Θυμηθείτε από την ύλη του προηγούμενου μαθήματος ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται τρίγωνο αν έχει τουλάχιστον μία από τις γωνίες της ευθείας (δηλαδή ίση με 90 o).
Σκεφτείτε πρώτο σημάδιισότητα τριγώνου: αν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Ας δείξουμε αυτή την περίπτωση:
Ρύζι. 1. Ίσα ορθογώνια τρίγωνα
Απόδειξη:
Θυμηθείτε την πρώτη ισότητα αυθαίρετων τριγώνων.
Ρύζι. 2
Αν δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους ενός τριγώνου και των αντίστοιχων δύο πλευρών και η μεταξύ τους γωνία του δεύτερου τριγώνου είναι ίσες, τότε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα. Αυτό δηλώνεται από το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων, δηλαδή:
Μια παρόμοια απόδειξη ακολουθεί για τα ορθογώνια τρίγωνα:
.
Τα τρίγωνα είναι ίσα στο πρώτο πρόσημο.
Εξετάστε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων. Αν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζουν με αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την παρακείμενη οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Ρύζι. 3
Απόδειξη:
Ρύζι. τέσσερις
Ας χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Μια παρόμοια απόδειξη για ορθογώνια τρίγωνα:
Τα τρίγωνα είναι ίσα στο δεύτερο κριτήριο.
Εξετάστε το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων: εάν η υποτείνουσα και η γειτονική γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την υποτείνουσα και η γωνία δίπλα σε ένα άλλο τρίγωνο, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Απόδειξη:
Ρύζι. 5
Θυμηθείτε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Ρύζι. 6
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:
Εφόσον είναι γνωστό ότι ένα ζεύγος οξειών γωνιών σε ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσο με (∠А = ∠А 1), τότε η ισότητα του άλλου ζεύγους γωνιών (∠B = ∠B 1) αποδεικνύεται ως εξής:
Αφού AB \u003d A 1 B 1 (κατά συνθήκη), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Επομένως, τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα στο δεύτερο πρόσημο.
Εξετάστε το ακόλουθο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Αν το σκέλος και η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την υποτείνουσα ενός άλλου τριγώνου, αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Ρύζι. 7
Απόδειξη:
Ας υπερθέσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1 Β 1 Γ 1. Ας υποθέσουμε ότι οι κορυφές A και A 1 , καθώς και οι C και C 1 επικαλύπτονται, αλλά η κορυφή B και το σημείο B 1 δεν ταιριάζουν. Η περίπτωση αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Ρύζι. οκτώ
Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABB 1 (εξ ορισμού - από τη συνθήκη AB = AB 1). Επομένως, κατά ιδιότητα, ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Εξετάστε τον ορισμό μιας εξωτερικής γωνίας. εξωτερική γωνίατρίγωνο είναι η γωνία δίπλα σε οποιαδήποτε γωνία του τριγώνου. Το μέτρο της μοίρας του είναι ίσο με το άθροισμα των δύο γωνιών ενός τριγώνου που δεν γειτνιάζουν με αυτό. Το σχήμα δείχνει αυτή την αναλογία:
Ρύζι. 9
Η γωνία 5 είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου και ισούται με ∠5 = ∠1 + ∠2. Από αυτό προκύπτει ότι η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις γωνίες που δεν γειτνιάζουν με αυτήν.
Έτσι, το ∠ABB 1 είναι μια εξωτερική γωνία για το τρίγωνο ABC και ισούται με το άθροισμα ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Έτσι, η ∠AB 1 B (που είναι μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABB 1) δεν μπορεί να είναι ίση με τη γωνία ∠ABB 1, επειδή αυτή η γωνία είναι αμβλεία όπως αποδεικνύεται.
Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας σχετικά με τη θέση των σημείων Β και Β 1 αποδείχθηκε λανθασμένη, επομένως αυτά τα σημεία συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 υπερτίθενται. Επομένως, είναι ίσοι (εξ ορισμού).
Έτσι, αυτά τα χαρακτηριστικά δεν εισάγονται μάταια, επειδή μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.
1. Αρ. 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., επιμέλεια Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Education. 2010
2. Με βάση τα δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα, υποδείξτε ίσα τρίγωνα, εάν υπάρχουν.
