Σκάλες. Ομάδα εισόδου. Υλικά. Πόρτες. Κλειδαριές. Σχέδιο

Εργασία 8 για την εξέταση των Μαθηματικών

3.1. Η διαγώνιος της μικρότερης πλευρικής όψης ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίση με τη μεγαλύτερη άκρη της βάσης. Το ύψος του παραλληλεπίπεδου είναι 2 cm, η διαγώνιος της βάσης είναι 14 cm.
3.2. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος - ορθογώνιο τρίγωνομε υποτείνουσα 10 cm και σκέλος 6 cm Το μεγαλύτερο σκέλος του τριγώνου στη βάση του πρίσματος ίσο με τη διαγώνιοτο μικρότερο από τα πλαϊνά πρόσωπα. Βρείτε το ύψος του πρίσματος.
3.3. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος με πλευρά 12 cm και γωνία 60°. Το μικρότερο από τα διαγώνια τμήματα του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.4. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ισοσκελές τραπεζοειδέςμε οξεία γωνία 60°. η πλευρική πλευρά και η μικρότερη από τις παράλληλες πλευρές του τραπεζοειδούς είναι 4 cm. Η διαγώνιος του πρίσματος σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο της βάσης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος.
3.5. Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου σχηματίζει γωνία 45° με το επίπεδο βάσης και η διαγώνιος της πλευρικής όψης σχηματίζει γωνία 60°. Το ύψος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι 8 cm Βρείτε τον όγκο του.
3.6. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένας ρόμβος. Οι διαγώνιοι του πρίσματος σχηματίζουν γωνίες 30° και 60° με το επίπεδο της βάσης. Το ύψος του πρίσματος είναι 6 cm Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.7. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένας ρόμβος με πλευρά 10 cm Η πλευρά της βάσης αφαιρείται από τις δύο παράλληλες πλευρές της απέναντι πλευράς κατά 5 cm και 13 cm, αντίστοιχα.
3.8. Η άκρη της κάτω βάσης ενός κανονικού τετράπλευρου πρίσματος απέχει 10 cm από το επίπεδο της άνω βάσης Οι αποστάσεις μεταξύ των απέναντι πλευρικών άκρων είναι 8 cm.
3.9. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένα τραπεζοειδές. Τα εμβαδά των παράλληλων πλευρικών όψεων του πρίσματος είναι 8 cm και 12 cm και η απόσταση μεταξύ τους είναι 5 cm Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.10. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένα τραπεζοειδές. Ο όγκος του πρίσματος είναι 40 cm Οι περιοχές των παράλληλων πλευρικών όψεων είναι 6 cm και 14 cm.
3.11. Διαγώνιος βάσης ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου
είναι ίσο με 10 cm και οι διαγώνιες των πλευρικών όψεων είναι 2 * / W cm και 2 l / 17 cm Βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3.12. Στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένας ρόμβος. Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 48 cm και το εμβαδόν της διαγώνιας του
οι τομές είναι 30 cm και 40 cm Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.13. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το ύψος είναι 3 cm, η πλευρική επιφάνεια είναι 80 cm.
3.14. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 6 cm, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας είναι διπλάσια από την περιοχή της βάσης. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.15. Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου είναι 60 tcm. η απόσταση από το κέντρο της βάσης έως τη γεννήτρια είναι 4,8 cm. Βρείτε τον όγκο του κώνου.
3.16. Η βάση του κεκλιμένου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 6 cm. ένα από τα διαγώνια τμήματα του πρίσματος είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης και είναι ρόμβος με γωνία 60°. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.17. Στη βάση κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο- ένα τετράγωνο με πλευρά 3 εκ. Δύο απέναντι πλαϊνά πρόσωπακάθετα στη βάση, τα άλλα δύο σχηματίζουν γωνίες 30° με το επίπεδο της βάσης. Η συνολική επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου είναι 72 cm Βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3.18. Στη βάση του κεκλιμένου παραλληλεπίπεδου υπάρχει ένας ρόμβος με πλευρά 4 cm και οξεία γωνία 45°. το πλευρικό άκρο κάνει γωνία 60° με το επίπεδο της βάσης. η διαγώνιος της μίας πλευρικής όψης είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης. Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3.19. Και οι 9 άκρες του κεκλιμένου πρίσματος είναι ίσες με 4 cm Ο όγκος του πρίσματος είναι 24 cm.
3.20. Σε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, οι αποστάσεις μεταξύ των πλευρικών άκρων είναι 5 cm, 12 cm και 13 cm.
3.21. Στη βάση ενός κεκλιμένου πρίσματος βρίσκεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη 4 cm και 6 cm Η πλευρική άκρη του πρίσματος σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο της βάσης. Ο όγκος του πρίσματος είναι 60 cm Βρείτε το μήκος της πλευρικής ακμής του πρίσματος.
3.22. Οι δύο πλευρικές όψεις ενός κεκλιμένου τριγωνικού πρίσματος σχηματίζουν γωνία 60°. η απόσταση από την κοινή τους άκρη έως τις άλλες δύο νευρώσεις είναι 5 cm. η πλευρική άκρη του πρίσματος είναι 8 cm Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.
3.23. Οι δύο πλευρικές όψεις ενός κεκλιμένου τριγωνικού πρίσματος είναι κάθετες. Το άθροισμα των εμβαδών τους είναι 70 cm Το μήκος της πλευρικής ακμής είναι 120 cm.
3.24. Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, το ύψος είναι ίσο με την πλευρά της βάσης. Βρείτε τη γωνία μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης.
