহুতল অন্তর্ভুক্ত প্যানেল ঘর, ক্যাবিনেট, স্টোরেজ পাত্রে খাদ্য পণ্যউপযুক্ত ফর্ম, ইত্যাদি
শুধুমাত্র দুটি ধরনের সমান্তরাল পাইপড আছে:
সমান্তরাল পাইপডের প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের সূত্র ভিন্ন হবে।
একটি নির্বিচারে সমান্তরাল পাইপের জন্য, এটি সত্য যে এর আয়তন একটি শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত তিনটি বাহুর ভেক্টরের ট্রিপল স্কেলার গুণফলের পরম মানের সমান। যাইহোক, একটি নির্বিচারে সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন গণনা করার জন্য কোন সূত্র নেই।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলি প্রযোজ্য:
সমান্তরাল পাইপের আরেকটি বিশেষ ক্ষেত্রে যার সব বাহু বর্গাকার একটি ঘনক। যদি বর্গক্ষেত্রের যেকোন বাহুকে a অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়, তবে এই চিত্রটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে:
শেষ ধরনের সমান্তরাল পাইপ আমরা বিবেচনা করছি একটি সোজা সমান্তরাল পাইপড। একটি ডান সমান্তরাল এবং একটি কিউবয়েড মধ্যে পার্থক্য কি, আপনি জিজ্ঞাসা. আসল বিষয়টি হল যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালপিপের ভিত্তি যেকোনো সমান্তরালগ্রাম হতে পারে, কিন্তু একটি সরল সমান্তরালপিপের ভিত্তি শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্র হতে পারে। যদি আমরা বেসের পরিধি চিহ্নিত করি, যোগফলের সমান Po হিসাবে সব পক্ষের দৈর্ঘ্য, এবং উচ্চতা h অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়, আমরা পূর্ণ এবং পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের আয়তন এবং এলাকা গণনা করতে নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করার অধিকার রাখি।
খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতাব্দীতে প্রাচীন গ্রীক দার্শনিকইলিয়ার জেনো তার বিখ্যাত অ্যাপোরিয়াস তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ।" এখানে এটির মত শোনাচ্ছে:ধরা যাক অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দশগুণ দ্রুত দৌড়ায় এবং তার থেকে এক হাজার ধাপ পিছনে রয়েছে। এই দূরত্ব চালাতে অ্যাকিলিসের সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো ধাপ হামাগুড়ি দেবে। অ্যাকিলিস যখন একশো কদম দৌড়ায়, তখন কচ্ছপ আরও দশ ধাপ হামাগুড়ি দেয়, ইত্যাদি। প্রক্রিয়াটি অসীমভাবে চলতে থাকবে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপের সাথে ধরা দেবে না।
এই যুক্তি পরবর্তী সমস্ত প্রজন্মের জন্য একটি যৌক্তিক শক হয়ে ওঠে। অ্যারিস্টটল, ডায়োজেনিস, কান্ট, হেগেল, হিলবার্ট... তারা সকলেই জেনোর অপোরিয়াকে কোনো না কোনোভাবে বিবেচনা করতেন। ধাক্কাটা এতটাই শক্তিশালী ছিল যে " ...আলোচনা আজ অবধি চলছে, প্যারাডক্সের সারমর্ম সম্পর্কে একটি সাধারণ মতামতে পৌঁছানোর জন্য বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়এখন পর্যন্ত এটা সম্ভব হয়নি... গাণিতিক বিশ্লেষণ, সেট তত্ত্ব, নতুন ভৌত এবং দার্শনিক পদ্ধতি এই বিষয়ের অধ্যয়নের সাথে জড়িত ছিল; তাদের মধ্যে কোনটিই সমস্যার সাধারণভাবে গৃহীত সমাধান হয়ে ওঠেনি..."[উইকিপিডিয়া, "জেনো'স অ্যাপোরিয়া"। সবাই বোঝে যে তাদের বোকা বানানো হচ্ছে, কিন্তু কেউ বুঝতে পারে না যে প্রতারণা কিসের।
গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, জেনো তার অ্যাপোরিয়াতে পরিমাণ থেকে পরিবর্তিত হওয়ার বিষয়টি স্পষ্টভাবে দেখিয়েছেন। এই রূপান্তরটি স্থায়ীগুলির পরিবর্তে প্রয়োগকে বোঝায়। যতদূর আমি বুঝতে পারি, পরিমাপের পরিবর্তনশীল একক ব্যবহার করার জন্য গাণিতিক যন্ত্রটি এখনও তৈরি হয়নি, বা এটি জেনোর অ্যাপোরিয়াতে প্রয়োগ করা হয়নি। আমাদের স্বাভাবিক যুক্তি প্রয়োগ করা আমাদের একটি ফাঁদে নিয়ে যায়। আমরা, চিন্তার জড়তার কারণে, পারস্পরিক মূল্যে সময়ের ধ্রুবক একক প্রয়োগ করি। দৈহিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি অ্যাকিলিস কচ্ছপের সাথে ধরা পড়ার মুহুর্তে সম্পূর্ণরূপে থেমে না যাওয়া পর্যন্ত সময় ধীর হয়ে যাচ্ছে বলে মনে হচ্ছে। সময় থেমে গেলে, অ্যাকিলিস আর কাছিমকে ছাড়িয়ে যেতে পারবে না।