3. Με βάση τα δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα, υποδείξτε ίσα τρίγωνα, εάν υπάρχουν. Λάβετε υπόψη ότι AC = AF.
4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος και το ύψος σύρονται στην υποτείνουσα. Η γωνία μεταξύ τους είναι 20 o. Προσδιορίστε το μέγεθος καθεμιάς από τις οξείες γωνίες του δεδομένου ορθογωνίου τριγώνου.
Θεωρήστε τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία (Εικ. 1).
Τρίγωνο ονομάζεται ένα μέρος του επιπέδου που οριοθετείται από αυτά τα τμήματα, τα τμήματα ονομάζονται πλευρές του τριγώνου και τα άκρα των τμημάτων (τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή) ονομάζονται κορυφές του τριγώνου.
Ο Πίνακας 1 παραθέτει όλους τους πιθανούς τύπους τριγώνων ανάλογα με το μέγεθος των γωνιών τους .
Πίνακας 1 - Τύποι τριγώνων ανάλογα με το μέγεθος των γωνιών
| Εικόνα | τύπος τριγώνου | Ορισμός |
 | Οξύ Τρίγωνο | Το τρίγωνο που έχει όλες οι γωνίες είναι αιχμηρές , ονομάζεται οξεία |
 | Ορθογώνιο τρίγωνο | Το τρίγωνο που έχει μία από τις ορθές γωνίες , ονομάζεται ορθογώνιο |
 | αμβλύ τρίγωνο | Το τρίγωνο που έχει μια από τις γωνίες είναι αμβλεία , ονομάζεται αμβλύς |
| Οξύ Τρίγωνο |
Ορισμός: Το τρίγωνο που έχει όλες οι γωνίες είναι αιχμηρές , ονομάζεται οξεία |
| Ορθογώνιο τρίγωνο |
Ορισμός: Το τρίγωνο που έχει μία από τις ορθές γωνίες , ονομάζεται ορθογώνιο |
| αμβλύ τρίγωνο |
Ορισμός: Το τρίγωνο που έχει μια από τις γωνίες είναι αμβλεία , ονομάζεται αμβλύς |
Ανάλογα με το μήκος των πλευρών Υπάρχουν δύο σημαντικοί τύποι τριγώνων.
Πίνακας 2 - Ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα
| Εικόνα | τύπος τριγώνου | Ορισμός |
 | Ισοσκελές τρίγωνο | πλευρές, και η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση ισοσκελούς τριγώνου |
 | Ισόπλευρο (σωστό)τρίγωνο | Ένα τρίγωνο στο οποίο και οι τρεις πλευρές είναι ίσες ονομάζεται ισόπλευρο ή ορθογώνιο τρίγωνο. |
| Ισοσκελές τρίγωνο |
Ορισμός: Ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές ονομάζεται ισοσκελές τρίγωνο. Σε αυτή την περίπτωση, καλούνται δύο ίσες πλευρές πλευρές, και η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση ισοσκελούς τριγώνου |
| Ισόπλευρο (κανονικό) τρίγωνο |
Ορισμός: Ένα τρίγωνο στο οποίο και οι τρεις πλευρές είναι ίσες ονομάζεται ισόπλευρο ή ορθογώνιο τρίγωνο. |
Τα τρίγωνα ονομάζονται ίσα αν είναι μπορεί να συνδυαστεί με επικάλυψη .
Ο πίνακας 3 δείχνει σημάδια ισότητας τριγώνων.
Πίνακας 3 - Σημάδια ισότητας τριγώνων
| Εικόνα | Όνομα χαρακτηριστικού | Χαρακτηριστικό σκεύασμα |
 | επί δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους | |
 | Το σύμβολο της ισότητας των τριγώνων επί πλευρά και δύο παρακείμενες γωνίες | |
 | Το σύμβολο της ισότητας των τριγώνων επί τρία κόμματα |
| Το σύμβολο της ισότητας των τριγώνων σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους |
|
| Χαρακτηριστικό σκεύασμα. Εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου και η μεταξύ τους γωνία είναι αντίστοιχα ίσες με τις δύο πλευρές ενός άλλου τριγώνου και η μεταξύ τους γωνία, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα |
| Το σύμβολο της ισότητας των τριγώνων κατά μήκος μιας πλευράς και δύο γωνίες δίπλα σε αυτό |
|
| Χαρακτηριστικό σκεύασμα. Εάν μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα |
| Το σύμβολο της ισότητας των τριγώνων σε τρεις πλευρές |
|
| Χαρακτηριστικό σκεύασμα. Αν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα |
Για τις πλευρές ορθογωνίων τριγώνων, συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα ονόματα.
Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (Εικ. 2), οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται σκέλη.
Πίνακας 4 - Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων
| Εικόνα | Όνομα χαρακτηριστικού | Χαρακτηριστικό σκεύασμα |
 | επί δύο πόδια | Εάν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα |
 | Σημάδι ισότητας ορθογωνίων τριγώνων επί πόδι και παρακείμενη οξεία γωνία | Αν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζουν με αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η οξεία γωνία δίπλα σε αυτό ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα |
 | Σημάδι ισότητας ορθογωνίων τριγώνων επί πόδι και αντίθετη οξεία γωνία | Εάν το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα |
 | Σημάδι ισότητας ορθογωνίων τριγώνων επί υποτείνουσα και οξεία γωνία | Εάν η υποτείνουσα και η οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα |
 | Σημάδι ισότητας ορθογωνίων τριγώνων επί πόδι και υποτείνουσα | Εάν το σκέλος και η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η υποτείνουσα ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα |
| Σημάδι ισότητας ορθογωνίων τριγώνων σε δύο σκέλη |
Για να διαπιστωθεί η ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων, αρκεί να γνωρίζουμε ότι δύο στοιχεία ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο στοιχεία ενός άλλου τριγώνου (εξαιρουμένης της ορθής γωνίας). Αυτό, φυσικά, δεν επεκτείνεται στην ισότητα δύο γωνιών ενός τριγώνου προς δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου.
Εφόσον σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία μεταξύ δύο σκελών είναι ευθεία γραμμή και οποιεσδήποτε δύο ορθές γωνίες είναι ίσες, τότε από το πρώτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων προκύπτει:
Εάν τα σκέλη ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με τα σκέλη ενός άλλου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικόνα 5).
Εάν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζει με αυτό ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και τη γειτονική γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 6).
Εξετάστε δύο ακόμη σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.
ΘΕΩΡΗΜΑ . Αν η υποτείνουσα και η οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 7).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Από την ιδιότητα 1є § προκύπτει ότι σε τέτοια τρίγωνα οι άλλες δύο οξείες γωνίες είναι επίσης ίσες, επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων, δηλαδή κατά μήκος της πλευράς (υποτείνουσα) και δύο γειτονικών γωνιών.
Q.E.D.
ΘΕΩΡΗΜΑ . Αν η υποτείνουσα και το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με την υποτείνουσα και το σκέλος ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Θεωρήστε τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 , των οποίων οι γωνίες C και C 1 είναι ορθές, AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 (Εικ. 8).
Επειδή< C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.
Q.E.D.
Η σημασία του έγκειται στο γεγονός ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του. Ένα από τα θεωρήματα καθιστά δυνατή την επαλήθευση ότι εάν μια κάθετη και πλάγια ευθεία τραβιούνται σε αυτήν από ένα σημείο εκτός της ευθείας, τότε: α) οι πλάγιες ευθείες είναι ίσες εάν οι προβολές τους είναι ίσες. β) ότι η λοξή είναι μεγαλύτερη, η οποία έχει μεγαλύτερη προβολή.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα ήταν η πρώτη δήλωση που συσχέτισε τα μήκη των πλευρών των τριγώνων. Στη συνέχεια έμαθαν πώς να βρίσκουν τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες των οξέων και αμβλέων τριγώνων. Προέκυψε μια ολόκληρη επιστήμη της τριγωνομετρίας («τρίγωνο» - στα ελληνικά σημαίνει «τρίγωνο»). Αυτή η επιστήμη έχει βρει εφαρμογή στην τοπογραφία. Αλλά και νωρίτερα, με τη βοήθειά του, έμαθαν να μετρούν φανταστικά τρίγωνα στον ουρανό, οι κορυφές των οποίων ήταν αστέρια. Τώρα η τριγωνομετρία χρησιμοποιείται ακόμη και για τη μέτρηση των αποστάσεων μεταξύ των διαστημικών σκαφών.