3.25. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρική άκρη σχηματίζει γωνία 45° με το επίπεδο της βάσης. Η πλευρά της βάσης της πυραμίδας είναι 6 cm Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.26. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρική άκρη σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο της βάσης. Το ύψος της πυραμίδας είναι 3 cm Βρείτε την επιφάνεια της πυραμίδας.
3.27. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το απόθεμα σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο της βάσης. Το ύψος της πυραμίδας είναι 6 cm Βρείτε την επιφάνεια της πυραμίδας.
3.28. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το απόθεμα σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο της βάσης. Η πλευρά της βάσης της πυραμίδας είναι 12 cm Βρείτε την επιφάνεια της πυραμίδας.
3.29. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 6 cm και σχηματίζει γωνία 30° με την πλευρική της όψη Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.30. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 10 cm και σχηματίζει γωνία 45° με το πλευρικό άκρο. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.31. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 8 cm και η πλευρική άκρη είναι 10 cm.
3.32. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 20 cm και η πλευρική άκρη είναι 16 cm.
3.33. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι 12 cm και η πλευρική άκρη είναι 13 cm.
3.34. Σε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 8 cm. η διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας είναι 60°. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3,35. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το ύψος είναι 8 cm. η διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας είναι 30°. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.36. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το απόθεμα είναι 16 cm. η διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας είναι 45°. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.37. Η πλευρά της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 5 cm. το διαγώνιο τμήμα είναι ίσο με τη βάση. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.
3.38. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 10 cm. το διαγώνιο τμήμα είναι ίσο με τη βάση. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.
3.39. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι 8 cm και το ύψος του είναι 12 cm Μια ευθεία γραμμή διασχίζεται από το μέσο του άξονα του κυλίνδρου, που τέμνει το επίπεδο της κάτω βάσης του κυλίνδρου σε απόσταση 24 cm από το κέντρο του. κάτω βάση. Με ποιους τρόπους αυτή η ευθεία διαιρεί τις γενετικές μονάδες του κυλίνδρου που την τέμνει;
3,40. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι 6 cm και το ύψος του είναι 10 cm Μια ευθεία γραμμή διασχίζεται από το μέσο της γεννήτριας του κυλίνδρου, που τέμνει τον άξονα του κυλίνδρου. Αυτή η γραμμή τέμνει την κάτω βάση του κυλίνδρου σε απόσταση 3 cm από το κέντρο της κάτω βάσης. Σε ποια αναλογία αυτή η ευθεία διαιρεί τον άξονα του κυλίνδρου;
3.41. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι 8 cm Μια ευθεία γραμμή διασχίζεται από το μέσο του άξονα του κυλίνδρου, που τέμνει το επίπεδο που περιέχει την κάτω βάση του κυλίνδρου, σε απόσταση 12 cm από το κέντρο της κάτω βάσης. Αυτή η ευθεία τέμνει τη γεννήτρια του κυλίνδρου σε απόσταση 2 cm από το επίπεδο της κάτω βάσης. Βρείτε το ύψος του κυλίνδρου.
3.42. Το ύψος του κυλίνδρου είναι 12 cm Μια ευθεία γραμμή διασχίζεται από το μέσο της γεννήτριας του κυλίνδρου, που τέμνει τον άξονα του κυλίνδρου σε απόσταση 4 cm από την κάτω βάση. Αυτή η γραμμή τέμνει το επίπεδο που περιέχει την κάτω βάση του κυλίνδρου σε απόσταση 18 cm από το κέντρο της κάτω βάσης. Βρείτε την ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου.
3.43. Το ύψος του κώνου είναι 20 cm, η απόσταση από το κέντρο της βάσης έως τη γεννήτρια είναι 12 cm.
3.44. Η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι 20 cm. η απόσταση από το κέντρο της βάσης έως τη γεννήτρια είναι 12 cm Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου.
3,45. Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα του οποίου είναι 15 cm και το ένα από τα πόδια είναι 9 cm .
3.46. Σε απόσταση 4 cm από την κορυφή της πυραμίδας σχεδιάστηκε ένα τμήμα παράλληλο στη βάση. Το εμβαδόν της διατομής είναι 10 cm και ισούται με το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας.
Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3.47. Η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι 6 cm και το ύψος είναι 12 cm. Η ακτίνα της τομής είναι 4 cm Σε ποια αναλογία διαιρεί το ύψος του κώνου;
3.48. Το ύψος του κώνου είναι 12 εκατοστά και η ακτίνα της βάσης είναι 3 εκατοστά Σε ποια απόσταση από την κορυφή του κώνου πρέπει να τραβηχτεί ένα τμήμα παράλληλο με τη βάση ώστε το εμβαδόν του να είναι ίσο με εκατοστά;
3,49. Σε ένα δεξιό παραλληλεπίπεδο, ένα τμήμα τραβιέται μέσω της διαγώνιου της κάτω βάσης και του μέσου του πλευρικού άκρου που δεν έρχεται σε επαφή με αυτή τη διαγώνιο. Απόσταση από το επίπεδο τομής μέχρι την κορυφή της κάτω βάσης,
που δεν βρίσκεται στο επίπεδο τομής είναι ίσο με 5 cm
