Σκάλες. Ομάδα εισόδου. Υλικά. Πόρτες. Κλειδαριές. Σχέδιο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

§έντεκα. ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΓΩΝΙΕΣ.

1. Παρακείμενες γωνίες.

Αν επεκτείνουμε την πλευρά οποιασδήποτε γωνίας πέρα ​​από την κορυφή της, έχουμε δύο γωνίες (Εικ. 72): / Και ο ήλιος και / SVD, στο οποίο η μία πλευρά BC είναι κοινή, και οι άλλες δύο A και BD σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.

Δύο γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και οι άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία ονομάζονται γειτονικές γωνίες.

Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν επίσης να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο: αν σχεδιάσουμε μια ακτίνα από κάποιο σημείο σε μια ευθεία γραμμή (όχι σε μια δεδομένη ευθεία), παίρνουμε παρακείμενες γωνίες.
Για παράδειγμα, / ADF και / FDВ - γειτονικές γωνίες (Εικ. 73).

Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν να έχουν μεγάλη ποικιλία θέσεων (Εικ. 74).

Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία, έτσι το umma δύο γειτονικών γωνιών είναι ίσο 2ρε.

Ως εκ τούτου, μια ορθή γωνία μπορεί να οριστεί ως μια γωνία ίση με τη γειτονική γωνία της.

Γνωρίζοντας το μέγεθος μιας από τις γειτονικές γωνίες, μπορούμε να βρούμε το μέγεθος της άλλης γωνίας που βρίσκεται δίπλα της.

Για παράδειγμα, εάν μία από τις διπλανές γωνίες είναι 3/5 ρε, τότε η δεύτερη γωνία θα είναι ίση με:

2ρε- 3 / 5 ρε= l 2 / 5 ρε.

2. Κάθετες γωνίες.

Αν επεκτείνουμε τις πλευρές της γωνίας πέρα ​​από την κορυφή της, παίρνουμε κάθετες γωνίες. Στο σχέδιο 75, οι γωνίες EOF και AOC είναι κάθετες. Οι γωνίες AOE και COF είναι επίσης κάθετες.

Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι συνεχείς των πλευρών της άλλης γωνίας.

Αφήνω / 1 = 7 / 8 ρε(Εικόνα 76). Δίπλα σε αυτό / 2 θα ισούται με 2 ρε- 7 / 8 ρε, δηλαδή 1 1/8 ρε.

Με τον ίδιο τρόπο μπορείτε να υπολογίσετε με τι ισούνται / 3 και / 4.
/ 3 = 2ρε - 1 1 / 8 ρε = 7 / 8 ρε; / 4 = 2ρε - 7 / 8 ρε = 1 1 / 8 ρε(Διάγραμμα 77).

Το βλέπουμε αυτό / 1 = / 3 και / 2 = / 4.

Μπορείτε να λύσετε πολλά περισσότερα από τα ίδια προβλήματα και κάθε φορά θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα: οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι οι κατακόρυφες γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους, δεν αρκεί να θεωρήσετε μεμονωμένες αριθμητικά παραδείγματα, δεδομένου ότι τα συμπεράσματα που συνάγονται με βάση συγκεκριμένα παραδείγματα μπορεί μερικές φορές να είναι λανθασμένα.

Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η εγκυρότητα των ιδιοτήτων των κατακόρυφων γωνιών με συλλογισμό, με απόδειξη.

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής (Εικ. 78):

/ α+/ ντο = 2ρε;
/ β+/ ντο = 2ρε;

(αφού το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 2 ρε).

/ α+/ ντο = / β+/ ντο

(αφού και η αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίση με 2 ρε, και η δεξιά πλευρά του είναι επίσης ίση με 2 ρε).

Αυτή η ισότητα περιλαμβάνει την ίδια γωνία Με.

Αν είμαστε από ίσες αξίεςαφαιρέστε ίσα, τότε θα παραμείνει ίσο. Το αποτέλεσμα θα είναι: / ένα = / σι, δηλαδή οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Κατά την εξέταση του θέματος των κατακόρυφων γωνιών, αρχικά εξηγήσαμε ποιες γωνίες ονομάζονται κάθετες, δηλ. ορισμόςκάθετες γωνίες.