আমরা যদি আমাদের স্বাভাবিক যুক্তিকে ঘুরিয়ে দেখি, সবকিছু জায়গায় পড়ে। অ্যাকিলিস একটা স্থির গতিতে দৌড়ায়। তার পথের প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগেরটির চেয়ে দশগুণ ছোট। তদনুসারে, এটি কাটিয়ে উঠতে ব্যয় করা সময় আগেরটির চেয়ে দশগুণ কম। যদি আমরা এই পরিস্থিতিতে "অনন্ত" ধারণাটি প্রয়োগ করি, তবে এটি বলা সঠিক হবে "অ্যাকিলিস অসীমভাবে কচ্ছপটিকে ধরবে।"
কিভাবে এই যৌক্তিক ফাঁদ এড়াতে? সময়ের অবিচ্ছিন্ন এককগুলিতে থাকুন এবং পারস্পরিক এককগুলিতে স্যুইচ করবেন না। জেনোর ভাষায় এটি এইরকম দেখায়:
অ্যাকিলিসকে এক হাজার কদম ছুটতে যে সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো কদম হাঁটবে। পরের সময়ের ব্যবধানে প্রথমটির সমান, অ্যাকিলিস আরও হাজার কদম দৌড়াবে এবং কচ্ছপটি একশো ধাপ হাঁটবে। এখন অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে আটশো ধাপ এগিয়ে।
এই পদ্ধতিটি কোন যৌক্তিক প্যারাডক্স ছাড়াই বাস্তবতাকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করে। কিন্তু এটি সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান নয়। আলোর গতির অপ্রতিরোধ্যতা সম্পর্কে আইনস্টাইনের বিবৃতি জেনোর অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" এর সাথে খুব মিল। আমাদের এখনও এই সমস্যার অধ্যয়ন, পুনর্বিবেচনা এবং সমাধান করতে হবে। এবং সমাধানটি অসীমভাবে বড় সংখ্যায় নয়, পরিমাপের এককের মধ্যে চাওয়া উচিত।
জেনোর আরেকটি আকর্ষণীয় অ্যাপোরিয়া একটি উড়ন্ত তীর সম্পর্কে বলে:
একটি উড়ন্ত তীর গতিহীন, যেহেতু সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে এটি বিশ্রামে থাকে এবং যেহেতু এটি সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে বিশ্রামে থাকে, তাই এটি সর্বদা বিশ্রামে থাকে।
এই অপোরিয়াতে, লজিক্যাল প্যারাডক্সটি খুব সহজভাবে কাটিয়ে উঠেছে - এটি স্পষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে একটি উড়ন্ত তীর মহাকাশের বিভিন্ন পয়েন্টে বিশ্রামে থাকে, যা আসলে গতি। এখানে আরেকটি বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন। রাস্তায় একটি গাড়ির একটি ছবি থেকে এটির গতিবিধি বা এর দূরত্ব নির্ণয় করা অসম্ভব। একটি গাড়ি চলমান কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনার একই পয়েন্ট থেকে বিভিন্ন সময়ে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, কিন্তু আপনি তাদের থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারবেন না। একটি গাড়ির দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য, আপনার একটি সময়ে মহাকাশের বিভিন্ন বিন্দু থেকে তোলা দুটি ফটোগ্রাফের প্রয়োজন, কিন্তু সেগুলি থেকে আপনি গতিবিধির সত্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না (অবশ্যই, আপনার এখনও গণনার জন্য অতিরিক্ত ডেটা প্রয়োজন, ত্রিকোণমিতি আপনাকে সাহায্য করবে। ) আমি কি নির্দেশ করতে চাই বিশেষ মনোযোগ, সময়ের মধ্যে দুটি বিন্দু এবং স্থানের দুটি বিন্দু ভিন্ন জিনিস যা বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, কারণ তারা গবেষণার জন্য বিভিন্ন সুযোগ প্রদান করে।
সেট এবং মাল্টিসেটের মধ্যে পার্থক্যগুলি উইকিপিডিয়াতে খুব ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। দেখা যাক.
