Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τη χρήση τους στη γεωμετρία. Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας ξεκίνησε εκείνη την εποχή αρχαία Ελλάδα. Κατά τον Μεσαίωνα, επιστήμονες από τη Μέση Ανατολή και την Ινδία συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης.
Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στις βασικές έννοιες και ορισμούς της τριγωνομετρίας. Εξετάζει τους ορισμούς των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Επεξηγείται και απεικονίζεται η σημασία τους στο πλαίσιο της γεωμετρίας.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Αρχικά, οι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, των οποίων το όρισμα είναι γωνία, εκφράστηκαν μέσω του λόγου των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Το ημίτονο μιας γωνίας (sin α) είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από αυτή τη γωνία προς την υποτείνουσα.
Το συνημίτονο της γωνίας (cos α) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Η εφαπτομένη της γωνίας (t g α) είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό.
Η συνεφαπτομένη της γωνίας (c t g α) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το απέναντι.
Αυτοί οι ορισμοί δίνονται για οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου!
Ας δώσουμε μια εικονογράφηση.
Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία Γ, το ημίτονο της γωνίας Α είναι ίσο με τον λόγο του σκέλους BC προς την υποτείνουσα ΑΒ.
Οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό των τιμών αυτών των συναρτήσεων από τα γνωστά μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.
Σημαντικό να θυμάστε!
Το εύρος τιμών ημιτόνου και συνημιτόνου: από -1 έως 1. Με άλλα λόγια, το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουν τιμές από -1 έως 1. Το εύρος των τιμών της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή.
Οι ορισμοί που δίνονται παραπάνω αναφέρονται σε οξείες γωνίες. Στην τριγωνομετρία εισάγεται η έννοια της γωνίας περιστροφής, η τιμή της οποίας, σε αντίθεση με την οξεία γωνία, δεν περιορίζεται από πλαίσια από 0 έως 90 μοίρες. Η γωνία περιστροφής σε μοίρες ή ακτίνια εκφράζεται με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από - ∞ έως + ∞.
Σε αυτό το πλαίσιο, μπορεί κανείς να ορίσει το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας αυθαίρετου μεγέθους. Φανταστείτε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο την αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.
Το σημείο εκκίνησης Α με συντεταγμένες (1 , 0) περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του μοναδιαίου κύκλου κατά κάποια γωνία α και πηγαίνει στο σημείο Α 1 . Ο ορισμός δίνεται μέσω των συντεταγμένων του σημείου A 1 (x, y).
Ημίτονο (αμαρτία) της γωνίας περιστροφής
Το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y). sina = y
Συνημίτονο (cos) της γωνίας περιστροφής
Το συνημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). cos α = x
Εφαπτομένη (tg) γωνίας περιστροφής
Η εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τετμημένη του. t g α = y x
Συνεφαπτομένη (ctg) γωνίας περιστροφής
Η συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τεταγμένη του. c t g α = x y
Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αυτό είναι λογικό, γιατί η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου μετά την περιστροφή μπορούν να προσδιοριστούν σε οποιαδήποτε γωνία. Η κατάσταση είναι διαφορετική με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Η εφαπτομένη δεν ορίζεται όταν το σημείο μετά την περιστροφή πηγαίνει στο σημείο με μηδενική τετμημένη (0 , 1) και (0 , - 1). Σε τέτοιες περιπτώσεις, η έκφραση για την εφαπτομένη t g α = y x απλά δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Η κατάσταση είναι παρόμοια με την συνεφαπτομένη. Η διαφορά είναι ότι η συνεφαπτομένη δεν ορίζεται σε περιπτώσεις που η τεταγμένη του σημείου εξαφανίζεται.
Σημαντικό να θυμάστε!
Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες α.
Η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Η συνεφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Όταν αποφασίζει πρακτικά παραδείγματαμην πείτε "ημίτονο της γωνίας περιστροφής α". Οι λέξεις «γωνία περιστροφής» απλώς παραλείπονται, υπονοώντας ότι από τα συμφραζόμενα είναι ήδη ξεκάθαρο τι διακυβεύεται.
Τι γίνεται με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού και όχι της γωνίας περιστροφής;
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη ενός αριθμού
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμού tονομάζεται ένας αριθμός, ο οποίος είναι αντίστοιχα ίσος με το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη στο tακτίνιο.
Για παράδειγμα, το ημίτονο 10 π ίσο με το ημίτονογωνία περιστροφής 10 π rad.
Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά.
Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός tένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο τίθεται σε αντιστοιχία με το κέντρο στην αρχή του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ορίζονται ως προς τις συντεταγμένες αυτού του σημείου.
Το σημείο εκκίνησης στον κύκλο είναι το σημείο Α με συντεταγμένες (1 , 0).
θετικός αριθμός t
Αρνητικός αριθμός tαντιστοιχεί στο σημείο στο οποίο θα κινηθεί το σημείο εκκίνησης αν κινηθεί αριστερόστροφα γύρω από τον κύκλο και περάσει τη διαδρομή t .
Τώρα που εδραιώθηκε η σύνδεση μεταξύ του αριθμού και του σημείου του κύκλου, προχωράμε στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.
Ημίτονο (αμαρτία) του αριθμού t
Ημίτον ενός αριθμού t- τεταγμένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. αμαρτία t = y
Συνημίτονο (συν) του t
Συνημίτονο ενός αριθμού t- τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. cos t = x
Εφαπτομένη (tg) του t
Εφαπτομένη ενός αριθμού t- ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. t g t = y x = αμαρτία t cos t
Οι τελευταίοι ορισμοί είναι συνεπείς και δεν έρχονται σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή αυτής της ενότητας. Σημειώστε έναν κύκλο που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό t, συμπίπτει με το σημείο στο οποίο διέρχεται το σημείο εκκίνησης μετά τη στροφή μέσω της γωνίας tακτίνιο.