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των εμβαδών των πολυγώνων, θα δημιουργήσουμε τώρα μια αξιοσημείωτη σχέση μεταξύ της υποτείνουσας και των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το θεώρημα που θα αποδείξουμε ονομάζεται Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο είναι το σημαντικότερο θεώρημα της γεωμετρίας.
Δίνεται ένα τρίγωνο,
Και σε ορθή γωνία,
Αυτό είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας
Μπορούμε πάντα εύκολα να βρούμε:
Χτίζουμε τα πόδια σε ένα τετράγωνο,
Βρίσκουμε το άθροισμα των μοιρών
Και με τόσο απλό τρόπο
Θα φτάσουμε στο αποτέλεσμα.
ΘΕΩΡΗΜΑ. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a, b και c (Εικ. 9 α).
Ας αποδείξουμε ότι c 2 = a 2 + b 2 . Θα συμπληρώσουμε το τρίγωνο σε τετράγωνο με πλευρά a + b, όπως φαίνεται στο σχήμα (Εικ. 9 β).
Το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου με πλευρά a + b είναι (a + b) 2 . Από την άλλη πλευρά, αυτό το τετράγωνο αποτελείται από τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδόν ab και ένα τετράγωνο με πλευρά c, άρα
Έτσι, (a + b) 2 =2ab + c 2, από όπου c 2 = a 2 + b 2 .
Q.E.D.
ΣΥΝΕΠΕΙΣΗ 1 . Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, κάθε σκέλος είναι μικρότερο από την υποτείνουσα.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 . Αφού BC 2 >0, τότε AC 2<АВ, То есть АС<АВ.
ΣΥΝΕΠΕΙΣΗ 2. Για οποιαδήποτε οξεία γωνία β cosb<1.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Εξ ορισμού του συνημιτόνου cosb = . Αλλά στο συμπέρασμα 1 αποδείχθηκε ότι το AC<АВ, οπότε το κλάσμα είναι μικρότερο από 1.
Τα ορθογώνια τρίγωνα των οποίων οι πλευρές είναι ακέραιοι ονομάζονται πυθαγόρεια τρίγωνα.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα σκέλη a, b και η υποτείνουσα c τέτοιων τριγώνων εκφράζονται με τους τύπους a=2kmn. b \u003d k (m 2 -n 2); c=k(m 2 +n 2), όπου k, m και n είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε m>n. Τα τρίγωνα με πλευρές των οποίων το μήκος είναι 3, 4, 5 ονομάζονται αιγυπτιακά τρίγωνα, επειδή ήταν γνωστά στους αρχαίους Αιγύπτιους.
Αντίστροφο στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αν το τετράγωνο της μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τρίγωνο.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ.
Έστω τρίγωνο ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Ας αποδείξουμε ότι η γωνία C είναι ορθή. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο A 1 B 1 C 1 με ορθή γωνία C 1 , όπου A 1 C 1 = AC και B 1 C 1 = BC. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2 , και ως εκ τούτου A 1 B 1 2 = AC 2 +BC 2 . Αλλά AC 2 + BC 2 = AB 2 από την υπόθεση του θεωρήματος. Επομένως, A 1 B 1 2 = AB 2 , από όπου A 1 B 1 = AB. Τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα σε τρεις πλευρές, άρα< C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.
Q.E.D.
Θυμηθείτε από την ύλη του προηγούμενου μαθήματος ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται τρίγωνο αν έχει τουλάχιστον μία από τις γωνίες της ευθείας (δηλαδή ίση με 90 o).
Σκεφτείτε πρώτο σημάδιισότητα τριγώνου: αν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Ας δείξουμε αυτή την περίπτωση:
Ρύζι. 1. Ίσα ορθογώνια τρίγωνα
Απόδειξη:
Θυμηθείτε την πρώτη ισότητα αυθαίρετων τριγώνων.
Ρύζι. 2
Αν δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους ενός τριγώνου και των αντίστοιχων δύο πλευρών και η μεταξύ τους γωνία του δεύτερου τριγώνου είναι ίσες, τότε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα. Αυτό δηλώνεται από το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων, δηλαδή:
Μια παρόμοια απόδειξη ακολουθεί για τα ορθογώνια τρίγωνα:
.