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "একটি সেটে দুটি অভিন্ন উপাদান থাকতে পারে না," কিন্তু যদি একটি সেটে অভিন্ন উপাদান থাকে তবে এই ধরনের সেটটিকে "মাল্টিসেট" বলা হয়। যুক্তিবাদী মানুষ কখনই এমন অযৌক্তিক যুক্তি বুঝবে না। এটি কথা বলা তোতাপাখি এবং প্রশিক্ষিত বানরের স্তর, যাদের "সম্পূর্ণ" শব্দটি থেকে কোনও বুদ্ধি নেই। গণিতবিদরা সাধারণ প্রশিক্ষক হিসাবে কাজ করে, আমাদের কাছে তাদের অযৌক্তিক ধারণাগুলি প্রচার করে।
এক সময় সেতু নির্মাণকারী প্রকৌশলীরা সেতু পরীক্ষা করার সময় সেতুর নিচে একটি নৌকায় ছিলেন। সেতুটি ভেঙে পড়লে তার সৃষ্টির ধ্বংসস্তূপের নিচে পড়ে মারা যান মধ্যম প্রকৌশলী। সেতুটি ভার সহ্য করতে পারলে মেধাবী প্রকৌশলী অন্যান্য সেতু নির্মাণ করেন।
গণিতবিদরা "মনে মনে, আমি ঘরে আছি" বা বরং, "গণিত বিমূর্ত ধারণাগুলি অধ্যয়ন করে" এই বাক্যাংশটির আড়ালে যেভাবেই লুকিয়ে থাকুক না কেন, সেখানে একটি নাভি আছে যা তাদের বাস্তবতার সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে সংযুক্ত করে। এই নাভি হল টাকা। প্রযোজ্য গাণিতিক তত্ত্বগণিতবিদদের নিজেরাই সেট করে।
আমরা গণিত খুব ভালভাবে অধ্যয়ন করেছি এবং এখন আমরা নগদ রেজিস্টারে বসে আছি, বেতন দিচ্ছি। তাই একজন গণিতবিদ তার অর্থের জন্য আমাদের কাছে আসেন। আমরা তার কাছে পুরো পরিমাণ গণনা করি এবং আমাদের টেবিলে বিভিন্ন স্তূপে রেখে দিই, যার মধ্যে আমরা একই মূল্যের বিল রাখি। তারপরে আমরা প্রতিটি গাদা থেকে একটি করে বিল নিই এবং গণিতবিদকে তার "বেতনের গাণিতিক সেট" দিই। আসুন আমরা গণিতবিদকে ব্যাখ্যা করি যে তিনি অবশিষ্ট বিলগুলি তখনই পাবেন যখন তিনি প্রমাণ করেন যে অভিন্ন উপাদান ছাড়া একটি সেট অভিন্ন উপাদানগুলির সাথে একটি সেটের সমান নয়। আনন্দের শুরু এখানেই.
প্রথমত, ডেপুটিদের যুক্তি কাজ করবে: "এটি অন্যদের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে, কিন্তু আমার ক্ষেত্রে নয়!" তারপরে তারা আমাদের আশ্বস্ত করতে শুরু করবে যে একই মূল্যের বিলগুলির বিভিন্ন বিল নম্বর রয়েছে, যার অর্থ তাদের একই উপাদান হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। ঠিক আছে, আসুন কয়েনে বেতন গণনা করি - মুদ্রায় কোন সংখ্যা নেই। এখানে গণিতবিদ উদাসীনভাবে পদার্থবিদ্যা মনে রাখতে শুরু করবেন: বিভিন্ন মুদ্রায় রয়েছে বিভিন্ন পরিমাণকাদা, স্ফটিক গঠনএবং প্রতিটি মুদ্রায় পরমাণুর বিন্যাস অনন্য...