Κάθε τιμή της γωνίας α αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του ημιτόνου και του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Όπως όλες οι γωνίες α εκτός από α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή της εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, όπως προαναφέρθηκε, ορίζεται για όλα τα α, εκτός από τα α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Μπορούμε να πούμε ότι τα sin α , cos α , t g α , c t g α είναι συναρτήσεις της γωνίας άλφα, ή συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.
Ομοίως, μπορεί κανείς να μιλήσει για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός tαντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου ενός αριθμού t. Όλοι οι αριθμοί εκτός από π 2 + π · k , k ∈ Z αντιστοιχούν στην τιμή της εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη ορίζεται ομοίως για όλους τους αριθμούς εκτός από π · k , k ∈ Z.
Βασικές συναρτήσεις της τριγωνομετρίας
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα με ποιο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης (γωνιακό όρισμα ή αριθμητικό όρισμα) έχουμε να κάνουμε.
Ας επιστρέψουμε στα δεδομένα στην αρχή των ορισμών και στη γωνία άλφα, η οποία βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες. Οι τριγωνομετρικοί ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης συμφωνούν πλήρως με τους γεωμετρικούς ορισμούς που δίνονται από τους λόγους των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας το δείξουμε.
Πάρτε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ας περιστρέψουμε το σημείο εκκίνησης Α (1, 0) κατά γωνία έως και 90 μοιρών και ας τραβήξουμε από το σημείο Α που προκύπτει 1 (x, y) κάθετα στον άξονα x. Στο ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει, η γωνία A 1 O H είναι ίση με τη γωνία περιστροφής α, το μήκος του σκέλους O H είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1 (x, y) . Το μήκος του ποδιού απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y) και το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με ένα, αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου.
Σύμφωνα με τον ορισμό από τη γεωμετρία, το ημίτονο της γωνίας α είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Αυτό σημαίνει ότι ο ορισμός του ημιτόνου οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσω του λόγου διαστάσεων είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α, με το άλφα να βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες.
Ομοίως, η αντιστοιχία των ορισμών μπορεί να φανεί για συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Οι έννοιες του ημιτόνου (), του συνημίτονος (), της εφαπτομένης (), της συνεφαπτομένης () είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την έννοια της γωνίας. Για να κατανοήσουμε καλά αυτές τις, εκ πρώτης όψεως, περίπλοκες έννοιες (που προκαλούν μια κατάσταση φρίκης σε πολλούς μαθητές) και να βεβαιωθούμε ότι «ο διάβολος δεν είναι τόσο τρομακτικός όσο είναι ζωγραφισμένος», ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας καταλάβουμε την έννοια της γωνίας.
Ας δούμε την εικόνα. Το διάνυσμα «γύρισε» σε σχέση με το σημείο κατά ένα ορισμένο ποσό. Άρα το μέτρο αυτής της περιστροφής σε σχέση με την αρχική θέση θα είναι ένεση.
Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για την έννοια της γωνίας; Λοιπόν, μονάδες γωνίας, φυσικά!
Η γωνία, τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τριγωνομετρία, μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες και ακτίνια.
Η γωνία σε (μία μοίρα) είναι η κεντρική γωνία του κύκλου, με βάση ένα κυκλικό τόξο ίσο με το τμήμα του κύκλου. Έτσι, ολόκληρος ο κύκλος αποτελείται από «κομμάτια» κυκλικών τόξων ή η γωνία που περιγράφει ο κύκλος είναι ίση.
Δηλαδή, το παραπάνω σχήμα δείχνει μια γωνία που είναι ίση, δηλαδή αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο στο μέγεθος της περιφέρειας.
Μια γωνία σε ακτίνια ονομάζεται η κεντρική γωνία ενός κύκλου, που βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Λοιπόν, κατάλαβες; Αν όχι, τότε ας δούμε την εικόνα.
Έτσι, το σχήμα δείχνει μια γωνία ίση με ένα ακτίνιο, δηλαδή, αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου (το μήκος είναι ίσο με το μήκος ή την ακτίνα ίσο με μήκοςτόξα). Έτσι, το μήκος του τόξου υπολογίζεται από τον τύπο:
Πού είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.
Λοιπόν, γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να απαντήσετε σε πόσα ακτίνια περιέχει μια γωνία που περιγράφεται από έναν κύκλο; Ναι, για αυτό πρέπει να θυμάστε τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου. Εδώ είναι αυτή:
Λοιπόν, τώρα ας συσχετίσουμε αυτούς τους δύο τύπους και ας πάρουμε ότι η γωνία που περιγράφεται από τον κύκλο είναι ίση. Δηλαδή, συσχετίζοντας την τιμή σε μοίρες και ακτίνια, παίρνουμε αυτό. Αντίστοιχα, . Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τους "βαθμούς", η λέξη "ακτίνιο" παραλείπεται, καθώς η μονάδα μέτρησης είναι συνήθως ξεκάθαρη από τα συμφραζόμενα.
Πόσα είναι τα ακτίνια; Σωστά!
Το έπιασα? Στη συνέχεια, στερεώστε προς τα εμπρός:
Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε κοίτα απαντήσεις:
Έτσι, με την έννοια της γωνίας κατανοητή. Τι είναι όμως το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη μιας γωνίας; Ας το καταλάβουμε. Για αυτό, ένα ορθογώνιο τρίγωνο θα μας βοηθήσει.
Πώς ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου; Σωστά, η υποτείνουσα και τα πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι ορθή γωνία(στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η πλευρά). τα πόδια είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές και (αυτές που γειτνιάζουν με τη σωστή γωνία), επιπλέον, αν λάβουμε υπόψη τα πόδια ως προς τη γωνία, τότε το πόδι είναι το διπλανό πόδι και το πόδι είναι το αντίθετο. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;
Ημίτονο γωνίαςείναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
στο τρίγωνο μας.
Συνημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υπόταση.
στο τρίγωνο μας.
Εφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) ποδιού προς το διπλανό (κοντά).
στο τρίγωνο μας.
Συμεφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).
στο τρίγωνο μας.
Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι θα διαιρέσετε με τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςκαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να δημιουργήσετε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:
συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;
Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ως λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (σε μία γωνία). Δεν πιστεύω? Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας. Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο: , αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας από ένα τρίγωνο: . Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.
Εάν καταλαβαίνετε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και διορθώστε τους!
Για το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε.
Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία.
Κατανοώντας τις έννοιες των μοιρών και των ακτίνων, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με. Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Είναι πολύ χρήσιμο στη μελέτη της τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, μένουμε σε αυτό με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος είναι χτισμένος στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η ακτίνα).
Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε το θεωρούμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ορθογώνιο γιατί είναι κάθετο στον άξονα.
Τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Σωστά. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, και επομένως, . Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο συνημιτόνου μας. Να τι συμβαίνει:
Και τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Λοιπόν, φυσικά,! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:
Λοιπόν, μπορείτε να μου πείτε ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Και αν το αντιλαμβάνεστε και είστε απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη! Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Σωστά, συντονίσου! Έτσι, το σημείο.
Και τι είναι τότε ίσα και; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους κατάλληλους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας πάρουμε ότι, α.
Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Εδώ, για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:
Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, στρέφουμε ξανά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο: μια γωνία (όπως δίπλα σε μια γωνία). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας; Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη. η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - η συντεταγμένη. και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις είναι εφαρμόσιμες σε οποιεσδήποτε περιστροφές του διανύσματος ακτίνας.
Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα. Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα έχετε επίσης μια γωνία συγκεκριμένου μεγέθους, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα - αρνητικός.
Άρα, γνωρίζουμε ότι μια ολόκληρη περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι ή. Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά ή κατά; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, επομένως, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση ή.
Στη δεύτερη περίπτωση, δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση ή.
Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια γωνία. Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία κ.ο.κ. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός)
Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε με ποιες τιμές ισούνται με:
Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:
Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:
Από εδώ προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα της γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία στο αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες, επομένως:
Δεν υπάρχει;
Περαιτέρω, ακολουθώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες στο αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες, αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.
Απαντήσεις:
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:
Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και, που δίνονται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμόμαστε:
Μην φοβάστε, τώρα θα δείξουμε ένα από τα παραδείγματα μάλλον απλή απομνημόνευση των αντίστοιχων τιμών:
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις τιμές του ημιτόνου και για τα τρία μέτρα της γωνίας (), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μέσα. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές, είναι πολύ εύκολο να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημίτονου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:
Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για. Ο αριθμητής " " θα ταιριάζει και ο παρονομαστής " " θα ταιριάζει. Οι τιμές της συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που φαίνονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε ολόκληρη την τιμή από τον πίνακα.
Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του?
Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας βγάλουμε γενικός τύποςγια να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου.
Εδώ, για παράδειγμα, έχουμε έναν τέτοιο κύκλο:
Μας δίνεται ότι το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το σημείο κατά μοίρες.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη του σημείου αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος. Το μήκος του τμήματος αντιστοιχεί στη συντεταγμένη του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με. Το μήκος ενός τμήματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:
Τότε έχουμε ότι για το σημείο η συντεταγμένη.
Με την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο. Ετσι,
Έτσι μέσα γενική εικόναΟι σημειακές συντεταγμένες καθορίζονται από τους τύπους:
Συντεταγμένες κέντρου κύκλου,
ακτίνα κύκλου,
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας.
Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, καθώς οι συντεταγμένες του κέντρου είναι μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:
1. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν μοναδιαίο κύκλο που λαμβάνεται με την ενεργοποίηση ενός σημείου.
2. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει από την περιστροφή ενός σημείου επάνω.
3. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει με την ενεργοποίηση ενός σημείου.
4. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.
5. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.
Λύστε αυτά τα πέντε παραδείγματα (ή κατανοήστε καλά τη λύση) και θα μάθετε πώς να τα βρείτε!
1.
Μπορεί να φανεί ότι. Και ξέρουμε τι αντιστοιχεί σε μια πλήρη στροφή του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:
2. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:
Μπορεί να φανεί ότι. Γνωρίζουμε τι αντιστοιχεί σε δύο πλήρεις περιστροφές του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:
Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι τιμές πίνακα. Θυμόμαστε τις αξίες τους και παίρνουμε:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
3. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:
Μπορεί να φανεί ότι. Ας απεικονίσουμε το εξεταζόμενο παράδειγμα στο σχήμα:
Η ακτίνα κάνει γωνίες με τον άξονα ίσο με και. Γνωρίζοντας ότι οι πινακοποιημένες τιμές του συνημιτόνου και του ημιτόνου είναι ίσες και έχοντας καθορίσει ότι το συνημίτονο εδώ παίρνει μια αρνητική τιμή και το ημίτονο είναι θετικό, έχουμε:
Παρόμοια παραδείγματα αναλύονται λεπτομερέστερα κατά τη μελέτη των τύπων για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο θέμα.
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
4.
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη)
Για να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα πρόσημα ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, κατασκευάζουμε έναν μοναδιαίο κύκλο και μια γωνία:
Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή, δηλαδή, είναι θετική και η τιμή, δηλαδή, είναι αρνητική. Γνωρίζοντας τις πινακοποιημένες τιμές των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε ότι:
Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο μας και ας βρούμε τις συντεταγμένες:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
5. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τύπους σε γενική μορφή, όπου
Οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (στο παράδειγμά μας,
Ακτίνα κύκλου (ανά συνθήκη)
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη).