Το τμήμα 2 είναι ίσο με 10 cm Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3,50. Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, μια τομή διασχίζεται από τη διαγώνιο της κάτω βάσης και το άκρο της μη παράλληλης διαγωνίου της άνω βάσης. Το εμβαδόν βάσης του πρίσματος και το εμβαδόν της διατομής είναι 20 cm Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.51. Σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, ένα τμήμα τραβιέται από την πλευρά της κάτω βάσης και το μέσο της απέναντι πλευρικής ακμής. Το επίπεδο τομής έχει κλίση προς το επίπεδο βάσης υπό γωνία 45°. Το εμβαδόν της διατομής είναι 4 l/6 cm Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.52. Το ύψος ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι 12 cm. Ένα τμήμα σχεδιάζεται στο πρίσμα μέσω της πλευράς της κάτω βάσης και της αντίθετης κορυφής της άνω βάσης. Το επίπεδο τομής είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο της βάσης του πρίσματος υπό γωνία 60°. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3.53. Σε ένα δεξιό παραλληλεπίπεδο, μια τομή σύρεται μέσω της διαγώνιου της κάτω βάσης και του μέσου μιας πλευρικής ακμής που δεν τέμνεται με αυτή τη διαγώνιο. Ο όγκος του μικρότερου από τα δύο πολύεδρα στα οποία χωρίζεται το παραλληλεπίπεδο επίπεδο τμήματος, ισούται με 40 cm Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3.54. Σε ένα τριγωνικό πρίσμα, μια τομή τραβιέται από την πλευρά της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης. Σε ποια αναλογία το επίπεδο τομής διαιρεί τον όγκο του πρίσματος;
3,55. Σε μια τριγωνική πυραμίδα, διατρέχεται ένα τμήμα μέση γραμμήτην κάτω βάση και την κορυφή της πυραμίδας. Σε ποια αναλογία το επίπεδο τομής διαιρεί τον όγκο της πυραμίδας;
3.56. Σε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, ένα τμήμα τραβιέται μέσα από τα μέσα δύο γειτονικών πλευρών της βάσης, κάθετα στη βάση. Σε ποια αναλογία το επίπεδο τομής διαιρεί τον όγκο της πυραμίδας;
3.57. ΣΕ ορθογώνιο παραλληλεπίπεδοτραβιέται ένα τμήμα μέσα από την άκρη της κάτω βάσης και το σημείο τομής των διαγωνίων της απέναντι πλευρικής όψης. Σε ποια αναλογία το επίπεδο τομής διαιρεί τον όγκο του παραλληλεπίπεδου;
3,58. Η πυραμίδα έχει ένα τμήμα παράλληλο με τη βάση. Το επίπεδο τομής χωρίζει την πυραμίδα σε μέρη, οι όγκοι των οποίων είναι σε αναλογία 1:26, μετρώντας από την κορυφή. Σε ποια αναλογία το επίπεδο κοπής διαιρεί το ύψος της πυραμίδας;
3,59. Η πυραμίδα έχει ένα τμήμα παράλληλο με τη βάση. Το επίπεδο τομής χωρίζει το ύψος της πυραμίδας σε μέρη, η αναλογία των οποίων είναι 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Σε ποια αναλογία το επίπεδο τομής διαιρεί τον όγκο του πιοαμυλίου;
3,60. Το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας είναι 1 m. Ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας τη χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. Βρείτε το εμβαδόν διατομής της πυραμίδας.
3.61. Η ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο με πλευρές 15 cm και 12 cm Προσδιορίστε τον όγκο αυτού του πρίσματος. Βρείτε και τις δύο λύσεις.
3.62. Η ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο με πλευρές 18 cm και 9 cm. Βρείτε και τις δύο λύσεις.
3.63. Ένα ορθογώνιο με πλευρές 12 cm και 16 cm μπορεί να διπλωθεί με δύο τρόπους στην πλευρική επιφάνεια ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Συγκρίνετε τους όγκους αυτών των πρισμάτων.
3.64. Ένα ορθογώνιο με πλευρές 24 cm και 10 cm μπορεί να διπλωθεί με δύο τρόπους με τη μορφή της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τετράπλευρου πρίσματος. Συγκρίνετε τις συνολικές επιφάνειες αυτών των πρισμάτων.
3,65. Ένα ορθογώνιο με πλευρές 12 cm και 8 cm διπλώνεται για πρώτη φορά με τη μορφή της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος με ύψος 8 cm και για δεύτερη φορά - ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα με το ίδιο ύψος. Συγκρίνετε τους όγκους αυτών των πρισμάτων.
3.66. Ένα ορθογώνιο με πλευρές 24 cm και 10 cm διπλώνεται για πρώτη φορά με τη μορφή της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος με ύψος 10 cm και για δεύτερη φορά - ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα με το ίδιο ύψος. Συγκρίνετε τις συνολικές επιφάνειες αυτών των πρισμάτων.
3,67. Ένα τετράγωνο με πλευρά 12 cm διπλώνεται για πρώτη φορά με τη μορφή της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος και για δεύτερη φορά - ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Συγκρίνετε τις συνολικές επιφάνειες αυτών των πρισμάτων.
3.68. Ένα τετράγωνο με πλευρά 24 cm διπλώνεται για πρώτη φορά με τη μορφή της πλευρικής επιφάνειας ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος και για δεύτερη φορά - ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Συγκρίνετε τους όγκους αυτών των πρισμάτων.
3,69. Ένας ρόμβος με πλευρά 10 cm και οξεία γωνία 60 ° περιστρέφεται γύρω από την πλευρά. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.
3,70. Ένας ρόμβος με πλευρά 8 cm και οξεία γωνία 60° περιστρέφεται γύρω από την πλευρά. Βρείτε την επιφάνεια του σώματος περιστροφής.
3.71. Ένα ορθογώνιο τραπέζιο με βάσεις 5 cm και 8 cm και ύψος 4 cm περιστρέφεται γύρω από μια μεγαλύτερη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.
3.72. Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές με βάσεις 6 cm και 10 cm και ύψος 3 cm περιστρέφεται γύρω από μια μεγαλύτερη βάση. Βρείτε την επιφάνεια του σώματος της περιστροφής.
