Kruh - geometrický obrazec, skládající se ze všech bodů roviny umístěných v dané vzdálenosti od daného bodu.
Tento bod (O) se nazývá střed kruhu.
Poloměr kruhu- jedná se o segment spojující střed s libovolným bodem na kružnici. Všechny poloměry mají stejnou délku (podle definice).
Akord- úsečka spojující dva body na kružnici. Tětiva procházející středem kruhu se nazývá průměr. Střed kruhu je středem libovolného průměru.
Jakékoli dva body na kružnici ji rozdělují na dvě části. Každá z těchto částí se nazývá oblouk kruhu. Oblouk se nazývá půlkruh, jestliže segment spojující jeho konce má průměr.
Délka jednotkového půlkruhu je označena π
.
Součet mírových mír dvou oblouků kružnice se společnými konci je roven 360º.
Část roviny ohraničená kružnicí se nazývá všude okolo.
Kruhový sektor- část kružnice ohraničená obloukem a dvěma poloměry spojujícími konce oblouku se středem kružnice. Oblouk, který omezuje sektor, se nazývá oblouk sektoru.
Dva kruhy s společné centrum, jsou nazývány koncentrický.
Nazývají se dvě kružnice protínající se v pravém úhlu ortogonální.
Centrální úhel je úhel s vrcholem ve středu kružnice.
Vepsaný úhel- úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany kružnici protínají.
Vepsaný úhel se měří polovinou oblouku, na kterém se nachází.
Pokud se dva tětivy kružnice protnou, pak se součin segmentů jednoho tětivy rovná součinu segmentů druhého tětivy.
A kruh- geometrické tvary vzájemně propojené. je tam přerušovaná čára (křivka) kruh,
Definice. Kruh je uzavřená křivka, jejíž každý bod je stejně vzdálený od bodu zvaného střed kružnice.
Pro sestrojení kružnice se vybere libovolný bod O, který se považuje za střed kružnice, a pomocí kružítka se nakreslí uzavřená čára.
Pokud je bod O středu kružnice spojen s libovolnými body na kružnici, pak si všechny výsledné úsečky budou navzájem rovny a takové úsečky se nazývají poloměry, zkráceně latinsky malé resp. velké písmeno"ehm" ( r nebo R). V kruhu můžete nakreslit tolik poloměrů, kolik je bodů v délce kruhu.
Úsečka spojující dva body na kružnici a procházející jejím středem se nazývá průměr. Průměr se skládá ze dvou poloměry, ležící na stejné přímce. Průměr je označen latinským malým nebo velkým písmenem „de“ ( d nebo D).
Pravidlo. Průměr kruh se rovná dvěma jeho poloměry.
d = 2r
D = 2R
Obvod kruhu se vypočítá podle vzorce a závisí na poloměru (průměru) kruhu. Vzorec obsahuje číslo ¶, které ukazuje, kolikrát je obvod větší než jeho průměr. Číslo ¶ má nekonečný počet desetinných míst. Pro výpočty bylo použito ¶ = 3,14.
Obvod kruhu se označuje latinským velkým písmenem „tse“ ( C). Obvod kruhu je úměrný jeho průměru. Vzorce pro výpočet obvodu kruhu na základě jeho poloměru a průměru:
C = ¶d
C = 2¶r
Každá sečna (přímka) protíná kružnici ve dvou bodech a rozděluje ji na dva oblouky. Velikost oblouku kruhu závisí na vzdálenosti mezi středem a sečnou a měří se podél uzavřené křivky od prvního bodu průsečíku sečny s kružnicí ke druhému.
Oblouky kruhy jsou rozděleny sečna na dur a moll, pokud sečna neshoduje s průměrem, a na dva stejné oblouky, pokud sečna prochází podél průměru kruhu.
Pokud středem kružnice prochází sečna, pak její úsečka umístěná mezi průsečíky kružnice je průměr kružnice nebo největší tětiva kružnice.
Čím dále je sečna umístěna od středu kružnice, tím menší je míra stupně menšího oblouku kružnice a větší větší oblouk kružnice a segment sečny, tzv. akord, klesá, jak se sečna vzdaluje od středu kruhu.
Definice. Kružnice je část roviny ležící uvnitř kružnice.
Střed, poloměr a průměr kružnice jsou současně středem, poloměrem a průměrem příslušné kružnice.
Protože kružnice je součástí roviny, jedním z jejích parametrů je plocha.
Pravidlo. Oblast kruhu ( S) se rovná součinu druhé mocniny poloměru ( r 2) na číslo ¶.
Pokud nakreslíte dva poloměry v kružnici do různých bodů na kružnici, vytvoří se dvě části kružnice, které se nazývají sektory. Pokud nakreslíte tětivu v kruhu, pak se nazývá část roviny mezi obloukem a tětivou kruhový segment.