Τα τρίγωνα είναι ίσα στο πρώτο πρόσημο.
Εξετάστε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων. Αν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζουν με αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την παρακείμενη οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Ρύζι. 3
Απόδειξη:
Ρύζι. τέσσερις
Ας χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Μια παρόμοια απόδειξη για ορθογώνια τρίγωνα:
Τα τρίγωνα είναι ίσα στο δεύτερο κριτήριο.
Εξετάστε το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων: εάν η υποτείνουσα και η γειτονική γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την υποτείνουσα και η γωνία δίπλα σε ένα άλλο τρίγωνο, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
Απόδειξη:
Ρύζι. 5
Θυμηθείτε το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Ρύζι. 6
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:
Εφόσον είναι γνωστό ότι ένα ζεύγος οξειών γωνιών σε ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσο με (∠А = ∠А 1), τότε η ισότητα του άλλου ζεύγους γωνιών (∠B = ∠B 1) αποδεικνύεται ως εξής:
Αφού AB \u003d A 1 B 1 (κατά συνθήκη), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Επομένως, τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα στο δεύτερο πρόσημο.
Εξετάστε το ακόλουθο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων:
Αν το σκέλος και η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την υποτείνουσα ενός άλλου τριγώνου, αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Ρύζι. 7
Απόδειξη:
Ας υπερθέσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1 Β 1 Γ 1. Ας υποθέσουμε ότι οι κορυφές A και A 1 , καθώς και οι C και C 1 επικαλύπτονται, αλλά η κορυφή B και το σημείο B 1 δεν ταιριάζουν. Η περίπτωση αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Ρύζι. οκτώ
Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABB 1 (εξ ορισμού - από τη συνθήκη AB = AB 1). Επομένως, κατά ιδιότητα, ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Εξετάστε τον ορισμό μιας εξωτερικής γωνίας. εξωτερική γωνίατρίγωνο είναι η γωνία δίπλα σε οποιαδήποτε γωνία του τριγώνου. Το μέτρο της μοίρας του είναι ίσο με το άθροισμα των δύο γωνιών ενός τριγώνου που δεν γειτνιάζουν με αυτό. Το σχήμα δείχνει αυτή την αναλογία:
Ρύζι. 9
Η γωνία 5 είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου και ισούται με ∠5 = ∠1 + ∠2. Από αυτό προκύπτει ότι η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις γωνίες που δεν γειτνιάζουν με αυτήν.
Έτσι, το ∠ABB 1 είναι μια εξωτερική γωνία για το τρίγωνο ABC και ισούται με το άθροισμα ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Έτσι, η ∠AB 1 B (που είναι μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABB 1) δεν μπορεί να είναι ίση με τη γωνία ∠ABB 1, επειδή αυτή η γωνία είναι αμβλεία όπως αποδεικνύεται.
Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας σχετικά με τη θέση των σημείων Β και Β 1 αποδείχθηκε λανθασμένη, επομένως αυτά τα σημεία συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 υπερτίθενται. Επομένως, είναι ίσοι (εξ ορισμού).
Έτσι, αυτά τα χαρακτηριστικά δεν εισάγονται μάταια, επειδή μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.
1. Αρ. 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., επιμέλεια Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Education. 2010
2. Με βάση τα δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα, υποδείξτε ίσα τρίγωνα, εάν υπάρχουν.
3. Με βάση τα δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα, υποδείξτε ίσα τρίγωνα, εάν υπάρχουν. Λάβετε υπόψη ότι AC = AF.
4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος και το ύψος σύρονται στην υποτείνουσα. Η γωνία μεταξύ τους είναι 20 o. Προσδιορίστε το μέγεθος καθεμιάς από τις οξείες γωνίες του δεδομένου ορθογωνίου τριγώνου.
1. Τα δύο πρώτα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.
Για να είναι δύο τρίγωνα ίσα, αρκεί τρία στοιχεία του ενός τριγώνου να είναι ίσα με τα αντίστοιχα στοιχεία του άλλου τριγώνου και τουλάχιστον η μία πλευρά πρέπει να περιλαμβάνεται στον αριθμό αυτών των στοιχείων.