Αντικαταστήστε όλες τις τιμές στον τύπο και λάβετε:
και - τιμές πίνακα. Τα θυμόμαστε και τα αντικαθιστούμε στον τύπο:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς το διπλανό (κοντά).
Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς το αντίθετο (μακριά).
Εντολή
Σχετικά βίντεο
Σημείωση
Κατά τον υπολογισμό των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, η γνώση των χαρακτηριστικών του μπορεί να παίξει:
1) Εάν το σκέλος μιας ορθής γωνίας βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 μοιρών, τότε αυτό τα μισαυποτείνουσα;
2) Η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα πόδια.
3) Εάν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το κέντρο του πρέπει να βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Για να υπολογίσουμε το μήκος του, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος ενός σκέλους και την τιμή μιας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου.
Εντολή
Ενημερώστε μας ένα από τα σκέλη και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα του. Για βεβαιότητα, ας είναι το πόδι |AB| και γωνία α. Στη συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την τριγωνομετρική αναλογία συνημιτόνου - συνημιτόνου του διπλανού σκέλους προς. Εκείνοι. στον συμβολισμό μας cos α = |AB| / |AC|. Από εδώ παίρνουμε το μήκος της υποτείνουσας |AC| = |AB| / cosα.
Αν γνωρίζουμε το πόδι |π.Χ.| και γωνία α, στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας - το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα: sin α = |BC| / |AC|. Παίρνουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας βρίσκεται ως |AC| = |π.Χ.| / cosα.
Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε ένα παράδειγμα. Έστω το μήκος του ποδιού |AB| = 15. Και η γωνία α = 60°. Παίρνουμε |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Σκεφτείτε πώς μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμά σας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους |BC|. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εφαπτομένη της γωνίας tg α = |BC| / |AC|, λαμβάνουμε |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Η επαλήθευση έχει γίνει.
Αφού υπολογίσετε την υποτείνουσα, ελέγξτε αν η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Πηγές:
Πόδιαονομάστε τις δύο μικρές πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που αποτελούν την κορυφή του, η τιμή του οποίου είναι 90 °. Η τρίτη πλευρά σε ένα τέτοιο τρίγωνο ονομάζεται υποτείνουσα. Όλες αυτές οι πλευρές και γωνίες του τριγώνου συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε το μήκος του σκέλους εάν είναι γνωστές πολλές άλλες παράμετροι.
Εντολή
Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για το σκέλος (Α) εάν γνωρίζετε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Β και Γ) του ορθογωνίου τριγώνου. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το άθροισμα των μηκών των ποδιών στο τετράγωνο είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι το μήκος καθενός από τα πόδια είναι ίσο με τετραγωνική ρίζααπό τα μήκη της υποτείνουσας και του δεύτερου σκέλους: A=√(C²-B²).
Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της άμεσης τριγωνομετρικής συνάρτησης "ημιτονοειδές" για μια οξεία γωνία, εάν γνωρίζετε την τιμή της γωνίας (α) απέναντι από το υπολογιζόμενο σκέλος και το μήκος της υποτείνουσας (C). Αυτό δηλώνει ότι το ημίτονο αυτού του γνωστού είναι ο λόγος του μήκους του επιθυμητού σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας. Αυτό είναι ότι το μήκος του επιθυμητού σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του ημιτόνου της γνωστής γωνίας: A=C∗sin(α). Για τις ίδιες γνωστές τιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συντομή και να υπολογίσετε το επιθυμητό μήκος διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με τη συνοδική τιμή της γνωστής γωνίας A=C/cosec(α).
Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της ευθείας τριγωνομετρικής συνάρτησης συνημιτόνου εάν, εκτός από το μήκος της υποτείνουσας (C), είναι γνωστή και η τιμή της οξείας γωνίας (β) δίπλα στην απαιτούμενη. Το συνημίτονο αυτής της γωνίας είναι ο λόγος των μηκών του επιθυμητού σκέλους και της υποτείνουσας, και από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μήκος του σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της γνωστής γωνίας: A=C∗cos(β). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό της συνάρτησης τομής και να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με την τομή της γνωστής γωνίας A=C/sec(β).
Εξάγετε τον απαιτούμενο τύπο από παρόμοιο ορισμό για την παράγωγο της εφαπτομένης της τριγωνομετρικής συνάρτησης, εάν, εκτός από την τιμή της οξείας γωνίας (α) που βρίσκεται απέναντι από το επιθυμητό σκέλος (Α), το μήκος του δεύτερου σκέλους (Β) είναι γνωστός. Η εφαπτομένη της γωνίας απέναντι από το επιθυμητό σκέλος είναι ο λόγος του μήκους αυτού του σκέλους προς το μήκος του δεύτερου σκέλους. Επομένως, η επιθυμητή τιμή θα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους διάσημο πόδιστην εφαπτομένη γνωστής γωνίας: A=B∗tg(α). Από αυτές τις ίδιες γνωστές ποσότητες, ένας άλλος τύπος μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης συνεφαπτομένης. Στην περίπτωση αυτή, για τον υπολογισμό του μήκους του σκέλους, θα χρειαστεί να βρεθεί ο λόγος του μήκους του γνωστού σκέλους προς την συνεφαπτομένη της γνωστής γωνίας: A=B/ctg(α).
Σχετικά βίντεο
Η λέξη "katet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. ΣΤΟ Ακριβής μετάφρασησημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, τα σκέλη ονομάζονται πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος "πόδι" χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την τεχνολογία συγκόλλησης.
Και τα δύο σκέλη είναι αλληλένδετα και συνεφαπτομένα. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηη εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή το αντίθετο σκέλος προς το διπλανό. Αυτή η αναλογία μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a.