Στη συνέχεια κάναμε μια κρίση (δήλωση) για την ισότητα των κατακόρυφων γωνιών και πειστήκαμε για την εγκυρότητα αυτής της κρίσης μέσω της απόδειξης. Τέτοιες κρίσεις, η εγκυρότητα των οποίων πρέπει να αποδειχθεί, καλούνται θεωρήματα. Έτσι, σε αυτή την ενότητα δώσαμε έναν ορισμό των κατακόρυφων γωνιών, καθώς και αναφέραμε και αποδείξαμε ένα θεώρημα για τις ιδιότητές τους.

Στο μέλλον, όταν μελετάμε τη γεωμετρία, θα πρέπει συνεχώς να συναντάμε ορισμούς και αποδείξεις θεωρημάτων.

3. Το άθροισμα των γωνιών που έχουν κοινή κορυφή.

Στο σχέδιο 79 / 1, / 2, / 3 και / Τα 4 βρίσκονται στη μία πλευρά μιας γραμμής και έχουν μια κοινή κορυφή σε αυτή τη γραμμή. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια ευθεία γωνία, δηλ.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ρε.

Στο σχέδιο 80 / 1, / 2, / 3, / 4 και / 5 έχουν κοινή κορυφή. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια πλήρη γωνία, δηλ. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ρε.

Γυμνάσια.

1. Μία από τις διπλανές γωνίες είναι 0,72 ρε.Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι αυτών των διπλανών γωνιών.

2. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο γειτονικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία.

3. Να αποδείξετε ότι αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε και οι διπλανές τους γωνίες είναι ίσες.

4. Πόσα ζεύγη γειτονικών γωνιών υπάρχουν στο σχέδιο 81;

5. Μπορεί ένα ζεύγος γειτονικών γωνιών να αποτελείται από δύο οξείες γωνίες; από δύο αμβλείες γωνίες; από ορθές και αμβλείες γωνίες; από απευθείας και οξεία γωνία?

6. Αν μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, τότε τι μπορεί να ειπωθεί για το μέγεθος της γωνίας που γειτνιάζει με αυτήν;

7. Αν στη τομή δύο ευθειών η μία γωνία είναι ορθή, τότε τι μπορεί να λεχθεί για το μέγεθος των άλλων τριών γωνιών;

Δύο γωνίες που βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έχουν την ίδια κορυφή ονομάζονται γειτονικές.

Διαφορετικά, αν το άθροισμα δύο γωνιών σε μια ευθεία είναι ίσο με 180 μοίρες και έχουν μια κοινή πλευρά, τότε αυτές είναι γειτονικές γωνίες.

1 διπλανή γωνία + 1 διπλανή γωνία = 180 μοίρες.

Οι γειτονικές γωνίες είναι δύο γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και οι άλλες δύο πλευρές σχηματίζουν γενικά μια ευθεία γραμμή.

Το άθροισμα δύο γειτονικών γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες. Για παράδειγμα, εάν μια γωνία είναι 60 μοίρες, τότε η δεύτερη θα είναι απαραίτητα ίση με 120 μοίρες (180-60).

Οι γωνίες AOC και BOC είναι γειτονικές γωνίες επειδή πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις για τα χαρακτηριστικά γειτονικών γωνιών:

1.OS - κοινή πλευρά δύο γωνιών

2.AO - πλευρά της γωνίας AOS, OB - πλευρά της γωνίας BOS. Μαζί αυτές οι πλευρές σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή AOB.

3. Υπάρχουν δύο γωνίες και το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες.

Υπενθυμίζοντας το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας, μπορούμε να πούμε τα εξής για τις παρακείμενες γωνίες:

οι γειτονικές γωνίες έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές ανήκουν στην ίδια ευθεία, δηλαδή βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Εάν σύμφωνα με το σχήμα, τότε οι γωνίες SOV και BOA είναι γειτονικές γωνίες, το άθροισμα των οποίων είναι πάντα ίσο με 180, αφού διαιρούν μια ευθεία γωνία και μια ευθεία γωνία είναι πάντα ίση με 180.



Οι γειτονικές γωνίες είναι μια εύκολη έννοια στη γεωμετρία. Οι παρακείμενες γωνίες, μια γωνία συν μια γωνία, αθροίζονται έως και 180 μοίρες.

Δύο γειτονικές γωνίες θα είναι μία ξεδιπλωμένη γωνία.