Kruh je obrazec, který se skládá ze všech bodů roviny stejně vzdálených od daného bodu.
Základní pojmy:
Střed kruhu je bod ve stejné vzdálenosti od bodů na kružnici.
Poloměr je vzdálenost od bodů kruhu k jeho středu ( rovná polovině průměr, obr. 1).
Průměr je tětiva procházející středem kružnice (obr. 1).
Akord je úsečka spojující dva body na kružnici (obr. 1).
Tečna je přímka, která má pouze jeden společný bod s kružnicí. Prochází bodem na kružnici kolmým na průměr nakreslený do tohoto bodu (obr. 1).
Secant je přímka procházející dvěma různými body kružnice (obr. 1).
Jednotkový kruh je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné.
Oblouk kruhu- Toto je část kružnice rozdělená dvěma různoběžnými body na kružnici.
1 radián je úhel sevřený obloukem kružnice, rovná délce poloměr (obr. 4).
1 radián = 180˚ : π ≈ 57,3˚
Centrální úhel je úhel s vrcholem ve středu kružnice. Rovná se míře míry oblouku, na kterém spočívá (obr. 2).
Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany tuto kružnici protínají. Rovná se polovině míry oblouku, na kterém spočívá (obr. 3).
Nazývají se dva kruhy, které mají společný střed koncentrický.
Nazývají se dvě kružnice protínající se v pravém úhlu ortogonální.
Obvod a plocha kruhu:
Označení:
Obvod - C
Průměr délka – d
Délka rádiusu – r
Významπ :
Poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru se označuje řeckým písmenem π (pi).
22
π = -
7
Vzorec obvodu:
C = πd nebo C = 2πr
Vzorce pro oblast kruhu:
Cr
S = --
2
π D 2
S = ---
4
Oblast kruhového sektoru a kruhového segmentu.
Kruhový sektor je část kružnice ležící uvnitř odpovídajícího středového úhlu. πR 2 Kde π – konstantní hodnota rovna 3,1416; R – poloměr kruhu; α – míra stupně odpovídajícího středového úhlu. Kruhový segment– to je společná část kružnice a poloroviny. πR 2 Kde α – míra stupně středového úhlu, který obsahuje oblouk tohoto kruhového segmentu; S Δ - oblast trojúhelníku s vrcholy ve středu kruhu a na koncích poloměrů omezujících odpovídající sektor. Znaménko mínus je třeba vzít, když α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚. |
Rovnice kružnice v kartézských souřadnicíchX, y se středem v bodě (A; b):
(X -A) 2 + (y–b) 2 = R 2
Kružnice opsané trojúhelníku (obr. 4).
Kruh vepsaný do trojúhelníku (obr. 5).
Úhly vepsané do kruhu (obr. 3).
Úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany tuto kružnici protínají, se nazývá vepsané do kruhu.
Základní pojmy:
Úhel rozděluje rovinu na dvě části. Každá z těchto částí se nazývá plochý úhel.
Ploché úhly se společnými stranami se nazývají další.
Nazývá se rovinný úhel s vrcholem ve středu kružnice středový úhel(obr.2)
Proporcionalita úseků akordů a sečen kruhu.
Speciální případy a vzorce:
1) Z bodu C, který se nachází mimo kružnici, nakreslete tečnu ke kružnici a bod jejich dotyku označte písmenem D.
Poté nakreslíme sečnu ze stejného bodu C a průsečíky sečny a kružnice označíme písmeny A a B (obr. 8).
V tomto případě:
CD 2 =AC ·PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.
2) Nakreslete průměr AB do kružnice. Potom z bodu C umístěného na kružnici nakreslete kolmici k tomuto průměru a označte výsledný segment CD (obr. 9).
V tomto případě:
CD 2 =A.D. ·B.D.
Pojďme pochopit, co je kruh a kruh. Vzorec pro oblast kruhu a obvodu.
Denně se setkáváme s mnoha předměty, které mají tvar kruhu nebo naopak kruhu. Někdy vyvstává otázka, co je kruh a jak se liší od kruhu. Všichni jsme samozřejmě absolvovali hodiny geometrie, ale někdy neuškodí oprášit své znalosti několika velmi jednoduchými vysvětleními.
Kruh je tedy uzavřená zakřivená čára, která omezuje nebo naopak tvoří kruh. Požadovaný stav kruh - má střed a všechny body jsou od něj stejně vzdálené. Jednoduše řečeno, kruh je gymnastická obruč (nebo jak se často nazývá hula hoop) na rovném povrchu.