Η αναλογία μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών προσδιορίστηκε από αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρας. Το θεώρημα, το όνομά του, οι άνθρωποι εξακολουθούν να χρησιμοποιούν. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισματετράγωνα των ποδιών, δηλαδή c2=a2+b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b=√(c2-a2).
Το μήκος του ποδιού μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω των σχέσεων που γνωρίζετε. Σύμφωνα με τα θεωρήματα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, το σκέλος είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας και μιας από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορείτε να το εκφράσετε και ή συνεφαπτομένη. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τον τύπο a \u003d b * tan CAB. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή , προσδιορίζεται το δεύτερο σκέλος.
Στην αρχιτεκτονική χρησιμοποιείται και ο όρος «πόδι». Εφαρμόζεται σε ιωνικό κιονόκρανο και βυθίζεται στο μέσο της πλάτης του. Δηλαδή, σε αυτήν την περίπτωση, με αυτόν τον όρο, η κάθετη στη δεδομένη ευθεία.
Στην τεχνολογία συγκόλλησης, υπάρχει ένα "πόδι μιας συγκόλλησης φιλέτου". Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλαμεπερίπου το διάκενο μεταξύ ενός από τα προς συγκόλληση εξαρτημάτων στο όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια του άλλου τμήματος.
Σχετικά βίντεο
Πηγές:
Ένας από τους κλάδους των μαθηματικών με τους οποίους οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις μεγαλύτερες δυσκολίες είναι η τριγωνομετρία. Δεν είναι περίεργο: για να κατακτήσετε ελεύθερα αυτόν τον τομέα γνώσης, χρειάζεστε χωρική σκέψη, την ικανότητα να βρίσκετε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες, συνεφαπτομένες χρησιμοποιώντας τύπους, απλοποιώντας εκφράσεις και να μπορείτε να χρησιμοποιείτε τον αριθμό pi στους υπολογισμούς. Επιπλέον, πρέπει να είστε σε θέση να εφαρμόζετε τριγωνομετρία όταν αποδεικνύετε θεωρήματα, και αυτό απαιτεί είτε μια ανεπτυγμένη μαθηματική μνήμη είτε την ικανότητα εξαγωγής σύνθετων λογικών αλυσίδων.
Η γνωριμία με αυτήν την επιστήμη θα πρέπει να ξεκινήσει με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης της γωνίας, αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι κάνει η τριγωνομετρία γενικά.
Ιστορικά, τα ορθογώνια τρίγωνα ήταν το κύριο αντικείμενο μελέτης σε αυτό το τμήμα της μαθηματικής επιστήμης. Η παρουσία γωνίας 90 μοιρών καθιστά δυνατή την εκτέλεση διαφόρων εργασιών που επιτρέπουν σε κάποιον να προσδιορίσει τις τιμές όλων των παραμέτρων του υπό εξέταση σχήματος χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και μία γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά. Στο παρελθόν, οι άνθρωποι παρατήρησαν αυτό το μοτίβο και άρχισαν να το χρησιμοποιούν ενεργά στην κατασκευή κτιρίων, στη ναυσιπλοΐα, στην αστρονομία, ακόμη και στην τέχνη.
Αρχικά, οι άνθρωποι μίλησαν για τη σχέση γωνιών και πλευρών αποκλειστικά στο παράδειγμα των ορθογωνίων τριγώνων. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκαν ειδικοί τύποι που επέτρεψαν την επέκταση των ορίων χρήσης Καθημερινή ζωήαυτόν τον κλάδο των μαθηματικών.
Η μελέτη της τριγωνομετρίας στο σχολείο σήμερα ξεκινά με ορθογώνια τρίγωνα, μετά τα οποία η γνώση που αποκτάται χρησιμοποιείται από τους μαθητές στη φυσική και στην επίλυση αφηρημένων προβλημάτων. τριγωνομετρικές εξισώσεις, εργασία με την οποία ξεκινά από το λύκειο.
Αργότερα, όταν η επιστήμη έφτασε στο επόμενο επίπεδο ανάπτυξης, οι τύποι με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη άρχισαν να χρησιμοποιούνται στη σφαιρική γεωμετρία, όπου ισχύουν διαφορετικοί κανόνες και το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι πάντα πάνω από 180 μοίρες. Αυτό το τμήμα δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την ύπαρξή του, τουλάχιστον επειδή η επιφάνεια της γης και η επιφάνεια οποιουδήποτε άλλου πλανήτη είναι κυρτή, πράγμα που σημαίνει ότι οποιαδήποτε επιφανειακή σήμανση θα έχει "σχήμα τόξου" τρισδιάστατο χώρο.
Πάρτε την υδρόγειο και περάστε κλωστή. Στερεώστε το νήμα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υδρογείου, έτσι ώστε να είναι τεντωμένο. Δώστε προσοχή - έχει αποκτήσει το σχήμα τόξου. Είναι με τέτοιες μορφές που ασχολείται η σφαιρική γεωμετρία, η οποία χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, την αστρονομία και άλλα θεωρητικά και εφαρμοσμένα πεδία.
Έχοντας μάθει λίγο για τους τρόπους χρήσης της τριγωνομετρίας, ας επιστρέψουμε στη βασική τριγωνομετρία για να κατανοήσουμε περαιτέρω τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη, ποιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με τη βοήθειά τους και ποιους τύπους να χρησιμοποιήσουμε.
Το πρώτο βήμα είναι να κατανοήσουμε τις έννοιες που σχετίζονται με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Πρώτον, η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Είναι η πιο μακριά. Θυμόμαστε ότι, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η αριθμητική του τιμή είναι ίση με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.
Για παράδειγμα, εάν δύο πλευρές είναι 3 και 4 εκατοστά αντίστοιχα, το μήκος της υποτείνουσας θα είναι 5 εκατοστά. Παρεμπιπτόντως, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν για αυτό περίπου τεσσεράμισι χιλιάδες χρόνια πριν.