3.73. Ένα ορθογώνιο τραπέζιο με βάσεις 10cm και 14cm και ύψος 3cm περιστρέφεται γύρω από μια μικρότερη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3.74. Ένα ορθογώνιο τραπέζιο με βάσεις 12cm και 15cm^ και ύψος 4cm περιστρέφεται γύρω από μια μικρότερη βάση. Βρείτε την επιφάνεια του σώματος της περιστροφής.
3,75. Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές με βάσεις 10 cm και 15 cm και ύψος 12 cm περιστρέφεται την πρώτη φορά γύρω από τη μικρότερη βάση και τη δεύτερη φορά γύρω από τη μεγαλύτερη. Συγκρίνετε τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
3.76. Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές με βάσεις 12 cm και 20 cm και ύψος 15 cm περιστρέφεται την πρώτη φορά γύρω από τη μικρότερη βάση και τη δεύτερη φορά γύρω από τη μεγαλύτερη. Συγκρίνετε τις επιφάνειες των σωμάτων περιστροφής.
3,77. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 10 cm και 16 cm και ύψος 4 cm περιστρέφεται γύρω από μια μικρότερη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3,78. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 10 cm και 18 cm και ύψος 3 cm περιστρέφεται γύρω από μια μικρότερη βάση. Βρείτε την επιφάνεια του σώματος της περιστροφής.
3,79. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 12 cm και 18 cm και ύψος 4 cm περιστρέφεται γύρω από μεγαλύτερη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3,80. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 15 cm και 25 cm και ύψος 12 cm περιστρέφεται γύρω από μια μεγαλύτερη βάση. Βρείτε την επιφάνεια του σώματος περιστροφής.
3.81. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 12 cm και 24 cm και ύψος 8 cm περιστρέφεται για πρώτη φορά γύρω από τη μικρότερη βάση και τη δεύτερη φορά γύρω από τη μεγαλύτερη. Συγκρίνετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής.
3.82. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 12 cm και 28 cm και ύψος 6 cm περιστρέφεται για πρώτη φορά γύρω από τη μικρότερη βάση και τη δεύτερη φορά γύρω από τη μεγαλύτερη. Συγκρίνετε τις επιφάνειες των σωμάτων περιστροφής.
3.83. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλος 3 cm και υποτείνουσα 6 cm περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από την κορυφή της ορθής γωνίας παράλληλη προς την υποτείνουσα. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.
3,84. Ένα τετράγωνο με πλευρά 8 cm περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από μια κορυφή παράλληλη σε μια διαγώνιο που δεν διέρχεται από αυτήν την κορυφή. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.
3,85. Ένα κανονικό τρίγωνο με πλευρά 4 cm περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διασχίζεται από μια κορυφή παράλληλη προς την πλευρά που δεν διέρχεται από αυτήν την κορυφή. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.
3,86. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη 3 cm και 4 cm περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς το μικρότερο από τα σκέλη και διέρχεται από την κορυφή του μικρότερου από τις γωνίες του τριγώνου. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3,87. Ένας ρόμβος με πλευρά 13 cm και διαγώνιο 10 cm περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από την κορυφή μιας αμβλείας γωνίας παράλληλης προς τη διαγώνιο που δεν διέρχεται από αυτήν την κορυφή. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3,88. Ένας ρόμβος ABCD με πλευρά 10 cm και διαγώνιο AC = 12 cm περιστρέφεται για πρώτη φορά γύρω από άξονα που διέρχεται από την κορυφή Α παράλληλη στη διαγώνιο ΒΔ και για δεύτερη φορά από την κορυφή Β παράλληλη στη διαγώνιο AC. Συγκρίνετε τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
3,89. Ένα ορθογώνιο τραπέζιο με βάσεις 10 cm και 18 cm και ύψος 6 cm περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή μιας οξείας γωνίας κάθετης στις βάσεις. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
3,90. Τρεις μεταλλικοί κύβοι με την άκρη a είναι λιωμένοι σε μια μπάλα. Τι είναι μεγαλύτερο: η επιφάνεια αυτής της μπάλας ή η συνολική επιφάνεια των κύβων;
3,91. Τέσσερις μεταλλικές μπάλες ακτίνας a συντήκονται σε έναν κύβο. Τι είναι μεγαλύτερο: η επιφάνεια αυτού του κύβου ή η συνολική επιφάνεια των σφαιρών;
3,92. Πόσες μπάλες με διάμετρο 2 cm μπορούν να πεταχτούν από έναν μεταλλικό κύβο με άκρη 4 cm;
3,93. Πόσοι κύβοι με άκρη 2 cm μπορούν να ρίξουν από μια μεταλλική μπάλα με διάμετρο 4 cm;
3,94. Ένας κύλινδρος είναι εγγεγραμμένος σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.
3,95. Ένας κύλινδρος εγγράφεται σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα. Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος είναι S. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου.
3,96. Το σωστό τριγωνικό πρίσμα. Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος είναι 5. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου.
3,97. Ένας κώνος είναι εγγεγραμμένος σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα. Ο όγκος του κώνου είναι V. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
3,98. Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κώνο. Ο όγκος της πυραμίδας είναι V. Βρείτε τον όγκο του κώνου.
3,99. Μια μπάλα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύβο. Να βρείτε τον λόγο των επιφανειών του κύβου και της σφαίρας.
3.100. Ένας κύβος είναι εγγεγραμμένος σε μια σφαίρα. Να βρείτε την αναλογία των όγκων μιας σφαίρας και ενός κύβου.