Obvod je Celková délka stejná křivka, která tvoří kruh. Jak je známo, bez ohledu na velikost kruhu je poměr jeho průměru a délky roven číslu π = 3,141592653589793238462643.
Z toho vyplývá, že π=L/D, kde L je obvod a D je průměr kruhu.
Pokud znáte průměr, délku lze zjistit pomocí jednoduchého vzorce: L= π* D
Pokud je poloměr znám: L=2 πR
Přišli jsme na to, co je kruh a můžeme přejít k definici kruhu.
Kruh je geometrický útvar, který je obklopený kruhem. Nebo, kruh je obrazec, jehož hranice se skládá z velké množství body ve stejné vzdálenosti od středu obrázku. Celá oblast, která je uvnitř kruhu, včetně jeho středu, se nazývá kruh.
Stojí za zmínku, že kruh a kruh, který se v něm nachází, mají stejný poloměr a průměr. A průměr je zase dvakrát větší než poloměr.
Kruh má plochu v rovině, kterou lze najít pomocí jednoduchého vzorce:
Kde S je plocha kruhu a R je poloměr kruhu.
Hlavní rozdíl mezi kruhem a kruhem je v tom, že kruh je geometrický obrazec, zatímco kruh je uzavřená křivka. Všimněte si také rozdílů mezi kruhem a kruhem:
Pro názornost doporučujeme podívat se na fotografii, která ukazuje kruh vlevo a kruh vpravo.
Vzorec pro obvod L=2 πR
Vzorec pro obsah kruhu S= πR²
Upozorňujeme, že oba vzorce obsahují poloměr a číslo π. Tyto vzorce se doporučuje zapamatovat, protože jsou nejjednodušší a určitě se vám budou hodit Každodenní život a v práci.
S=π(L/2π)=L²/4π, kde S je plocha kruhu, L je obvod.
Kruh je obrazec, který se skládá ze všech bodů v rovině stejně vzdálených od daného bodu. Tento bod se nazývá střed kruhu.
Kružnice s nulovým poloměrem (degenerovaná kružnice) je bod, někdy je tento případ z definice vyloučen.
1 / 5
Kruh a jeho vlastnosti (bezbotvy)
Kruh vepsaný a opsaný - z bezbotvy
Matematika: příprava na OGE a Jednotnou státní zkoušku. Planimetrie. Kruhy a jejich vlastnosti
Matematika 26. Kompasy. Kruh a kruh - škola Shishkina
KRUHOVÁ ROVNICE. ÚLOHA 18 (C5). ARTHUR ŠARIFOV
Prochází-li kružnice např. body A, B, C, pak se značí uvedením těchto bodů v závorkách: (A, B, C). Potom se oblouk kružnice procházející body A, B, C označí jako oblouk ABC (nebo oblouk AC), stejně jako υ ABC (nebo υ AC).
Důkaz
Nechat G (\displaystyle G)- homothety, která přeměňuje malý kruh na velký. Pak je to jasné A 1 (\displaystyle A_(1)) je středem této homothety. Pak rovně B C (\displaystyle BC) půjde do nějaké přímky a (\displaystyle a) tečnou k velkému kruhu a A 2 (\displaystyle A_(2)) půjde do bodu na této čáře a patřícího do velkého kruhu. Když si připomeneme, že rovnost převádí čáry do linií s nimi rovnoběžných, rozumíme tomu a ∥ B C (\displaystyle a\paralelní BC). Nechat G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) A D (\displaystyle D)- bod na přímce a (\displaystyle a), takže je to ostré a E (\displaystyle E)- takový bod na přímce a (\displaystyle a), Co ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- pikantní. Od té doby a (\displaystyle a)- tečna k velkému kruhu ∠ C A 3D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\úhel BA_(3)E=\úhel BCA_(3)). Proto △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- rovnoramenný, což znamená ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \úhel BA_(1)A_(3)=\úhel CA_(1)A_(3)), to je A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- úhlová sečna ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).
Descartův teorém" uvádí, že poloměry libovolných čtyř vzájemně tečných kružnic splňují určitou kvadratickou rovnici. Někdy se jim říká Soddy circles.
Rovnice kružnice procházející body (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\vpravo),\vlevo (x_(3),y_(3)\vpravo),) neleží na stejné přímce (pomocí determinantu):
| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1) )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatice))=0.) ( x = x 0 + R cos φ y = y 0 + R sin φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}V kartézském souřadnicovém systému není kruh grafem funkce, ale lze jej popsat jako spojení grafů následujících dvou funkcí:
y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 . (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)Pokud se střed kružnice shoduje s počátkem, funkce mají tvar:
y = ± R2 - x 2. (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)Poloměr kruhu R (\displaystyle R) středem v bodě (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).