এবং এখন আমি সবচেয়ে আছে আগ্রহ জিজ্ঞাসা করুন: কোন রেখাটি অতিক্রম করে যেখানে একটি মাল্টিসেটের উপাদানগুলি একটি সেটের উপাদানে পরিণত হয় এবং এর বিপরীতে? এই ধরনের একটি লাইন বিদ্যমান নেই - সবকিছু shamans দ্বারা স্থির করা হয়, বিজ্ঞান এমনকি এখানে মিথ্যা কাছাকাছি নয়।
এখানে দেখুন. আমরা একই মাঠের এলাকা দিয়ে ফুটবল স্টেডিয়াম নির্বাচন করি। ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি একই - যার অর্থ আমাদের একটি মাল্টিসেট রয়েছে। কিন্তু আমরা যদি এই একই স্টেডিয়ামগুলির নাম দেখি তবে আমরা অনেকগুলি পাই, কারণ নামগুলি আলাদা। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উপাদানগুলির একই সেট একটি সেট এবং একটি মাল্টিসেট উভয়ই। যা সঠিক? এবং এখানে গণিতবিদ-শামান-শার্পস্ট তার হাতা থেকে ট্রাম্পের টেক্কা বের করে এবং আমাদেরকে একটি সেট বা মাল্টিসেট সম্পর্কে বলতে শুরু করে। যাই হোক না কেন, তিনি আমাদের বোঝাবেন যে তিনি সঠিক।
আধুনিক শামানরা কীভাবে সেট তত্ত্বের সাথে কাজ করে, এটিকে বাস্তবের সাথে বেঁধে তা বোঝার জন্য, একটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যথেষ্ট: কীভাবে একটি সেটের উপাদানগুলি অন্য সেটের উপাদানগুলির থেকে আলাদা? আমি আপনাকে দেখাব, কোন "একক সমগ্র হিসাবে অনুমেয় নয়" বা "একক সমগ্র হিসাবে অনুমেয় নয়।"
একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল হল একটি খঞ্জনীর সাথে শামানদের একটি নৃত্য, যার সাথে গণিতের কোন সম্পর্ক নেই। হ্যাঁ, গণিতের পাঠে আমাদেরকে একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল খুঁজে বের করতে এবং এটি ব্যবহার করতে শেখানো হয়, কিন্তু সেই কারণেই তারা শামান, তাদের বংশধরদের তাদের দক্ষতা এবং প্রজ্ঞা শেখানোর জন্য, অন্যথায় শামানগুলি কেবল মারা যাবে।
আপনার কি প্রমাণ দরকার? উইকিপিডিয়া খুলুন এবং "একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল" পৃষ্ঠাটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। তার অস্তিত্ব নেই। গণিতে এমন কোনো সূত্র নেই যা দিয়ে যেকোনো সংখ্যার অঙ্কের যোগফল বের করা যায়। সর্বোপরি, সংখ্যাগুলি হল গ্রাফিক চিহ্ন যা দিয়ে আমরা সংখ্যাগুলি লিখি এবং গণিতের ভাষায় কাজটি এইরকম শোনায়: "যেকোন সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী গ্রাফিক চিহ্নগুলির সমষ্টি খুঁজুন।" গণিতবিদরা এই সমস্যার সমাধান করতে পারেন না, তবে শামানরা এটি সহজেই করতে পারেন।
একটি প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কের যোগফল বের করার জন্য আমরা কী এবং কীভাবে করি তা বের করা যাক। এবং তাই, আমাদের 12345 নম্বরটি দেওয়া যাক। এই সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল বের করার জন্য কী করা দরকার? এর ক্রম সব ধাপ বিবেচনা করা যাক.
1. কাগজের টুকরোতে সংখ্যাটি লিখুন। আমরা কি করলাম? আমরা সংখ্যাটিকে একটি গ্রাফিক্যাল সংখ্যা প্রতীকে রূপান্তরিত করেছি। এটি একটি গাণিতিক অপারেশন নয়।
2. আমরা একটি ফলস্বরূপ ছবিকে পৃথক সংখ্যা ধারণকারী কয়েকটি ছবিতে কেটে ফেলি। একটি ছবি কাটা একটি গাণিতিক অপারেশন নয়.
3. পৃথক গ্রাফিক চিহ্নকে সংখ্যায় রূপান্তর করুন। এটি একটি গাণিতিক অপারেশন নয়।
4. ফলাফল সংখ্যা যোগ করুন. এখন এটি গণিত।
12345 নম্বরের অঙ্কের যোগফল হল 15৷ এইগুলি হল "কাটিং এবং সেলাইয়ের কোর্স" যা শামানদের দ্বারা শেখানো হয় যা গণিতবিদরা ব্যবহার করেন। কিন্তু যে সব হয় না।
গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, কোন সংখ্যা পদ্ধতিতে আমরা একটি সংখ্যা লিখি তা বিবেচ্য নয়। তাই, ইন বিভিন্ন সিস্টেমক্যালকুলাসে, একই সংখ্যার অঙ্কের যোগফল ভিন্ন হবে। গণিতে, সংখ্যা পদ্ধতিটি সংখ্যার ডানদিকে সাবস্ক্রিপ্ট হিসাবে নির্দেশিত হয়। সঙ্গে একটি বড় সংখ্যা 12345 আমি আমার মাথা বোকা করতে চাই না, আসুন নিবন্ধটি থেকে 26 নম্বরটি দেখি। এই সংখ্যাটি বাইনারি, অক্টাল, দশমিক এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে লিখি। আমরা মাইক্রোস্কোপের নীচে প্রতিটি পদক্ষেপ দেখব না; আমরা ইতিমধ্যে এটি করেছি। চলুন ফলাফল তাকান.