Μπορείτε να δείτε μια έκδοση αυτού του θέματος μαθήματος από τον ιστότοπο www.urokimatematiki.ru στον σύνδεσμο

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, όλοι θα μπορούν να πάρουν μια ιδέα για το θέμα "Πολύεδρα. Πρίσμα. Προβλήματα πρίσματος». Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε τις βασικές πληροφορίες για τα πολύεδρα. Θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στον ορισμό του πρίσματος. Ας θυμηθούμε το θεώρημα για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Στη συνέχεια, θα λύσουμε πολλά προβλήματα σχετικά με αυτό το θέμα.

Θέμα: Πολύεδρα

Μάθημα: Πολύεδρα. Πρίσμα. Προβλήματα πρίσματος

Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε τις βασικές πληροφορίες για τα πολύεδρα. Θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στον ορισμό του πρίσματος. Ας θυμηθούμε το θεώρημα για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος.

Το σχήμα 1 δείχνει ένα πρίσμα ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1, τα θεμέλιά του ABCDFΚαι A 1 B 1 C 1 D 1 F 1. Πεντάγωνα ABCDFΚαι A 1 B 1 C 1 D 1 F 1είναι ίσα και βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.

Ρύζι. 1

Βάσεις πρίσματος- πρόκειται για δύο όψεις που είναι ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.

ΠλευρικόςΟι όψεις είναι όλες οι όψεις του πρίσματος, εκτός από τις βάσεις. Κάθε πλευρική όψη είναι ένα παραλληλόγραμμο.

Οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων ονομάζονται πλευρικές νευρώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο σχήμα 1. Σε πεντάγωνο ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1:

ABCDFΚαι A 1 B 1 C 1 D 1 F 1- βάση του πρίσματος.

Τα πλαϊνά πρόσωπα είναι τα πρόσωπα AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C,CC 1 ρε 1 ρε, DD 1 φά 1 φά, FF 1 ΕΝΑ 1 ΕΝΑ. Και τα πλαϊνά πλευρά - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1 , FF 1 .

Ορισμός. Αν η πλευρική ακμή ενός πρίσματος είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ευθεία.

Σκεφτείτε ένα πενταγωνικό πρίσμα ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1(Εικ. 2).

Αφήστε την πλαϊνή άκρη ΑΑ 1κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το πρίσμα είναι ευθύ. Από την άκρη ΑΑ 1κάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, τότε αυτό το πλευρικό άκρο είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία από το επίπεδο της βάσης αλφάβητο, συμπεριλαμβανομένης της άμεσης Ο Α.Φ.. Αυτό σημαίνει ότι η πλευρική όψη είναι ορθογώνιο.

Ρύζι. 2

Σκεφτείτε ένα παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(Εικ. 3) είναι μια ειδική περίπτωση πρίσματος. Οι βάσεις του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες Α Β Γ ΔΚαι A 1 B 1 C 1 D 1.

Ρύζι. 3

Αν η πλευρική ακμή είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης, τότε ένα τέτοιο παραλληλεπίπεδο θα ονομάζεται δεξιό παραλληλεπίπεδο.

Ρύζι. 4

Σκεφτείτε ένα παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(Εικ. 4). Αν η άκρη ΑΑ 1κάθετο στο επίπεδο Α Β Γ Δ, μετά το παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ευθεία.

Εάν ένα ορθογώνιο βρίσκεται στη βάση ενός ορθού παραλληλεπίπεδου, τότε ένα τέτοιο παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο. Ονομασία: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ή εν συντομία AC 1.

Ορισμός. Σωστός n-Γωνιακό πρίσμα είναι ένα ευθύ πρίσμα που έχει κανονική βάση στη βάση του. n-γκον.

Θεώρημα.Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος.

Ας εξετάσουμε αυτό το θεώρημα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τριγωνικού ορθού πρίσματος ABCA 1 B 1 C 1(Εικ. 5) . Πρίσμα ABCA 1 B 1 C 1-- ευθεία, που σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στο επίπεδο της βάσης.

Δεδομένος: ABCA 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1- ευθύ πρίσμα, δηλ. ΑΑ 1 ⊥ αλφάβητο.

AA 1 = h.

Αποδεικνύω: S πλευρά = P κύρια ∙ h.

Ρύζι. 5

Απόδειξη.

Τριγωνικό πρίσμα ABCA 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1- ευθεία, που σημαίνει πλευρικές άκρες AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C -ορθογώνια. Και όλες οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι ίσες με το ύψος του πρίσματος.

Ας βρούμε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ως το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S πλευρά = AB∙ AA 1 + BC∙ BB 1 + CA∙ SS 1 = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P κύρια ∙ h.

Παίρνουμε, S πλευρά = P κύρια ∙ h, Q.E.D.

Στα δεξιά n- η πλευρά της βάσης ενός πρίσματος άνθρακα είναι ίση με ένακαι το ύψος είναι η. Υπολογίστε το εμβαδόν της πλευρικής και της συνολικής επιφάνειας του πρίσματος αν n = 3, η= 15 cm, ένα= 10 εκ. Βλ. 6.

Δεδομένος: ABCA 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1- πρίσμα,

ΑΑ 1 ⊥ αλφάβητο,

h =AA 1 = 15 εκ ,

ΑΒ=BC=CA=a= 10 εκ.

Εύρημα: S πλευρά, S γεμάτο.

Ρύζι. 6

Λύση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, το πρίσμα είναι ευθύ. Το πλευρό λοιπόν ΑΑ 1κάθετο στο επίπεδο της βάσης και ίσο με το ύψος του πρίσματος.

Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης του πρίσματος και του ύψους του. Ας βρούμε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας.

S πλευρά = P κύρια ∙ h = P ABC ∙ AA 1 = 3 ∙ AB ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (cm 2).

Στη βάση του πρίσματος βρίσκεται ένα κανονικό τρίγωνο αλφάβητο. Ας βρούμε την περιοχή του.

Η συνολική επιφάνεια ενός πρίσματος είναι το εμβαδόν όλων των όψεών του, δηλαδή το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας συν τα εμβαδά των δύο βάσεων. Που σημαίνει:

Απάντηση: (cm 2).

Το πλάγιο άκρο ενός κεκλιμένου τετράπλευρου πρίσματος είναι 12 cm Το κάθετο τμήμα είναι ένας ρόμβος με πλευρά 5 cm.

Δεδομένος: πρίσμα ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Εικ. 7) ,

AA 1 = 12 cm,

κάθετη τομή - ρόμβος με πλευρά 5 cm.

Εύρημα: μικρόπλευρά

Ρύζι. 7

Λύση:

Αποδείξαμε στο τελευταίο μάθημα ότι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κεκλιμένου πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου της κάθετης τομής και της πλευρικής ακμής.

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, η κάθετη τομή είναι ρόμβος με πλευρά 5 cm Όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. Αυτό σημαίνει ότι η περίμετρος της κάθετης τομής είναι ίση με εκ.

Τώρα ας υπολογίσουμε την πλευρική επιφάνεια:

(cm 2).

Απάντηση: 240 cm 2 .

Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές με βάσεις 25 cm και 9 cm και ύψος 8 cm Βρείτε τις δίεδρες γωνίες στα πλάγια άκρα του πρίσματος. Βλέπε εικ. 8.

Δεδομένος:ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- πρίσμα,

ΑΑ 1 ⊥ αλφάβητο,

ΑΒ∥CD, CB = AD,

ΑΒ = 9 εκ , CD = 25 cm,

ησκάλα= 8 cm.

Εύρημα:διεδρικές γωνίες στα πλάγια άκρα του πρίσματος.

Ρύζι. 8

Λύση:

Ας θυμηθούμε τι είναι η δίεδρη γωνία. Ας έχουμε δύο ημιεπίπεδα α και β που τέμνονται ευθύγραμμα CC 1(Εικ. 9). Στη συνέχεια σχηματίζουν μια δίεδρη γωνία με την άκρη CC 1. Μια διεδρική γωνία μετριέται από τη γραμμική γωνία της.

Πώς κατασκευάζεται μια γραμμική γωνία; Λαμβάνεται ένα αυθαίρετο σημείο Μστην άκρη, και σχεδιάζονται δύο κάθετοι: μία κάθετη στο επίπεδο β - κάθετη σι, η δεύτερη κάθετη στο επίπεδο α είναι κάθετη ένα. Στη συνέχεια η γωνία μεταξύ των γραμμών έναΚαι σικαι θα είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας.

Ρύζι. 9

Ας βρούμε τη γραμμική γωνία στην άκρη SS 1. Από την άκρη CC 1κάθετα σε όλο το επίπεδο αλφάβητο, μετά την άκρη CC 1κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία από αυτό το επίπεδο, συμπεριλαμβανομένων των ευθειών ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.Και CD. Στη συνέχεια η γωνία μεταξύ των γραμμών ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.Και CD, δηλαδή η γωνία DCB, είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας στην άκρη CC 1.

Με παρόμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι η γραμμική γωνία στην άκρη ΑΑ 1- αυτή είναι η γωνία ΣΕΕΝΑ Δ, στην ακρη DD 1 - ∠ADC, στην ακρη ΒΒ 1 - ∠αλφάβητο. Όλες αυτές οι γωνίες είναι τραπεζοειδείς γωνίες Α Β Γ Δ. Ας βρούμε το μέτρο του πτυχίου τους.

Σκεφτείτε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δ(Εικ. 10) . Ας εντοπίσουμε τα ύψη ΕΝΑΚαι KV.Σύμφωνα με την προϋπόθεση, το ύψος του τραπεζοειδούς είναι 8 cm AN = KV= 8 cm.

Ρύζι. 10

Θα βρούμε ΝΚ. Απευθείας ΕΝΑΚαι HFκάθετη στην ίδια ευθεία DC. Άρα είναι ίσιο ΕΝΑΚαι HFπαράλληλο. Επειδή ΕΝΑ = HF, Οτι ANKV- παραλληλόγραμμο. Που σημαίνει, ΝΚ = ΑΒ= 9 cm.

Από τραπεζοειδές Α Β Γ Δισοσκελές, τότε βλ

Θεωρήστε ένα τρίγωνο DHA. Είναι ορθογώνιο γιατί ΕΝΑ ⊥ DCκαι ισοσκελές, αφού ΕΝΑ = D.H.. Που σημαίνει, ∠ ΕΙΧΕ = ∠ HDA= 45° μοίρες.

Από τραπεζοειδές Α Β Γ Δισοσκελές λοιπόν ∠ DCB = ∠ ΜΕD.A.= 45°, ∠ ΕΠΑΛΕΙΨΗ = ∠ αλφάβητο= 180° - 45° = 135°.

Απάντηση: 45°, 45°, 135°, 135°.

Βιβλιογραφία

1. Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης (βασικό και επίπεδα προφίλ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
2. Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
3. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδοση, στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 σελ.: ill.