Δεδομένου ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν ήδη ένα ίσο στοιχείο, δηλαδή μια ορθή γωνία.
Από αυτό προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα:
αν τα σκέλη ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με τα σκέλη ενός άλλου τριγώνου (Εικ. 153);
εάν το σκέλος και η παρακείμενη οξεία γωνία ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και την παρακείμενη οξεία γωνία ενός άλλου τριγώνου (Εικ. 154).
Τώρα αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα που θεσπίζουν δύο ακόμη κριτήρια για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων.
Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, κατασκευάζουμε δύο ορθογώνια τόξα ABC και A'B'C', στα οποία οι γωνίες Α και Α' είναι ίσες, οι υποτείνουσες ΑΒ και Α'Β' είναι επίσης ίσες και οι γωνίες Γ και Γ' είναι δεξιά (Εικ. 157) .
Ας επιβάλουμε το τρίγωνο Α'Β'Γ' στο τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε η κορυφή Α' να συμπίπτει με την κορυφή Α, η υποτείνουσα Α'Β' να συμπίπτει με την ίση υποτείνουσα ΑΒ. Τότε, λόγω της ισότητας των γωνιών Α και Α ', το σκέλος A'C' θα πάει κατά μήκος του σκέλους AC. το σκέλος B'C' θα ευθυγραμμιστεί με το πόδι BC: και τα δύο είναι κάθετα που σύρονται σε μία ευθεία γραμμή AC από ένα σημείο B. Αυτό σημαίνει ότι οι κορυφές C και C' θα είναι ευθυγραμμισμένες.
Το τρίγωνο ABC είναι ευθυγραμμισμένο με το τρίγωνο A'B'C'.
Επομένως, \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.
Το θεώρημα αυτό δίνει το 3ο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων (κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία).
Θεώρημα 2. Αν η υποτείνουσα και το σκέλος ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με την υποτείνουσα και το σκέλος ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Για να το αποδείξουμε αυτό, κατασκευάζουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα ABC και A'B'C', στα οποία οι γωνίες C και C' είναι ευθείες, τα σκέλη AC και A'C' ίσα, οι υποτείνουσες AB και A'B'. είναι επίσης ίσες (Εικ. 158) .
Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία MN και σημαδέψουμε ένα σημείο C πάνω της, από αυτό το σημείο σχεδιάζουμε μια κάθετη SC στην ευθεία MN. Στη συνέχεια επιβάλλουμε τη σωστή γωνία του τριγώνου ABC στη σωστή γωνία KSM έτσι ώστε οι κορυφές τους να είναι ευθυγραμμισμένες και το πόδι AC να πηγαίνει κατά μήκος της ακτίνας SK, μετά το σκέλος BC να πηγαίνει κατά μήκος της ακτίνας CM. Βάζουμε τη σωστή γωνία του τριγώνου A'B'C' στη σωστή γωνία KCN έτσι ώστε οι κορυφές τους να είναι ευθυγραμμισμένες και το πόδι A'C' να πηγαίνει κατά μήκος της ακτίνας SK, μετά το πόδι C'B' να πηγαίνει κατά μήκος της ακτίνας CN . Οι κορυφές Α και Α' θα συμπέσουν λόγω της ισότητας των σκελών AC και A'C'.
Τα τρίγωνα ABC και A'B'C' θα σχηματίσουν μαζί ένα ισοσκελές τρίγωνο BAB', στο οποίο AC θα είναι το ύψος και η διχοτόμος, και επομένως ο άξονας συμμετρίας του τριγώνου BAB'. Από αυτό προκύπτει ότι \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.
Αυτό το θεώρημα δίνει το 4ο κριτήριο για την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων (κατά μήκος της υποτείνουσας και του σκέλους).
Έτσι, όλα τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:
1. Αν δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με δύο σκέλη ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα2. Αν το σκέλος και η οξεία γωνία που γειτνιάζει με αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η οξεία γωνία δίπλα σε αυτό ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα
3. Εάν το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα
4. Αν η υποτείνουσα και η οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τέτοια ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα
5. Αν το σκέλος και η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με το σκέλος και η υποτείνουσα ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα