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে একই সংখ্যার অঙ্কের যোগফল ভিন্ন। এই ফলাফলের সাথে গণিতের কোন সম্পর্ক নেই। আপনি যদি মিটার এবং সেন্টিমিটারে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করেন তবে আপনি সম্পূর্ণ ভিন্ন ফলাফল পাবেন।
শূন্য সমস্ত সংখ্যা পদ্ধতিতে একই দেখায় এবং অঙ্কের যোগফল নেই। এটি সত্যের পক্ষে আরেকটি যুক্তি। গণিতবিদদের জন্য প্রশ্ন: কীভাবে এমন কিছু হয় যা গণিতে মনোনীত সংখ্যা নয়? কি, গণিতবিদদের কাছে সংখ্যা ছাড়া আর কিছুই নেই? আমি শামানদের জন্য এটির অনুমতি দিতে পারি, তবে বিজ্ঞানীদের জন্য নয়। বাস্তবতা শুধুমাত্র সংখ্যা সম্পর্কে নয়।
প্রাপ্ত ফলাফল প্রমাণ হিসাবে বিবেচনা করা উচিত যে সংখ্যা সিস্টেমগুলি সংখ্যার পরিমাপের একক। সর্বোপরি, আমরা সংখ্যার সাথে তুলনা করতে পারি না বিভিন্ন ইউনিটপরিমাপ যদি একই পরিমাণের পরিমাপের বিভিন্ন এককের সাথে একই ক্রিয়া হয় বিভিন্ন ফলাফলতাদের তুলনা করার পরে, এর অর্থ গণিতের সাথে এর কোনও সম্পর্ক নেই।
প্রকৃত গণিত কি? এটি যখন একটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ফলাফল সংখ্যার আকার, ব্যবহৃত পরিমাপের একক এবং কে এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করে তার উপর নির্ভর করে না।
উহু! এটা কি মহিলাদের বিশ্রামাগার নয়?
-যুবতী! এটি স্বর্গে আরোহণের সময় আত্মার অনাকাঙ্খিত পবিত্রতা অধ্যয়নের জন্য একটি পরীক্ষাগার! হ্যালো উপরে এবং তীর উপরে। আর কোন টয়লেট?
মহিলা... উপরের হালো এবং নীচের তীর পুরুষ।
নকশা শিল্পের এই ধরনের কাজ যদি দিনে কয়েকবার আপনার চোখের সামনে ভেসে ওঠে,
তারপরে অবাক হওয়ার কিছু নেই যে আপনি হঠাৎ আপনার গাড়িতে একটি অদ্ভুত আইকন খুঁজে পেয়েছেন:
ব্যক্তিগতভাবে, আমি একটি মলত্যাগকারী ব্যক্তির (একটি ছবি) মাইনাস চার ডিগ্রি দেখার চেষ্টা করি (কয়েকটি ছবির একটি রচনা: একটি বিয়োগ চিহ্ন, চার নম্বর, ডিগ্রির একটি উপাধি)। এবং আমি এই মেয়েটিকে বোকা মনে করি না যে পদার্থবিদ্যা জানে না। তিনি শুধু উপলব্ধি একটি খিলান স্টেরিওটাইপ আছে গ্রাফিক ইমেজ. এবং গণিতবিদরা আমাদের সর্বদা এটি শেখান। এখানে একটি উদাহরণ.
1A "মাইনাস ফোর ডিগ্রী" বা "এক a" নয়। এটি হেক্সাডেসিমেল নোটেশনে "পুপিং ম্যান" বা সংখ্যা "ছাব্বিশ"। যারা এই সংখ্যা পদ্ধতিতে ক্রমাগত কাজ করে তারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি সংখ্যা এবং একটি অক্ষরকে একটি গ্রাফিক প্রতীক হিসাবে উপলব্ধি করে।