1. Τάξη φυσικής/μαθηματικών ().
2. 5klass.net ().
3. Ppt4web.ru ().
4. Iclass().
5. Rutube.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Ένα παραλληλεπίπεδο έχει τρεις όψεις με εμβαδόν 1 cm 2, 2 cm 2, 3 cm 2. Ποια είναι η συνολική επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου;
2. Η βάση του πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι διαγώνιοι των πλευρικών όψεων του πρίσματος είναι 8 cm, 14 cm, 16 cm.
3. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος είναι ίση με τη μεγαλύτερη διαγώνιο της βάσης. Σε ποια γωνία τέμνονται οι διαγώνιοι της πλευρικής όψης αυτού του πρίσματος;
4. Βρείτε την επιφάνεια του σωστού n-γωνικό πρίσμα, εάν κάποια ακμή αυτού του πρίσματος είναι ίση με ΕΝΑ.ΕΝΑ) n = 3; σι) n = 4.

Τεστ Νο 3 με θέμα «Πολύεδρα. Επιφάνεια πρίσματος, πυραμίδα"

ισοπεδώνω

Κάρτα Νο 1

2. Η βάση ευθύγραμμου πρίσματος είναι ρόμβος με πλευρά 5 cm και αμβλεία γωνία 120°. Πλαϊνή επιφάνειαΤο πρίσμα έχει εμβαδόν 240 cm2. Βρείτε το εμβαδόν διατομής του πρίσματος που διέρχεται από το πλευρικό άκρο και τη μικρότερη διαγώνιο της βάσης.

3. Η πλευρά μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 6 cm, και το ύψος

Κάρτα Νο 2

2. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος με οξεία γωνία 60°. Η πλευρική άκρη του πρίσματος είναι 10 cm και η πλευρική επιφάνεια είναι 240 cm2. Βρείτε το εμβαδόν διατομής του πρίσματος που διέρχεται από το πλευρικό άκρο και τη μικρότερη διαγώνιο της βάσης.

3. Το πλάγιο άκρο μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 5 cm, και το ύψος√13 cm Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.

II επίπεδο

Κάρτα Νο 1

1. Κανονικά πολύεδρα.

2. Η βάση ενός ορθού παραλληλεπίπεδου είναι ρόμβος. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του παραλληλεπίπεδου αν τα εμβαδά των διαγώνιων τμημάτων του είναι P καιQ.

3. Η βάση της πυραμίδας είναι ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλος 4√3 cm και αντίθετη γωνία 60°. Όλες οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης υπό γωνία 45°. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.

Κάρτα Νο 2

1. Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας.

2. Η διαγώνια τομή ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος έχει εμβαδόνQ. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.

3. Η βάση της πυραμίδας είναι ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία 30°. Το ύψος της πυραμίδας είναι 4 cm και σχηματίζει γωνίες 45° με όλες τις πλευρικές ακμές. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.

Επίπεδο III

Κάρτα Νο 1

1. Πρίσμα. Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος.

2. Σε ευθύ πρίσμα ABCA1B1C1 AB = 13, BC = 21, AC = 20. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης A1C κάνει γωνία 30° με το επίπεδο της όψης CC1B1B. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος.

3. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση με a, η γωνία μεταξύ των γειτονικών πλευρικών όψεων είναι 120°. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.

Κάρτα Νο 2

1. Πυραμίδα. Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας.

2. Σε δεξιό παραλληλεπίπεδοABCDA1 σι1 ντο1 ρε1 ΕΝΑ Δ= 17, DC= 28, AC = 39. Διαγώνιος της πλευρικής όψηςΕΝΑ1 ρεσυνθέτει με το επίπεδο της πλάγιας όψηςDD1 ντο1 ντογωνία 45°. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου.

3. Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση μεΜ. Η γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών όψεων είναι 120°. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας.

Λύσεις

Επίπεδο I (κάρτα 1)

№ 1. Δεδομένα:ABCDA1 σι1 ντο1 ρε1 - ευθύ πρίσμα.Α Β Γ Δ-ρόμβος. μ.Χ. = 5εκ; ∠ Β=120° ; S6Εντάξει. = 240 εκ2.

Εύρημα:μικρόσφαγή.

ΒΒ1 ρε1 ρε. ΒΒ1 ρε1 ρε- ορθογώνιο.μικρόδευτ. =BD· DD1. Α.Α.= 180° - 120° = 60°, αφούABDC- ρόμβος, μετά ΔABD- ισόπλευρο καιBD= ΕΝΑ Δ= 5 cm.(Απάντηση: 60 cm2.)

№ 2. Δεδομένα:DABC- κανονική τριγωνική πυραμίδα AB = BC = AC = 6 cm.ΚΑΝΩ- ύψος;ΚΑΝΩ= √3.

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση: Εφόσον η πυραμίδα είναι κανονική, τότε το Ο είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται και εγγράφεται στο ΔABC.Οπουχα- απόθεμα της πλάγιας όψης. Rosn. = 3 6 = 18 cm Θεωρήστε ΔAA1C:(Απάντηση:μικρόπλευρά. = 36 cm2.)

Επίπεδο I (κάρτα 2)

№ 1. Δεδομένα:ABCDA1 σι1 ντο1 ρε1 - ευθύ πρίσμα.Α Β Γ Δ- ρόμβος∠ ΕΝΑ= 60°.Α.Α.1 = 10 cm.μικρόπλευρά. = 240 cm2.

Εύρημα:μικρόσφαγή.

Λύση: Τομή που διέρχεται από την πλαϊνή πλευρά και τη μικρότερη διαγώνιο της βάσηςΒΒ1 ρε1 ρε. ΒΒ1 ρε1 ρε- ορθογώνιο.μικρόδευτ. =BD· DD1. ΑΒ = DC= AC (κατά συνθήκη). AB = 24/4 = 6 cmABD, επειδή∠ A = 60°, μετά ΔABD- ισόπλευρο.BD= 6 cm.μικρότομή = 6 10 = 60 cm (Απάντηση: 60 cm.)

№ 2. Δεδομένα:DABC- κανονική τριγωνική πυραμίδαDC= D.B.= ΕΝΑ Δ= 5 cm.ΚΑΝΩ- ύψος;ΚΑΝΩ= √ 1 3 εκ.

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση:Οπουχα– απόθεμα της πλάγιας όψης. Σκεφτείτε το ΔAOD: Ετσι,ηa = 4 (cm). Ας θεωρήσουμε το ΔABC - ισόπλευρο.(Απάντηση:μικρόπλευρά = 36 cm2.)

Επίπεδο II (κάρτα 1)

№ 1. Δεδομένα:ABCDA1 σι1 ντο1 ρε1 - ευθύ παραλληλεπίπεδο.Α Β Γ Δ- ρόμβοςΘΥΛΑΚΑΣ.1 C.A. = R;S.B.1 ρε1 D.B. = Q.

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση:

2)

3) Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου, τεμνόμενες, χωρίζονται στο μισό και είναι μεταξύ τους κάθετες.

(Απάντηση:)

№ 2. Δεδομένος:DABC - πυραμίδα∠ ντο = 90 ° ; ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ= 4√3 (cm);∠ σι = 60 ° ; ∠ DBO = ∠ DAO = ∠ DCO = 45 ° .

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση: Εφόσον οι άκρες της πυραμίδας έχουν κλίση στην ίδια γωνία, τότε ΟΑ = ΟΒ = CO. Το σημείο Ο είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ΔABC και είναι το μέσο της υποτείνουσας.

1) Σκεφτείτε το ΔA.D.B.: ΔDAO- ισοσκελές (∠ DAO= 45°). Ως εκ τούτου,Ο Α.Ο. = ΚΑΝΩ. ΑΟ = 1/2ΕΝΑΒ. Ας προσδιορίσουμε το ΑΒ από το Δαλφάβητο.

2) Σκεφτείτε το ΔCDA: DMπροσδιορίζουμε από το ΔDOM. Ας προσδιορίσουμε το OM από το ΔАВС. OM = 1/2σιΓ. BC = 1/2AB (σκέλος έναντι γωνίας 30°). BC = 4 cm MO= 2 εκ.

3) Σκεφτείτε το ΔCDB:

(Απάντηση:)

IIεπίπεδο (κάρτα 2)

№ 1. Δεδομένα:ABCDA1 σι1 ντο1 ρε1 - κανονικό τετράγωνο πρίσμα.Α Β Γ Δ- τετράγωνο.SACA1 ντο1 = Q.

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση:Σκεφτείτε το ΔADC: ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.2 = ΕΝΑ Δ2 + DC2, γιατίΑ Β Γ Δ- τετράγωνο, λοιπόνΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.2= 2 ΕΝΑ Δ2.

(Απάντηση:)

№ 2. Δεδομένα;DABC- πυραμίδα. ДАВС - ορθογώνιο.∠ ΜΕ = 90 ° ; ∠ ΣΕ = 30 ° ; ΚΑΝΩ- ύψος;ΚΑΝΩ= 4 cm.∠ ΦΑΣΑΡΙΑ= ∠ BDO= ∠ CDO

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση: ΔΦΑΣΑΡΙΑ= Δ DBO= Δ CDO(από το πόδι και αιχμηρή γωνία). Επομένως, AO = Oσι= ΛΣ. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Ο είναι το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το ΔABC και, επομένως, το μέσο της υποτείνουσας. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει AO = OB = OC =Ο.Δ.(ισοσκελές, ορθογώνιο). AO = 4 cm AB = 8 cm.

1. ΣκεφτείτεΔADB:

2. ΣκεφτείτεΔADC:

(Απάντηση:)

Επίπεδο III (κάρτα 1)

№ 1. Δεδομένα:ABCA1 σι1 ντο1 - ευθύ πρίσμα.ΑΒ= 13, σιC = 21, AC = 20;∠ AFM = 30 ° .

Εύρημα:μικρόγεμάτος

Λύση: Η γωνία μεταξύ A1C και επιπέδου BB1C1C είναι 30°. Αυτή είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής A1C και της προβολής της στο επίπεδο BB1C1C. A1M⊥ B1C1, MS - προβολή του A1C στο επίπεδοΒΒ1 CC1. ∠ ACM= 30°.Ας θεωρήσουμε ΔA1MC: A1M - ύψος καιΑς σκεφτούμεΔΑ1 M.C.: (αυτό είναι∠ ΕΝΑ1 ΕΚ.= 30°); A1C = 24 και(Απάντηση:)

№ 2. Δεδομένα:MABCD- κανονική τετράγωνη πυραμίδα.D.A.= α;∠ BKD= 120°.

Εύρημα:μικρόπλευρά.

Λύση: Γωνία μεταξύ των προσώπωνσιMS καιDMCισοδυναμεί 120°;DK⊥ M.C.; αφού ΔBMC = Δ DMC, ΟτιB.K.⊥ M.C.Και∠ BKD - γραμμική γωνία διεδρικής γωνίας με άκρο MC. χα = MN; BD = a√2 (διαγώνιος του τετραγώνου). ΔBKD-ισοσκελής. Ως εκ τούτου,∠ ΟΚΔ= 60°, α∠ ODK= 30° καιΣκεφτείτε το ΔDMC: ήΑπόΔDKC: Από το ΔMNC: (Απάντηση:)