Οι δύο υπόλοιπες πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. Επιπλέον, πρέπει να θυμόμαστε ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι 180 μοίρες.
Τέλος, με μια στέρεη κατανόηση της γεωμετρικής βάσης, μπορούμε να στραφούμε στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας.
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (δηλαδή, της πλευράς απέναντι από την επιθυμητή γωνία) προς την υποτείνουσα. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Να θυμάστε ότι ούτε ημίτονο ούτε συνημίτονο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα! Γιατί; Επειδή η υποτείνουσα είναι από προεπιλογή η μεγαλύτερη.Όσο μήκος και να είναι το σκέλος, θα είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα, που σημαίνει ότι η αναλογία τους θα είναι πάντα μικρότερη από ένα. Έτσι, εάν λάβετε ένα ημίτονο ή συνημίτονο με τιμή μεγαλύτερη από 1 στην απάντηση στο πρόβλημα, αναζητήστε σφάλμα στους υπολογισμούς ή τη συλλογιστική. Αυτή η απάντηση είναι σαφώς λανθασμένη.
Τέλος, η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Το ίδιο αποτέλεσμα θα δώσει τη διαίρεση του ημιτόνου με το συνημίτονο. Κοιτάξτε: σύμφωνα με τον τύπο, διαιρούμε το μήκος της πλευράς με την υποτείνουσα, μετά την οποία διαιρούμε με το μήκος της δεύτερης πλευράς και πολλαπλασιάζουμε με την υποτείνουσα. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο λόγο όπως στον ορισμό της εφαπτομένης.
Η συνεφαπτομένη, αντίστοιχα, είναι η αναλογία της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα διαιρώντας τη μονάδα με την εφαπτομένη.
Έτσι, εξετάσαμε τους ορισμούς του τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη και μπορούμε να ασχοληθούμε με τύπους.
Στην τριγωνομετρία, δεν μπορεί κανείς να κάνει χωρίς τύπους - πώς να βρει ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη χωρίς αυτούς; Και αυτό ακριβώς απαιτείται κατά την επίλυση προβλημάτων.
Ο πρώτος τύπος που πρέπει να γνωρίζετε όταν ξεκινάτε να μελετάτε την τριγωνομετρία λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα. Αυτός ο τύπος είναι άμεση συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος, αλλά εξοικονομεί χρόνο εάν θέλετε να μάθετε την τιμή της γωνίας και όχι της πλευράς.
Πολλοί μαθητές δεν μπορούν να θυμηθούν τον δεύτερο τύπο, ο οποίος είναι επίσης πολύ δημοφιλής στην επίλυση σχολικές εργασίες: το άθροισμα του ενός και του τετραγώνου της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι ίσο με ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο του συνημιτόνου της γωνίας. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά: τελικά, αυτή είναι η ίδια δήλωση όπως στον πρώτο τύπο, μόνο και οι δύο πλευρές της ταυτότητας διαιρούνταν με το τετράγωνο του συνημίτονο. Αποδεικνύεται ότι μια απλή μαθηματική πράξη κάνει τον τριγωνομετρικό τύπο εντελώς αγνώριστο. Θυμηθείτε: γνωρίζοντας τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, τους κανόνες μετατροπής και μερικούς βασικούς τύπους, μπορείτε ανά πάσα στιγμή να αντλήσετε τα απαιτούμενα περισσότερα σύνθετους τύπουςσε ένα κομμάτι χαρτί.
Δύο ακόμη τύποι που πρέπει να μάθετε σχετίζονται με τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου για το άθροισμα και τη διαφορά των γωνιών. Φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Λάβετε υπόψη ότι στην πρώτη περίπτωση, το ημίτονο και το συνημίτονο πολλαπλασιάζονται και τις δύο φορές, και στη δεύτερη, προστίθεται το ζεύγος γινόμενο του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
Υπάρχουν επίσης τύποι που σχετίζονται με ορίσματα διπλής γωνίας. Προέρχονται πλήρως από τα προηγούμενα - ως πρακτική, προσπαθήστε να τα αποκτήσετε μόνοι σας, παίρνοντας τη γωνία του άλφα ίση με τη γωνία του βήτα.
Τέλος, σημειώστε ότι οι τύποι διπλής γωνίας μπορούν να μετατραπούν για μείωση του βαθμού ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης άλφα.
Τα δύο κύρια θεωρήματα στη βασική τριγωνομετρία είναι το ημιτονικό θεώρημα και το συνημιτονικό θεώρημα. Με τη βοήθεια αυτών των θεωρημάτων, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, και επομένως την περιοχή του σχήματος και το μέγεθος κάθε πλευράς κ.λπ.
Το ημιτονικό θεώρημα δηλώνει ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους καθεμιάς από τις πλευρές του τριγώνου με την τιμή της αντίθετης γωνίας, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με δύο ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή τον κύκλο που περιέχει όλα τα σημεία του δεδομένου τριγώνου.
Το θεώρημα συνημιτόνου γενικεύει το πυθαγόρειο θεώρημα, προβάλλοντάς το σε οποιαδήποτε τρίγωνα. Αποδεικνύεται ότι από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, αφαιρέστε το γινόμενο τους, πολλαπλασιασμένο με το διπλό συνημίτονο της γωνίας που γειτνιάζει με αυτά - η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο της τρίτης πλευράς. Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται ότι είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου.
Ακόμη και αν γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη, είναι εύκολο να κάνουμε ένα λάθος λόγω απουσίας ή λάθους στους απλούστερους υπολογισμούς. Για να αποφύγουμε τέτοια λάθη, ας γνωρίσουμε τα πιο δημοφιλή από αυτά.
Πρώτον, δεν πρέπει να μετατρέψετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα - μπορείτε να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα κοινό κλάσμαεκτός εάν η προϋπόθεση ορίζει διαφορετικά. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν μπορεί να ονομαστεί λάθος, αλλά θα πρέπει να θυμόμαστε ότι σε κάθε στάδιο της εργασίας, μπορεί να εμφανιστούν νέες ρίζες, οι οποίες, σύμφωνα με την ιδέα του συγγραφέα, θα πρέπει να μειωθούν. Σε αυτή την περίπτωση, θα χάσετε χρόνο σε περιττές μαθηματικές πράξεις. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τιμές όπως η ρίζα των τριών ή δύο, επειδή εμφανίζονται σε εργασίες σε κάθε βήμα. Το ίδιο ισχύει και για τη στρογγυλοποίηση «άσχημων» αριθμών.
Επιπλέον, σημειώστε ότι το θεώρημα συνημιτόνου ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο, αλλά όχι για το Πυθαγόρειο θεώρημα! Εάν ξεχάσετε κατά λάθος να αφαιρέσετε το διπλάσιο του γινόμενου των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους, όχι μόνο θα έχετε ένα εντελώς λάθος αποτέλεσμα, αλλά θα δείξετε και μια πλήρη παρανόηση του θέματος. Αυτό είναι χειρότερο από ένα απρόσεκτο λάθος.
Τρίτον, μην συγχέετε τις τιμές για γωνίες 30 και 60 μοιρών για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες, συνεφαπτομένες. Θυμηθείτε αυτές τις τιμές, γιατί το ημίτονο των 30 μοιρών είναι ίσο με το συνημίτονο του 60 και αντίστροφα. Είναι εύκολο να τα ανακατέψετε, με αποτέλεσμα να έχετε αναπόφευκτα ένα λανθασμένο αποτέλεσμα.
Πολλοί μαθητές δεν βιάζονται να αρχίσουν να σπουδάζουν τριγωνομετρία, επειδή δεν κατανοούν την εφαρμοσμένη σημασία της. Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη για έναν μηχανικό ή αστρονόμο; Αυτές είναι έννοιες χάρη στις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση από μακρινά αστέρια, να προβλέψετε την πτώση ενός μετεωρίτη, να στείλετε έναν ερευνητικό ανιχνευτή σε άλλο πλανήτη. Χωρίς αυτά, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα κτίριο, να σχεδιαστεί ένα αυτοκίνητο, να υπολογιστεί το φορτίο στην επιφάνεια ή η τροχιά ενός αντικειμένου. Και αυτά είναι μόνο τα πιο προφανή παραδείγματα! Εξάλλου, η τριγωνομετρία με τη μία ή την άλλη μορφή χρησιμοποιείται παντού, από τη μουσική μέχρι την ιατρική.
Άρα είστε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη. Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε σε υπολογισμούς και να λύσετε με επιτυχία σχολικά προβλήματα.
Η όλη ουσία της τριγωνομετρίας συνοψίζεται στο γεγονός ότι οι άγνωστες παράμετροι πρέπει να υπολογίζονται από τις γνωστές παραμέτρους του τριγώνου. Υπάρχουν έξι παράμετροι συνολικά: μήκη τρεις πλευρέςκαι τις διαστάσεις των τριών γωνιών. Η όλη διαφορά στις εργασίες έγκειται στο γεγονός ότι δίνονται διαφορετικά δεδομένα εισόδου.
Πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη με βάση τα γνωστά μήκη των ποδιών ή την υποτείνουσα, ξέρετε τώρα. Δεδομένου ότι αυτοί οι όροι δεν σημαίνουν τίποτα περισσότερο από έναν λόγο και ο λόγος είναι ένα κλάσμα, ο κύριος στόχος του τριγωνομετρικού προβλήματος είναι να βρει τις ρίζες μιας συνηθισμένης εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Και εδώ θα σας βοηθήσουν τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά.
Μεσαίο επίπεδο
Στα προβλήματα, μια ορθή γωνία δεν είναι καθόλου απαραίτητη - η κάτω αριστερή, επομένως πρέπει να μάθετε πώς να αναγνωρίζετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτήν τη μορφή,
και σε τέτοια
και σε τέτοια 
Τι είναι καλό σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Λοιπόν... πρώτα από όλα, υπάρχουν ειδικές όμορφα ονόματαγια τα πλευρά του.
Προσοχή στο σχέδιο!
Θυμηθείτε και μην μπερδεύετε: πόδια - δύο, και η υποτείνουσα - μόνο ένα(το μόνο, μοναδικό και μακρύτερο)!
Λοιπόν, συζητήσαμε τα ονόματα, τώρα το πιο σημαντικό πράγμα: το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Αυτό το θεώρημα είναι το κλειδί για την επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ο Πυθαγόρας το απέδειξε τέλεια αμνημονεύτων χρόνων, και από τότε έχει φέρει πολλά οφέλη σε όσους τη γνωρίζουν. Και το καλύτερο για αυτήν είναι ότι είναι απλή.
Ετσι, Πυθαγόρειο θεώρημα:
Θυμάστε το αστείο: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές!»;
Ας ζωγραφίσουμε αυτά τα πολύ πυθαγόρεια παντελόνια και ας τα δούμε. 
Μοιάζει πραγματικά με σορτς; Λοιπόν, σε ποιες πλευρές και πού είναι ίσες; Γιατί και από πού προήλθε το αστείο; Και αυτό το αστείο συνδέεται ακριβώς με το Πυθαγόρειο θεώρημα, πιο συγκεκριμένα με τον τρόπο που διατύπωσε το θεώρημά του ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Και το διατύπωσε ως εξής:
"Αθροισμα περιοχή των πλατειών, χτισμένο στα πόδια, ισούται με τετραγωνική έκτασηχτισμένο πάνω στην υποτείνουσα.
Δεν ακούγεται λίγο διαφορετικό, έτσι δεν είναι; Και έτσι, όταν ο Πυθαγόρας σχεδίασε τη δήλωση του θεωρήματός του, αποδείχθηκε ακριβώς μια τέτοια εικόνα.
Σε αυτή την εικόνα, το άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Και για να θυμούνται καλύτερα τα παιδιά ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάποιος πνευματώδης επινόησε αυτό το αστείο για το πυθαγόρειο παντελόνι.
Γιατί διατυπώνουμε τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα
Υπέφερε ο Πυθαγόρας και μίλησε για τετράγωνα;
Βλέπετε, στα αρχαία χρόνια δεν υπήρχε ... άλγεβρα! Δεν υπήρχαν σημάδια και ούτω καθεξής. Δεν υπήρχαν επιγραφές. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο τρομερό ήταν για τους φτωχούς αρχαίους μαθητές να απομνημονεύουν τα πάντα με λέξεις;;! Και μπορούμε να χαιρόμαστε που έχουμε μια απλή διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας το επαναλάβουμε για να θυμηθούμε καλύτερα:
Τώρα πρέπει να είναι εύκολο:
| Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. |
Λοιπόν, συζητήθηκε το πιο σημαντικό θεώρημα για ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν σας ενδιαφέρει πώς αποδεικνύεται, διαβάστε τα επόμενα επίπεδα θεωρίας, και τώρα ας προχωρήσουμε ... στο σκοτεινό δάσος ... της τριγωνομετρίας! Στις φοβερές λέξεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο "πραγματικός" ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλετε, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:
Γιατί είναι όλα για τη γωνία; Πού είναι η γωνία; Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς γράφονται με λέξεις οι δηλώσεις 1 - 4. Κοίτα, κατάλαβε και θυμήσου!
1.
Στην πραγματικότητα ακούγεται έτσι:
Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει ένα πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή το αντίθετο πόδι (για τη γωνία); Φυσικά και έχουν! Αυτός είναι ένας καθετήρας!
Τι γίνεται όμως με τη γωνία; Κοίτα προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, η γάτα. Έτσι, για τη γωνία, το πόδι είναι γειτονικό, και
Και τώρα, προσοχή! Δείτε τι πήραμε:
Δείτε πόσο υπέροχο είναι:
Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.
Πώς να το εκφράσω με λέξεις τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Και ο καθετήρας; Δίπλα στη γωνία. Τι πήραμε λοιπόν;
Δείτε πώς αντιστρέφονται ο αριθμητής και ο παρονομαστής;
Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε η ανταλλαγή:
Ας γράψουμε εν συντομία όσα μάθαμε.
 |
Πυθαγόρειο θεώρημα: |
Το θεώρημα του κύριου ορθογωνίου τριγώνου είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Αν όχι, τότε κοιτάξτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας
Είναι πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα. Πώς θα το αποδείξεις; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.
Βλέπετε πόσο πονηρά χωρίσαμε τις πλευρές του σε τμήματα μήκους και!
Τώρα ας συνδέσουμε τα σημειωμένα σημεία
Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι δείτε την εικόνα και σκεφτείτε γιατί.
Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου; Σωστά, . Τι γίνεται με τη μικρότερη περιοχή; Σίγουρα,. Η συνολική έκταση των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι πήραμε δύο από αυτά και ακουμπήσαμε ο ένας στον άλλο με υποτείνουσες. Τι συνέβη? Δύο ορθογώνια. Έτσι, η περιοχή των "μοσχευμάτων" είναι ίση.
Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.
Ας μεταμορφώσουμε:
Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.
Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:
Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα
Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος.
Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.
Και για άλλη μια φορά, όλα αυτά με τη μορφή ενός πιάτου:
Είναι πολύ άνετο!
I. Σε δύο πόδια
II. Με το πόδι και την υπόταση
III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία
IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία
ένα) 
σι) 
Προσοχή! Εδώ είναι πολύ σημαντικό τα πόδια να είναι «αντίστοιχα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:
ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.
Πρέπει να και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν γειτονικό, ή και στα δύο - απέναντι.
Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων; Κοιτάξτε το θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, χρειάζεστε την ισότητα των τριών στοιχείων τους: δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, δύο γωνίες και μια πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές. Για την ισότητα όμως των ορθογώνιων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Είναι υπέροχο, σωστά;
Περίπου η ίδια κατάσταση με σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων.
Ι. Οξεία γωνία
II. Σε δύο πόδια
III. Με το πόδι και την υπόταση
Γιατί έτσι?
Θεωρήστε ένα ολόκληρο ορθογώνιο αντί για ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;
Και τι προκύπτει από αυτό;
Έγινε λοιπόν αυτό
Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!
Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο.
Τι όφελος μπορεί να ωφεληθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με τη μισή υποτείνουσα; Ας δούμε την εικόνα
Κοίτα προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά σε ένα τρίγωνο υπάρχει μόνο ένα σημείο, οι αποστάσεις από το οποίο περίπου και οι τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥ. Λοιπόν τι έγινε?
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «άλλωστε...».
Ας δούμε το i.
Αλλά σε παρόμοια τρίγωνα όλες οι γωνίες είναι ίσες!
Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και
Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:
Τι χρήση μπορεί να αντλήσει από αυτή την «τριπλή» ομοιότητα.
Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Γράφουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:
Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":
Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .
Τι θα γίνει τώρα;
Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:
Και οι δύο αυτοί τύποι πρέπει να θυμόμαστε πολύ καλά και αυτός που είναι πιο βολικό να εφαρμοστεί. Ας τα ξαναγράψουμε.
Πυθαγόρειο θεώρημα:
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών:.
Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:
Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο
Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντλείται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας: .
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:
.jpg)