Υπάρχουν πολλά ακόμη ακίνητα. Με γειτονικές γωνίες, τα προβλήματα είναι εύκολο να λυθούν και τα θεωρήματα είναι εύκολο να αποδειχθούν.

Οι παρακείμενες γωνίες σχηματίζονται σχεδιάζοντας μια ακτίνα από ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή. Τότε αυτό το αυθαίρετο σημείο αποδεικνύεται ότι είναι η κορυφή της γωνίας, η ακτίνα είναι η κοινή πλευρά γειτονικών γωνιών και η ευθεία γραμμή από την οποία σχεδιάζεται η ακτίνα είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές γειτονικών γωνιών. Οι γειτονικές γωνίες μπορεί να είναι ίδιες στην περίπτωση μιας κάθετης ή διαφορετικές στην περίπτωση μιας κεκλιμένης δοκού. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι ίσο με 180 μοίρες ή απλώς μια ευθεία γραμμή. Ένας άλλος τρόπος για να εξηγηθεί αυτή η γωνία είναι απλό παράδειγμα- στην αρχή περπατήσατε προς μία κατεύθυνση σε ευθεία γραμμή, μετά άλλαξατε γνώμη, αποφασίσατε να επιστρέψετε και, γυρίζοντας 180 μοίρες, ξεκινήσατε κατά μήκος της ίδιας ευθείας προς την αντίθετη κατεύθυνση.



Τι είναι λοιπόν μια διπλανή γωνία; Ορισμός:

Δύο γωνίες με κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά ονομάζονται γειτονικές και οι άλλες δύο πλευρές αυτών των γωνιών βρίσκονται στην ίδια ευθεία.



ΚΑΙ σύντομο βίντεοένα μάθημα όπου φαίνεται λογικά για τις παρακείμενες γωνίες, τις κατακόρυφες γωνίες, καθώς και για τις κάθετες γραμμές, που αποτελούν ειδική περίπτωση γειτονικών και κάθετων γωνιών

Οι γειτονικές γωνίες είναι γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και η άλλη είναι μία γραμμή.

Οι γειτονικές γωνίες είναι γωνίες που εξαρτώνται η μία από την άλλη. Δηλαδή, εάν η κοινή πλευρά περιστραφεί ελαφρά, τότε η μία γωνία θα μειωθεί κατά αρκετές μοίρες και αυτόματα η δεύτερη γωνία θα αυξηθεί κατά τον ίδιο αριθμό μοιρών. Αυτή η ιδιότητα των διπλανών γωνιών μας επιτρέπει να λύσουμε στη Γεωμετρία διάφορα καθήκοντακαι πραγματοποιούν αποδείξεις διαφόρων θεωρημάτων.

Το συνολικό άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες.



Από το μάθημα της γεωμετρίας, (απ' όσο θυμάμαι στην Στ' δημοτικού), δύο γωνίες λέγονται γειτονικές, στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή, και οι άλλες πλευρές πρόσθετες ακτίνες, το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180. Κάθε μία από τις δύο οι γειτονικές γωνίες συμπληρώνουν τις άλλες σε μια διευρυμένη γωνία. Παράδειγμα παρακείμενων γωνιών:



Οι γειτονικές γωνίες είναι δύο γωνίες με κοινή κορυφή, των οποίων η μία πλευρά είναι κοινή και οι υπόλοιπες πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία (δεν συμπίπτουν). Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι εκατόν ογδόντα μοίρες. Γενικά όλα αυτά είναι πολύ εύκολο να τα βρεις στο Google ή σε ένα εγχειρίδιο γεωμετρίας.

Ξεκινώντας με τις γωνίες

Ας μας δοθούν δύο αυθαίρετες ακτίνες. Ας τα βάλουμε το ένα πάνω στο άλλο. Επειτα

Ορισμός 1

Θα ονομάσουμε γωνία δύο ακτίνες που έχουν την ίδια αρχή.

Ορισμός 2

Το σημείο που είναι η αρχή των ακτίνων στο πλαίσιο του Ορισμού 3 ονομάζεται κορυφή αυτής της γωνίας.

Θα συμβολίσουμε τη γωνία με τα ακόλουθα τρία σημεία της: την κορυφή, ένα σημείο σε μια από τις ακτίνες και ένα σημείο στην άλλη ακτίνα, και η κορυφή της γωνίας γράφεται στο μέσο του χαρακτηρισμού της (Εικ. 1).

Ας προσδιορίσουμε τώρα ποιο είναι το μέγεθος της γωνίας.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να επιλέξουμε κάποιο είδος γωνίας «αναφοράς», που θα πάρουμε ως μονάδα. Τις περισσότερες φορές, αυτή η γωνία είναι η γωνία που ισούται με το τμήμα $\frac(1)(180)$ της ξεδιπλωμένης γωνίας. Αυτή η ποσότητα ονομάζεται βαθμός. Αφού επιλέξουμε μια τέτοια γωνία, συγκρίνουμε τις γωνίες με αυτήν, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί.

Υπάρχουν 4 τύποι γωνιών:

Ορισμός 3

Μια γωνία ονομάζεται οξεία εάν είναι μικρότερη από $90^0$.

Ορισμός 4

Μια γωνία ονομάζεται αμβλεία αν είναι μεγαλύτερη από $90^0$.

Ορισμός 5

Μια γωνία ονομάζεται αναπτυγμένη αν είναι ίση με $180^0$.

Ορισμός 6

Μια γωνία ονομάζεται ορθή αν είναι ίση με $90^0$.

Εκτός από τους τύπους γωνιών που περιγράφηκαν παραπάνω, μπορούμε να διακρίνουμε τύπους γωνιών σε σχέση μεταξύ τους, δηλαδή κάθετες και παρακείμενες γωνίες.

Παρακείμενες γωνίες

Θεωρήστε την αντίστροφη γωνία $COB$. Από την κορυφή του σχεδιάζουμε μια ακτίνα $OA$. Αυτή η ακτίνα θα χωρίσει την αρχική σε δύο γωνίες. Επειτα

Ορισμός 7

Θα ονομάσουμε δύο γωνίες γειτονικές αν το ένα ζεύγος των πλευρών τους είναι ανεπτυγμένη γωνία και το άλλο ζεύγος συμπίπτει (Εικ. 2).

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηοι γωνίες $COA$ και $BOA$ είναι γειτονικές.

Θεώρημα 1

Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι $180^0$.

Απόδειξη.

Ας δούμε το σχήμα 2.

Σύμφωνα με τον ορισμό 7, η γωνία $COB$ σε αυτό θα είναι ίση με $180^0$. Εφόσον το δεύτερο ζεύγος πλευρών γειτονικών γωνιών συμπίπτει, η ακτίνα $OA$ θα διαιρέσει την ξεδιπλωμένη γωνία με το 2, επομένως

$∠COA+∠BOA=180^0$

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Ας εξετάσουμε την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτήν την έννοια.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη γωνία $C$ από το παρακάτω σχήμα

Με τον ορισμό 7 βρίσκουμε ότι οι γωνίες $BDA$ και $ADC$ είναι γειτονικές. Επομένως, από το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Με το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο, έχουμε

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Απάντηση: $40^0$.

Κάθετες γωνίες

Εξετάστε τις ξεδιπλωμένες γωνίες $AOB$ και $MOC$. Ας ευθυγραμμίσουμε τις κορυφές τους μεταξύ τους (δηλαδή, βάλουμε το σημείο $O"$ στο σημείο $O$) έτσι ώστε καμία πλευρά αυτών των γωνιών να μην συμπίπτει.

Ορισμός 8

Θα ονομάσουμε δύο γωνίες κάθετες αν τα ζεύγη των πλευρών τους είναι ξεδιπλωμένες γωνίες και οι τιμές τους συμπίπτουν (Εικ. 3).

Σε αυτήν την περίπτωση, οι γωνίες $MOA$ και $BOC$ είναι κάθετες και οι γωνίες $MOB$ και $AOC$ είναι επίσης κάθετες.

Θεώρημα 2

Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Απόδειξη.

Ας δούμε το σχήμα 3. Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι η γωνία $MOA$ είναι ίση με τη γωνία $BOC$.

Δύο γωνίες ονομάζονται γειτονικές αν έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες πλευρές αυτών των γωνιών είναι συμπληρωματικές ακτίνες. Στο Σχήμα 20, οι γωνίες AOB και BOC είναι γειτονικές.

Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°

Θεώρημα 1. Το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180°.

Απόδειξη. Η δοκός OB (βλ. Εικ. 1) διέρχεται μεταξύ των πλευρών της ξεδιπλωμένης γωνίας. Να γιατί ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Από το Θεώρημα 1 προκύπτει ότι αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι γειτονικές τους γωνίες είναι ίσες.

Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες

Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι συμπληρωματικές ακτίνες των πλευρών της άλλης. Οι γωνίες AOB και COD, BOD και AOC, που σχηματίζονται στη διασταύρωση δύο ευθειών, είναι κάθετες (Εικ. 2).

Θεώρημα 2. Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε τις κατακόρυφες γωνίες AOB και COD (βλ. Εικ. 2). Η γωνία BOD είναι δίπλα σε καθεμία από τις γωνίες AOB και COD. Με το θεώρημα 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι ∠ AOB = ∠ COD.

Συμπέρασμα 1. Μια γωνία δίπλα σε μια ορθή γωνία είναι μια ορθή γωνία.

Ας εξετάσουμε δύο τεμνόμενες ευθείες AC και BD (Εικ. 3). Σχηματίζουν τέσσερις γωνίες. Εάν μία από αυτές είναι ευθεία (η γωνία 1 στο Σχ. 3), τότε οι υπόλοιπες γωνίες είναι επίσης ορθές (οι γωνίες 1 και 2, 1 και 4 είναι γειτονικές, οι γωνίες 1 και 3 είναι κάθετες). Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι αυτές οι ευθείες τέμνονται κάθετες και ονομάζονται κάθετες (ή αμοιβαία κάθετες). Η καθετότητα των ευθειών AC και BD συμβολίζεται ως εξής: AC ⊥ BD.

Κάθετη διχοτόμος σε ένα τμήμα είναι μια ευθεία κάθετη σε αυτό το τμήμα και διέρχεται από το μέσο του.

AN - κάθετη σε μια γραμμή

Ας θεωρήσουμε μια ευθεία α και ένα σημείο Α που δεν βρίσκεται πάνω της (Εικ. 4). Ας συνδέσουμε το σημείο Α με ένα τμήμα στο σημείο Η με ευθεία α. Το τμήμα ΑΝ ονομάζεται κάθετο που σχεδιάζεται από το σημείο Α στην ευθεία a αν οι ευθείες AN και a είναι κάθετες. Το σημείο Η ονομάζεται βάση της κάθετης.

Τετράγωνο σχεδίασης

Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Θεώρημα 3. Από οποιοδήποτε σημείο που δεν βρίσκεται σε μια ευθεία, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια κάθετο σε αυτήν την ευθεία, και, επιπλέον, μόνο μία.

Για να σχεδιάσετε μια κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή σε ένα σχέδιο, χρησιμοποιήστε ένα τετράγωνο σχεδίου (Εικ. 5).

Σχόλιο. Η διατύπωση του θεωρήματος συνήθως αποτελείται από δύο μέρη. Ένα μέρος μιλάει για αυτό που δίνεται. Αυτό το μέρος ονομάζεται συνθήκη του θεωρήματος. Το άλλο μέρος μιλάει για το τι πρέπει να αποδειχθεί. Αυτό το μέρος ονομάζεται συμπέρασμα του θεωρήματος. Για παράδειγμα, η συνθήκη του Θεωρήματος 2 είναι ότι οι γωνίες είναι κάθετες. συμπέρασμα - αυτές οι γωνίες είναι ίσες.

Οποιοδήποτε θεώρημα μπορεί να εκφραστεί λεπτομερώς με λέξεις έτσι ώστε η κατάστασή του να αρχίζει με τη λέξη «αν» και το συμπέρασμα του με τη λέξη «τότε». Για παράδειγμα, το Θεώρημα 2 μπορεί να διατυπωθεί αναλυτικά ως εξής: «Αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες».

Παράδειγμα 1.Μία από τις παρακείμενες γωνίες είναι 44°. Με τι ισούται το άλλο;

Λύση. Ας υποδηλώσουμε το μέτρο της μοίρας μιας άλλης γωνίας με x, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 1.
44° + x = 180°.
Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει, βρίσκουμε ότι x = 136°. Επομένως, η άλλη γωνία είναι 136°.

Παράδειγμα 2.Έστω η γωνία COD στο Σχήμα 21 45°. Ποιες είναι οι γωνίες AOB και AOC;

Λύση. Οι γωνίες COD και AOB είναι κάθετες, επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 1.2 είναι ίσες, δηλαδή ∠ AOB = 45°. Η γωνία AOC είναι δίπλα στη γωνία COD, που σημαίνει σύμφωνα με το Θεώρημα 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Παράδειγμα 3.Βρείτε τις γειτονικές γωνίες αν η μία από αυτές είναι 3 φορές μεγαλύτερη από την άλλη.

Λύση. Ας συμβολίσουμε το μέτρο της μοίρας της μικρότερης γωνίας με x. Τότε το μέτρο μοίρας της μεγαλύτερης γωνίας θα είναι 3x. Εφόσον το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι ίσο με 180° (Θεώρημα 1), τότε x + 3x = 180°, από όπου x = 45°.
Αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές γωνίες είναι 45° και 135°.

Παράδειγμα 4.Το άθροισμα δύο κάθετων γωνιών είναι 100°. Βρείτε το μέγεθος καθεμιάς από τις τέσσερις γωνίες.

Λύση. Έστω οι συνθήκες του προβλήματος να αντιστοιχούν στο Σχήμα 2. Οι κατακόρυφες γωνίες COD προς AOB είναι ίσες (Θεώρημα 2), που σημαίνει ότι τα μέτρα βαθμού τους είναι επίσης ίσα. Επομένως, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (το άθροισμά τους σύμφωνα με τη συνθήκη είναι 100°). Η γωνία BOD (επίσης γωνία AOC) γειτνιάζει με τη γωνία COD και, επομένως, από το Θεώρημα 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και οι άλλες πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία (στο σχήμα, οι γωνίες 1 και 2 είναι γειτονικές). Ρύζι. στο Art. Παρακείμενες γωνίες... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ- γωνίες που έχουν μια κοινή κορυφή και μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές τους βρίσκονται στην ίδια ευθεία... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Δείτε Γωνία... Μεγάλο εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ, δύο γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι 180°. Κάθε μία από αυτές τις γωνίες συμπληρώνει την άλλη σε πλήρη γωνία... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Βλέπε Γωνία. * * * ΠΛΗΚΤΙΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ, βλέπε Γωνία (βλ. ΓΩΝΙΑ) ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- (Γωνίες παρακείμενες) αυτές που έχουν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά. Κυρίως αυτό το όνομα αναφέρεται σε τέτοιες γωνίες S., οι άλλες δύο πλευρές των οποίων βρίσκονται κατά μήκος αντίθετες κατευθύνσειςμια ευθεία γραμμή που τραβιέται μέσα από την κορυφή... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρον

Δείτε Γωνία... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Δύο ευθείες γραμμές τέμνονται για να δημιουργήσουν ένα ζευγάρι κάθετες γωνίες. Το ένα ζεύγος αποτελείται από γωνίες Α και Β, το άλλο από Γ και Δ. Στη γεωμετρία, δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν δημιουργούνται από τομή δύο ... Wikipedia

Ένα ζεύγος συμπληρωματικών γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως και 90 μοίρες. Αν δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι γειτονικές (δηλαδή έχουν κοινή κορυφή και χωρίζονται μόνο... ... Wikipedia

Ένα ζεύγος συμπληρωματικών γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως 90 μοίρες Συμπληρωματικές γωνίες είναι ένα ζεύγος γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως 90 μοίρες. Αν δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι με... Wikipedia

Βιβλία

• Σχετικά με την απόδειξη στη γεωμετρία, A.I Fetisov Αυτό το βιβλίο θα δημιουργηθεί σύμφωνα με την παραγγελία σας χρησιμοποιώντας την τεχνολογία Print-on-Demand. Μια φορά κι έναν καιρό, στην αρχή σχολική χρονιά, έπρεπε να ακούσω μια συζήτηση μεταξύ δύο κοριτσιών. Ο μεγαλύτερος από αυτούς...
• Ένα ολοκληρωμένο σημειωματάριο για τον έλεγχο της γνώσης. Γεωμετρία. 7η τάξη. Ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Το εγχειρίδιο παρουσιάζει τα υλικά ελέγχου και μέτρησης (CMM) στη γεωμετρία για τη διεξαγωγή τρέχοντος, θεματικού και τελικού ποιοτικού ελέγχου των γνώσεων των μαθητών της 7ης τάξης. Τα περιεχόμενα του εγχειριδίου...